柯西不等式常见题型解法例说
柯西不等式
柯西不等式例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：证明：左边³例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：证明：左边=³==例8.利用柯西不等式证明(1)(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd;(2)若a、b、c∈R+，则(3)若a、b、c∈R+，且ab+bc+cd=1,则.(4).证明(1)∵(ab+cd)(ac+bd)等式当且仅当且a=d 即b=c,a=d 时成立.(2)=(1+1+1)2=9当且仅当a=b=c时，等式成立.(3)注意到(a2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)·(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca)2=1 , ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥1+2=3 ,又由a+b+c＞0,故,当且仅当时，等式成立.(4)注意到柯西不等式(3) 2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(.当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径， 证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
不等式专题4柯西不等式
不等式专题(四)------柯西不等式一．知识方法扫描：1.柯西不等式的内容是：定理：设,i i a b R ∈（i=1,2……n ），则222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑时成立时，等号当且仅当不全为当数组)1(0,,,;,,,2121n i a b b b b a a a i i n n ≤≤=λ 2.柯西不等式的变形：变形1：)(2222121n n a a a n a a a +++≤+++ )(2121n n a a a n a a a +++≤+++变形2：nn n n i i b b b a a a b a b a b a b a ++++++≥+++ 212212222121)(0,，则：同号且不为设 变形3：nn n n n b a b a b a a a a b a b a b a ++++++≥+++ 22112212211)( 变形4：nn b b b n b b b +++≥+++ 21221111 二．合作探究例1. 设4 12,,,n x x x R +∈ ，且4 121n x x x +++= 。
求证：4 22212121.1111n n x x x x x x n +++≥++++例2 21,5632,3,,,2222≤≤=+++=+++a d c b a d c b a d c b a 求证：满足条件：设实数变式1:的实数是满足：已知16,8,,,22222=++++=++++e d c b a e d c b a d c b a , 求e 的最大值。
变式2： 的最小值。
求已知22232,1232z y x z y x ++=++变式3：的最大值求满足设实数y x y x y x +≤+2,623,22例3.解方程1534212=++-x x例4.证明：对于任意实数4 ,,x y z ，不等式4 222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x +++≥+++成立。
由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧
由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧邓军民（广州市育才中学数学科）柯西不等式：设n n b b b a a a ,......,,;,......,,2121为两组实数，则()()()222212222122211.n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当时取等号，，，，约定)210(2211n i a a b a b a b i nn =≠===。
柯西不等式证法一：构造二次函数（n i a i ，，， 21,0=≠）()()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a x f +++++++-+++=()()()()()()()()()()时取等号。
即，，当且仅当nn n n nn n n n n n n n n a b a b a b b x a b x a b x a b b b a a a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b x a b x a b x a x f ====-=-=-++++++≤+++∴≤++++++-+++=∆∴≥-++-+-= 2211221122221222212221122221222212221122222110000440这种证法则是利用了二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12的两个特点：（1）、二次项系数大于0 ；（2）、函数值 ()0,0≤∆≥则可得出结论：x f 。
有些不等式题则可根据已知条件和条件的特点，巧妙地构造二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12，从而利用()0≥x f 恒成立，0≤∆来求解。
例1、 设()n i x i ,2,10=>，求证：n n x x x x x x xx x +++≥+++ 2112322221()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-++++=∴=>123222212121322,2,10x x x x x x x x x x x x x x x x f n i x n n n i 可构造函数证明：21123232212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x x x x x n()()()()()nn n nn nn n x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x f ++++≥+++∴+++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∴≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+++=∆∴≥ 3211232222122112322221132123222211322210440恒成立例2、已知实数a 、b 、c 、d 满足a+b+c+d=3,56322222=+++d c b a ,试求a 的最大值和最小值。
柯西不等式微专题(学生版)
《柯西不等式》微专题二维形式的柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当a c =b d 时，等号成立。
ac bd ≥+ac bd ≥+柯西不等式的向量形式：设 ,αβ是两个向量，则αβαβ≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使得k αβ=时，等号成立。
三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当0(1,2,3)i b i ==，或a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时，等号成立。
一般形式的柯西不等式： 222222212121122(+)(+)(+)n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++………当且仅当0(1,2,n)i b i ==…，，或a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=an b n 时，等号成立。
