2020年度最新中考~数学分类汇编---相似(超经典)
2020数学中考第33课时 相似
B. AM AN A AB AD M
C.
BC ME
BE BD
D.
BD BE
BC EM
B
ND E
C
点悟:平行线分线段成比例定理可用形象语言
来理解.如:
上 全
=
上 全
等.
【考点 5】位似图形的概念与性质
概
位似图形是指两个图形不仅 相似 ,而且对应顶 点的连线相交于一点,这个点叫做 位似中心 .
念
利用位似可以将一个图形放大或缩小.
解:∵ AC 60 3 ,BC 39 3 EC 40 2 DC 26 2
∴ AC BC EC DC
又∵ ACB ECD
∴△ABC∽△EDC
∴
AB ED
3 2
,B
D
∴ x 40.5,y 98
A
x yo
B
60
D
2698o 27
C
39 40
E
8.[2019 常州中考]若△ABC∽△ABC ,相似比为
第 33 课时 相似
【考点 1】相似图形的有关概念与性质
形状 相同
的图形,叫做相似图形.
两个边数相同的多边形,如果它们的角分
概念 别 相等 ,边 成比例 ,那么这两个多边
形叫做相似多边形.
相似比 相似多
相似多边形 对应边 的比叫相似比；全等 三角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形.
对应角 相等 ,对应边的 比相等 ；相似多
∴△ ABC∽△ A′B′C′.
5.[2019 南昌模拟]如图,下列条件中不能判定
△ACD∽△ABC 的是( C )
A. ADC ACB
A
B. B ACD
D
2020相似三角形中考试卷分类汇编
2020相似三角形中考试卷分类汇编篇一：2020初三(九年级)数学相似三角形练习题及答案初三（九年级）数学相似三角形练习题一、填空题： 1、若a?3m,m?2b，则a:b?_____。
2、已知xyz??，且3y?2z?6，则x?____,y?______。
356 _____3、在等腰Rt△ABC中，斜边长为c，斜边上的中线长为m，则m:c?_。
4、反向延长线段AB至C，使AC＝1AB，那么BC：AB＝ ____。
2 5、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则△A′B′C′的周长为厘米。
6、如图，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则 ?___???___?。
AD?___BCAB B第6题图第7题图 7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠A＝30°，则BD：BC＝____。
若BC＝6，AB＝10，则BD＝ ____，CD＝ ____。
8、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB， DM＝MP＝PA，则MN＝____，PQ A 第8题图第9题图 9、如图，四边形ADEF为菱形，且AB＝14厘米，BC＝12厘米，AC＝10厘米，那BE＝厘米。
10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为厘米。
二、选择题： 11、下面四组线段中，不能成比例的是（）A、a?3,b?6,c?2,d?4B、a?1,b?,c?,d?C、a?4,b?6,c?5,d?10D、a?2,b?5,c?,d?23 12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（） 1A、3:1 B、3:2 C、: D、1：3 22 13、已知xyz??，则下列等式成立的是（） 457 A、x?y?z7x?y1x?y?z8?? B、? C、z16x?y9x?y?z3 D、y?z?3x ?a?0,b?0?，14、已知直角三角形三边分别为a,a?b,a?2b，则a:b?（） A、1：3 B、1：4 C、2：1 D、3：1 15、△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（）篇二：2020年中考数学试卷分类汇编解析：图形的相似与位似图形的相似与位似一、选择题 1．（2020·湖北十堰）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 【考点】位似变换．【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．【解答】解：∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴ 故选D =，【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质． 2.（2020·湖北咸宁）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①BC=2；②△DOE △COB=2；③=；④△△ADE=. 其中正确的个数有（） A. 1个 B. 2个 C.3个D. 4个（第2题）【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．【分析】①DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①∵DE是△ABC的中位线，∴DE=2BC，即BC=2；故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC ∴△DOE∽△COB △DOE∴△COB ③∵DE∥BC =（BC）=(2）=4, 22故②错误；∴△ADE∽△ABC∴= △DOE∽△COB∴OB=BC ∴AB=OB，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O。
中考数学试题分类解析汇编专题38相似.doc
2019-2020 年中考数学试题分类解析汇编专题38相似一、选择题1.（重庆綦江 4 分）若相似△ ABC 与△ DEF的相似比为 1： 3，则△ ABC 与△ DEF的面积比为A、 1：3B、 1： 9C、3：1D、 1： 3【答案】 B。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】由相似△ ABC 与△ DEF 的相似比为1： 3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△ DEF的面积比为1：9。
故选 B。
2. （重庆江津 4 分）已知如图：（ 1）、（ 2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中 AB、 CD交于 0 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是A、都相似C、只有（1）相似B 、都不相似D、只有（ 2）相似【答案】 A。
【考点】相似三角形的判定，三角形内角和定理，对顶角的性质。
【分析】图（ 1）根据三角形的内角和定理，即可求得△ABC的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（ 1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知条件，即可证得OA OC，又由对顶角OD OB 相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似。
