2017_2018中考数学压轴题分类练习代数计算推理专题
专题2 代数式问题-2018年中考数学压轴题精品练习(解析版)
专题2 代数式问题-2018年中考数学压轴题精品练习（解析版）一、选择题1．（2017北京市，第7题，3分）如果2210a a +-=，那么代数式242a a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的值是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．3 【答案】C ．【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对a 2+2a ﹣1=0变形即可解答本题．【解析】242a a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=2242a a a a --=2(2)(2)2a a a a a +--=a （a +2）=22a a +∵2210a a +-=，∴221a a +=，∴原式=1，故选C ．点睛：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 考点：分式的化简求值；条件求值．2．（2017四川省眉山市，第12题，3分）已知2211244m n n m +=--，则11m n-的值等于（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣1D ．14-【答案】C ．点睛：考查分式的化简求值，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0． 考点：分式的化简求值；条件求值．3．（2017四川省绵阳市，第12题，3分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则193211111a a a a ++++ 的值为（ ）A ．2120 B ．8461 C ．840589 D ．760421 【答案】C ．点睛：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 考点：规律型：图形的变化类；综合题．4．（2017临沂，第11题，3分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n 个图形中“○”的个数是78，则n 的值是（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 【答案】B ．【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n 个图形中小圆的个数，进而得出答案． 【解析】第1个图形有1个小圆； 第 2个图形有1+2=3个小圆； 第 3个图形有1+2+3=6个小圆； 第 4个图形有1+2+3+4=10个小圆；第n 个图形有1+2+3+…+n =(1)2n n +个小圆； ∵第n 个图形中“○”的个数是78，∴78=(1)2n n +，解得：n 1=12，n 2=﹣13（不合题意舍去），故选B ．点睛：此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键．考点：规律型：图形的变化类；综合题．5．（2017德州，第12题，3分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（）A．121B．362C．364D．729【答案】C．点睛：本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．考点：三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．学科@网6．（2017山东省烟台市，第7题，3分）用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（）A．3n B．6n C．3n+6D．3n+3【答案】D．【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解析】∵第一个图需棋子3+3=6；第二个图需棋子3×2+3=9；第三个图需棋子3×3+3=12；…∴第n个图需棋子3n+3枚．故选D ．点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．考点：规律型：图形的变化类．7．（2017湖北省十堰市，第9题，3分）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如123a a a ，表示123a a a =+，则1a 的最小值为（ ）A ．32B ．36C ．38D ．40 【答案】D ．【分析】由a 1=a 7+3（a 8+a 9）+a 10知要使a 1取得最小值，则a 8+a 9应尽可能的小，取a 8=2、a 9=4，根据a 5=a 8+a 9=6，则a 7、a 10中不能有6，据此对于a 7、a 8，分别取8、10、12检验可得，从而得出答案．点睛：本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a 1取得最小值的切入点是解题的关键． 考点：规律型：数字的变化类；最值问题．8．（2017重庆，第10题，4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）A．73B．81C．91D．109【答案】C．【分析】根据题意得出得出第n个图形中菱形的个数为n2+n+1；由此代入求得第⑨个图形中菱形的个数．点睛：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．考点：规律型：图形的变化类；综合题．9．（2017贵州省铜仁市，第10题，4分）观察下列关于自然数的式子：4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…根据上述规律，则第2017个式子的值是（）A．8064B．8065C．8066D．8067【答案】D．【分析】由①②③三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．【解析】4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…4n2﹣（2n﹣1）2=4n﹣1，所以第2017个式子的值是：4×2017﹣1=8067．故选D ．点睛：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 考点：规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．10．（2017贵州省黔东南州，第10题，4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a +b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a +b ）20的展开式中第三项的系数为（ ） A ．2017 B ．2016 C ．191 D ．190 【答案】D ．点睛：此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 考点：完全平方公式；规律型；综合题．11．（2016四川省雅安市）已知231a a +=，则代数式2261a a +-的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B ．【分析】直接利用已知将原式变形，进而代入代数式求出答案．【解析】∵231a a +=，∴2261a a +-=22(3)1a a +-=2×1﹣1=1．故选B ．点睛：此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 考点：代数式求值；条件求值；整体代入．12．（2016威海）若2350x y --=，则2626y x --的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．16D ．﹣16 【答案】D ．点睛：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 考点：代数式求值；整体思想．13．（2016日照）一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如： 6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；12=223⨯，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+22）×（1+3）=28； 36=2223⨯，则36的所有正约数之和（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+22）×（1+3+32）=91． 参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（ ）A ．420B ．434C ．450D ．465 【答案】D ．【分析】在类比推理中，200的所有正约数之和可按如下方法得到：根据200=3225⨯，可得200的所有正约数之和为232(1222)(155)+++++，即可得出答案．【解析】200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=3225⨯，所以200的所有正约数之和为（232(1222)(155)+++++=465．故选D ．点睛：本题属于类比推理的问题，类比推理的一般方法是：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．解决问题的关键是认真观察、仔细思考、善用联想，探寻变化规律．考点：规律型：数字的变化类．学科@网14．（2016湖南省邵阳市）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ）A ．21y n =+B ．2ny n =+ C ．12n y n +=+ D ．21n y n =++【答案】B ．点睛：此题考查了数字规律性问题．注意根据题意找到规律2ny n =+是关键． 考点：规律型：数字的变化类．15．（2016重庆，第9题，4分）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（ ）A ．43B ．45C ．51D ．53 【答案】C ．【分析】设图形n 中星星的颗数是a n （n 为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“a n =2+1(1)(6)2n n -+”，结合该规律即可得出结论． 【解析】设图形n 中星星的颗数是a n （n 为自然是），观察，发现规律：a 1=2，a 2=6=a 1+3+1，a 3=11=a 2+4+1，a 4=17=a 3+5+1，…，∴a n =2+1(1)(6)2n n -+．令n =8，则a 8=2+1(81)(86)2-+=51．故选C ． 点睛：本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n =2+1(1)(6)2n n -+”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．考点：规律型：图形的变化类．16．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（ ）A ．71B ．78C ．85D ．89 【答案】D ．【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n 个图形共有小正方形的个数为（n +1）2+n ，进而得出答案．点睛：本题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 考点：规律型：图形的变化类．17．（2015年浙江绍兴4分）下面是一位同学做的四道题：①ab b a 532=+；②6236)3(a a =；③326aa a =÷；④532a a a =⋅，其中做对的一道题的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 【答案】D.