(完整word版)高中数学不等式知识点总结
高中基本不等式基础知识点
高中基本不等式基础知识点
1. 不等式的基本概念：
不等式是一种数学表达式，用来表示两个数之间的大小关系。
它由两个数和一个不等号组成，如：a>b，表示a大于b。
2. 不等式的性质：
（1）交换律：如果a>b，则b<a；
（2）结合律：如果a>b，c>d，则a+c>b+d；
（3）分配律：如果a>b，c>0，则ac>bc；
（4）反转律：如果a>b，则1/a<1/b。
3. 不等式的解法：
（1）求解一元一次不等式：
解法：将不等式中的等号两边同时除以同一个非零数，然后比较结果，即可得出解。
（2）求解一元二次不等式：
解法：将不等式中的等号两边同时除以同一个非零数，然后求出不等式的两个根，再比较结果，即可得出解。
高中不等式全套知识点总结
高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。
一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。
2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。
3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。
二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。
2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。
3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。
三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。
2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。
四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。
2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。
高中数学不等式知识点总结
高中数学不等式知识点总结一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
扩展资料高中数学不等式知识点总结：1、用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
2、性质：①如果x>y，那么y<z;如果yy;(对称性)②如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz<yz;(乘法原则)⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;⑦如果x>y>0，那么x的.n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n 次幂<y的n次幂(n为负数)。
或者说，不等式的基本性质有：①对称性;②传递性;③加法单调性，即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。
3、分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
②一元一次不等式组：a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
高中《不等式》知识点总结(可编辑修改word版)
2一、不等式及其解法：《不等式》知识点1. 一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正） ⇒ “大于取两边，小于取中间”如：解不等式（1） x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ；（2） - x 2 + 2x + 1 ≤ 0 解：（1）原不等式等价于 (x + 3)(x - 1) ≤ 0 ， 方程(x + 3)(x - 1) = 0 的根为- 3 ，1 故解集为{x }- 3 ≤ x ≤ 1}. （2）原不等式等价于 x 2 - 2x - 1 ≥ 0 ， 方程 x 2 - 2x - 1 = 0 的根为1+ ，1 - ，故解集为{x }x ≤ 1 - 2或x ≥ 1 + 2}.2. 高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的 x 系数为都为正） ⇒ 穿根 （从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）(x + 2)(x - 1)(x - 1)2 如：解不等式（1） x (x + 1)(x - 1) ≤ 0 ； （2） x - 3≥ 0 ； （3） (x + 1)(x + 2) < 0 解：（1）解集为{x x < -1或0 ≤ x ≤ 1}； （2）解集为{x - 2 ≤ x ≤ 1或x > 3； （3）解集为[-2,-1]3. 分式不等式：移项⇒ 通分. 如：解不等式 2 ≤ 1. 解：移项后 2 - 1 ≤ 0 ，通分后 2 - x≤ 0 ，化标准式为 x - 2 ≥ 0 ，故解集为{x x < 0或x ≥ 2} x x x x4. 绝对值不等式： x < a (a > 0) 的解集为{x - a < x < a }；x > a (a > 0) 的解集为{x x > a 或x < -a } 二、1．重要不等式： a 2 + b 2 ≥ 2ab (a , b ∈ R ) ,当且仅当 a = b 时，等号成立变形： ab ≤ a 2 + b 2 2应用： a 2 + b 2 为定值时，求 ab 的最大值.2．基本不等式： ≤ a + b 2(a > 0, b > 0) 当且仅当 a = b 时，等号成立 变形一： a + b ≥ 2 a + b 变形二： ab ≤ ( )2 2应用： ab 为定值时，求 a + b 的最小值.应用： a + b 为定值时，求 ab 的最大值. 注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.