代数推理

数学中考总复习——代数综合问题汇总2011代． 数． 推． 理．问 题 精 编 1.（2011北京西城区一摸）抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=． （1）求证：1023b a+>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），请说明116x <，2112x <<．（1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴12362366b a b c c a a aa++==-=-． ………………………………………1分∵ a ＞0，c ＜0， ∴ 0c a <，0c a->．∴1023b a+>． ……………………………………………………………2分（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ，∴ 11 ,42.a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 111211()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0．………3分2(2)33a a n abc a c c c =++=+--+=-＞0．………………………4分∴ 0m n <．…………………………………………………………………5分 ② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<．（如图6所示） (6)分∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a=-，由抛物线的对称性可1222x x b a+=-，由（1）知123b a-<，∴12123x x +<．∴ 12221332x x <-<-，即116x <．…………………………………… 7分2.（2011北京西城区二模） 原题请见试卷解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分 （2）2c a．……………………………………………………………………………4分（3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数． 理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2c a，B (2,0)两点． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2c a＜0＜2，即点A 在点B 左侧．…………………………………………………………………………5分 设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +． ∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数． ∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5） ∴ A M B x x x <<，即22c m a<<． ∴5572c m a+<+<，即572N c x a+<<．以下判断52c a+与B x 的大小关系：∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0， ∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x aaaaa+-+-+-=+-===>．∴B x ac >+52．∴ 52N B c x x a>+>．…………………………………………………………6分∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴B N y y >，即0y >.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分3.（2008天津市中考） 已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ．∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ················································ 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31． ······································· 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ．此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ································· 4分 ②当31<c 时，11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，cc y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤． ··············································································· 6分（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ············································································································· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方．······························ 8分 又该抛物线的对称轴ab x 3-=，由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2， ∴32331<-<ab ．又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象，可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． ············································10分4. （2010天津市中考）在平面直角坐标系中，矩形O A C B 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y轴的正半轴上，3O A =，4O B =，D 为边OB 的中点.（Ⅰ）若E 为边O A 上的一个动点，当△C D E 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边O A 上的两个动点，且2EF =，当四边形C D EF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.（Ⅰ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接C D '与x 轴交于点E ，连接D E .若在边O A 上任取点E '（与点E 不重合），连接C E '、D E '、D E ''. 由D E C E D E C E C D D E C E D E C E '''''''+=+>=+=+， 可知△C D E 的周长最小.∵ 在矩形O A C B 中，3O A =，4O B =，D 为O B∴ 3B C =，2D O D O '==，6D B '=. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D O E '∽Rt △D BC '，有O E D O BCD B'='.∴ 2316D O BC OE D B'⋅⨯==='.∴ 点E 的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，在C B 边上截取2C G =，连接D G '与x 轴交于点E ，在EA 上截取2EF =. ∵ GC ∥EF ，G C EF =，∴ 四边形G EFC 为平行四边形，有G E C F =. 又 D C 、EF 的长为定值，∴ 此时得到的点E 、F 使四边形C D EF 的周长最小. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D O E '∽Rt △D B G ', 有 O E D O BG D B'='.∴ ()21163D O BG D O BC CG OE D BD B''⋅⋅-⨯====''.第（25）题∴ 17233OF OE EF =+=+=.∴ 点E 的坐标为（13，0），点F 的坐标为（73，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分注意：这道题是一道典型的最值问题，在2010年顺义、2011年门头沟都考过 5（2010天津市中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .（Ⅰ）若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式. 解：（Ⅰ）当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+.∴ 抛物线顶点E 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++（0c >）．∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，． ∵ 方程220x x c -++=的两个根为11x =-，21x =+， ∴ 此时，抛物线与x轴的交点为10()A -，10()B +． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接C F ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴BF AB == 设对称轴1x =与x 轴交于点D ，则12DF AB BF =+=由EF ∥CB ，得EFD C BO ∠=∠．x∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED C O D FO B=．∴=．结合题意，解得 54c =．∴ 点54(0 )C ，，52( 0)B ，．代数作图题有一张矩形纸片ABCD ，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABC D 折叠，使点B 、D 重合，点C 落在点C '处，得折痕EF ；第二步：如图②，将五边形A E F C D '折叠，使AE 、C F '重合，得折痕DG ，再打开； 第三步：如图③，进一步折叠，使AE 、C F '均落在DG 上，点A 、C '落在点A '处，点E 、F 落在点E '处，得折痕MN 、QP .这样，就可以折出一个五边形DMNPQ .（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段 （写出一组即可）；（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ （如图③）恰好是一个正五边形，当AB a =，AD b =，D M m=时，有下列结论：①222tan18a b ab -=︒；②tan 18m =︒； ③tan 18b m a =+︒； ④3tan 182b m m =+︒.其中，正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都．填上）.解析：（Ⅰ）AD C D '=(答案不惟一，也可以是AE C F '=等)；（Ⅱ）①②③第（18）题ADC 'C B EFGADC 'CBEF 图①图② 图③C 'D FCAENPBE 'A 'M QG。