2019-2020年中考数学专题突破训练相似三角形含考点分类汇编详解
2019-2020年中考数学专题突破训练相似三角形含考点分类汇编详解 一、选择题(每小题3分，共27分)
1．(2017·兰州)已知2x ＝3y(y>0)，则下面结论成立的是( A ) A .x y ＝32 B .x 3＝2y C .x y ＝23 D .x 2＝y 3
2．(2017·重庆B )已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A )
A ．1∶4
B ．4∶1
C ．1∶2
D ．2∶1 3．(2017·杭州)如图，在△ABC 中，点D ，
E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( B )
A .AD A
B ＝12 B .AE E
C ＝12 C .A
D EC ＝12 D .D
E BC ＝12
第3题图
第4题图
4．(2017·恩施州)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( C )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 (导学号 58824155) 5．(2017·绥化)如图，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB 为( A )
A ．2∶3
B ．3∶2
C ．4∶5
D ．4∶9
第5题图
第6题图
6．(2017·哈尔滨)如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( C )
A .AD A
B ＝AE E
C B .AG GF ＝AE B
D C .BD AD ＝C
E AE D .AG A
F ＝AC EC
7．(2016·安徽)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( B )
A ．4
B ．4 2
C ．6
D ．4 3
第7题图
第8题图
8．(2017·张家界)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是( B )
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24 9．(2017·泰安)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，M
E ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( B )
A ．18
B .109
5
C .965
D .253
二、填空题(每小题3分，共18分)
10．(2017·长春)如图，直线a ∥b ∥c ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C
和点D ，E ，F.若AB ∶BC ＝1∶2，DE ＝3，则EF 的长为_6_.
第10题图
第11题图
11．(2017·临沂)已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝2
3，AD ＝10，则AO ＝_4_.
12．(2017·随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝_53或12
5
_时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
13．(2017·六盘水)如图，在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点 F.若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝_16
9_.(导学号
58824156)
第13题图
第14题图
14．(2017·铁岭模拟)如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A′B′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是2，则点B 的横坐标是_－2.5_.
15．(2017·杭州)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于_78_.
三、解答题(本大题2小题，共22分)
16．(11分)(2017·杭州)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.
(1)求证：△ADE ∽△ABC ；
(2)若AD ＝3，AB ＝5，求AF
AG 的值．(导学号 58824157)
解：(1)∵AG ⊥BC ，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°， ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AED ＝∠ACB. ∵∠EAD ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC ；
(2)由(1)可知：△ADE ∽△ABC ， ∴
AD AB ＝AE AC ＝35
， 由(1)可知：∠AFE ＝∠AGC ＝90°，
∴∠EAF ＝∠CAG ，∴△EAF ∽△CAG ， ∴
AF AG ＝AE AC ，∴AF AG ＝35
17．(11分)(2017·凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC 三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．
(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
(2)以原点O 为位似中心，在x 轴的上方画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2，并求出△A 2B 2C 2的面积．
解：(1)如解图所示，△A 1B 1C 1就是所求三角形；
(2)如解图所示，△A 2B 2C 2就是所求三角形，
∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)．
∴S △A 2B 2C 2＝8×10－12×6×2－12×4×8－1
2
×6×10＝28.