三、线性规划问题 1. 能画出二元一次不等式组表示的平面区域.2. 相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.3. 目标函数常见类型：（1） 求线性目标函数 z = Ax + By 的最值时，先令 z = 0 ，画出直线l ： Ax + By = 0 ，①若 B > 0 ，则l 向上平移， z 变大，向下平移， z 变小；②若 B < 0 ，则l 向上平移， z 变小，向下平移， z 变大y - b （2） “斜率型”目标函数 z =x - a ， z 表示可行域内动点(x , y ) 与定点(a , b ) 连线的斜率.（3）“距离型”目标函数 z = (x - a )2 + ( y - b )2 = ( 的距离的平方. (x - a )2 + ( y - b )2 )2 ， z 表示可行域内动点(x , y ) 到定点(a , b )2 ab ab。
(完整word)一元一次不等式知识点总结,推荐文档
一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
(word完整版)高中不等式所有知识及典型例题(超全).docx
一．不等式的性 ：二．不等式大小比 的常用方法 ： 1．作差：作差后通 分解因式、配方等手段判断差的符号得出 果； 2．作商（常用于分数指数 的代数式） ； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的 性； 7． 找中 量或放 法 ；8． 象法。
其中比 法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式2 21. （ 1）若 a,bR ， a 2b 22ab (2) 若 a, bR ， abab （当且 当 ab 取“ =”）22. (1) 若a, b* ，a b ab(2)若a, b R *， ab2 ab （当且 当a b取“ ”）R2=a 2*， abb( 当且 当 ab 取“ =”）(3) 若 a, b R23. 若 x0 ，x1 2 (当且 当x1 取“ ”） ;x=1若 x0 ，x2 (当且 当x1 取“ ”）x=若 x11 1-2(当且 当 ab 取“ =”）0， x2即 x2或 xxxx若 ab0 ，ab 2( 当且 当 ab 取“ =”）ba若 ab0 ，ab 2即ab 2或 ab -2(当且 当a b 取“ ”）bababa=224. 若 a,bR ， (ab 2ab（当且 当 ab 取“ =”）)22注：（1）当两个正数的 定植 ，可以求它 的和的最小 ，当两个正数的和 定植 ，可以求它 的 的最小 ，正所 “ 定和最小，和定 最大” ．（ 2）求最 的条件“一正，二定，三取等”(3)均 定理在求最 、比 大小、求 量的取 范 、 明不等式、解决 方面有广泛的 用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （ a,b,cR +） ,a+b+c≥ 3 abc （当且 当 a=b=c 取等号）；31na 1a 2 L a n (a+12 ni1 2n222≥ab+bc+ca; ab ≤( a+b 2+≤ a+b+c 3 +式： a +b +c) (a,b) (a,b,c R )2 R ) ; abc (32aba+b a 2+b 2 a ≤a+b≤ ab ≤2 ≤2≤b.(0<a ≤ b)b －n b b+m7. 度不等式： a －n < a < a+m ,a>b>n>0,m>0;用一：求最例 1：求下列函数的 域（1）y ＝3x 2＋ 12（ ） ＝ ＋12x2 yxx技巧一：凑项例 1：已知 x5，求函数 y 4 x 21的最大值。
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选修 4--5 知识点1、不等式的基本性质①（对称性） a b b a同向可加性）a b,c⑧（倒数法则）2、几个重要不等式用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三相等” .a b c 时取到等号）④ （可积性）a b ,cac bca b ,c 0 acbc⑤ （同向正数可乘性） a b 0,c d 0 acbdb 0,0cdab（异向正数可除性） cd⑥ （平方法则）a bn ab n(n N,且n 1) 异向可减性）a b,c dN,且nb 1)0 a na nb(n ③（三个正数的算术—几何平均不等式）abc 33 abc(a 、b 、 cR ）（当且仅当②（传递性） a b,b c ac③（可加性） a bacbc⑦（开方法则） 11a b;a22①a 2b 22aba ，,（当且仅当b时取 "" 号） . 变形公式：②（基本不等式）aba ，变形公式： a2 ababa b2ab,（当且仅当 a b时取到等号）a2b2 2，要注意满足三个条件“一正、二定、(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd ）2 （a,b,c,d R ）.当且仅当 ad bc 时，等号成立2ax⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式②幂平均不等式：④ 二维形式的柯西不等式：2④ab 22c ab bc ca a ， b R（当且仅当a b c 时取到等号） .3⑤ab33c 3abc(a 0,b 0,c 0)（当且仅当a b c 时取到等号） .若ab ⑥ 0,则 ba 2 ab （当仅当 a=b 时取等号）若abb 0,则 aa 2b (当仅当 a=b 时取等号）b b m 1an bn a ⑦a a mb ，（其中a b 0，规律： 小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小 .⑧当a 0时，x22a x a x a 或 x a;m 0， n 0)1（a 1 n③二维形式的三角不等式： 22 a 1 a 2 2ana 2 a n )2.22 x 1 y 1 22x 2 y 2(x 1 x 2)2(y 1 y 2)2(x 1,y 1,x 2,y 2 R).a.b.①平均不等式： 211ab abb a2b2，（a,b R，当且仅当a b 时取 " "号） .