【考点】合并同类项；幂的乘方和积的乘方；同底幂乘法和除法 .18．（2015年浙江绍兴4分）化简xx x -+-1112的结果是（ ） A ．1+x B ．11+x C ．1-x D ．1-x x 【答案】A.【考点】分式的化简.【分析】通分后，约分化简：()()22111111111x x x x x x x x x +--+===+----．故选A.二、填空题19．（2017江苏省南通市，第17题，3分）已知x =m 时，多项式222x x n ++的值为﹣1，则x =﹣m 时，该多项式的值为 ． 【答案】3．【分析】根据非负数的性质，得出m =﹣1，n =0，由此即可解决问题．【解析】∵多项式222x x n ++=（x +1）2+n 2﹣1，∵（x +1）2≥0，n 2≥0，∴（x +1）2+n 2﹣1的最小值为﹣1，此时m =﹣1，n =0，∴x =﹣m 时，多项式222x x n ++的值为m 2﹣2m +n 2=3．故答案为：3． 点睛：本题考查代数式求值，非负数的性质等知识、学会整体代入的思想解决问题是解题的关键． 考点：代数式求值；条件求值．20．（2017丽水，第13题，4分）已知21a a +=，则代数式23a a --的值为 ． 【答案】2．【分析】原式后两项提取﹣1变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解析】∵21a a +=，∴原式=23()a a -+=3﹣1=2．故答案为：2．点睛：此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点：代数式求值；条件求值；整体思想．21．（2017四川省内江市，第22题，6分）若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-= ．【答案】﹣2020．点睛：本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．考点：因式分解的应用；降次法；整体思想．22．（2017四川省内江市，第24题，6分）设α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33βααβ+= ． 【答案】47．【分析】根据α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，得到α+β=3，αβ=1，根据完全平方公式得到α4+β4=47，于是得到结论．【解析】方程(1)(4)5x x +-=-可化为2310x x -+= ，∵α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，∴α+β=3，αβ=1，∴222=(+)2αβαβαβ+-=7，4422222=()2αβαβαβ++-=47，∴33βααβ+ =44αβαβ+=47，故答案为：47．点睛：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对33βααβ+进行变形． 考点：根与系数的关系；条件求值．23．（2017江苏省镇江市，第12题，2分）已知实数m 满足满足0132=+-m m ，则代数式21922++m m 的值等于 ． 【答案】9．点睛：此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出231m m =-． 考点：一元二次方程的解；条件求值．24．（2017天门，第8题，3分）若α、β为方程22510x x --=的两个实数根，则2235ααββ++的值为的值为（ ）A ．﹣13B ．12C ．14D ．15 【答案】B ．【分析】根据一元二次方程解的定义得到22510αα--=，即2251αα=+，则2235ααββ++可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=﹣12，然后利用整体代入的方法计算．【解析】∵α为22510x x --=的实数根，∴22510αα--=，即2251αα=+，∴2235ααββ++=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，∵α、β为方程22510x x --=的两个实数根，∴α+β=52，αβ=﹣12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×（﹣12）+1=12．故选B ． 点睛：本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根时，12b x x a +=-，12cx x a=．也考查了一元二次方程解的定义．考点：根与系数的关系．25．（2017山东省淄博市，第14题，4分）已知α，β是方程2340x x --=的两个实数根，则23a αβα+-的值为 ． 【答案】0．点睛：本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根时，12b x x a +=- ，12cx x a=．考点：根与系数的关系．26．（2017河北，第19题，4分）对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此{min = ；若{}22min (1),1x x -=，则x = ．【答案】2或-1．【分析】首先理解题意，进而可得min {{}22min (1),1x x -=时再分情况讨论，当x ＞0时和x ≤0时，进而可得答案．【解析】因为min { 当()221x x ->时，21x =，解得11x =（舍），21x =-； 当()221x x -<时，()211x -=，解得32x =，40x =（舍）．点睛：此题主要考查了实数的比较大小，以及二次函数的性质，关键是正确理解题意． 考点：二次函数的性质；新定义；实数大小比较；分类讨论；解一元二次方程-直接开平方法．27．（2017浙江省杭州市，第16题，4分）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t 千克，则第三天销售香蕉 千克．（用含t 的代数式表示．） 【答案】302t-． 【分析】设第三天销售香蕉x 千克，则第一天销售香蕉（50﹣t ﹣x ）千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x 即可．【解析】设第三天销售香蕉x 千克，则第一天销售香蕉（50﹣t ﹣x ）千克，根据题意，得：9（50﹣t ﹣x ）+6t +3x =270，则x =45027036t -- =302t -，故答案为：302t-．点睛：本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．考点：列代数式．学科@网28．（2017贵州省毕节市，第20题，5分）观察下列运算过程： 计算：1022221++++ ． 解：设1022221++++= S ，① ①2⨯得113222222+++= S ，②②—①得1211-=S ．所以，12222111102-=++++ ． 运用上面的计算方法计算：=++++201723331 ．【答案】2018312-．点睛：本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键． 考点：规律型：数字的变化类；综合题．29．（2017贵州省遵义市，第15题，4分）按一定规律排列的一列数依次为：23，1，87，119，1411，1713，…，按此规律，这列数中的第100个数是 ． 【答案】299201． 【分析】根据按一定规律排列的一列数依次为：23，55，87，119，1411，1713，…，可得第n 个数为3121n n -+，据此可得第100个数．【解析】按一定规律排列的一列数依次为：23，55，87，119，1411，1713，…，按此规律，第n 个数为3121n n -+，∴当n =100时，3121n n -+ =299201，即这列数中的第100个数是299201，故答案为：299201．点睛：本题考查了数字变化类问题，解决问题的关键是找出变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．考点：规律型：数字的变化类；综合题．30．（2017四川省巴中市，第19题，3分）===，…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来．=+n≥1）．(n点睛：本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并=+n≥1）．(n考点：规律型：数字的变化类；规律型．31．（2017湖北省荆州市，第14题，3分）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个点．【答案】135．点睛：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解． 考点：规律型：图形的变化类；综合题．32．（2017湖北省黄石市，第16题，3分）观察下列格式：11111222=-=⨯ 111112112232233+=-+-=⨯⨯ 1111111131122334223344++=-+-+-=⨯⨯⨯ ……请按上述规律，写出第n 个式子的计算结果（n 为正整数） ．（写出最简计算结果即可） 【答案】1nn +． 【分析】根据上述各式的规律即可求出第n 个式子的计算结果．点睛：本题考查数字规律问题，解题的关键是根据已给出的式子找出规律，本题属于基础题型． 考点：规律型：数字的变化类．33．（2017江苏省淮安市，第18题，3分）将从1开始的连续自然数按一下规律排列：…则2017在第 行． 【答案】45．【分析】通过观察可得第n 行最大一个数为n 2，由此估算2017所在的行数，进一步推算得出答案即可． 【解析】∵442=1936，452=2025，∴2017在第45行．故答案为：45．点睛：本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．考点：规律型：数字的变化类．34．（2017四川省乐山市，第15题，3分）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=n 32212121211．图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将利△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n ﹣2C n ﹣1C n 、…．假设AC =2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ．【答案】23133333()()...()()...]244444n n -=+++++++．【分析】先根据AC =2，∠B =30°，CC 1⊥AB ，求得S △ACC 1进而得到×34，=2×23()4， =2×33()4，根据规律可知=2×13()4n -，再根据S △ABC =12AC×BC =12×2×∴23133333()()...()()...]44444n n -=+++++++．故答案为：23133333()()...()()...]244444n n -=+++++++．点睛：本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．考点：规律型：图形的变化类；综合题．35．（2017四川省凉山州，第26题，5分）古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是 ．【答案】5050．点睛：本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n =1+2+…+n =(1)2n n +”． 考点：规律型：数字的变化类；综合题．36．（2017山东省威海市，第16题，3分）某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图1所示的图案，第二拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3所示的图案，第四次拼成形如图4所示的图案…按照这样的规律进行下去，第n 次拼成的图案共有地砖 块．