B 卷
1．(3分)如图，在等边△ABC 中，D 为AC 边上的一点，连接BD ，M 为BD 上一点，
且∠AMD ＝60°，AM 交BC 于E.当M 为BD 中点时，CD
AD
的值为( B )
A .23
B .5－12
C .32
D .3
5
第1题图
第2题图
2．(3分)(2017·内江)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，M 为垂足，AM ＝13AB.若四边形ABCD 的面积为15
7，则四边形AMCD 的面积是
_1_.(导学号 58824158)
3．(12分)(2017·武汉)已知四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线交于点E. (1)如图①，若∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：ED·EA ＝EC·EB ；
(2)如图②，若∠ABC ＝120°，cos ∠ADC ＝3
5，CD ＝5，AB ＝12，△CDE 的面积为6，
求四边形ABCD 的面积；
(3)如图③，另一组对边AB ，DC 的延长线相交于点F.若cos ∠ABC ＝cos ∠ADC ＝3
5，
CD ＝5，CF ＝ED ＝n ，直接写出AD 的长(用含n 的式子表示)．
图①
图②
图③
解：(1)如解图①，∵∠ADC ＝90°，∠EDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠EDC ＝90°，
图①
∵∠ABC ＝90°， ∴∠EDC ＝∠ABC ， ∵∠E ＝∠E ，
∴△EDC ∽△EBA ， ∴
ED EB ＝EC EA
， ∴ED ·EA ＝EC ·EB ； (2)S 四边形ABCD ＝75－183；
图②
(3)如解图②，作CH ⊥AD 于点H ，则CH ＝4，DH ＝3，∴tan ∠E ＝4
n ＋3，
作AG ⊥DF 于点G ，设AD ＝5a ，则DG ＝3a ，AG ＝4a ， ∴FG ＝DF －DG ＝5＋n －3a ，
∵CH ⊥AD ，AG ⊥DF ，∠E ＝∠F ，易证△AFG ∽△CEH ，∴AG FG ＝CH EH ，∴4a 5＋n －3a ＝4
n ＋3，
∴a ＝n ＋5n ＋6，∴AD ＝5a ＝5（n ＋5）
n ＋6
.
全国中考数学相似的综合中考真题分类汇总及答案
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C 两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似； （2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由； （3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围． 【答案】（1）解：如图1中， 点F在AC上，点E在BD上时，①当时，△CFE∽△CDA， ∴ = ， ∴t= ， ②当时，即 = ， ∴t=2， 当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似， 综上所述，t= s或2s时，△EFC和△ACD相似． （2）解：不存在． 理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．
∵CF=5t．BE=4t， ∴CH=CF?cosC=4t， ∴BE=CH， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC， ∴DE=DH， ∵DN∥FH， ∴ =1， ∴EN=FN， ∴S△END=S△FND， ∴△EFD被 AD分得的两部分面积相等， 同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等， ∴不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5． （3）解：①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°． 由 =cosC= ，可得 = ， ∴t= ， ∴0≤t＜时，⊙O与线段AC只有一个交点． ②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t= ．
2019中考数学几何证明专题试卷精选汇编(有解析答案)
几何证明 东城区 19.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D.BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F.求 证：AE=AF. 19.证明：∵∠BAC=90°， ∴∠FBA+∠AFB=90°.-------------------1分 ∵AD⊥BC， ∴∠DBE+∠DEB=90°．----------------2分 ∵BE平分∠ABC, ∴∠DBE=∠FBA.-------------------3分 ∴∠AFB=∠DEB.-------------------4分 ∵∠DEB=∠FEA， ∴∠AFB=∠FEA. ∴AE=AF.-------------------5分 西城区 19．如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，AB的中点为E，AE ∴AE=AB A E C B D 【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵BD⊥AD于点D， ∴∠ADB=90?， ∴△ABD为直角三角形． ∵AB的中点为E， AB ，DE=， 22 ∴DE=AE， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴DE∥AC． （2）△ADE． A 12 E C 3 B D 海淀区 19．如图，△ABC中，∠ACB=90?，D为AB的中点，连接C D，过点B作CD的平行线EF，求证：BC平分∠ABF． 2 A D C E B F 19.证明：∵∠ACB=90?，D为AB的中点， 1 ∴CD=AB=BD. 2 ∴∠ABC=∠DCB.…………… ∵DC∥EF， ∴∠CBF=∠DCB. ∴∠CBF=∠ABC. ∴BC平分∠ABF. 丰台区 19．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：DE=DF． A E F B D C 19．证明：连接AD. ∵AB＝BC，D是BC边上的中点，A 3E F 综合性问题 一、选择题 1．（2018·湖北省孝感·3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误； 记AH与CD的交点为P， 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∵， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x， 设EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴=，即=， 整理，得：2x2=（﹣1）ax， 由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点． 2．（2018·山东潍坊·3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发 第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。 ②合比性质：如果 d c b a =，那么d d c b b a ±=±。 专题13 图形的相似 1．（2019?常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 2．（2019?兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BC B'C' = A．2 B．4 3 C．3 D． 16 9 3．（2019?安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为 A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 4．