故选A。
3．（重庆潼南 4 分）若△ ABC∽△ DEF，它们的面积比为4： 1，则△ ABC与△ DEF 的相似比为A、 2： 1B、 1： 2C 、 4：1 D、 1： 4【答案】 A。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】 由△ ABC ∽△ DEF 与它们的面积比为 4： 1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ ABC 与△ DEF 的相似比为 2： 1。
故选 A 。
4. （浙江台州4 分） 若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为A ．1∶2B．1∶4C．1∶5D．1∶16【答案】A 。
【考点】 相似三角形的性质。
【分析】 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比为1∶2，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得它们的周长之比为1∶2。
中考数学相似-经典压轴题附答案解析
AM= AF，AN= AE，从而分别表示出 S△ AMN 与 S△ AEF，求出它们的比值即可得出答案。
2．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OA=1， OB=3，顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 Q．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）点 P 是抛物线的对称轴上一点，以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，且与直线 CD 相 切，求点 P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得△ DCM∽ △ BQC？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解： ∴
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．定义：如图 1，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN 和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的
三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点.
（1）已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AM=3，MN=4 求 BN 的长； （2）已知点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图 2 所示，请在 BC 上画一点 D，使 C，D 是线段 AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）； （3）如图 3，正方形 ABCD 中，M，N 分别在 BC，DC 上，且 BM≠DN，∠ MAN=45°，AM， AN 分别交 BD 于 E，F. 求证：①E、F 是线段 BD 的勾股分割点； ②△ AMN 的面积是△ AEF 面积的两倍． 【答案】（1）解：（1）①当 MN 为最大线段时， ∵ 点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，
（1）求证：BC＝CD； （2）分别延长 AB，DC 交于点 P，若 PB＝OB，CD＝
2020年中考数学试题分类汇编之10 相似三角形(试题+详细答案)
2020年中考数学试题分类汇编之10相似三角形一、选择题1．（2020成都）（3分）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．1032．（2020哈尔滨）（3分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( )A ．AE EFEC CD= B ．EF EGCD AB= C ．AF BGFD GC= D ．CG AFBC AD= 3.（2020河北）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A. 四边形NPMQB. 四边形NPMRC. 四边形NHMQD. 四边形NHMR4.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AD＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，当A ′B ′恰好经过点D 时，△B ′CD 为等腰三角形，若BB ′＝2，则AA ′＝（ ）A ．B ．2C ．D ．5.（2020无锡）如图，等边ABC ∆的边长为3，点D 在边AC 上，12AD =，线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =，有下列结论：①CP 与QD 可能相等；②ΔAQD 与BCP ∆可能相似；③四边形PCDQ 面积的最大值为；④四边形PCDQ 周长的最小值为3+．其中，正确结论的序号为（ ）A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③6.（2020重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）B. 2C. 4D.7.（2020重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心.已知OA ∶OD=1∶2， 则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D.1∶58.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b 为2米，则a 约为（ ）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米9．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．3410．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．3011．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ） A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种12．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO 的顶点A 在函数y =k x（x ＞0）的图象上，∠ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．1813．