【答案】222n n +．点睛：本题考查规律题目、解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考填空题中的压轴题． 考点：规律型：图形的变化类；综合题． 37．（2017滨州，第18题，4分）观察下列各式：2111313=-⨯，2112424=-⨯2113535=-⨯ ……请利用你所得结论，化简代数式213⨯＋224⨯＋235⨯＋…＋2(2)n n +（n ≥3且为整数），其结果为__________．【答案】2352(1)(2)n nn n +++ ．【分析】根据所列的等式找到规律2(2)n n +=112n n -+，由此计算213⨯＋224⨯＋235⨯＋…＋2(2)n n +的值．【解析】∵2111313=-⨯，2112424=-⨯，2113535=-⨯[来源：学*，… ∴2(2)n n +＝112n n -+，∴213⨯＋224⨯＋235⨯＋…＋2(2)n n + =1111111111123134512n n n n +++++-------++=11111212n n +--++=2352(1)(2)n n n n +++． 故答案为：2352(1)(2)n nn n +++．点睛：此题主要考查了数字变化类，此题在解答时，看出的是左右数据的特点是解题关键． 考点：分式的加减法；规律型；综合题．38．（2016黑龙江省绥化市）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2…，第n 个三角数记为a n ，计算a 1+a 2，a 2+a 3，a 3+a 4，…由此推算a 399+a 400=． 【答案】1.6×105或160000．点睛：本题考查的是规律发现，根据计算a 1+a 2，a 2+a 3，a 3+a 4的值可以发现规律为21(1)n n a a n ++=+，发现规律是解决本题的关键．考点：规律型：数字的变化类；规律型．39．（2016广西贵港市，第18题，3分）已知a 1=1tt+，a 2=111a -，a 3=211a -，…，a n +1=11n a -（n 为正整数，且t ≠0，1），则a 2016= （用含有t 的代数式表示）． 【答案】1t-．【分析】把a 1代入确定出a 2，把a 2代入确定出a 3，依此类推，得到一般性规律，即可确定出a 2016的值．【解析】根据题意得：a 1=1t t +，a 2=111t t -+=1+t ，a 3=111t --=1t -，4111a t=+=1t t +…，2016÷3=672，∴a 2016的值为1t -，故答案为：1t-．点睛：此题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键． 考点：规律型：数字的变化类．40．（2016四川省凉山州）若实数x满足210x --=，则221x x += ． 【答案】10．点睛：本题考查代数式求值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 考点：代数式求值；条件求值．学科@网41．（2016四川省广安市）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了()na b +（n =1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出20162()x x-展开式中含2014x项的系数是 ．【答案】﹣4032． 【分析】首先确定2014x是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．【解析】20162()x x-展开式中含2014x项的系数，根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032．故答案为：﹣4032．点睛：本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型．考点：整式的混合运算；阅读型；规律型．42．（2016四川省绵阳市）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用i A 表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i 个数．例如：1A =1，2A =2，3A =1，4A =1，5A =3，6A =3，7A =1，则2016A = ．【答案】1953．【分析】根据杨辉三角中的已知数据，可以发现其中规律，每行的数的个数正好是这一行的行数，由题意可以判断A 2016在哪一行第几个数，从而可以解答本题．【解析】由题意可得，第n 行有n 个数，故除去前两行的总的个数为：(1)32n n +-，当n =63时，(1)32n n +-=2013，∵2013＜2016，∴A 2016是第64行第三个数，∴A 2016=636221⨯⨯=1953，故答案为：1953． 点睛：此题考查数字排列的规律，解题的关键是明确题意，发现其中的规律，计算出所求问题的答案． 考点：规律型：数字的变化类；规律型． 43．（2016广西南宁市）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第 层． 【答案】44．点睛：本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论．44．（2015·辽宁营口）如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A 1、A 2、A 3、…、A n -1为OA 的n 等分点，B 1、B 2、B 3、…、B n -1为CB 的n 等分点，连接A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、…、A n -1B n -1，分别交21y x n=（0x ≥）于点C 1、C 2、C 3、…、C n -1，当252525258B C C A =时，则n = ．【答案】75.【考点】二次函数的性质；规律题45．（2015·黑龙江绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出a +b +c =__________.【答案】110【考点】规律题；代数式的应用46．（2015·湖南常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1。
7.21代数与几何综合压轴题(第3部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第七部分专题拓展7.21 代数与几何综合压轴题【一】知识点清单【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年内蒙古鄂尔多斯市-第10题-3分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为直线PO与⊙A 相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂径定理．【思路分析】作辅助线，构建相似三角形，先证明AQ⊥MN，AO⊥CD，证明∠AOQ∽△POG，得，代入可得S＝，是反比例函数，可得选项C、D不正确；根据特殊值t＝2时，此时，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，可得结论．【解答过程】解：连接AO，并延长交直线CD于G，连接AQ，∵Q是MN的中点．∴AQ⊥MN，∵A的坐标为（﹣4，﹣4），∴直线AO：y＝x，AO＝4，∵直线CD：y＝﹣x+4，∴AO⊥CD，∴∠AQO＝∠OGP＝90°，∵∠AOQ＝∠POG，∴∠AOQ∽△POG，∴，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴OC＝OD＝4，∴OG＝CD＝2，∵OP＝t，OQ＝S，∴，S＝，故选项C、D不正确；当OP＝2时，即S＝OQ＝4，t＝2，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，故选项B不正确；故选：A．【总结归纳】本题考查了圆和函数的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系、一次函数和反比例函数的性质等是解决问题的关键；运用相似三角形的判定与性质和勾股定理是解决几何计算常用的方法；对于综合题一般采用各个击破的方式解决．2．（2018年广西桂林市-第12题-3分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．114b-≤≤B．514b-≤≤C．9142b-≤≤D．914b-≤≤【知识考点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出=，设PA=x，则NA=PN﹣PA=3﹣x，设PB=y，代入整理得到y=3x﹣x2=﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质以及≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．【解答过程】解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．在△PAB与△NCA中，，∴△PAB∽△NCA，∴=，设PA=x，则NA=PN﹣PA=3﹣x，设PB=y，∴=，∴y=3x﹣x2=﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，≤x≤3，∴x=时，y有最大值，此时b=1﹣=﹣，x=3时，y有最小值0，此时b=1，∴b的取值范围是﹣≤b≤1．故选：B．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．3．（2018年江苏省苏州市-第10题-3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数kyx=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=34，则k的值为（）A．3 B．C．6 D．12【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；解直角三角形．【思路分析】由tan∠AOD==可设AD=3a、OA=4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．【解答过程】解：∵tan∠AOD==，∴设AD=3a、OA=4a，则BC=AD=3a，点D坐标为（4a，3a），∵CE=2BE，∴BE=BC=a，∵AB=4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数y=经过点D、E，∴k=12a2=（4+4a）a，解得：a=或a=0（舍），则k=12×=3，故选：A．【总结归纳】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．4．（2018年辽宁省葫芦岛市-第10题-3分）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P 从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，分0≤x≤6、6≤x≤8及8≤x≤14三种情况找出y关于x的函数关系式，对照四个选项即可得出结论．【解答过程】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8．当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260．故选：B．【总结归纳】本题考查了动点问题的函数图象以及勾股定理，分0≤x≤6、6≤x≤8及8≤x≤14三种情况找出y关于x的函数关系式是解题的关键．二、填空题1．（2018年江苏省淮安市-第16题-3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是．【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【思路分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．