（2019?杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则 A．AD AN AN AE =B． BD MN MN CE = C．DN NE BM MC =D． DN NE MC BM = 5．（2019?连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马” 应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 A．①处B．②处C．③处D．④处 6．（2019?重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是 A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2019?赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC= A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3 9．（2019?常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 A．20 B．22 C．24 D．26 10．（2019?玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有 A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ， ∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4 相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”，“A型”，“斜A ”. B B B （双垂直K型）三、“K”型 C B （三垂直K 型） A C D B C A B D 四、共享型 A B E C D A B E B B 1.在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE. A B E 1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD. A B D 2. A B P 3.如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于点M ，连结BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论：①MN ∥AB ；②1MN ＝1AC ＋1 BC ；③M N≤14AB ，其中正确结论的个数 是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 F E C B B' C' 4．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ， CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全 等三角形，并说明理由． 5. A D B 6.在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为_________. A B C D 7. 0 90A E ∠=∠=°, 1 2 EDB C ∠= ∠. (1)当AB=AC 时,①∠EBF=_________. 中 考 总 复 习 专 题 汇 总 反比例函数 【反比例函数的性质——增减性】 1．点A(2,1)在反比例函数x k y 的图象上，当1 9.如图,一次函数y=-x+b 与反比例函数x k y (x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1). (1)填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 ；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围. 10.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上,点B 的坐标为(2,3).双曲线x k y (x>0)的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE.(1)求k 的值及点E 的坐标；(2)若点F 是OC 边上一点,且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 的解析式 11．如图,一次函数y 1=k 1x+2与反比例函数x k y 22 的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2)，与y 轴交于点C 。(1)k 1= ,k 2= ；(2)根据函数图象可知,当y 1>y 2时，x 的取值范围是；(3)过点A 作AD ⊥x 轴于点D,点P 是反比例函数在第一象限的图象 上一点.设直线OP 与线段AD 交于点E,当S 四边形ODAC :S △ODE =3:1时，求点P 的坐标. 12.如图,反比例函数x k y (k ≠0,x>0)的图象与直线y=3x 相交于点C, 过直线上点A(1,3)作AB ⊥x 轴于点B,交反比例函数图象于点 D,且AB=3BD.(1)求k 的值；(2)求点C 的坐标；(3)在y 轴上确定一点M ， 使点M 到C. D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标. 河北 周建杰 分类 （2008年南京市）27．（8分）如图，已知O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =， 射线PN 与 O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发， 点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？ 以下是河南省高建国分类： （2008年巴中市）已知：如图14，抛物线2 334 y x =- +与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3 4y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积 最大，最大面积是多少？ 答 以下是湖北孔小朋分类： 21．（2008福建福州）（本题满分13分） 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达 A B Q O P N M 点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式； （3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ （2008年贵阳市）15．如图4，在126 的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A 的半径为1，B 的半径为2，要使A 与静止的B 相切，那么A 由图示位置需向右平移个单位． 以下是江西康海芯的分类: 1.（2008年郴州市）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4， E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为 F ．FE 与DC 的延长线相交于点 G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ． （2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？ 10分 辽宁省 岳伟 分类 2008年桂林市 如图，平面直角坐标系中，⊙Ａ的圆心在Ｘ轴上，半径为１，直线Ｌ为y=2x-2，若⊙Ａ沿Ｘ轴向右运动，当⊙Ａ与Ｌ有公共点时，点Ａ移动的最大距离是（ ） A B （图4） D C B A D C B A C B A C B A C B C P 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新： 1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？ 