（3分）（2020•荆门）△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝2√3，D 为BC 的中点，AE =14AB ，则△EBD 的面积为（ ）A ．3√34B ．3√38C ．√34D ．√3814．（2020山西）（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）A ．图形的平移B ．图形的旋转C ．图形的轴对称D ．图形的相似15．（2020浙江温州）（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）A ．14B ．15C ．8√3D ．6√516．（2020海南）（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，若EF ＝AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40二、填空题17．（2020广州）如图7，正方形ABCD 中，△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB C ''，AB '，AC '分别交对角线BD 于点E ，F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为 * ．图7FB'E C'DCBA18.（2020河南）如图，在边长为的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，连接,,EC FD 点,G H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为__________．19.(2020苏州）.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________．20.（2020乐山）把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AFAC=_________．21.（2020无锡）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且2DB AD =，3AE EC =连接BE ，CD ，相交于点O ，则ABO ∆面积最大值为__________．22．（2020上海）（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为 7 米．23．（2020吉林）（3分）如图，AB ∥CD ∥EF ．若＝，BD ＝5，则DF ＝ 10 ．24．（2020吉林）（3分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE 的面积为．25．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点E 在AC 边上．将A ∠沿直线BE 翻折，点A 落在点A '处，连接A B '，交AC 于点F ．若A E AE '⊥，4cos 5A =，则A F BF '= 13．26．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．则下列结论中：①BF CE =； ②AEM DEM ∠=∠；③AE CE -=； ④2222DE DF DM +=；⑤若AE 平分BAC ∠，则:EF BF ； ⑥CF DM BM DE =，正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号）27．（2020山西）（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为．解：如图，过点F 作FH ⊥AC 于H ．28．（2020四川眉山）（4分）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若△ABD 的周长为26，则DE 的长为．29．（2020浙江温州）（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD ，为了估测场地大小，在笔直的河岸l 上依次取点E ，F ，N ，使AE ⊥l ，BF ⊥l ，点N ，A ，B 在同一直线上．在F 点观测A 点后，沿FN 方向走到M 点，观测C 点发现∠1＝∠2．测得EF ＝15米，FM ＝2米，MN ＝8米，∠ANE ＝45°，则场地的边AB 为 15√2 米，BC 为 20√2 米．三、解答题30．(2020杭州)（8分）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ．（1）求证：△BDE ∽△EFC ． （2）设AF FC=12，①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．31．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，=．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF ABAE AD=．⊥；（1）求证：BD EC（2）若1AB=，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EG DG-=．32．（2020成都）（4分）如图，在矩形ABCD中，4BC=，E，F分别为AB，AB=，3CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C⊥于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2运动，连接PQ，过点B作BH PQ倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为线段DH长度的最小值为．33.（2020福建）如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．34.（2020河北）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长； （3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．35.（2020江西） 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为斜边向外侧作Rt ABD ∆，Rt ACE ∆，Rt BCF ∆，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作任意ABD ∆，ACE ∆，BCF ∆，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=，90ABC ∠=，AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=，PE =，求五边形ABCDE 的面积.36．(2020苏州）.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．37．