【解答过程】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，∴∠D1OA1=45°，∴D1A1=OA1=1，∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1，由勾股定理得，OD1=，D1A2=，∴A2B2=A2O=，∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1，同理，A3D3=OA3=，∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n的面积=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．【总结归纳】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．2．（2018年辽宁省锦州市-第16题-3分）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△AOB的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形A2017B2017C2017A2018的周长为．【知识考点】规律型：图形的变化类；规律型：点的坐标；线段垂直平分线的性质．【思路分析】从特殊到一般探究规律后即可解决问题；【解答过程】解：由题意：正方形ABCA1的边长为，正方形A1B1C1A2的边长为+1，正方形A2B2C2A3…的边长为（+1）（1+），正方形A3B3C3A4的边长为（+1）（1+）2，由此规律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的边长为（+1）（1+）2016．∴正方形A2017B2017C2017A2018的周长为4•（+1）（1+）2016=4•（）2016•（1+）2017．故答案为4•（）2016•（1+）2017．【总结归纳】本题考查规律型问题、解直角三角形、点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．3．（2018年山东省潍坊市-第17题-3分）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则20192018A B的长是．【知识考点】弧长的计算；规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．【解答过程】解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．【总结归纳】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．4．（2018年山东省济宁市-第15题-3分）如图，点A是反比例函数4yx=（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是．【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】先用三角形BOC的面积得出k=①，再判断出△BOC∽△BDA，得出a2k+ab=4②，联立①②求出ab，即可得出结论．【解答过程】解：设A（a，）（a＞0），∴AD=，OD=a，∵直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，∴C（0，b），B（﹣，0），∵△BOC的面积是4，∴S△BOC=OB×OC=××b=4，∴b2=8k，∴k=①∴AD⊥x轴，∴OC∥AD，∴△BOC∽△BDA，∴，∴，∴a2k+ab=4②，联立①②得，ab=﹣4﹣4（舍）或ab=4﹣4，∴S△DOC=OD•OC=ab=2﹣2故答案为2﹣2．【总结归纳】此题主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出a2k+ab=4是解本题的关键．5．（2018年四川省南充市-第16题-3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（32-，y1），（12-，y2），（12，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；④当1na=-时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确结论是（填写序号）．【知识考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】利用二次函数的性质一一判断即可；【解答过程】解：∵﹣＜，a＞0，∴a＞﹣b，∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误，若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，∴ax2+bx+c﹣t=0有实数解要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c﹣t≤c﹣n；故③错误，设抛物线的对称轴交x轴于H．∵=﹣，∴b2﹣4ac=4，∴x==，∴|x1﹣x2|=，∴AB=2PH，∵BH=AH，∴PH=BH=AH，∴△PAB是直角三角形，∵PA=PB，∴△PAB是等腰直角三角形．故答案为②④．【总结归纳】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．（2018年黑龙江省齐齐哈尔市-第17题-3分）在平面直角坐标系中，点A1）在射线OM上，点B3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依次规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为．【知识考点】规律型：点的坐标．【思路分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可【解答过程】解：由已知可知点A、A1、A2、A3……A2018各点在正比例函数y=的图象上点B、B1、B2、B3……B2018各点在正比例函数y=的图象上两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为：①由已知，Rt△A1B1A2，…，到Rt△B2017A2018B2018都有一个锐角为30°∴当A（B）点横坐标为时，由①AB=2，则BA1=2，则点A1横坐标为，B1点纵坐标为9=32当A1（B1）点横坐标为3时，由①A1B1=6，则B1A2=6，则点A2横坐标为，B2点纵坐标为27=33当A2（B2）点横坐标为9时，由①A2B2=18，则B2A3=18，则点A3横坐标为，B3点纵坐标为81=34依稀类推点B2018的纵坐标为32019故答案为：32019【总结归纳】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了含有特殊角的直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合．7．（2018年黑龙江省大庆市-第18题-3分）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为．【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与几何变换；直线与圆的位置关系．【思路分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答过程】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．【总结归纳】此题主要考查直线与圆的关系，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答．三、解答题1．（2018年内蒙古鄂尔多斯市-第23题-11分）如图①，直线132y x=-与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．求出直线AD使得解析式，构建方程组确定两点坐标即可．（3）设M（m，m﹣3），则N（m+2，m﹣2），可得P（m，m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，推出PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．【解答过程】解：（1）由题意C（0，﹣3），B（6，0），把C（0，﹣3），B（6，0）代入y＝+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，A（﹣2，0），∴直线AD的解析式为y＝x+1，由，解得或，∴D（8，5）．∵直线AD交y轴于E（0，1），点E关于点C的对称点E′（0，﹣7），∴过点E′平行BC的直线的解析式为y＝x﹣7，由，方程组无解，∴在直线BC的下方不存在满足条件的点D．∴满足条件的点D（8，5）．（3）设M（m，m﹣3），则N（m+2，m﹣2），∴P（m，m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|，解得：m＝2或2±2，∴满足条件的点M的坐标为（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）．【总结归纳】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．（2018年广西桂林市-第26题-12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；（2）点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE=11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据线段垂直平分线的性质，可得M在线段的垂直平分线上，根据勾股定理，可得答案；（3）根据相似三角形的判定与性质，可得F点坐标，根据解方程组，可得D点坐标，根据正切值，可得tan∠ABE=2，①根据待定系数法，可得BM，根据解方程组，可得E点坐标；②根据正切值，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答过程】解：（1）将A，B的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线y的函数表达式y=﹣2x2﹣4x+6，当x=0时，y=6，即C（0，6）；（2）由MA=MB=MC，得M点在AB的垂直平分线上，M在AC的垂直平分线上，设M（﹣1，x），MA=MC，得（﹣1+2）2+x2=（x﹣6）2+（﹣1﹣0）2，解得x=∴若MA=MB=MC，点M的坐标为（﹣1，）；（3）①过点A作DA⊥AC交y轴于点F，交CB的延长线于点D，如图1，，∵∠ACO+∠CAO=90°，∠DAO+∠CAO=90°，∠ACO+∠AFO=90°∴∠DAO=∠ACO，∠CAO=AFO∴△AOF∽△COA∴=∴AO2=OC×OF∵OA=3，OC=6∴OF==∴∵A（﹣6，0），F（0，﹣）∴直线AF的解析式为：，∵B（1，0），（0，6），∴直线BC的解析式为：y=﹣6x+6∴，解得∴∴∴tan∠ACB=∵4tan∠ABE=11tan∠ACB∴tan∠ABE=2过点A作AM⊥x轴，连接BM交抛物线于点E∵AB=4，tan∠ABE=2∴AM=8∴M（﹣3，8），∵B（1，0），（﹣3，8）∴直线BM的解析式为：y=﹣2x+2，联立BM与抛物线，得∴，解得x=﹣2或x=1（舍去）∴y=6∴E（﹣2，6）②当点E在x轴下方时，如图2，过点E作EG⊥AB，连接BE，设点E（m，﹣2m2﹣4m+6）∴tan∠ABE==2∴m=﹣4或m=1（舍去）可得E（﹣4，﹣10），综上所述：E点坐标为（﹣2，6），（﹣4，﹣10）．【总结归纳】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段垂直平分线的性质得出M在线段的垂直平分线上；解（3）①的关键是利用正切值得出M点的坐标，又利用了解方程组；解②的关键是利用正切值得出关于m的方程．