柯西不等式的变形公式的妙用
浅谈柯西不等式的证明及应用
浅谈柯西不等式的证明及应用刘治和柯西 （Cauchy ）不等式21122 ()n n a b a b a b ++⋯+≤2222221212 ()()n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(,,1,2,)i i a b R i n ∈=⋅⋅⋅， 当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时等号成立。
现将它的证明介绍如下： 证明1（构造法）：构设二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅++222222212112212()2()(),n n n n a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+22212()0n a a a f x ++⋅⋅⋅+≥＞0,恒成立，2222222112212124()()n n n n a b a b a b a a a b b b ∴∆=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≤-4(++)+0,即222222*********()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+(++)+,当且仅当12120(1,2,,),n i i na a a a xb i n b b b +==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=即时等号成立. 证明2（数学归纳法）：1）22211111=),=,=n a b a b =当时,左式(右式显然左式右式，2n =当时，右式=2222222222121211222112()()=()()a a b b a b a b a b a b +++++≥22212112212121122211212()()2=()===a a a b a b a a b b a b a b a b a b b b +++左式，仅当，即时取等号，故=12.n ，时不等式成立 2）假设(,2)n k k N k *=∈≥时，不等式成立，即222222*********()()(),k k k k a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+当且仅当1212k ka a ab b b ==⋅⋅⋅=时取符号。
柯西不等式的应用
是 ： 一 去 ， 一 去 ， ｚ — ， 即 ｚ 一 告 ， 一 告 ， ｚ — ， （ 号， ｏ ） ， ｃ （ ， ） ， 从
据 题 意 不 难 得 出
＋
∑
２ 利用柯 西不 等式解 决 平面 几何 问题
例２ Ｐ 为 △ ＡＢ Ｃ内一 点 ， Ｄ， Ｅ， Ｆ 分 别 为 Ｐ 到
‘ ． ． 一
２ ＋ 号＋ 一 ２ ｚ ＋ 号＋ 一 ２ ｘ ＋ 詈一（ ｚ
（ １ ）
一
１ ） ＋ （ 一 １ ） ＋ （ ｚ 一１ ） ＋ （ ７ ｃ 一３ ） ≤０
。 ． ．
又。 ． ‘（ ｚ一 １ ） ＋ （ ｙ－ －１ ） ＋ （ ｚ 一１ ） ≥ ０ ， （ ７ ｃ 一３ ） ＞０
‘ ．
例ｌ ： 证 明√ ２ 为无理数 ．
证明 ： 假 设√ ２ 为有理数 ， 则
一
。 ＿ ≤ 拓， 两边同时立方， 得口 ≤６． ’ ． 逆否命题成立
原命 题 如 果 ａ ＞ｂ ， 那 ３ ， ３ 一．
暑（ ｍ ， 为 既 约 分 数 ， 亦ｍ ， 互 质 ）
～ ｚ
也就是 Ｐ Ｄ— Ｐ Ｅ— ＰＦ ） 时等 号成 立 ， 因而 使而 Ｂ Ｃ＋
＋ Ａ Ｂ为最 小
≤
两
的 Ｐ 点 是 △ ＡＢ ｃ的 内心
．
锄
一 一
～
ｉ
１ １ 一
‘
… ，
３ 柯 西不等 式 求解解 析几 何 问题
例 ３ 设抛物线 ｖ ｚ 一２ 缸 （ 由 ＞０ ） 的 焦 点 为 Ｆ。 终 讨
（ ２ ｐ ２ ｐ Ｂ＼ ｐ
，
＿ ｙ
最小值．
￣ ． ： ｌ ＝ｘ ｑ － － ｙ ＋ｚ ＝ １・
用柯西不等式解题的常用变形技巧
讲》。浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导
意见对柯西不等式考查的要求为：“认识柯西不等式 的几种不同形式，理解它们的几何意义；掌握一般形
式的柯西不等式证明思路”。近三年来，柯西不等式作
为高考的选考内容，以三维柯西不等式形式为主，考 查其简单应用。
1，求证： x２ + y２ + z２ ≥ 1 ． y+2z z+2x x+2y 3
分析：不等式左边嵌乘因式（y+2z）+（z+2x）+（x+
2y），即嵌入因式 ３（x+y+z），利用柯西不等式得
［（y+2z）+（z+2x）+（x+2y）］［ x２ + y２ + z２ ］ y+2z z+2x x+2y
＝x－y＋１＝3x－y－５，即 x＝
８ ３
，y＝
１０ ３
时，
取到最小值。
三、巧嵌因式
柯西不等式有三个因式，而大多数题中只有一个
或两个因式，为利用柯西不等式，需要巧妙嵌入一个因
式．此因式嵌入的目的是为了出现题中的因式，且往往 嵌入的因式和为定值．