例1 已知,a b 为实数，证明：4422332()()()a b a b a b ++≥+【证明】 4422222222222332()()[()()]()()()a b a b a b a b a a b b a b ++=++≥⋅+⋅=+例2.求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值．【思维导图】变形→构造柯西不等式的形式→巧拆常数→凑出定值【解析】函数的定义域为{x |1≤x ≤5}．y ＝5x －1＋25－x ≤52＋2x －1＋5－x ＝27×2＝63，当且仅当55－x ＝2x －1，即x ＝12727时取等号，故函数的最大值为6 3. 例3 已知3x 2＋2y 2＝6，求证：2x ＋y ≤11.【思维导图】观察结构→凑成柯西不等式的结构→利用公式得出结论【证明】由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )． 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(3x 2＋2y 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12×6＝116×6＝11， ∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.例4 设123,,x x x 为正数，求证：123123111()()9x x x x x x ++++≥【解析】2123123111()()9x x x x x x ++++≥= 例5 设,,x y z R ∈，且满足：2221xy z ++=，23x y z ++=，则x y z ++= 。
柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。
解析：法一：∵且，∴函数的定义域为，且，当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值，最大值为法二：∵且，∴函数的定义域为由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为.总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．举一反三：【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。
（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。
【答案】(Ⅰ)当时，．所以．…………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当时，的解集为空集；当时，的解集为；当时，的解集为．综上，不等式的解集为．……10分【变式2】已知，，求的最值.【答案】法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】根据柯西不等式，故。
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．类型二：利用柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。
如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。
（1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证：思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：而，又，故可利用柯西不等式证明之。
证明：又、、各不相等，故等号不能成立∴。
（2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证：思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。
柯西不等式常见题型解法例说
上海中学数学2014年第3期柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。
1‘是基本百鬲、百7而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。
6，+口：6：+a。
63)2揭示了任意两组数组即(n。
，n。
，n。
)、(6，，6。
，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。
，以。
)、(6。
，6：，6。
)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略．1一次与二次例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2，可知n。
+462+9c。
≥婺一12，即最小值为12．例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——．解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而．例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得[4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2≥一5≤z+y+z一2≤5．．‘．一3≤T+y+z≤7．故T+y+z之最大值为7，最小值为一3．评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效．2整式与分式2．1两组数组对应的数分别为倒数型例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]．(1)求m的值；(2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9．解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m，由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)，又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1．(2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R，由柯西不等式得Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。
02柯西不等式与平均值不等式(含经典例题+答案)
柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。
柯西不等式
柯西不等式【摘要】本文将给出柯西不等式及其应用时需注意的几点说明、柯西不等式的几种形式和证明以及关于柯西不等式的几种题型。
我们知道，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题上得到应用。
【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；解三角形问题；不等式的证明；不等式的应用。
【正文】一、柯西不等式及其证明。
定理： 设i a ，i b ∈R （i=1，2，3........,n ）,则2112n 1i 2⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===ni i i n i i i b a b a ，当且仅当i a =λi b ，即11a b =22a b =nn b a =λ等号成立。
此不等式称为柯西不等式。
说明1：由于“∑==ni i a 120，∑==ni i b 120，∑==ni i i b a 10”情况之一出现时，不等式显然成立，因此，在下面的讨论中不妨设∑=≠ni i a 120，∑=≠ni i b 120，∑=≠ni i i b a 10都成立。
说明2：柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式11a b =22a b =nn b a ,并约定：分母为0时，相应的分子也为0。
“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。
