教师用习题解答第5章.doc
《教育学》章节练习题 第五章
《教育学》章节练习题第五章学生与教师一、单项选择题1、我国首次以法律形式明确规定“国家实行教师资格制度”的文件是（ D ）A、《教师资格条例》B、《教师资格认定的过渡办法》C、《教师资格条例》实施办法D、《中华人民共和国教师法》2、教师首次被列入“专家、技术人员和有关工作者”类别的文件是（ B ）A、《关于教师地位的建议》B、《国际标准职业分类》C、《教师资格条例》D、《中华人民共和国教师法》3、“以身立教”、“为人师表”体现了教师劳动的( A )特点。
A、示范性B、复杂性C、创造性D、劳动方式个体性4、中学高级、一级教师职务聘任由( D )聘任。
A、国家教育部B、省级教委C、地市一级教育局D、县级教育局5、教师的工作目的和使命是（ C ）A、热爱教育事业B、热爱学生C、教书育人D、创新开拓6、陶行知先生的“捧着一颗心来，不带半根草去”的教育信条体现了教师的（ B ）素养。
A、教育理论知识B、崇高的职业道德C、文化学科知识D、具备相应的专业知识7、教师的最基本条件是（ D ）A、承担教育教学职责B、以教书育人为使命C、文化学科知识D、具备相应的专业知识8、教师对学校或其他教育及政府部门做出的处理不服或对其侵犯权益的行为，依《教师法》向主管行政机关申诉，请求处理的制度是（ A ）A、教师申诉制度B、学生申诉制度C、学校事故D、法律救济9、教师的地位一般是指教师的（ A ）A、社会地位B、经济地位C、文化地位D、政治地位10、（ B ）年全国人民代表大会常务委员会通过决议，确定每年的9月10日为“教师节”。
A、1984B、1985C、1986 D 、198711、一个人的生理心理发育和形成的关键时期是（ C ）A、幼儿园B、小学C、中学D、大学12、1989年11月20日，联合国大会通过的《儿童权利公约》，下列（ D ）不是其基本原则。
A、儿童利益最佳原则、无歧视原则B、尊重儿童尊严原则、无歧视原则C、尊重儿童观点与意见原则、无歧视原则 D 无歧视原则、放任儿童意愿原则13、“道之所存，师之所存也”体现了教师职业的（ C ）A、示范者角色B、授业解惑者角色C、传道者角色D、研究者角色14、具有先进的教学理念属于教师的（ C ）A、人格培养B、学科专业素养C、教育专业素养D、职业素养15、下列哪种说法是不正确的（ C ）A、学生享有一般公民的绝大多数权利，并受法律保护B、努力学习、完成学习任务是学生的一项义务C、学生的家境贫寒，家长可允许学生辍学，这并不违法D、偷看学生的私人日记，是侵犯了学生的隐私权16、学生区别于社会上其他人的一个重要特点是（ B ）A、学生的思想是不成熟B、学生是以学习为主C、学生的发育不健全D、学生缺乏自觉性17、由于生活水平的显著提高，社会和家庭对教育的投入逐年加大，法律保证了青少年学生的主体地位，因而他们具有明显的( C )A、自律意识B、维权意识C、自我意识D、服务意识18、西方最早的教师被称为（ A ）A、智者派B、犬儒派C、毕达哥拉斯学派D、历史学派19、教师的职业形象不包括（ D ）A、道德形象B、文化形象C、人格形象D、隐性形象20、教师在从事教学活动时的最基本形象是（ B ）A、道德形象B、文化形象C、人格形象D、专业形象21、教师在社会发展中起了非常重要的作用，那么教育活动的首要推动者是（ C ）A、受教育者B、管理者C、教育者D、教育影响22、在课程改革过程中，教师成为学生学习的合作者，由教学中的主角转向（ C ）A、知识的传授者B、平等中的首席C、教学的组织者D、行为的示范者23、学生的质的规定性是（ A ）A、以学习为主B、具有独立人格C、学生是未成年人D、具有儿童天性24、教师的领导方式不包括（ A ）A、管理型B、民主型C、放任型D、专制型25、现代师生关系的核心是（ C ）A、以诚相待B、互助互惠C、民主平等D、和谐亲密26、下面哪种表现说明罗森塔尔效应（ B ）A、老师让背书，学生们认真地背书B、老师对学生说：“你很聪明，只要认真学习，成绩一定会提高。
第5章+感应电机(习题与解答)
9.★从异步电机和同步电机的理论分析可知，同步电机的空隙应比异步电机的空气隙要，其原因是。
答大，同步电机为双边励磁
10.★一台频率为 的三相感应电动机，用在频率为 的电源上（电压不变），电动机的最大转矩为原来的，起动转矩变为原来的。
答 ，
11.感应电动机最大转矩公式 。
答
12.一台三相异步电动机的额定功率 是指额定运行时的功率，如果撤换其定子绕组，将每相匝数减小了，在电源电压不变的条件下，气隙中的每极磁通将。
答 输出的机械功率，减小
13.★若感应电动机的漏抗增大，则其起动转矩，其最大转矩。
答减小，减小
14.★铁心饱和程度增加，则感应电机的激磁电抗 。
答减小
15.深槽和双笼型感应电动机是利用原理来改善电动机的起动性能的，但其正常运行时较差。
第5章 感应电机
一、填空
1.如果感应电动机运行时转差率为 ，则电磁功率、机械功率和转子铜耗之间的比例是
=。
答
2.★当三相感应电动机定子绕组接于 的电源上作电动机运行时，定子电流的频率为，定子绕组感应电势的频率为，如转差率为 ，此时转子绕组感应电势的频率，转子电流的频率为。
答 ， ， ，
3.三相感应电动机，如使起动转矩到达最大，此时 =,转子总电阻值约为
14.★感应电动机定子绕组与转子绕组之间没有直接的联系，为什么负载增加时，定子电流和输入功率会自动增加，试说明其物理过程。从空载到满载电机主磁通有无变化？
答负载增加时，电动机转速下降，转差率上升，转子绕组切割磁力线的速度增加，转子的感应电动势、感应电流相应增加，转子磁动势也增加。由磁动势平衡关系，定子磁动势增加，定子电流上升，即从电网吸收的电功率增加。这一过程直到转子电流产生的转矩与负载转矩重新平衡为止。
第五章晶格振动习题和答案
第五章 晶格振动习题和答案1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？[解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。