例 ３ （２００９ 浙江卷）已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=
1 a－b
+
1 b-c
+
1 c-d
≥9 a－d
．
分析：为改变原不等式结构，原不等式证明转化为
（ 1 + 1 + 1 ）（a－d）≥９。为应用柯西不等式， a－b b-c c-d
柯西不等式在解题中的几点应用(二)
x 1 x 2 x 1 x 21 2 1 2 1 21 2 n x 2柯西不等式在解题中的几点应用（二）a) 用柯西不等式证明条件不等式n nn柯西不等式中有三个因式∑ a 2， ∑ b 2，∑ a b 而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不ii =1ii =1i i i =1等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。
又柯西不 等式中诸量 a i ， b i具有广泛的选择余地，任意两个元素 a i ， a j （或b i ， b j ） 的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。
这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。
例：已知 a,b ∈ R + ，a+b=1, x , x ∈ R + ,求证： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 ) ≥ x 1 x 2分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。
若把第二个小括号内的前后项对调一下， 情况就不同了。
证明： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 )= (ax 1 + bx 2 ) • (ax 2 + bx 1 )≥ (a + b )2= (a + b )2x x = x x 。
例、设 x , x , , x ∈ R + , 求证：x 2 x 1 + x 2 x 3+ + x x n x 2 + n x 1≥ x 1 + x 2 + + x n （1984 年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2 + x 3 + + x n + x 1 ) ，也即嵌以因式(x 1 + x 2 + + x n )，由柯西不等式，得( 1 + xx 2 x 3 + + x x n x 2 + n x 1) • (x 2 + x 3 + + x n + x 1 )x 2 x 3x n x 1x 2x 3x nx 1x 2 x 2 x 3 x 3 x n x n x 1 x 1 1⎡⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎤ ⎡ 2222⎤ = ⎢ 1 ⎪ + 2 ⎪ + + n -1 ⎪ + n ⎪ ⎥ • ⎢( ) + ( ) + + ( ) + ( )⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎦ ⎛ x x x x⎫ ≥ 1 • + 2 • + + n -1 • + n • ⎪ ⎝ ⎭= ( x + x + + x )2,12x 2x于 是 1+ x 2 x 3n+ + x x nx 2 + n x 1≥ x 1+ x 2+ + x n .b) 利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的， 但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。
柯西不等式在初等数学中的基本应用
柯西不等式在初等数学中的基本应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
本文对柯西不等式的证明方法及其在初等数学中的基本应用作简单的阐述。
关键词：柯西不等式初等数学不等式基本应用正文：柯西不等式在数学的各个领域多有涉及，而在初等数学中，柯西不等式更占据了重要的位置。
我们先对柯西不等式的证明方法进行探讨，其次，通过对柯西不等式的领悟，应用它解决初等数学中遇到的一些问题。
一、柯西不等式的一般证法：柯西不等式（Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.在证明n维的柯西不等式之前，我们先对二维形式以及三角形式的柯西不等式进行证明。
然后，由简单到复杂，循序渐进，探讨一般形式的柯西不等式的证明方法。
（1）二维形式的证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd)^2证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
（2）三角形式的证明：√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用以《柯西不等式在中学数学中的应用》为标题，写一篇3000字的中文文章柯西不等式是一种数学定理，它可以用来描述和解决各种类型的问题。