3．（2018年贵州省黔东南州/黔西南州/黔南州-第26题-16分）如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线kyx过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．【知识考点】反比例函数综合题．【思路分析】（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论；（2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论；（3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；（4）先求出直线AC解析式，再求出点P，Q坐标，进而求出直线PQ解析式，联立两解析式即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OA=BC=16，∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，∴t=，此时，点Q的运动距离是×2=cm，故答案为，；（2）如图1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，∴四边形APEB是矩形，∴PE=AB=6，BE=6，∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，根据勾股定理得，PQ=6，故答案为6；（3）设运动时间为t秒时，由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10cm，∴62+（16﹣5t）2=100，∴t=或t=；（4）k的值是不会变化，理由：∵四边形AOCB是矩形，∴OC=AB=6，OA=16，∴C（6，0），A（0，16），∴直线AC的解析式为y=﹣x+16①，设运动时间为t，∴AP=3t，CQ=2t，∴OP=16﹣3t，∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），∴PQ解析式为y=x+16﹣3t②，联立①②解得，x=，y=，∴D（，），∴k=×=是定值．【总结归纳】此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，构造出直角三角形是解本题的关键．4．（2018年贵州省铜仁市-第25题-14分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P 做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x﹣2，则Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得==，再证△MBQ∽△BPQ得=，即=，解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．【解答过程】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y=kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD解析式为y=x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴当﹣m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则===，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴=，即=，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．【总结归纳】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．5．（2018年贵州省遵义市-第27题-14分）在平面直角坐标系中，二次函数25 3y ax x c=++的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线123y x=-+与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．【解答过程】解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：，即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，联立一次函数解析式得：，消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，解得：x=0或x=3，则E（3，1）；（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣x2+x+20=0时，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴=，即=，解得：OF=，则F坐标为（0，﹣）．【总结归纳】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．6．（2018年湖北省襄阳市-第25题-13分）直线332y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，顶点为D 的抛物线23234y x mx m =-+-经过点A ，交x 轴于另一点C ，连接BD ，AD ，CD ，如图所示． （1）直接写出抛物线的解析式和点A ，C ，D 的坐标；（2）动点P 在BD 上以每秒2个单位长的速度由点B 向点D 运动，同时动点Q 在CA 上以每秒3个单位长的速度由点C 向点A 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．PQ 交线段AD 于点E ． ①当∠DPE=∠CAD 时，求t 的值；②过点E 作EM ⊥BD ，垂足为点M ，过点P 作PN ⊥BD 交线段AB 或AD 于点N ，当PN=EM 时，求t 的值．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先由直线解析式求得点A 、B 坐标，将点A 坐标代入抛物线解析式求得m 的值，从而得出答案；（2）①由（1）知BD=AC 、BD ∥OC ，根据AB=AD=证四边形ABPQ 是平行四边形得AQ=BP ，即2t=4﹣3t ，解之即可；②分点N 在AB 上和点N 在AD 上两种情况分别求解． 【解答过程】解：（1）在y=﹣x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=2，∴点A （2，0）、点B （0，3），将点A （2，0）代入抛物线解析式，得：﹣×4+4m ﹣3m=0，解得：m=3，所以抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣9，∵y=﹣x 2+6x ﹣9=﹣（x ﹣4）2+3，∴点D （4，3），对称轴为x=4， ∴点C 坐标为（6，0）； （2）如图1，由（1）知BD=AC=4，根据0≤3t≤4，得：0≤t≤，①∵B（0，3）、D（4，3），∴BD∥OC，∴∠CAD=∠ADB，∵∠DPE=∠CAD，∴∠DPE=∠ADB，∵AB==、AD==，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠DPE=∠ABD，∴PQ∥AB，∴四边形ABPQ是平行四边形，∴AQ=BP，即2t=4﹣3t，解得：t=，即当∠DPE=∠CAD时，t=秒；②（Ⅰ）当点N在AB上时，0≤2t≤2，即0≤t≤1，连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，∵PN⊥BD、EM⊥BD，BD∥OC，PN=EM，∴OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NE∥FQ，∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t，∵点N在直线y=﹣x+3上，∴点N的坐标为（2t，﹣3t+3），∴PN=PF﹣NF=3﹣（﹣3t+3）=3t，∵NE∥FQ，∴△PNE∽△PFQ，∴=，∴FH=NE=•FQ=×（6﹣5t）=6t﹣5t2，∵A（2，0）、D（4，3），∴直线AD 解析式为y=x ﹣3，∵点E 在直线y=x ﹣3上，∴点E 的坐标为（4﹣2t ，﹣3t+3）， ∵OH=OF+FH ， ∴4﹣2t=2t+6t ﹣5t 2， 解得：t=1+＞1（舍）或t=1﹣；（Ⅱ）当点N 在AD 上时，2＜2t≤4，即1＜t≤，∵PN=EM ，∴点E 、N 重合，此时PQ ⊥BD ， ∴BP=OQ ， ∴2t=6﹣3t ， 解得：t=，综上所述，当PN=EM 时，t=（1﹣）秒或t=秒．【总结归纳】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．7．（2018年湖北省咸宁市-第24题-12分）如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．抛物线238y x bx c =-++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ．设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的数关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值；（3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接OD 、CD ，设△ODC 外接圆的圆心为M ，当sin ∠ODC 的值最大时，求点M 的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）根据直线解析式求得点A 、B 的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得； （2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E ，据此知△PEQ ∽△OBQ ，根据对应边成比例得y=PE ，由P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3）得PE=﹣m2+m，结合y=PE可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；（3）设CO的垂直平分线与CO交于点N，知点M在CO的垂直平分线上，连接OM、CM、DM，根据∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN==，当MD取最小值时，sin∠ODC最大，据此进一步求解可得．【解答过程】解：（1）在y=﹣x+3种，令y=0得x=4，令x=0得y=3，∴点A（4，0）、B（0，3），把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，则△PEQ∽△OBQ，∴=，∵=y、OB=3，∴y=PE，∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），则PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜3，∴当m=2时，y最大值=，∴PQ与OQ的比值的最大值为；（3）由抛物线y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），对称轴为直线x=1，∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上，设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，∴sin∠ODC=sin∠OMN==，又MO=MD，∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，MN==，∴点M（﹣1，﹣），根据对称性，另一点（﹣1，）也符合题意；综上所述，点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）．【总结归纳】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质、三角形的外心、圆的有关性质等知识点．8．（2018年湖南省娄底市-第26题-10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD 的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．【解答过程】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．。
