全国中考数学相似的综合中考真题分类汇总及答案
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一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在△ABC中,已知AB=AC=10cm,BC=16cm,AD⊥BC于D,点E、F分别从B、C 两点同时出发,其中点E沿BC向终点C运动,速度为4cm/s;点F沿CA、AB向终点B运动,速度为5cm/s,设它们运动的时间为x(s).
(1)求x为何值时,△EFC和△ACD相似;
(2)是否存在某一时刻,使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5,若存在,求出x 的值,若不存在,请说明理由;
(3)若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点,求出相应x的取值范围.
【答案】(1)解:如图1中,
点F在AC上,点E在BD上时,①当时,△CFE∽△CDA,
∴ = ,
∴t= ,
②当时,即 = ,
∴t=2,
当点F在AB上,点E在CD上时,不存在△EFC和△ACD相似,
综上所述,t= s或2s时,△EFC和△ACD相似.
(2)解:不存在.
理由:如图2中,当点F在AC上,点E在BD上时,作FH⊥BC于H,EF交AD于N.
∵CF=5t.BE=4t,
∴CH=CF•cosC=4t,
∴BE=CH,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC,
∴DE=DH,
∵DN∥FH,
∴ =1,
∴EN=FN,
∴S△END=S△FND,
∴△EFD被 AD分得的两部分面积相等,
同法可证当点F在AB上,点E在CD上时,△EFD被 AD分得的两部分面积相等,
∴不存在某一时刻,使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3:5.
(3)解:①如图3中,当以EF为直径的⊙O经过点A时,⊙O与线段AC有两个交点,连接AE,则∠EAF=90°.
由 =cosC= ,可得 = ,
∴t= ,
∴0≤t<时,⊙O与线段AC只有一个交点.
②如图4中,当⊙O与AC相切时,满足条件,此时t= .
③如图5中,当⊙O与AB相切时,cosB= ,即 = ,解得t= .
④如图6中,⊙O经过点A时,连接AE,则∠EAF=90°.
由cosB= = ,即 = ,t= ,
∴<t≤4时,⊙O与线段AC只有一个交点.
综上所述,当⊙O与线段AC只有一个交点时,0≤t<或或或<t≤4
【解析】【分析】(1)分类讨论:根据路程等于速度乘以时间,分别表示出BE,,CE,CF的
长,①当时,△CFE∽△CDA,②当时△CEF∽△CDA,根据比例式,分别列出方程,求解t的值;当点F在AB上,点E在CD上时,不存在△EFC和△ACD相似,综上所述,即可得出答案;
(2)不存在.理由:如图2中,当点F在AC上,点E在BD上时,作FH⊥BC于H,EF交AD于N.由题意知CF=5t.BE=4t,根据余弦函数的定义由CH=CF•cosC,表示出CH的长,从而得出BE=CH,根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC,根据等量减等量差相等得出
DE=DH,根据平行线分线段成比例定理得出=1得出EN=FN,根据三角形中线的性质得出S△END=S△FND,△EFD被 AD分得的两部分面积相等,同法可证当点F在AB上,点E在CD上时,△EFD被AD分得的两部分面积相等,故不存在某一时刻,使得△EFD被AD 分得的两部分面积之比为3:5;
(3)①如图3中,当以EF为直径的⊙O经过点A时,⊙O与线段AC有两个交点,连接AE,则∠EAF=90°.根据余弦函数的定义,由,结论列出方程,求解得出t 的值,故0≤t时,⊙O与线段AC只有一个交点;②如图4中,当⊙O与AC相切时,满足条件,此时t=;③如图5中,当⊙O与AB相切时,根据余弦函数的定义,由cosB=,列出方程,求解得出t的值;④如图6中,⊙O经过点A时,连接AE,则
∠EAF=90°.由cosB=,列出方程求出t的值,故<t≤4时,⊙O与线段AC只有一个交点;综上所述,得出答案。
2.如图,已知:在Rt△ABC中,斜边AB=10,sinA= ,点P为边AB上一动点(不与A,B重合),
PQ平分∠CPB交边BC于点Q,QM⊥AB于M,QN⊥CP于N.
(1)当AP=CP时,求QP;
(2)若四边形PMQN为菱形,求CQ;
(3)探究:AP为何值时,四边形PMQN与△BPQ的面积相等?
【答案】(1)解:∵AB=10,sinA= ,
∴BC=8,
则AC= =6,
∵PA=PC.
∴∠PAC=∠PCA,
∵PQ平分∠CPB,
∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A,
∴∠BPQ=∠A,
∴PQ∥AC,
∴PQ⊥BC,又PQ平分∠CPB,
∴∠PCQ=∠PBQ,
∴PB=PC,
∴P是AB的中点,
∴PQ= AC=3
(2)解:∵四边形PMQN为菱形,
∴MQ∥PC,
∴∠APC=90°,
∴ ×AB×CP= ×AC×BC,
则PC=4.8,
由勾股定理得,PB=6.4,
∵MQ∥PC,
∴ = = = ,即 = ,
解得,CQ=
(3)解:∵PQ平分∠CPB,QM⊥AB,QN⊥CP,∴QM=QN,PM=PN,
∴S△PMQ=S△PNQ,
∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等,
∴PB=2PM,
∴QM是线段PB的垂直平分线,
∴∠B=∠BPQ,
∴∠B=∠CPQ,
∴△CPQ∽△CBP,
∴ = = ,
∴ = ,
∴CP=4× =4× =5,