在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。
每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。
原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。
2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？[解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。
3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为11)(/-=T k B e n ωω因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-Tk B eω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。
4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？[解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-HB T k eω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。
5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？[解答] 温度很高时，T k eB Tk B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为ωωω Tk e n B T k B ≈-=11)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。
【课程练习】习题解答-第五章 详细设计
第五章详细设计1.详细设计的基本任务是什么？有哪几种描述方法？详细设计的基本任务：(1)为每个模块进行详细的算法设计。
(2)为每个模块内的数据结构进行设计。
(3)对数据库进行设计，即确定数据库的物理结构。
(4)其他设计：a.代码设计b.输入/输出格式设计。
c.人机对话设计。
(5)编写详细设计说明书。
(6)评审。
描述方法（三种）：a.程序流程图b.PAD图 C.过程设计语言2.结构化程序设计基本要求要点是什么？a.采用自顶向下、逐步求精的程序设计方法b.使用三种基本程序控制结构构造程序1).用顺序方式对过程分解，确定各部分的执行顺序。
2).用选择方式对过程分解，确定某个部分的执行条件。
3).用循环方式对过程分解，确定某个部分重复的开始和结束的条件。
c.主程序员组的组织形式。
3.简述Jackson 方法的设计步骤。
Jsp 方法一般通过以下5个步骤来完成设计：a.分析并确定输入/出数据的逻辑结构，并用Jackson 结构图表示这些数据结构。
b.找出输入数据结构和输出数据结构中有对应关系的数据单元。
c.按一定的规则由输入、输出的数据结构导出程序结构。
d.列出基本操作与条件，并把它们分配到程序结构图的适当位置。
e.用伪码写出程序。
4.请使用流程图、PAD图各PDL语言描述下列程序的算法。
(1)在数据A（1）-A（10）中求最大数和次大数。
(2)输入三个正整数作为边长、判断该三条边构成的三角形是等边、等腰或一般三角形。
答：(1)1）流程图：2）PAD图3）PDL语言定义n1=n2=0输入A(1).......A(10)n1=n2=A(1)while i>10if A(i)>=n1n2=n1n1=A(i)end while5.用PAD图描述下面问题的控制结构。
有一个表A(1)、A(2)、........A(n),按递增顺序排列。
给定一个Keyw值，在表中用折半查找。
若找到将表位置i送入x,否则将零送到x,同时将Key值插入表中。
何子述信号与系统习题解答第5章拉普拉斯变换(2012新)
1 L , 1 f1 t et u (t ) s 1
j t
dt
不存在 使上式积分收敛，故信号 f (t ) e 2t 的拉普拉斯变换不存在。 （f）由拉普拉斯变换的定义式
F s
题 5.3 解： （a）有拉普拉斯变换对
2δ t δ t 2 e
j t
5
s 2
2
25
s 2 j 30 s 2 j 30 s 2 4 s 34 , 2 2 s 4s 29 s 2 j5 s 2 j5
158
第5章
习题解答
信号与系统
何子述
高等教育出版社
零极点图如图 J5.3.2 所示。 （c）有拉普拉斯变换对
零极点图如图 J5.3.1 所示。 （b）有拉普拉斯变换对 L e2t sin 5t u t
L δ t 1,
5
s 2
2
25
, 2
由拉普拉斯变换的线性，信号 f t 的拉普拉斯变换为
L f t 1
F s e2t sin 3t u t e
-
dt
e2t
0
e j3t e j3t t jt e e dt 2j
《线性代数》(第二版)智能教学系统 习题解答 第五章A组题
第五章二 次 型习 题 五〔A 〕1、写出以下二次型的矩阵〔1〕),,(321x x x f =32312221242x x x x x x -+-；〔2〕),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。
解：〔1〕因为),,(321x x x f =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202。