（2020南京）（9分）如图，在ABC ∆和△A B C '''中，D 、D '分别是AB 、A B ''上一点，AD A D AB A B ''=''．（1）当CD AC AB C D A C A B ==''''''时，求证ABC ∆∽△A B C ''． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD AC BC C D A C B C ==''''''时，判断ABC ∆与△A B C '''是否相似，并说明理由．38（2020湖北武汉）.问题背景：如图（1），已知A ABC DE ∽△△，求证：ABD ACE ∽； 尝试应用：如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，AC 与DE 相交于点F ．点D 在BC 边上，AD BD =求DF CF的值；拓展创新：如图（3），D 是ABC 内一点，30BAD CBD ︒∠=∠=，90BDC ︒∠=，4AB =，AC =AD 的长．39．（2020宁夏）（6分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 以点O 为位似中心，位似比为1：2的△A 2B 2C 2．40．（2020四川眉山）（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．①求tan∠DBE的值；②求DF的长．41．（2020山东泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？是．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．42．（2020浙江宁波）（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF=12∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．43．（2020浙江温州）（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF 上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=24 5．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP ＝DF 时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系．②连结PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的x 的值．2020年中考数学试题分类汇编之10相似三角形四、选择题1．（2020成都）（3分）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．103 解：直线123////l l l ，∴AB DE BC EF=， 5AB =，6BC =，4EF =，∴564DE =， 103DE ∴=， 选：D ．2．（2020哈尔滨）（3分）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是ABC ∆D BC AD E AC E //EF BC AD F E //EG AB BC G ()A． B ． C ． D ． 解：，， ，， ， 故选：．3.（2020河北）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A. 四边形NPMQB. 四边形NPMRC. 四边形NHMQD. 四边形NHMR解：如图所示，四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ ．故选：A4.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，当A ′B ′恰好经过点D 时，△B ′CD 为等腰三角形，若BB ′＝2，则AA ′＝（ ）AE EF EC CD =EF EG CD AB =AF BG FD GC =CG AF BC AD =//EF BC ∴AF AE FD EC =//EG AB ∴AE BG EC GC =∴AF BG FD GC=CA．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，DE＝AB＝2，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴△A′CA∽△B′CB，∴＝，∵△B′CD为等腰三角形，∴△B′CD为等腰直角三角形，∴CD＝B′C，设B′C＝BC＝x，则CD＝x，CE＝x﹣2，∵CD2＝CE2+DE2，∴（x）2＝（x﹣2）2+（2）2，∴x＝4（负值舍去），∴BC＝4，∴AC＝＝2，∴＝，∴A′A＝，故选：A．5.（2020无锡）如图，等边ABC ∆的边长为3，点D 在边AC 上，12AD =，线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =，有下列结论：①CP 与QD 可能相等；②ΔAQD 与BCP ∆可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为16；④四边形PCDQ周长的最小值为32+．其中，正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③ 解：①∵线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =， ∴QD P AP C ≤＜,∴CP 与QD 不可能相等，则①错误；②设AQ x =， ∵12PQ =，3AB =， ∴13-=2.52AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， 假设ΔAQD 与BCP ∆相似，∵∠A=∠B=60°， ∴AD AQ BP BC =，即121332x x =--， 从而得到22530x x -+=，解得1x =或 1.5x =（经检验是原方程的根），又 2.5x ≤≤0，∴解得的1x =或 1.5x =符合题意，即ΔAQD 与BCP ∆可能相似，则②正确；③如图，过P 作PE ⊥BC 于E ，过F 作DF ⊥AB 于F ，设AQ x =， 由12PQ =，3AB =，得13-=2.52AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， ∴132PB x =--，∵∠B=60°，∴132P x E --=⎫⎪⎝⎭，∵12AD =，∠A =60°，∴1224DF =⨯=,则1115332222PBCSBC PE x x ⎫⎫=⨯=⨯--=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1122DAQSAQ DF x x =⨯=⨯=， ∴四边形PCDQ 面积为：15322ABC PBC DAQSS Sx x x ⎫--=⨯-=⎪⎝⎭, 又∵ 2.5x ≤≤0，∴当 2.5x =时，四边形PCDQ ，即四边形PCDQ ， 则③正确；④如图，作点D 关于直线AB 的对称点D 1，连接D D 1，与AB 相交于点Q ，再将D 1Q 沿着AB 向B 端平移PQ 个单位长度，即平移12个单位长度，得到D 2P ，与AB 相交于点P ，连接PC ，∴D 1Q=DQ=D 2P ，11212AD D D AD ===，且∠AD 1D 2=120°，此时四边形PCDQ 的周长为：2CP DQ CD PQ CD CD PQ +++=++，其值最小，∴∠D 1AD 2=30°，∠D 2A D=90°，22AD =，∴根据股股定理可得，22CD =，∴四边形PCDQ 的周长为：2113322CP DQ CD PQ CD CD PQ ⎛⎫+++=++=-+= ⎪⎝⎭则④错误，所以可得②③正确，故选：D ．