2018年中考数学压轴题100题精选
2018年中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。
2018年中考数学总复习—常考压轴题专题汇总(共10个类型)
4. （浙江舟山 ) △ABC 中，∠ A=∠B=30°， AB= 2 3 ．把 △ABC 放在平面直角坐标系
中，使 AB 的中点位于坐标原点 O（如图），△ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转． （ 1）当点 B 在第一象限，纵坐标是 6 时，求点 B 的横坐标；
2
（ 2）如果抛物线 y ax2 bx c (a≠ 0的) 对称轴经过点 C，请你探究：
关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
（ 3）在同一平面直角坐标系中， 两条直线 x=m，x=n 分别与抛物线交于点 E，G， 与 (2)中的函数图象交于点 F，H．问四边形 EFHG 能否为平行四边形 ? 若能，求 m，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．
备用图
3. (江苏镇江 )在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 过点 A(1，0)且与 y 轴平行，直线 l2 过 点 B(0， 2)且与 x 轴平行，直线 l1 与 l2 相交于点 P．点 E 为直线 l2 上一点，反比例 函数 y k (k>0)的图象过点 E 且与直线 l1 相交于点 F． x （ 1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值； （ 2）连接 OE、OF、EF．若 k>2，且 △OEF 的面积为 △ PEF 的面积 2 倍，求点 E 的坐标； （ 3）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与 △PEF 全等？若存在，求 E 点坐标；若不存在，请说明理由．
Q 的坐标；若不存在，说明理由； （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点
R，使△ RPM 与△ RMB
的面积相等，若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由．
y
P
C M
A O
2017-2018--中考压轴题汇编--1.2因动点产生的等腰三角形问题
2017-2018--中考压轴题汇编--1.2因动点产生的等腰三角形问题D例2 2017年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1a(,)16两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB ＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图例4 2017年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例5 2017年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例6 2017年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图11.2因动点产生的等腰三角形问题答案例1 2017年重庆市中考第25题如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC ＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E 作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，△FAE与△FDH保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状．思路点拨1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝23，所以AB＝43．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝3，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝43，由勾股定理，得BD＝213．（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝1AD．在Rt△ADH中，2DH＝1AD．所以AE＝DH．2因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．图3 图4 图5（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB 的中点．因此FM＝1AD，△ACM是等边三角形．2又因为AE＝1AD，所以FM＝EA．2又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF 是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6 图7 如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8 图9 图10 图11例2 2017年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1a(,)16两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在三种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在三种情况，其中MA ＝MN 和NA ＝NM 两种情况时，点P 的纵坐标是相等的．满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0． 将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-=+＞214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PMPA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4．所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23． 此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． ③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为423+．图4图5考点伸展 如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知B (0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-+=+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB ＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF ＝DP 的情况．请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN 保持相似．观察△PDF ，可以看到，P 、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF ＝DP 的情况．思路点拨1．第（2）题BP ＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ ．满分解答（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254EC =． （2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．因此△PDM ∽△QDN ． 所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．图 2 图 3图4①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ．因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ=，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5图6考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解25BP ．6例4 2017年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC 的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA 的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PH=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．BO CO所以点P的坐标为(1, 2)．2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例5 2017年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC=所以点B的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)--⨯-．解得3--，232(6)aa=．所以抛物线的解析式为23323=--=-+．y x x x x(4)（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y=±．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以22++=．解得1223y4(23)16==-．y y③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以2222++=+．解得23y=-．y y4(23)2综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3 考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)y x x x =--=--+，得抛物线的顶点为23(2,)D ．因此23tan DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例6 2017年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120tt -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图 2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况．此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中，3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQA AP∠=．因此2cos AQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．。