〔2〕因为),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101100100011110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ，所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101100100011110。
2、写出以下对称矩阵所对应的二次型：〔1〕⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211； 〔2〕⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211212112101210。
解：〔1〕设T 321),,(x x x X =，那么),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x =323121232142x x x x x x x x -+-+。
〔2〕设T 4321),,,(x x x x X =，那么),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211212112101210⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =434232312124222x x x x x x x x x x x x +++-++-。
第5章 习题解答
− e− j3ω )
(d) f4 (t) = − f1(t −1) − f1(t − 3) = − f2 (t)
所以
F4 ( jω)
=
−Sa 2 (ω )(e− jω 2
+ e − j3ω )
5-3 试写出下列信号的频谱函数, ω 0 为常数。 (1) f (t) = sin ω0t + cosω0 (t − t0 ) (2) f (t) = e−2t cosω0t ⋅ u(t)
∫0
(6) F{e−αtu(−t)} = e−αte− jωtdt = −
1
, α <0
−∞
α + jω
(7) f (−5t) ↔ 1 F (− j ω ) , f (5 − 5t) = f (−5(t −1)) ↔ 1 F (− j ω )e− jω
5
5
5
5
(8)
F{(t − 2) f (t)} =
(b) fb (t) = 2u(−t) + 2 p1 (t − 0.5) + p1 (t −1.5)
所以
Fb ( jω) = 2(πδ (ω) −
1 ) + 2Sa(ω / 2)e− j0.5ω + Sa(ω / 2)e− j1.5ω jω
(c) f (t) = 2 p1 (t − 0.5) + p1 (t −1.5) 所以 F ( jω) = 2Sa(ω / 2)e− j0.5ω + Sa(ω / 2)e− j1.5ω
所以
F3 (
jω)
=
F(
jω)e− jω
+
F1(
jω)e jω
=
F(
jω)e− jω
第五章习题解答
习 题 五1. 设V 是数域F 上向量空间，假如V 至少含有一个非零向量α，问V 中的向量是有限多还是无限多？有没有n (n ≥ 2)个向量构成的向量空间？ 解 无限多；不存在n (n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果F 上一个向量空间V 含有至少两个向量, 那么V 至少含有一个非零向量α , 因此V 中含有α , 2α , 3α , 4α , …,这无穷多个向量互不相等,因此V 中必然含有无穷多个向量).2. 设V 是数域F 上的向量空间，V 中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量α，空间解析几何中的向量β有什么区别？解 这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量.3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F 上的向量空间.（1）集合：全体n 阶实对称矩阵；F ：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法；（2）集合：实数域F 上全体二维行向量；运算： (a 1, b 1)+ (a 2, b 2)＝(a 1＋a 2, 0) k • (a 1, b 1)＝(ka 1, 0)（3）集合：实数域上全体二维行向量；运算： (a 1, b 1)+ (a 2, b 2)＝(a 1＋a 2, b 1＋b 2)k •( a 1, b 1)＝(0, 0)解 (1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一);(3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)).4. 在向量空间中，证明，(1) a (－α)=－a α=(－a ) α ,(2) (a -b )α＝a α－b α ,a ,b 是数，α是向量.证明 (1) a a a a =+-=+-))(()(αααα 0= 0ααa a -=-∴)(又 ==+-=+-a a a a a 0))(()(ααα 0ααa a -=-∴)(综上, .)()(αααa a a -=-=-(2) ααααααb a b a b a b a -=-+=-+=-)())(()(.5. 如果当k 1＝k 2＝…＝k r ＝0时，k 1α1＋k 2α2＋…＋k r αr ＝0, 那么α1, α2, …, αr 线性无关. 这种说法对吗？为什么?解 这种说法不对. 例如设α1=(2,0, -1), α2=(-1,2,3), α3=(0,4,5), 则0α1+0α2+0α3=0. 但α1, α2, α3线性相关, 因为α1+2α2－α3=0.6. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，而αr ＋1不能由α1, α2, …, αr 线性表示，那么α1, α2,…, αr , αr ＋1线性无关. 这个命题成立吗？为什么？ 解 成立. 反设α1, α2,…, αr , αr ＋1线性相关,由条件α1, α2, …, αr 线性无关知αr ＋1一定能由α1, α2, …, αr 线性表示,矛盾.7. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 这种说法对吗？为什么？解 对. 反设 αi = k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k r αr ,则 k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+(－1) αi +k i+1αi ＋1 +…+k r αr =0. 由于－1≠0, 故α1, α2, …, αr 线性相关.8. 如果向量α1, α2, …, αr 线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示. 这种说法对吗？为什么？解 不对. 设α1=(1,0) , α2=(2,0) , α3=(0,1) , 则α1, α2, α3线性相关, 但α3不能由α1, α2线性表示.9. 设α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 2, 0), α3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量，写出α1, α2, α3的一切线性组合. 并证明F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.解 k 1α1+k 2α2+k 3α3 k 1, k 2 , k 3∈F .设k 1α1+k 2α2+k 3α3=0,则有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++030220332321k k k k k k , 解得 k 1= k 2 =k 3=0.故α1, α2, α3线性无关.对任意(a,b,c)∈F 3, (a,b,c)=3213)32())322((αααc c b c ba +-+--,所以F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.10. 下列向量组是否线性相关(1) α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)；(2) α1＝(3, 1, 4), α2＝(2, 5, -1), α3＝(4, -3, 7).解 (1) 线性无关; (2) 线性无关.11. 证明，设向量α1, α2, α3线性相关，向量α2, α3, α4线性无关，问：(1) α1能否由α2, α3线性表示？说明理由；(2) α4能否由α1, α2, α3线性表示？说明理由.解 (1)因为α2, α3线性无关而α1, α2, α3线性相关,所以α1能由α2, α3线性表示;(2)反设α4能由α1, α2, α3线性表示,但α1能由α2, α3线性表示,故α4能由α2, α3线性表示,这与α2, α3, α4线性无关矛盾,所以α4不能由α1, α2, α3线性表示.12. 设α1＝ (0, 1, 2), α2＝ (3, －1, 0), α3＝(2, 1, 0)，β1＝ (1, 0, 0), β2＝ (1, 2, 0), β3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量. 证明，向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.证明 (β1, β2, β3)=(321,,εεε)A(α1, α2, α3)= (321,,εεε)B其中A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300220111, B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-002111230.易验证A , B 均可逆, 这样 (β1, β2, β3) = (α1, α2, α3 )(B -1A )(α1, α2, α3) = (β1, β2, β3)(A -1B ) ,故向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.13. 设数域F 上的向量空间V 的向量组{α1, α2, …, αs }线性相关，并且在这个向量组中任意去掉一个向量后就线性无关. 证明，如果∑=s i i ik 1α＝0 (k i ∈F )，那么或者k 1＝k 2＝…＝k s ＝0, 或k 1，k 2，…，k s 全不为零.证明 由条件∑=s i i ik 1α＝0 (k i ∈F )知k i αi = - (k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs ) （*）(1) 当k i =0时,（*)式左边等于零,故k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs =0. 由于这s -1个向量线性无关,所以k 1＝k 2＝…＝k s ＝0.(2) 当k i ≠0时, αi = -ik 1(k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs ),下证对于任意i j s j ≠∈},,2,1{ 时k j ≠0. 反设k j =0, 则αi 可由s -2个向量线性表示.