6.（2020重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）B. 2C. 4D. 解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，而A （1，2），C （3，1）， ∴D （2，4），F （6，2），OFE DCBA∴DF故选：D ．7.（2020重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心.已知OA ∶OD=1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D.1∶5 .答案C.8.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2米，则约为（ ）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米答案：A9．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBG ， ∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG＝∠G ，a b b a∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，∴CG ＝CD +DG ＝3k ， ∵AB ∥DG ，∴△ABE ∽△CGE ， ∴BE EG=AB CG=2k 3k=23，故选：C ．10．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30解：设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ，∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，∵AD 是△ABC 的高，∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形，∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60，∴AN ＝60﹣x ， ∴＝，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20． 故选：B ．11．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ） A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种解：长120cm 的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm 的木条不能作为一边， 设从120cm 的木条上截下两段长分别为xcm ，ycm （x +y ≤120）， 由于长60cm 的木条不能与75cm 的一边对应，否则x 、y 有大于120cm ，当长60cm的木条与100cm的一边对应，则x75=y120=60100，解得：x＝45，y＝72；当长60cm的木条与120cm的一边对应，则x75=y100=60120，解得：x＝37.5，y＝50．答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．故选：B．12．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO的顶点A在函数y=k x（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9B．12C．15D．18解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴ANAM =12，ANAO=13，∴S△ANQS△AMP =14，∵四边形MNQP的面积为3，∴S△ANQ3+S△ANQ =14，∴S△ANQ＝1，∵1S△AOB =（ANAO）2=19，∴S△AOB＝9，∴k＝2S△AOB＝18，故选：D．13．（3分）（2020•荆门）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2√3，D为BC的中点，AE=14AB，则△EBD的面积为（）A ．3√34B ．3√38C ．√34D ．√38解：连接AD ，作EF ⊥BC 于F ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∠B ＝∠C ＝30° 在Rt △ABD 中，BD =12BC =√3，∠B ＝30°，∴AB =BDcos30°=√3√32=2，∴AD =12AB =1，∵AE =14AB ，∴BE AB=34，∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ， ∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD=BE AB，∴EF 1=34∴EF =34， ∴S △BDE =12×BD ×EF =12×√3×34=3√38，选：B ．14．（2020山西）（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）A ．图形的平移B ．图形的旋转C ．图形的轴对称D ．图形的相似选：D ．15．（2020浙江温州）（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）A ．14B ．15C ．8√3D ．6√5解：如图，连接EC ，CH ．设AB 交CR 于J ．∵四边形ACDE ，四边形BCJHD 都是正方形， ∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°， ∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，∴∠ACE +∠ACB +∠BCH ＝180°，∠ACB +∠BCI ＝90° ∴B ，C ，H 共线，A ，C ，I 共线， ∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ， ∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴PC CQ=CE CH=EP HQ=12，∵PQ ＝15，∴PC ＝5，CQ ＝10， ∵EC ：CH ＝1：2，∴AC ：BC ＝1：2，设AC ＝a ，BC ＝2a ， ∵PQ ⊥CRCR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ， ∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 是平行四边形，∴AB ＝CQ ＝10， ∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴5a 2＝100， ∴a ＝2√2（负根已经舍弃）， ∴AC ＝2√5，BC ＝4√5，∵12•AC •BC =12•AB •CJ ， ∴CJ =2√5×4√510=4，∵JR ＝AF ＝AB ＝10，∴CR ＝CJ +JR ＝14， 故选：A ．