二、新知学习： 题组一: 1.例1.如图所示，在ABC ?中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ?与ABC ?相似，则AQ 的长为 2.变式一：如图所示， 在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条. 探究：如果ABC ?是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？ 题组二: 1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角 线AC 相交于点M ，则MC AM = C B C B C B 2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= . 3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三 1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合）， 2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？ 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题. A C D A C D （2019，永州）如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD （1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD 上是否存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长； （3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长； （4）若AB=m ，CD=n ，BD=l ，请问,,m n l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？ （2019?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 1.5米 ． 考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC 可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 解答： 解：∵DE∥BC， A B C D P () 25第题图 ∴△ADE∽△ACB，即=， 则 = ， ∴h=1.5m． 故答案为：1.5米． 点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． （2019，成都）如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=o ， BD BE ⊥，AD BC =. （1）求证：CE AD AC +=； （2）若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作DP PQ ⊥，交直线BE 与点Q ； i ）当点P 与A ，B 两点不重合时，求 DP PQ 的值； ii ）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程） （1）证△ABD ≌△CEB →AB=CE ； （2）如图，过Q 作QH ⊥BC 于点H ，则△ADP ∽△HPQ ，△BHQ ∽△BCE ， ∴ QH AP PH AD =， EC QH BC BH =； 2019年中考数学真题分类汇编—几何题汇总 一、选择题 1．【2019连云港市】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 A．18m2B．m2C．2D2 （第1 题）（第2题）（第3题） 2．【2019宿迁】一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ） A．105°B．100°C．75°D．60° 3．【2019宿迁】一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πB．15πC．12πD．9π 4、【2019常州】下图是某几何体的三视图,该几何体是() A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D.球 5、【2019常州】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是( ) A、线段PA B、线段PB C、线段PC D、线段PD 6．【2019镇江】一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B． C．D． 7、【2019淮安】下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是 （ ） 8．【2019泰州】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、 G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ） A ．点D B ．点E C ．点F D ．点G 9、【2019扬州】 已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n ，则满足 条件的n 的值有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10．【2019连云港市】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AB ．将矩形ABCD 对折，得 到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：① △CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝ ；④BP ＝AB ；⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A B C E D F G ···· 2020年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1.（2020年浙江杭州） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. （第24题） 2.（2020年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、 D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围． B C 第25题 3.（2020年浙江嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－1 2 x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值． 4.（2020年浙江金华）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：Array（1）C的坐标为▲； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。 相似 一.选择题 1.如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD= AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为3 1 ，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ） A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1) 3．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( ) A ． 13 B ．23 C ．34 D ．4 5 4．