这与任意s -1个向量线性无关矛盾,所以此时k 1,k 2，…，k s 全不为零.14. 设α1＝(1, 1), α2＝(2, 2), α3＝(0, 1) , α4＝(1, 0)都是F 2中的向量. 写出{α1, α2, α3, α4}的所有极大无关组.解 α1, α3 ; α1, α4 ; α2 ,α3 ; α2 ,α4 ; α3 ,α4 .15. 设A 1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2001,A 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0021, A 3＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0120,A 4＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2142∈M 2×2(F ). 求向量空间M 2×2(F )中向量组{A 1, A 2,A 3, A 4}的秩及其极大无关组. 解 秩{A 1, A 2,A 3, A 4}=3, {A 1, A 2,A 3}是向量组{A 1, A 2, A 3, A 4}的一个极大无关组.16．设由F 4中向量组｛α1=(3，1，2，5)，α2＝(1，1，1，2)，α3＝(2，0，1，3)，α4 =(1，－1，0，1)，α5 =(4，2，3，7)｝. 求此向量组的一个极大无关组.解 (α1,α2,α3,α4,α5)= (4321,,,εεεε)A , 其中A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-71325301122101141213, 则秩A =2. 又(α1,α2 )= (4321,,,εεεε)B , 其中B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25121113. 秩B =2, 故{α1,α2}线性无关, 它是向量组{α1,α2,α3,α4,α5}的一个极大无关组.17. 证明，如果向量空间V 的每一个向量都可以唯一表成V 中向量α1, α2, …, αn 的线性组合，那么dim V ＝n .证明 由条件零向量可唯一的表示成α1, α2, …, αn 的线性组合, 这说明α1, α2, …, αn 线性无关, 故可作为V 的基, 从而dim V ＝n .18. 设β1, β2，…，βn 是F 上n (>0)维向量空间V 的向量，并且V 中每个向量都可以由β1, β2，…，βn 线性表示. 证明, {β1, β2，…，βn }是V 的基.证明 由条件标准正交基{ e 1, e 2, …,e n }可由β1, β2，…，βn 线性表示, 反过来β1, β2，…，βn 又可由{ e 1, e 2, …,e n }线性表示,所以{ e 1, e 2, …,e n }和{β1, β2，…，βn }等价. 由{ e 1, e 2, …,e n }线性无关知{β1, β2，…，βn }线性无关,又因V 中每个向量都可以由β1, β2，…，βn 线性表示, 由基的定义知{β1, β2，…，βn }是V 的基.19. 复数集C 看作实数域R 上的向量空间（运算: 复数的加法，实数与复数的乘法）时，求C 的一个基和维数.解 基为{1, i }； dim C ＝2.20. 设V 是实数域R 上全体n 阶对角形矩阵构成的向量空间（运算是矩阵的加法和数与矩阵的乘法）. 求V 的一个基和维数.解 基为E ii (i =1,2, …,n )； dim V ＝n .21. 求§5.1中例9给出的向量空间的维数和一个基.解 任意一个不等于1的正实数都可作为V 的基； dim V ＝1.22. 在R 3中，求向量α＝(1, 2, 3)在基ε1＝(1, 0, 0)，ε2＝(1, 1, 0)，ε3＝(1, 1, 1)下的坐标.解 (-1,-1,3)T .23. 求R 3中由基{α1, α2, αs }到基{β1, β2, β3 }的过渡矩阵，其中α1＝(1, 0, -1), α2＝(-1, 1, 0), α3＝(1, 2, 3)，β1＝(0, 1, 1), β2＝(1, 0, 1), β3＝(1, 1, 1).解 所求过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32204230061. 24. 设{α1, α2,…, αn }是向量空间V 的一个基，求由这个基到基{α3, α4, …, αn ，α1, α2}的过渡矩阵.解 所求过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0022n I I . 25. 已知F 3中向量α关于标准基ε1＝(1, 0, 0)，ε2＝(0, 1, 0) ，ε3＝(0, 0, 1)的坐标是(1, 2, 3)，求α关于基β1＝(1, 0, 1), β2＝(0, 1, 1), β3＝(1, 1, 3)的坐标.解 (1,2,0)T .26. 判断R n 的下列子集哪些是子空间(其中R 是实数域，Z 是整数集).(1) {(a 1, 0, …, 0, a n )| a 1, a n ∈R };(2) {(a 1, a 2, …, a n )|∑==ni i a 10，a 1, a 2, …, a n ∈R };(3) {(a 1, a 2, …, a n )|a i ∈Z , i ＝1, 2, …, n };解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是(数乘不封闭).27. 设V 是一个向量空间，且V ≠{0}. 证明，V 不能表成它的两个真子空间的并集.