16．（2020海南）（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，若EF ＝AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40解：过点G 作GN ⊥AD 于N ，延长NG 交BC 于M ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∵EF ＝AD ，∴EF ＝BC ， ∵AD ∥BC ，NG ⊥AD ， ∴△EFG ∽△CBG ，GM ⊥BC ， ∴GN ：GM ＝EF ：BC ＝1：2， 又∵MN ＝BC ＝6， ∴GN ＝2，GM ＝4， ∴S △BCG ＝×10×4＝20，∴S △EFG ＝×5×2＝5，S 矩形ABCD ＝6×10＝60， ∴S 阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：C ．五、填空题17．（2020广州）如图7，正方形ABCD 中，△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB C ''，AB '，AC '分别交对角线BD 于点E ，F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为 * ．【答案】16. 提示：由△EAF ∽△EDA,得到：EF EAEA ED=,所以：2EA EF ED =,∴EF ED ⋅=1618.（2020河南）如图，在边长为的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，连接,,EC FD 点,G H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为__________．【答案】1【详解】过E 作EP DC ⊥，过G 作GQ DC ⊥，过H 作HR BC ⊥，垂足分别为P ，R ，R ，HR 与GQ 相交于I ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD DC BC ====图7FB'E C'DCBA90A ADC ∴∠=∠=︒，∴四边形AEPD 是矩形，∴EP AD == ∵点E ，F 分别是AB ，BC 边的中点，∴12PC DC ==12FC BC == EP DC ⊥，GQ DC ⊥，GQ EP ∴//∵点G 是EC 的中点，GQ ∴是EPC ∆的中位线，12GQ EP ∴==，同理可求：HR =，由作图可知四边形HIQP 是矩形， 又HP=12FC ，HI=12HR=12PC ， 而FC=PC ， ∴ HI HP =，∴四边形HIQP 是正方形，∴2IQ HP ==，∴22GI GQ IQ HI =-=== HIG ∴∆是等腰直角三角形，1GH ∴==故答案为：1．19.(2020苏州）.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________．【答案】14 5解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y轴，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴AOE∽CDE，∴AO OECD DE=，∴424 34nn-=-，解得：145n=，故答案：145．20.（2020乐山）把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC=_________．解:连接CE ，设CD=2x ，在RtΔACD 和RtΔABC 中，∠BAC=∠CAD=30º，∴∠D=60º，AD=4x ，=， BC=12AC，3=x ， ∵点E 为AD 的中点， ∴CE=AE=DE=12AD =2x ， ∴ΔCED 为等边三角形，∴∠CED=60º，∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD ，∴AB ∥CE ，∴AF BF CF EF=， 在ΔBAE 中，∵∠BAE=∠CAD=30º ∴AF 平分∠BAE ，∴3322AB BF x AE EF x ===， ∴32AF BF CF EF ==， ∴35AF AC =， 故答案为：35.21.（2020无锡）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值Rt ABC ∆90ACB ∠=︒4AB =D E AB AC 2DB AD =3AE EC =BE CD O ABO ∆为__________．解：如图1，作DG ∥AC ，交BE 于点G ，∴，∵ , ∴ ∵ ∴∴ ∵AB=4 ∴ ∴若面积最大，则面积最大， 如图2，当点△ABC 为等腰直角三角形时，面积最大，为，∴ 面积最大值为+故答案为：22．（2020上海）（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口,BDG BAE ODG OCE △∽△△∽△2,3DG BD AE AB ==∴13CE AE =221DG CE ==ODG OCE △∽△=2DG OD CE OC =23OD CD =23ABO ABC S S =△△ABO ABC ABC 142=42⨯⨯ABO 284=33⨯83B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7米．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△DBE，∴ACBD =AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC＝7（米），答：井深AC为7米．23．（2020吉林）（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝10．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．24．（2020吉林）（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE 的面积为，则四边形DBCE的面积为．解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE 的面积为， ∴△ABC 的面积为2，∴四边形DBCE 的面积＝2﹣＝， 故答案为：．25．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点E 在AC 边上．