7.21代数与几何综合压轴题(第1部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第七部分专题拓展7.21 代数与几何综合压轴题【一】知识点清单【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年重庆市A卷-第11题-4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数kyx（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（）A．54B．154C．4 D．5【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．【思路分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求k．【解答过程】解：设AC与BD、x轴分别交于点E、F由已知，A、B横坐标分别为1，4∴BE=3∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线∴S菱形ABCD=4×AE•BE=∴AE=设点B 的坐标为（4，y ），则A 点坐标为（1，y+）∵点A 、B 同在y=图象上∴4y=1•（y+）∴y=∴B 点坐标为（4，） ∴k=5 故选：D ．【总结归纳】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与k 之间的关系．2．（2018年河南省-第10题-3分）如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ）A B ．2 C ．52D ． 【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】通过分析图象，点F 从点A 到D 用as ，此时，△FBC 的面积为a ，依此可求菱形的高DE ，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE 和a ．【解答过程】解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，△FBC 的面积为acm 2． ∴AD=a ∴∴DE=2当点F 从D 到B 时，用s∴BD=Rt△DBE中，BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1，DC=aRt△DEC中，a2=22+（a﹣1）2解得a=故选：C．【总结归纳】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．3．（2018年安徽省-第10题-4分）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】当0＜x≤1时，y=2x，当1＜x≤2时，y=2，当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，由此即可判断；【解答过程】解：当0＜x≤1时，y=2x，当1＜x≤2时，y=2，当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，∴函数图象是A，故选：A．【总结归纳】本题考查动点问题函数图象、分段函数等知识，解题的关键是理解题意，学会构建函数关系式解决问题，属于中考常考题型．4．（2018年广东省-第10题-3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．【解答过程】解：分三种情况：①当P在AB边上时，如图1，设菱形的高为h，y=AP•h，∵AP随x的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，故选项C不正确；②当P在边BC上时，如图2，y=AD•h，AD和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y=PD•h，∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确；故选：B．【总结归纳】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．二、填空题1．（2018年海南省-第18题-4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C 的坐标为．【知识考点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理．【思路分析】过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，由勾股定理可求得MF的长，从而得出OE的长，然后写出点C的坐标．【解答过程】解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），∴CD∥OA，CD=OB=16，过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，∵A（20，0），∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=10﹣8=2．连接MC，则MC=OA=10，∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF==6∴点C的坐标为（2，6）故答案为：（2，6）．【总结归纳】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形是解题关键．三、解答题1．（2018年北京市-第28题-7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答过程】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=1；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）=1知此时t=﹣4；②当⊙T在△ABC内部时，当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）=1，知此时t=0；当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）=1知T3M=2，∵AB=BC=8、∠ABC=90°，∴∠C=∠T3DM=45°，则T3D===2，∴t=4﹣2，故此时0≤t≤4﹣2；③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）=1知T4N=2，∵∠T4DC=∠C=45°，∴T4D===2，∴t=4+2；综上，t=﹣4或0≤t≤4﹣2或t=4+2．【总结归纳】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．2．（2018年天津市-第25题-10分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（Ⅰ）将点A坐标代入解析式求得m的值即可得；（Ⅱ）先求出顶点P的坐标（﹣，﹣），根据∠AOP=45°知点P在第四象限且PQ=OQ，列出关于m的方程，解之可得；（Ⅲ）由y=x2+mx﹣2m=x2+m（x﹣2）知H（2，4），过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，证△ADE≌△HAG得DE=AG=1、AE=HG=4，据此知点D的坐标为（﹣3，1）或（5，﹣1），再求出直线DH的解析式，将点P的坐标代入求得m的值即可得出答案．【解答过程】解：（Ⅰ）∵抛物线y=x2+mx﹣2m经过点A（1，0），∴0=1+m﹣2m，解得：m=1，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2，∵y=x2+x﹣2=（x+）2﹣，∴顶点P的坐标为（﹣，﹣）；（Ⅱ）抛物线y=x2+mx﹣2m的顶点P的坐标为（﹣，﹣），由点A（1，0）在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，∠AOP=45°知点P在第四象限，如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠POQ=∠OPQ=45°，可知PQ=OQ，即=﹣，解得：m1=0，m2=﹣10，当m=0时，点P不在第四象限，舍去；∴m=﹣10，∴抛物线的解析式为y=x2﹣10x+20；（Ⅲ）由y=x2+mx﹣2m=x2+m（x﹣2）可知当x=2时，无论m取何值时y都等于﹣4，∴点H的坐标为（2，4），过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，则∠DEA=∠AGH=90°，∵∠DAH=90°，∠AHD=45°，∴∠ADH=45°，∴AH=AD，∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°，∴∠DAE=∠AHG，∴△ADE≌△HAG，∴DE=AG=1、AE=HG=4，则点D的坐标为（﹣3，1）或（5，﹣1）；①当点D的坐标为（﹣3，1）时，可得直线DH的解析式为y=x+，∵点P（﹣，﹣）在直线y=x+上，∴﹣=×（﹣）+，解得：m1=﹣4、m2=﹣，当m=﹣4时，点P与点H重合，不符合题意，∴m=﹣；②当点D的坐标为（5，﹣1）时，可得直线DH的解析式为y=﹣x+，∵点P（﹣，﹣）在直线y=﹣x+上，∴﹣=﹣×（﹣）+，解得：m1=﹣4（舍），m2=﹣，综上，m=﹣或m=﹣，则抛物线的解析式为y=x2﹣x+或y=x2﹣x+．【总结归纳】本题主要考查二次函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．3．（2018年重庆市A卷-第26题-12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x 上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+12FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+12FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）求出A、B两点坐标，即可解决问题；（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴J交BE于N．构建二次函数利用二次函数的性质求出满足条件的点P坐标，作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，因为FK=OF，推出PH+HF+FO=PH+FH+Fk=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，解直角三角形即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可；【解答过程】解：（1）由题意A（1，3），B（3，3），∴AB=2．（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴J交BE于N．∵直线BE的解析式为y=x，∴N（m，m），∴S△PEB=×2×（﹣m2+3m）=﹣m2+3m，∴当m=时，△PEB的面积最大，此时P（，），H（，3），∴PH=﹣3=，作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，∵FK=OF，。
2018年中考数学必会压轴题汇总