证明 设W 1与W 2是V 的两个真子空间(1) 若21W W ⊆，则W 1⋃W 2= W 2≠V ;(2) 若21W W ⊇,则W 1⋃W 2= W 1≠V ;(3) 若21W W ⊄且12W W ⊄, 取1W ∈α但2W ∉α,2W ∈β但1W ∉β, 那么1W ∉+βα,否则将有1)(W ∈=-+βαβα,这与1W ∉β矛盾, 同理2W ∉+βα, 所以V 中有向量21W W ∉+βα,即V ≠21W W .28. 设V 是n 维向量空间，证明V 可以表示成n 个一维子空间的直和.证明 设{α1, α2,…, αn }是向量空间V 的一个基, (α1), (α2) ,…, (αn )分别是由α1, α2,…, αn 生成的向量空间, 要证(α1+α2+…+αn )= (α1)⊕ (α2)⊕…⊕ (αn )(1) 因为{α1, α2,…, αn }是V 的一个基, 所以V 中任一向量α都可由α1, α2,…, αn 线性表示, 此即(α1+α2+…+αn )= (α1)+ (α2)+…+ (αn ).(2) 对任意i ≠j ∈{1,2,…, n },下证 (αi )∩ (αj )={0}. 反设存在0 ≠∈x (αi )∩ (αj ),由∈x (αi )知存在k F ∈使得x =k αi ； 由 x ∈ (αj )知存在F l ∈使得x =l αj , 从而αi =kl αj , 即α1与α2线性相关, 矛盾, 所以 (αi )∩ (αj )={0}. 综上, (α1+α2+…+αn )= (α1)⊕ (α2)⊕…⊕ (αn ).29. 在R 3中给定两个向量组α1＝(2, -1, 1, -1), α2＝(1, 0, -1, 1),β1＝(-1, 2, -1, 0), β2＝(2, 1, -1, 1).求 (α1, α2)＋ (β1, β2) 的维数和一个基.解 取R 4的标准正交基{4321,,,εεεε},于是(α1, α2, β1, β2)= (4321,,,εεεε)A ,其中 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1011111112012112 , 秩A = 4. 故α1, α2, β1, β2线性无关, 又因为 (α1, α2)∩ (β1, β2)={0},所以dim (α1, α2) + dim (β1, β2)= 4,{ α1, α2, β1, β2}是它的基.30. 设W 1, W 2都是向量空间V 的子空间，证明下列条件是等价的：(1) W 1⊆W 2;(2) W 1∩W 2＝W 1;(3) W 1＋W 2＝W 2.证明 (i) (1)⇒(2) 因为W 1⊆W 2 , 所以W 1∩W 2＝W 1. (ii) (2)⇒(3) W 1＋W 2 ={α1+α2 | α1∈W 1, α2∈W 2} 由(2)知对任意α∈W 1, 都有α∈W 2 , 所以W 1＋W 2 ={α1+α2 | α1, α2∈W 2}=W 2 .(iii) (3)⇒(1) W 1＋W 2 ={α1,+α2 | α1∈W 1, α2∈W 2}=W 2 , 说明对任意α∈W 1, 都有α∈W 2 , 此即W 1⊆W 2 .31. 设V 是实数域R 上n 阶对称矩阵所成的α2向量空间；W 是数域R 上n 阶上三角矩阵所成的向量空间，给出V 到W 的一个同构映射.解 对∈∀A V (A =(a ij )且a ij = a ji )和B ∈W (B =(a ij ),当i>j 时, a ij =0) 定义f : V → WA B 易验证f 是V 到W 的一个同构映射.32. 设V 与W 都是数域F 上的向量空间，f 是V 到W 的一个同构映射，证明{α1, α2, …, αn }是V 的基当且仅当{f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基.证明 设{α1, α2, …, αn }是V 的基.(1) 由α1, α2, …, αn 线性无关知f (α1), f (α2), …, f (αn ) 线性无关.(2) 任取∈ηW , 由f 是同构映射知存在∈ξV 使得f (ξ)=η.但ξ=∑=n i i ia 1α, a i ∈F , f (ξ)=f (∑=n i i i a 1α)=)(1∑=n i i i f a α=η. 由η的任意性知{f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基.反过来, {f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基(1) 由f (α1), f (α2), …, f (αn )线性无关知α1, α2, …, αn 线性无关.(2) 任取∈ξV , 由f 是同构映射知存在∈ηW 使得f (ξ)=η.但η=∑=n i i i f k 1)(α= f (∑=n i i i k 1α), k i ∈F , 从而ξ=∑=ni i i k 1α, k i ∈F .由ξ的任意性知{ α1, α2, …, αn }是V 的基.补 充 题1. 设W 1, W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间. α,β是V 的两个向量，其中α∈W 2，但α∉ W 1，β∉W2. 证明：（1）对于任意k ∈F ，αβk +∉W 2；（2）至多有一个k ∈F ，使得αβk +∈W 1.证明 (1)反设存在k 1∈F 使得αβ1k +∈W 2 , 又α∈W 2 , 因此β=β+ k 1α-k 1α∈W 2 , 这与β∉W 2矛盾. 所以对于∀k ∈F ，αβk +∉W 2 .(2)若有k 1, k 2∈F , k 1≠k 2使得αβ1k +, αβ2k +∈W 1, 那么。
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思 考 题5.1 当热力学系统处于非平衡态时，温度的概念是否适用？ 答：温度的概念是指处在同一热平衡状态下的所有热力学系统，在宏观上都具有的一种共同的物理性质。