我们在中学阶段学习数学时就会接触到这一重要定理，它对数学的理解与运用都具有重要的作用。
本文将简要介绍柯西不等式在中学数学中的应用。
柯西不等式包括三种情况：柯西不等式，柯西-拉宾不等式和柯西-科瓦兹不等式。
柯西不等式可以表示为：a pm b leq c pm d，可以用来比较两个函数的大小；柯西-拉宾不等式可以表示为：|a-b| leq c，可以用来求解等式的最优解；柯西-科瓦兹不等式可以表示为：f(x) leq g(x)，可以用来求解极大值和极小值。
在中学数学中，柯西不等式主要应用于比较函数大小、求解等式最优解和求解极值问题。
首先，柯西不等式应用于比较函数大小。
当我们需要比较两个函数的大小时，可以使用柯西不等式，例如，当我们需要比较函数f(x)=x^2g(x)=4-x^2大小时，可以使用柯西不等式来得出结果，即0 leq x leq 2时，f(x)geq g(x)，其他情况则g(x) geq f(x)，从而得出结论。
其次，柯西不等式也可以用来求解等式最优解。
例如，有以下等式：2x+3y=10，要求求得z=xy的最大值，这时可以使用柯西-拉宾不等式，即|2x+3y-10|leq c，将c=0，可以得出2x+3y=10，由于x、y是未知数，可以使用求导法，得出x=2、y=2，替换入原式，得出z=xy=2times2=4，也就是z的最大值是4。
最后，柯西不等式也可以用来求解极值问题，即极大值和极小值。
例如，求函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1的极值，可以使用柯西-科瓦兹不等式求解。
将f(x)求导，得出f(x)=3x^2+4x-5，得出有效区间[frac{-4-sqrt{32}}{6},frac{-4+sqrt{32}}{6}]，令f(x)=0，得出x_1=frac{-4-sqrt{32}}{6}, x_2=frac{-4+sqrt{32}}{6}，替换入原式，得出f(x_1)approx -1.19、f(x_2)approx 4.19，也就是说函数f(x)的极小值为-1.19，极大值为4.19。
柯西不等式中取等条件的妙用
柯西不等式中取等条件的妙用设,,,,,321n a a a a n b b b b ,,,,321 是实数，则))((2222122221n n b b b a a a ++++++ 22211)(n n b a b a b a +++≥ ，当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得),,2,1(n i kb a i i ==时，等号成立.以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为“方和积不小于积和方”）,其应用十分广泛和灵活，善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能，可用于求代数式的值、解方程、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.下面分类例析，旨在探索题型规律，揭示解题方法。
一、妙用取等条件求代数式的值例1 设0abc ≠,且()()22222314a b c a b c ++=++，求b c a c a b a b c +++++的值。
解析:构造两组实数,,a b c ；1,2,3.由柯西不等式，得()()()222222212323a b c a b c ++++≥++，即()()22221423a b c a b c ++≥++，上式等号成立的充要条件是.123a b c== 令123a b ck ===，则a k =，2b k =,3.c k = 所以5438.23b c a c a b k k k a b c k k k+++++=++=点评：本题若直接求解，过程较繁.借助柯西不等式，顺利地实现了从不等到相等的转化，干净利落.其中不等式等号成立的条件及其适当的变形是实现这一转化的桥梁。
二、妙用取等条件解方程例2 解方程1521234=-++x x .分析： 利用二维形式的柯西不等式把x x y 21234-++=变形后求最值,取“="号时x 的值即为原方程的根。
解析: 2152= ])21()232[(]2)2[(2222x x -++⋅+≤15256)21232(6=⨯=-++≤x x 。
巧用柯西,妙解最值
巧用柯西 妙解最值新课标准实验版数学选修4-5中，详细介绍了二维形式下得柯西不等式，并对其一般形式也做了说明，柯西不等式不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值得强有力工具.二维的柯西（Cauchy ）不等式：设R d c b a ∈、、、,则()()()22222bd ac d c b a+≥+⋅+，当且仅当bc ad =时取“=”.一般形式的柯西（Cauchy ）不等式:对任意两组实数1212,,,;,,,n n a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，有222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当i a 与i b ()1,2,,i n =⋅⋅⋅对应成比例，即i n i na ab b =⋅⋅⋅=时等号成立. 