将A ∠沿直线BE 翻折，点A 落在点A '处，连接AB '，交AC 于点F ．若A E AE '⊥，4cos 5A =，则A F BF '= 13．【解答】解：90C ∠=︒，4cos 5A =， ∴45AC AB =，设4AC x =，5AB x =，则3BC x =， AE AE ⊥'，90AEA ∴∠'=︒，//A E BC '，由于折叠，(36090)2135A EB AEB ∴∠'=∠=-÷=︒，且△A EF BCF '∆∽，45BEC ∴∠=︒，即BCE ∆为等腰直角三角形，3EC x ∴=，AE AC EC x A E ∴=-=='， ∴133A E A F x BC BF x ''===， 故答案为：13． 26．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．则下列结论中： ①BF CE =；②AEM DEM ∠=∠；③AE CE -=；④2222DE DF DM +=；⑤若AE 平分BAC ∠，则:EF BF ；⑥CF DM BM DE =，正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号）解：90ACB ∠=︒，90BCF ACE ∴∠+∠=︒，90BCF CBF ∠+∠=︒，ACE CBF ∴∠=∠，又90BFD AEC ∠=︒=∠，AC BC =，()BCF CAE AAS ∴∆≅∆，BF CE ∴=，故①正确；由全等可得：AE CF =，BF CE =，AE CE CF CE EF ∴-===，连接FM ，CM ，点M 是AB 中点，12CM AB BM AM ∴===，CM AB ⊥， 在BDF ∆和CDM ∆中，BFD CMD ∠=∠，BDF CDM ∠=∠，DBF DCM ∴∠=∠，又BM CM =，BF CE =，()BFM CEM SAS ∴∆≅∆，FM EM ∴=，BMF CME ∠=∠，90BMC ∠=︒，90EMF ∴∠=︒，即EMF ∆为等腰直角三角形，EF AE CE ∴=-，故③正确，45MEF MFE ∠=∠=︒，90AEC ∠=︒，45MEF AEM ∴∠=∠=︒，故②正确，设AE 与CM 交于点N ，连接DN ，DMF NME ∠=∠，FM EM =，45DFM DEM AEM ∠=∠=∠=︒，()DFM NEM ASA ∴∆≅∆，DF EN ∴=，DM MN =，DMN ∴∆为等腰直角三角形，2DN DM∴=，而90DEA∠=︒，22222DE DF DN DM∴+==，故④正确；AC BC=，90ACB∠=︒，45CAB∴∠=︒，AE平分BAC∠，22.5DAE CAE∴∠=∠=︒，67.5ADE∠=︒，45DEM∠=︒，67.5EMD∴∠=︒，即DE EM=，AE AE=，AED AEC∠=∠，DAE CAE∠=∠，()ADE ACE ASA∴∆≅∆，DE CE∴=，MEF∆为等腰直角三角形，2EF EM∴=，∴22EF EF EF EMBF CE DE====，故⑤正确；CDM ADE∠=∠，90CMD AED∠=∠=︒，CDM ADE∴∆∽，∴CD CM DMAD AE DE==，BM CM=，AE CF=，∴，，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥．27．（2020山西）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为．解：如图，过点F作FH⊥AC于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，BM DMCF DE=CF DM BM DE∴=∵CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝，AD＝＝＝，∵FH∥EC，∴＝，∵EC＝EB＝2，∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，∵tan∠FCH＝＝，∴＝，∴k＝，∴FH＝，CH＝3﹣＝，∴CF＝＝＝，∴DF＝﹣＝，故答案为．28．（2020四川眉山）（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为26，则DE的长为．解：∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∴∠AED＝90°，AE＝CE＝AC＝＝5，AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵△ABD的周长为26，∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，∵AB＝AC＝10，∴BC＝16，∠B＝∠C，∴∠B＝∠DAC，∴△ABC∽△DAC，∴＝，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝8，∴AM＝＝＝6，∴＝，∴DE＝，29．（2020浙江温州）（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM ＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为15√2米，BC为20√2米．【解答】解：∵AE⊥l，BF⊥l，∵∠ANE＝45°，∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，∴AE＝EN，BF＝FN，∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），∴AN＝25√2，BN＝10√2，∴AB＝AN﹣BN＝15√2（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，∴AE∥CH，∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，∴△AEF ∽△CHM ，∴CH HM =AE EF =2515=53， ∴设MH ＝3x ，CH ＝5x ，∴CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2，∵∠APB ＝∠ABC ＝∠CQB ＝90°，∴∠ABP +∠PAB ＝∠ABP +∠CBQ ＝90°，∴∠PAB ＝∠CBQ ，∴△APB ∽△BQC ，∴AP BQ =PB CQ ， ∴153x+2=155x−10，∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20，∴BC ＝20√2，故答案为：15√2，20√2．六、解答题30．(2020杭州)（8分）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ．（1）求证：△BDE ∽△EFC ．（2）设AF FC =12， ①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【解答】（1）证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；（2）解：①∵EF ∥AB ，∴BE EC =AF FC =12，∵EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣BE ，∴BE 12−BE=12，解得：BE ＝4； ②∵AF FC =12，∴FC AC =23， ∵EF ∥AB ，∴△EFC ∽△BAC ，∴S △EFCS △ABC =（FC AC ）2＝（23）2=49， ∴S △ABC =94S △EFC =94×20＝45． 