（即调和平均 变形公几何平均 算术平均 平方平均） . aba b22abb2(a b)220)⑤ 三维形式的柯西不等式：顺序和)，当且仅当 a1 a2 ... an 或 b 1 b 2 ... b n 时，反序和等于顺序和 ⑨琴生不等式 : (特例 :凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f ( x),对于定义域中任意两点 x 1,x 2(x 1 x 2), 有f(x 1 x 2)f(x 1) f(x 2)或 f(x 1 x 2)f (x 1) f(x 2).f (2 )2或 f (2 )2 .则称 f(x) 为凸(或凹)函数4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法(作差，作商法) 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等 一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根 . 三求：求对应方程的根 .2 2 2 2 2 2(a 1 a 2 a 3 )(b 1 b 2 b 3 ) (a 1b 1 a 2b 2⑥ 一般形式的柯西不等式：(a 12a 22... a n 2)(b 12b 22... b n 2) (a 1b 1⑦向量形式的柯西不等式：ur ururu u设 ,是两个向量，则,当且仅当等号成立 .⑧排序不等式( 排序原理)：设a 1 a 2 ... a n ,b 1 b2bn为两组实数a 1bn a2b n 1...a ba1c 1a2c2... a n c na 3b 3) .a 2b 2 ... a n b n ) .ur ur ur是零向量，或存在实数 k ，使 k时，.c 1,c 2,...,c n 是 b 1,b 2,...,b n 的任一排列，则①舍去或加上一些项，如1 (a 12)2 34②将分子或分母放大(缩小) ，11,11如k 2k(k 1),k2 k(k1),1 2 (k *N *,k 1) 等.kk k 15、一 元二次不等式的解法2求一元二次不等式 ax bx c 0(或12(a12)2;22122 k k k k k k 1常见不等式的放缩方法：(a 0,2b 4ac 0)解集的步骤：四画：画出对应函数的图象 . 五解集：根据图象写出不等式的解集 . 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 .6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ，结合原式不等号的方向， 写出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0 f (x) g(x) 0 g(x)f(x) 0f (x) g(x) 0g(x) g(x) 0(“ 或 ”时同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 .8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑵当0 a 1时,a f(x)a g(x)f (x) g(x)规律：根据指数函数的性质转化 .10、对数不等式的解法f(x) 0log a f (x) log a g(x) g(x) 0⑴当a 1时,f(x) g(x)f(x )a(a 0) f(x ) f(x f(x )a(a 0) f(x )f(x) g(x) f(x ) g(x)0 2 [g(x)或 f(x) 0或g(x) 0 f(x) g(x) f(x ) g(x ) 02[g(x)f(x) g(x) f (x) g(x ) f 0g(x) ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解 9、指数不等式的解法：⑴当 a 1时 ,af (x) a g(x)f (x) g(x)f (x) 0log a f (x) log a g(x) g(x) 0 .⑵当0 a 1时,f (x) g(x)规律：根据对数函数的性质转化 .11、含绝对值不等式的解法：a (a 0) a.⑴定义法：a (a 0)⑵平方法：f (x) g(x) f 2(x) g 2(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①x a a x a(a 0); ②x a x a 或 x a(a 0);③f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) (g(x) 0)④f (x) g(x) f(x) g(x)或f(x) g(x) (g(x) 0) 规律：关键是去掉绝对值的符号 .12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集 . 13、含参数的不等式的解法2解形如 ax bx c 0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论 a与 0的大小；⑵讨论 与 0 的大小； ⑶讨论两根的大小 .14、恒成立问题⑴不等式ax 2bxc 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是①当 a0 时 b0,c 0;a 0 ②当 a 0时0.⑵不等式ax 2 bx c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是①当a 0 时b 0,c 0;a 0②当a 0 时0.⑶f (x) a恒成立f (x)max a;f(x) a恒成立f(x)max a⑷ f (x) a 恒成立f (x)min a;f(x) a恒成立f(x)min a. 15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAx By;z ②“斜率”型：y z yx 或x b; a③“距离”型：z22x2 y2z 22 xyz (x a)2 (y b)2或z (x a)2(y b)2.在求该“三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，题简单化.从而使问。