所以在非平衡态时温度的概念不适用。
5.2 内能和热量的概念有何不同？下面两种说法是否正确？ （1）物体的温度愈高，则热量愈多； （2）物体的温度愈高，则内能愈大。
答：内能指物体内所有分子作无规则运动时，分子动能和分子势能的总和。
热量是在热传导方式下物体之间所交换能量的计量。
所以（1）的说法不正确；（2）的说法正确。
5.3 什么是热力学系统的平衡态？气体在平衡态时有何特征？当气体处于平衡态时还有分子热运动吗？答：不受外界影响的条件下宏观性质处于不随时间改变的系统状态叫做平衡态．．．。
气体处于平衡态时,整个系统热平衡（各部分温度相等）；力平衡（各部分压强相等）；化学平衡和相平衡（浓度均匀，组成不随时间变化）。
分子热运动始终存在。
5.4 试说明为什么气体热容的数值可以有无穷多个？什么情况下气体的热容为零？什么情况下气体的热容是无穷大？什么情况下是正值？什么情况下是负值？答：气体热容的大小与气体升温的过程或条件有关。
不同的热力学过程，热容的值都是不同的。
因为变化过程可有无穷多个，所以气体热容的数值可以有无穷多个。
绝热过程热容为零。
等温过程热容为无穷大。
系统温度升高，从外界吸热的热力学过程气体热容为正。
系统温度升高，向外界放出热量的热力学过程气体热容为负。
5.5 有可能对物体加热而不致升高物体的温度吗？有可能不作任何热交换，而使系统的温度发生变化吗？答：气体等温膨胀过程吸收外界热量而温度不变。
存在对系统不作任何热交换而温度发生变化情况，如气体的绝热压缩过程。
5.6 讨论理想气体在下述过程中Q W E 、、∆的正负。
（1）等容降压；（2）等压压缩；（3）绝热膨胀。
答：（1）等容过程做功为零，W 为零。
等容降压时温度下降，所以内能减少，E ∆为负。
由热力学第一定律得Q 为负。
（2）压缩过程系统做负功，W 为负。
等压压缩时温度下降，所以内能减少，E ∆为负。
由热力学第一定律得Q 为负。
（3）绝热过程Q 为零。
膨胀过程系统做正功，W 为正。
由热力学第一定律得E ∆为负。
5.7 有人说，因为在循环过程中系统对外做的净功在数值等于p-V 图中封闭曲线所包围的面积，所以封闭曲线所包围的面积越大，循环效率就越高，对吗？答：不正确，因为循环效率取决于系统对外做的净功和系统由高温热源吸收的热量，只有在从高温热源吸收的热量一定的情况下，封闭曲线所包围的面积越大，即系统对外所做的净功越多，循环效率越高，如果从高温热源吸收的热量不确定，则循环效率不一定越高。
5.8 温度差对于热机的驱动是否是必须的，为什么？答：温度差对于热机的驱动是必须的，因为根据热力学第二定律，热机要不断地把吸取的热量变为有用的功，就不可避免地将一部分热量传给低温热源5.9 夏天将冰箱的门打开，让其中的冷空气出来为室内降温，这种方法可取吗？答：不可取，因为电冰箱是对低温端的利用，它在从低温端吸收热量的同时，还要向高温端放出热量，且放出的热量大于从低温端带走的热量，因此打开冰箱门不仅不能降低室温，相反，会使室温升高。
5.10 判别下列说法是否正确：（1）功可以全部转化为热，但热不能全部转化为功；（2）热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体。
答：（1）不正确。
因为气体的等温膨胀过程热就可以全部转化为功（2）不正确。
因为如果外界对气体做功，热量就能从低温物体传到高温物体。
5.11 从原理上讲如何计算在始末状态之间进行不可逆过程所引起的熵变。
答：热力学过程的始末状态之间的熵变与具体的过程无关。
对不可逆过程，可选取相同始末状态的可逆过程来计算熵变。
习 题5．1 一热力学系统由如图所示的状态,a 沿acb 过程到达状态b 时，吸收了560J 的热量，对外做功356J 。
（1）如果它沿adb 过程达到状态b 时，系统对外做功220J ，它吸收了多少热量？（2）当系统由b 状态沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统做功为282J ，试问系统是吸热还是放热？热量传递多少？解： （1）J W Q E E acb acb a b 204356560=-=-=-J W E E Q adb a b adb 424220204=+=+-=（2）JW E E Q bab a ba 486)282(204-=-+-=+-=（负号表示系统对外界放了486J 的热量）5．2 64g 氧气的温度由273K 升至323K,（1）保持体积不变；（2）保持压强不变。
在这两个过程中氧气各吸收了多少热量？各增加了多少内能？对外各做了多少功？解：（1）J T C M Q m V V 3,1008.227332331.8253264⨯=-⨯⨯⨯=∆=）（μJ Q E V 31008.2⨯==∆W=0（2）J T C M Q m p p 3,1091.227332331.82253264⨯=-⨯⨯+⨯=∆=）（μ J Q E V 31008.2⨯==∆J E Q W p 331083.010)08.291.2(⨯=⨯-=∆-=5．3 10g 氦气吸收310J 的热量时压强未发生变化，它原来的温度是300K,最后的温度是多少？解：由)(22)(1212,T T R i M T T C MQ m p p -+=-=μμ，得K RM i Q T T 3191031.8)23(4102300)2(2312=⨯⨯+⨯⨯+=++=μ习题5.1图5．4 如图所示，一定量的空气，开始时在状态A ，其压强为2.0atm ，体积为2L ，沿直线AB 变化到状态B 后，压强变为1.0atm ，体积变为3L，求在此过程中气体所做的功。
解：气体所做功等于过程曲线以下的面积 J W 2351052.110)23(10013.1)12(21⨯=⨯-⨯⨯⨯+⨯=-5．5 一定量氢气在保持压强为a P 51000.4⨯不变的情况下，温度由273K 升高到323K 时，吸收了J 4100.6⨯的热量。