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若，则下列结论中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．（2015?甘肃武威,第9题3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 6.如图，在△ABC 中，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD ，连接AE ．对于下列结论：①AD=DC ；②△CBA ∽△CDE ；③= ；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ） A ． ①② B ． ①②③ C ． ①④ D ． ①②④ 7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ） A ． ∠ABP=∠C B ． ∠APB=∠ABC C ． = D ． = 10. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为l ：2，∠OCD=90°，CO=CD.若B(1，0)，则点C[中国^的坐标为( ) A.(1,2) B.(1,1) C.(2, 2) D.(2,1) 11.如图，在ABC ?中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE , 则EC 的长为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 12.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 13.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2这与三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF 的长为（ ） 2020年中考数学试题分类汇编之十一 四边形 一、选择题 1．（2020广州）如图5，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE EF +的值为（ * ）． （A ） 485 （B ）325 （C ）24 5 （D ） 12 5 【答案】C 2．（2020陕西）如图，在?ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是?ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 【解答】解：∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF ＝BC ＝4， ∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点， ∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ． 图5 O F E D C B A 3.（2020乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=?，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥ 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ） A. 9+ B. 9+ C. 7+ D. 8 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，O 是对角线BD 的中点， ∵AO∵BD ， AD=AB=4，AB∵DC ∵∵BAD=120o， ∵∵ABD=∵ADB=∵CDB=30o， ∵OE∵DC ， ∵在RtΔAOD 中，AD=4 ， AO=1 2 AD =2 ，= 在RtΔDEO 中，OE= 1 2 OD =，3=， ∵四边形AOED 的周长为 故选：B. 4.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意得AO ＝1842 ?=，BO ＝1 632?=， ∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC∵BD ， ∵∵AOB 是直角三角形， ∵AB 5==， ∵此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B ． 知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是： BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若 2019-2020 年中考数学易错题分类汇编一、数与式 例题： 4的平方根是．（ A） 2，（ B）2，（C）2，（D）2． A）1 c x6a 1 a 1 ，（D）a2x a2 例题：等式成立的是．（32 ab abc，（B）x2x，（ C）1a1bx b． a2 二、方程与不等式 ⑴字母系数 x2, 的解集是 x a ，则a的取值范围是． 例题：不等式组 a. x （A）a 2 ，（B） a 2 ，（C） a 2 ，（D） a 2 ． ⑵判别式 例题：已知一元二次方程 2 x22x3m 1 0有两个实数根 x1， x2，且满足不等式 x 1x 2 1 ，求实数的范围． x1x24 ⑶增根例题： m 为何值时，2 x m11无实数解．x x2x x1 ⑷应用背景例题：某人乘船由A地顺流而下到 B 地，然后又逆流而上到 C 地，共乘船3时，已知船在静水中的速度为8 千米 / 时，水流速度为 2 千米 / 时，若A、C两地间距离为千米，求 A 、 B 两地间的距离．小2 ⑸失根例题：解方程x( x 1) x 1 ． 三、函数 ⑴自变量 例题：函数 6x 中，自变量 x 的取值范围是 _______________．y x x2 ⑵字母系数 例题：若二次函数 y mx23x 2m m2的图像过原点，则m =______________． ⑶函数图像 例题：如果一次函数y kx b 的自变量的取值范围是2x 6 ，相应的函数值的范围是 11y 9 ，求此函数解析式． ⑷应用背景 例题：某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提 高2元，则再减少 10张床位租出．以每次这种提高 2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高 _________ 元． 四、直线型⑴ 指代不明 例题：直角三角形的两条边长分别为 3 和 6 ，则斜边上的高等于 ________． ⑵相似三角形对应性问题 例题：在△ ABC 中， AB 9 ， AC12 BC18，D为 AC 上一点， DC : AC2:3，在AB 上取点 E ，得到△ADE，若两个三角形相似，求DE 的长． ⑶等腰三角形底边问题 例题：等腰三角形的一条边为4，周长为 10，则它的面积为________． ⑷三角形高的问题 例题：等腰三角形的一边长为10，面积为 25，则该三角形的顶角等于多少度？ ⑸矩形问题 例题：有一块三角形ABC铁片，已知最长边BC =12cm，高AD =8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上，且矩形的长是 宽的 2倍，求加工成的铁片面积？ ⑹比例问题例题：若b c c a a b k ，则k =________．a b c 五、圆中易错问题 ⑴点与弦的位置关系 例题：已知 AB 是⊙ O的直径，点C在⊙ O上，过点C引直径 AB 的垂线，垂足为点 D ，点 D 分这条直径成 2 : 3两部分，如果⊙O的半径等 于 5，那么BC= ________． ⑵点与弧的位置关系 例题：PA 、 PB 是⊙ O的切线， A 、B 是切点，APB78 ，点 C 是上异于A、 B的任意一点，那么ACB________． ⑶平行弦与圆心的位置关系 5cm6cm8cm ________． ⑷相交弦与圆心的位置关系 例题：两相交圆的公共弦长为6，两圆的半径分别为 3 2 、5，则这两圆的圆心距等于2018中考数学试题分类汇编 压轴题(全)
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