说明：i n i na ab b =⋅⋅⋅=的意义如下：在12,,,n b b b ⋅⋅⋅不全为零时，若i b =0，则对应的i a =0；在120n b b b ==⋅⋅⋅==时，12,,,n a a a ⋅⋅⋅可取任意实数.下面就如何巧用柯西不等式求最值作一个探究，柯西不等式求最值多用于：多字母式子的最值和含约束条件式子的最值.不妨设()()bd ac B d c b a A +=+⋅+=,2222，其解题要点有两步：(1)找出适当的两组实数，满足若B 为定值，则A 有最小值；若A 为定值，则B 有最大值；(2)确保等号可以取到，满足bc ad =.一、若A 为定值，则B 有最大值如果求B 的最大值，则满足A 为定值即可.若题目中已知A 为定值，则题目比较简单，如果A 不为定值或是没告诉定值，则需要适当变形，使得满足柯西不等式的形式，则问题得解.例1 已知()5,2∈x ，求x x 2102-+-的最大值.分析：因x x 2102-+-是根式，均值不等式与换元都比较繁琐，对照柯西不等式的标准形式，发现x x 2102-+-=x x -⋅+-⋅5221, 且()32122=+,()3)5(2=-+-x x ，考虑将题设适当改造，以充当柯西不等式中的两组数，从而问题得解.解：根据柯西不等式得：x x 2102-+-=x x -⋅+-⋅5221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤22225221x x3=当且仅当x x -⋅=-⋅5122即3=x 时取“=”.例2 设,x y 都为正数，且满足22326x y +≤，求2M x y =+的最大值。
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柯西不等式的变形公式的妙用 柯西不等式晌丝形公式的她用 湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000 柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在 于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理 地变形,巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不 等式(简记为"方和积不小于积和方")在数学的多个 领域都有着广泛的应用.课堂教学中,笔者与学生共 同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用,方便快 捷,妙不可言,达到了化难为易,化繁为简,化陌生为 熟悉的目的. 柯西不等式的变形公式:设a,n,…,a为实 数,b,bz,…,为正数,则等+薏十…+筹≥ b1+62+…+ 等号. , 当且仅当一薏一?一时取 址明:田tⅡJ四个寺瓦,侍 ((22十~t2+…+等)(64.b24.…+) ()+(老)+..?+(老).][c,z +()4-…+()!] ≥(.+老'+...+老.) 一(口l十以2+…+甜). . . .bl,b2,…～b为正数,...bl4"b24-…+>O, . ? . 鲁+譬+…+譬≥. 当且仅当一-...一卿一… 时取等号. 下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题 方法. 1在代数中的妙用 例1设n,b,C均为正数,且不全相等,求证: ++>. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 ++一:一 04.b6+f.f+n2(a+6).2(bq-一c) l2 .2(c+a) ,(2+2+2)0 2(n+6)+2(64-c)+2(f+0) 4(a+6+f) 一 —— a4"b4"c' 当且仅当一一,即6 —6+f:f+n,亦即a~b=c时,上述不等式取等号. 因题设a,b,c不全相等,于是9l_+赢9+?) 0 >? ._..I◆
点评:将十+变形为+ 十,为应用柯西不等式的变形公式创十,为应用柯西不等式的变形公式创 造了条件.本题注意阐明等号取不到的理由. 例2若(z,b,cE(0,1),满足ab+bc+ca=1,求 ++的最/J,值. 解析:由柯西不等式的变形公式,得 .—1_—L一_—L 1一a1一b.1一c izl1I1 1一.1一厅'1一f ≥导 9 3一(n+6+C)' 而n+6+c≥+bc+cn, . ' .n2+b2+c+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca), nO(口+6+f)z≥3×1,亦即日+6+c≥. . ? . 上 1--a ++≥-3"--- 9_ (a+b+c)≥'.——十十 3一 3(3+43)一————一' 当且仅当一6一c一每时,上述几个不等式同时 取等号. . ? . 上+—l_+l_的最小值为旦一1一 n1—6.1一C2 点评:将++变形为12+12 +}是求解的基础.后续所用到的n+6.+c≥"6 +6c+及(n+6+c)≥3(a6++∞)是常用的重 要结论,应切实掌握. 例3已知实数n,b,C,d满足,"++c+一3, a+2bz+3c+6d.