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕经过A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，C〔0，2〕三点．〔1〕求这条抛物线的解析式；〔2〕E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？假设存在，试求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕假设将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．2．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D〔3，﹣4〕．〔1〕求直线BD和抛物线的解析式；〔2〕在第一象限的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．〔1〕求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；〔2〕该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为〔0，﹣5〕，求此抛物线的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，假设点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？假设存在，求出点E 的坐标；假设不存在，请说明理由．4．如图，过A〔1，0〕、B〔3，0〕作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，求此时点M的横坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕假设△AOC沿CD方向平移〔点C在线段CD上，且不与点D重合〕，在平移的过程中△AOC与△OBD重叠局部的面积记为S，试求S的最大值．5．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A〔4，3〕，O〔0，0〕，B〔6，0〕．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M〔x，0〕，△PMN的面积为S．〔1〕求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为〔1，0〕时，点N的坐标；〔2〕求出S关于x的函数关系式，写出x的取值围，并求出S的最大值；〔3〕假设S：S△ANB=2：3时，求出此时N点的坐标．6．：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t〔s〕〔0＜t＜8〕．解答以下问题：〔1〕当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？〔2〕设四边形APFE的面积为y〔cm2〕，求y与t之间的函数关系式；〔3〕是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？假设存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；假设不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠O〕与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为〔-2,0〕，抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)假设点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，假设存在，求出点F的坐标；假设不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，假设以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
(2021年整理)2017_2018学年中考数学压轴题分类练习动点相似全等专题
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动点相似(全等）专题1．如图，直线23y x c=-+与x轴交于点(3,0)A,与y轴交于点B，抛物线243y x bx c=-++经过点A，B.（1)求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M(m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N,①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM∆相似，求点M的坐标;②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外)，则称M，P,N三点为“共谐点”。
请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值.2．（2017四川省眉山市）如图,抛物线22y ax bx=+-与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3,0），且M(1，83-)是抛物线上另一点．(1）求a、b的值；(2)连结AC，设点P是y轴上任一点,若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标；(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式．3．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外)，在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料,解决下列问题:在平面直角坐标系中，点M是曲线33y=x＞0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点．（1）如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是3，3），点N3,0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是(3,3），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在,请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2017年湖北省宜昌市第24题）已知抛物线2y ax bx c =++，其中20a b c =>>，且0a b c ++=。
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代数计算推理专题
1．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a ﹣b+c ＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b ）；
⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．③④⑤
C ．①②④
D ．①④⑤
2如图9，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：
①F 是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是
203；④OD =；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
3．如图，在平面直角坐标系x y O 中，已知直线y kx =（0k >）分别交反比例函数1y x =和9y x =在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作D x B ⊥轴于点D ，交1y x
=的图象于点C ，连结C A ．若C ∆AB 是等腰三角形，则k 的值是 ．
4．如图，某日的钱塘江观测信息如下：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x （千米）与时间t （分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点)12,0(A ，点B 坐标为)0,(m ，曲线BC 可用二次函数：s=21125
t bt c ++，（c b ,是常数）刻画. （1）求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以48.0千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为48.0千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度)30(125
20-+=t v v ，0v 是加速前的速度）. 5．已知函数y kx b =+，k y x =
，k 、b 为整数且1bk =. (1)讨论b,k 的取值.
(2)分别画出两种函数的所有图象.(不需列表)
(3)求y kx b =+与k y x =
的交点个数.
6． 如图，已知抛物线285
y ax x c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于C 点，且(2,0),(0,4)A C -，直线1:42l y x =--与x 轴交于D 点，点P 是抛物线285
y ax x c =++上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交直线l 于点F .
（1）试求该抛物线的表达式；
（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；
（3）如图（2），过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC ，
①求证：ACD ∆是直角三角形；
②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点,,P C H 为顶点的三角形与ACD ∆相似？
7．以菱形ABCD 的对角线交点O 为坐标原点，AC 所在的直线为x 轴，已知(4,0)A -，(0,2)B -，(0,4)M ，P 为折线BCD 上一动点，内行PE y ⊥轴于点E ，设点P 的纵坐标为.a
（1）求BC 边所在直线的解析式；
（2）设22
y MP OP =+，求y 关于a 的函数关系式；
（3）当OPM 为直角三角形，求点P 的坐标.
8．如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E ．矩形OABC 的边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程212320x x -+=的两个根，且OA OC >．
（1）求线段OA ，OC 的长；
（2）求证：ADE COE ∆≅∆∆，并求出线段OE 的长；
（3）直接写出点D 的坐标；
（4）若F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以点E ，C ，P ，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（已知抛物线c 1的顶点为A （﹣1，4），与y 轴的交点为D （0，3）．
（1）求c 1的解析式；
（2）若直线l 1：y =x +m 与c 1仅有唯一的交点，求m 的值；
（3）若抛物线c 1关于y 轴对称的抛物线记作c 2，平行于x 轴的直线记作l 2：y =n ．试结合图形回答：当n 为何值时，l 2与c 1和c 2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c 2与x 轴正半轴交点记作B ，试在x 轴上求点P ，使△PAB 为等腰三角形．
10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点)23
,0(A .
（1）若此抛物线经过点)21
,2(-B ，且与x 轴相交于点F E ,.
①填空：=b （用含a 的代数式表示）；
②当EF 的值最小时，求抛物线的解析式；
（2）若21
=a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为3时，求b 的值.。