（1）求氢气的量是多少摩尔？ （2）求氢气内能变化多少？解：（1）由T R i nT nC Q m p p ∆+=∆=22,，得 mol T R i Q n 3.41)273323(31.8)25(100.62)2(24=-⨯⨯+⨯⨯=∆+=（2）J T R i n E 41029.4)273323(31.8253.412⨯=-⨯⨯⨯=∆=∆5．6 标准状态下的2ｍol 氢气吸收外界500J 的热量。
（1）若体积不变，问这热量变为什么？氢的温度变为多少？（2）若温度不变，问这热量变为什么？氢的压强和体积各变为多少？解：（1）等容过程不做功，由热力学第一定律，有)()(21212T T iR T T R iM E Q V -=-=∆=μ得K iR Q T T 28531.8550027312=⨯+=+= (2)等温过程内能不变，热量变为气体对外做功。
12ln 21V V RT MV dV RT M W Q V V T T μμ===⎰代入数据，得12ln27331.82500V V ⨯⨯= 116.112=V V 35001205.010013.127331.82116.1116.1116.1m p nRT V V =⨯⨯⨯⨯=== a P V nRT p 5221091.005.027331.82⨯=⨯⨯==习题5.4图5．7 2mol 的理想气体在300K 时，从4L 等温压缩到1L ，试求这气体做的功和吸收的热量。
解：12ln 21V V RT M V dV RT M W V V T μμ==⎰J 691241ln 30031.82-=⨯⨯=J W Q T T 6912-==5．8 一定量的氮气，压强为1atm,体积为10L,温度为300K 。
（1）保持体积不变；（2）保持压强不变。
在温度都升到400K 的过程中，各需吸收多少热量？内能增加多少？对外做功多少？解：（1）T T V p i T R M i T R i M T C M Q m V V ∆=∆=∆=∆=111,222μμμJ 33510844.0100300101010013.125⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=- J Q E V 310844.0⨯==∆0=V W（2）T T V p i T R M i T R i M T C M Q m p p ∆+=∆+=∆+=∆=111,222222μμμ J 3351018.1100300101010013.127⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=- 因为内能仅是温度的函数，所以本题中两个过程的内能增量相同。
有J E 21044.8⨯=∆J E Q W p p 33310336.010844.01018.1⨯=⨯-⨯=∆-=5．9 一定质量的理想气体，其γ＝1.40，若在等压下加热，使其体积增大为原体积的m 倍为止。
试求传给气体的热量中，用于做功与增加内能的热量之比。
解：5,4.1==i 即，所以是双原子分子因γ 等压过程中V 和T 为变量，有T nR V p W p ∆=∆=T R in E ∆=∆25222==∆∆=∆∴i T R in T nR EW p5．10 有1mol 的氧气，温度为300K 时，体积为0.002ｍ3，试计算下列两种过程中氧气所做的功：（1）绝热膨胀到体积为0.023；（2）等温膨胀到体积为0.023解：（1）由绝热过程方程常量=-T V1γ，有111212T V T V --=γγK V V T T 4.119)02.0002.0(300)(14.112112=⨯==--γ JTR in E W Q 31075.3)3004.119(31.8252⨯=-⨯⨯-=∆-=∆-=（2）J V V RT M W T 3121074.5002.002.0ln 30031.81ln ⨯=⨯⨯⨯==μ5．11 一作卡诺循环的热机,高温热源的温度为400K,每一循环从此热源吸进100J 的热量并向一低温热源放出80J 的热量.求(1) 该循环的热机效率； (2) 低温热源温度. 解：（1）%2010080100121=-=-=Q Q Q η （2）对于卡诺热机，其效率为121T T -=η 所以 K K T T 320400%)201()1(12=⨯-=-=η5．12 有一卡诺制冷机,从一温度为-10℃的冷藏室中吸取热量,而向温度为20℃的物体(通常为水)放出热量,设该制冷机所耗功率为15kW ，问每分钟从冷藏室中吸取的热为多少，每分钟放热为多少？解：卡诺制冷机的制冷系数为302632632932632122=-=-==T T T W Q e 所以每分钟从冷藏室中吸收的热量为J J eW Q 6321089.760101530263⨯=⨯⨯⨯== 此时，每分钟向温度为20℃的物体放出的热量为J J W Q Q 656211079.8)1091089.7(⨯=⨯+⨯=+=5．13 一卡诺热机的低温热源温度为7℃，效率为40%，若要将其效率提高到50%，求高温热源的温度需要提高多少？解：卡诺热机的效率为：121T T -=η 可得，K K T T 46740.017273121=-+=-=η K K T T 56050.017273111211=-+=-=η所以 K K T T T 93)467560(11=-=-=∆5．14 一热机在1000K 和300K 之间工作，若（1）高温热源温度提高到1100K ；（2）低温热源温度降低到200K ，求理论上热机效率各增加多少？为了提高热机的效率，那一种方案更好？解：卡诺热机的效率为%7010003001112=-=-=T T η 第一种方案热机的效率为%73110030011121=-=-=T T η 第二种方案热机的效率为2212001180%1000T T η=-=-= 虽然第二种方案的热机效率高，但制冷过程本身就要耗能，所以应选第一种方案。