说明3：使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数 1a ，2a ， n a ， 1b ，2b ， n b ，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数()()()2222211)(nn b x a b x a b x a x f ++++++= =222221......x a a a n ）（+++x b a b a b a n n ）（++++......22211）（22221......n b b b ++++0 (2)2221>++n a a a ，0)(≥x f 恒成立，∴)......()......(4 (42)22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++∙+++-+++=∆）（0≤即22211......）（n n b a b a b a +++≤)......( (2)222122221n n b b b a a a ++++++）（ 当且仅当 0=+i i b x a ),....,2,1(n i =即1212n na a ab b b ===时等号成立证明2 数学归纳法（1）当1n =时 ，右式=()211a b ，左式=2121b a ，显然 ，左式=右式。
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上海中学数学2014年第3期
柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明
柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。
1‘是基本
百鬲、百7
而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。
6，+口：6：+a。
63)2揭示了任意两组数组即(n。
，n。
，n。
)、(6，，6。
，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。
，以。
)、(6。
，6：，6。
)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略．
1一次与二次
例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2，
可知n。
+462+9c。
≥婺一12，即最小值为12．
例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——．
解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而．
例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得
[4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2
号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2
≥一5≤z+y+z一2≤5．
．‘．一3≤T+y+z≤7．
故T+y+z之最大值为7，最小值为一3．
评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效．
2整式与分式
2．1两组数组对应的数分别为倒数型
例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]．
(1)求m的值；
(2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9．
解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m，
由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)，
又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1．
(2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R，
由柯西不等式得
Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐
评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。
)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型
例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专．
V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式
(惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．
72
上海中学数学2014年第3期
用法向量夹角求二面角大小的教学设想
213131
江苏省奔牛高级中学
冯刚张仁端
在苏教版高中数学选修教材2—1(以下同)中，用法向量的夹角来求二面角的大小．教材这样总结方法：
“由于平面的法向量垂直于平面，这样，这两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角．考虑到二面角的取值范围是[o 。
，180。
]，所以二面角的平面角臼与这两个平面的法向
证法2：利用均值不等式
了}夏+寺‘y+2z)≥亏z ；
同理：i 菩万+告(z+2z)≥詈j ，；
}辜毛+告(z+2y)≥号2，三式相加即证．
评注：涉及到分式出现的题型，解答时，要有把分式转化到整式去的意识，若能抓住这种关系则无疑抓住了问题的突破口．
例6
已知正数&，6，c ，幻c 一1，求证：≯南
+赢b+瓦‰≥导．’63(n+c )l
f 3(a+6)
72’
证：即证：年≥+孟每≥+荔擘≥≥詈．
叻十凹曲十∞凹十∞Z
(蔫+
二‰+耋‰)c 曲+凹+幻+
I 面+凹‘面+葩。
凹+知)…～1～1
6c+凹+＆)≥(6c+∞+幻)2，
．．『志+志+志]c 面+
一l 以3(6+c)l
63(盘+c)’c3(口+6)l 、～
∞+幻+＆+∞+斑)≥(葩+∞+面)2，
．．左式≥昙(面+∞+幻)≥丢．3Z 丽一导．
评注：分式出现的题型若出现分子的次数比分母低，尽量创造条件变形让分子的次数比分母高，这样就便于运用柯西不等式把分式转化为整式．
3
无理与有理
例7
已知z+y+z 一19，求证：~／孑可+
、，厕+正骊≥机西．
证法1：设扰一√7了i +／尹了百+、压FF 而，
+．．～历F 百析可≥z+2n ，
以F 阿川了孑≥y+3丑，
量的夹角相等或者互补．”
两者到底在什么情况下相等，在什么情况下互补?十分遗憾，教材没有交待，留下了悬念．但是在教材的例题(如本文例1)和习题(如本文例2)中都要求二面角的大小(显然这样的要求不合理)．于是教材的例题解答不能令人信服，师生在解答这类问题时没有
~／22+16盘~／1+丑2≥2+4垃，
．。
．~／1+口2“≥19+9n ．
当且仅当z 一呈，y 一羔，2：÷，又由z+y+
Q
z
5
1净口一南
19+器
一．‘．税≥_==兰一~／442．
√1+(南)
证法2：‘．’}葛}+}葛}+}葛}≥}葛+葛+葛}，
．．令者一(z ，2)，葛=(y ，3)，者一(2，4)，
则左式≥~／(z+y+z)2+(2+3+4)2=
√192+92一√442．
评注：有理和无理是一对矛盾的统一体，它们既是对立的，又是统一的，因此在一定的条件下可以相
互转化．一方面，把柯西不等式∑口；∑62≥(∑ai 6，)2两边开根号，可以得到一个无理形式的
柯西不等式，其中右边是整式，利用这个关系就能实现从无理到有理的跨越；另一方面，从结构上来分析，这两个数组其实可看成两个空间向量的坐标，这样就容易联想到距离问题，因此也可以考虑构建几何模型利用三角不等式解决．
柯西不等式虽然只是新课程教材的选修内容，但近几年以柯西不等式为背景的试题，已悄无声息地进入高考试题(不是自选模块试题)中．灵活运用柯西不等式求解一些高考题可以省去许多繁杂的运算，解法优美，事半功倍，对提高学生的解题能力大有裨益．因此让学生熟悉柯西不等式的呈现形式以及掌握相应的解决策略是非常必要的．。