一5,试求n的取值范围. ● 分析:分离参数n,利用柯西不等式的变形公式 把方程化为关于参数n的不等式,解不等式即可. 解析:由已知得,6+f+一3一口.2+3c2-6d 一5一n. 由柯西不等式的变形公式,得 5--az=2b.+3c+6d一Tb2十Tc2十Td2 百百 ≥6+升' . ' . 5一n≥(3--a),解得l≤&≤2. . ' .n的取值范围为[1,2]. 例4已知-z,,∈R+,求证:+ +z百3? 证明:令-T++—,则 x v十z ~y+zx+2y+zx+y+一2z一生t+x+ 2z+十z tY+案t十十2 一s…(+南+). 由柯西不等式的变形公式,得 +南+=+焉+ ～ (1+1+1)一 9 干F而干(￡+)一4t' . ? . 上 2x+y+z+i+上2y+z++y+2z≤3一￡'4t.'I z . 3一9一 _ 3 . 点评:本题先用换元法将所证不等式的左边进行 变形,为下一步活用柯西不等式的变形公式奠基.本 题有一定的难度,极富思考性和挑战性. 2在三角中的妙用 例5若口,』9,y均为锐角,且满足COSd+co十 COS.y一1, 求证:cOtZa十c.+cot2号. 证明:要证cot2a+c.t+c.t2号, 只需证冬+嚣+,≥导, sin ++ sin≥号,口slJyZ 靴+十南≥詈. 由cosg-~-cos/~-}-COS),一1易得sina+sin.口+ sin2),一2. 由柯西不等式的变形公式,得 ++南++ ,(1+1+1).9 ~- sin2a+sin2fl+sin27--2' . ' . 原不等式成立. 点评:本题联袂使用切割化弦法,分析法及柯西 不等式的变形公式等方可圆满解决. 例6设a,I9,y∈(o,号),且sin2.+sin2/?+ sin27—1, 求证:+曼 slny + slna 1. Sln. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 上上曼i出 slnsin)'slno: 一— (sin— 2 a)2_L!:4-一 (sin27)2 sinasinfl.sin/5'sin7'sln)'s1'1~ ,!±sin2垒±sz),/ simsi+siiny+sinySim sinasinp+sin~sinT+sinTsina' 当且仅当==时取等号. 又..sinZa+sinZfl+sin2),sinasinfl+sinflsin?, - t-smTsma, 一 0%sirasisirCsin),+sinysir~≤1, 故所证不等式成立. 点评:本题将+巫 sin?,+变形为蔷 ++是破解问题的突破口,辅之重要 结论口+6+f2~ab+bc+ca的应用,可实现第二次 放缩而得证. 例7已知a,均为锐角,且寒+一1,:求 证:+卢一号. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 — COS— 4 ot4-— sin— 4 a一(cos口)l(sin2)\ sin2fl.c0s.卢～sin2fl'/ (COSa+sin~a) sin+cos0 上式岢矾~兀贾尔什足COS20t一sinea , 注意到a,均为锐角, 所以簧摹cOc0一simsin ? ' ?cos(a+/~)一c0co--sinasin~=0, 又O<a+fl<u, ?a+8一专. 点评:利用柯西不等式的变形公式并灵活应用取 等条件可以使许多数学问题的解决变得犹如囊中取 物,易如反掌. 例8设n,6是非零实数,zER,且曼+兰 以0 上 00+6' 求喾+譬的值. 解析:由柯西不等式的变形公式,得 ..?..I◆ sinz.COS-T(sin2z)I(cos.Iz) n2.b2n62 ≥"2+b2' 上式等号成立的充要条件是一COSzaT 令sinax一COS2:27一是, 则是一—sin2x~丽co—s2x 1 口0+b' 所以 上— (COS2— X)1004 beOO .COS..z(sin2)1004 6..0n0.. (n是)...(是). 一■十— 一k(a+b)一 11003 ×(口+6)( n十b.)1004一 (&+b2)' 点评:用柯西不等式的变形公式的取等条件解决 一 些技巧性较强的竞赛试题,可收到一招制胜之 奇效. 3在几何中的妙用 例9如图1所示,等腰 直角三角形AOB的一直角边 为1,在此三角形内任取点P, 过P分别引三边的平行线,与 各边围成以P为顶点的三个0 三角形(图中阴影部分),求这图l 三个三角形的面积和的最小 值以及达到最小值时P点的位置. 分析:首先建立直角坐标系,然后建立三个三角 形的面积和S与,的函数关系式,最后利用柯西 不等式的变形公式求最值. 如图2所示的直角坐标系, 则AB所在直线的方程为 z+一1,记P点坐标为P (zr,yP),则以P为公共顶 点的三个三角形的面积和 s—1zP2 121 图2 (1--32p--yp). 由柯西不等式的变形公式,得 s一譬+誓+ ≥ 一 上 6' 当且仅当警一号一时,等号成立,即 一 , 一 专时,面积和s最小,且最小值为s 1 R' 所以三个三角形的面积之和的最小值为{,此 时点P到两直角边的距离均为{. 点评:解此题的关键是用P点的坐标表示出三 个三角形的面积.观察图形,可以看出:靠近轴的等 腰直角三角形的直角边长为Y,靠近Y轴的等腰直