31．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，．与相交于点，与相交于点，．（1）求证：；（2）若，求的长；（3）如图2，连接，求证：．（1）证明：四边形是矩形，点在的延长线上，，又，，，，，即，故，（2）解：四边形是矩形，，，，，ABCD E BA AE AD =EC BD G AD F AF AB =BD EC ⊥1AB =AEAG EG DG -=ABCD E BA 90EAF DAB ∴∠=∠=︒AE AD =AF AB =()AEF ADB SAS ∴∆≅∆AEF ADB ∴∠=∠90GEB GBE ADB ABD ∴∠+∠=∠+∠=︒90EGB ∠=︒BD EC ⊥ABCD //AE CD ∴AEF DCF ∴∠=∠EAF CDF ∠=∠AEF DCF ∴∆∆∽， 即，设，则有，化简得，解得（舍去）， ． （3）如图，在线段上取点，使得，在与中，，，，，，，，为等腰直角三角形，．32．（2020成都）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．∴AE AF DC DF=AE DF AF DC =(0)AE AD a a ==>(1)1a a -=210a a --=a =AE ∴EG P EP DG =AEP ∆ADG ∆AE AD =AEP ADG ∠=∠EP DG =()AEP ADG SAS ∴∆≅∆AP AG ∴=EAP DAG ∠=∠90PAG PAD DAG PAD EAP DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒PAG ∴∆EG DG EG EP PG ∴-=-=ABCD 4AB =3BC =E F AB CD P E EA A Q F FC C PQ B BH PQ ⊥H DH P Q P E A PQ DH EF PQ M BM BM O OH OD O ON CD ⊥N四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，， ， ，，，当点与重合时，的值最大，此时，，，，，，，，，，，，，故答案为．33.（2020福建）如图，C为线段AB 外一点．ABCD DF CF =AE EB =∴ADFE 3EF AD ∴==//FQ PE MFQ MEP ∴∆∆∽∴MF FQ ME PE=2PE FQ =2EM MF ∴=2EM ∴=1FM =P A PQ PM ==MQ PQ ∴=////MF ON BC MO OB =1FN CN ∴==3DN DF FN =+=1()22ON FM BC =+=OD ∴==BH PQ ⊥90BHM ∴∠=︒OM OB =1122OH BM ∴==DH OD OH -132DH ∴-DH ∴（1）求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．解：（1）则四边形ABCD 就是所求作的四边形．（2）∵AB CD ∥，∴ABP CDP ∠=∠，BAP DCP ∠=∠，∴ABP CDP ∆∆∽，∴AB AP CD CP． ∵,M N 分别为AB ，CD 的中点，∴2AB AM =，2CD CN =，∴=AM AP CN CP． 连接MP ，NP ，又∵BAP DCP ∠=∠，∴∽∆∆APM CPN ，∴∠=∠APM CPN ，∵点P 在AC 上∴180∠+∠=︒APM CPM ，∴180∠+∠=︒CPN CPM ，∴,,M P N 三点在同一条直线上．34.（2020河北）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长； （3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长． （1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴AP AD PQ AB AC BC==，的∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴23AP AB =， AE=2BC ·tan 3C =， 根据勾股定理可得AB=5， ∴2253AP MP AB +==， 解得MP=43； （3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35， ∴d=35PQ ， ∵AP=x+2， ∴25AP x PQ AB BC+==， ∴PQ=285x +⨯， ∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +， 当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335， 综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94， 移动的速度=936=14， ①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒， ②P 在BC 上时，K 与Q 重合时 CQ=CK=5-94=114， ∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B ∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-， 整理得y 2-8y=554-， （y-4）2=94， 解得y 1=52，y 2=112， 52÷14=10秒， 112÷14=22秒， ∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．35.（2020江西） 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究： 1S 2S 3S类比探究（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形中，，，，点在上，，，求五边形的面积.【解析】（1） （2）成立；∵∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F ，∴△ABD ∽△CAE ∽△BCF. ∴∴∵△ABC 为直角三角形 ∴.∴，∴，∴成立. Rt ABC ∆BC ,,AB AC BC Rt ABD ∆Rt ACE ∆Rt BCF ∆123∠=∠=∠1S 2S 3S Rt ABC ∆BC ,,AB AC BC ABD ∆ACE ∆BCF ∆123∠=∠=∠D E F ∠=∠=∠ABCDE 105A E C ∠=∠=∠=90ABC ∠=AB =2DE =P AE 30ABP ∠=PE =ABCDE 123;S S S +=22122233,.S S AB AC S BC S BC ==221223.S S AB AC S BC ++=222AB AC BC +=1231S S S +=123S S S +=（3）过点A 作⊥BP 于点H.∵∠ABH=30°，AB=∴.∵∠BAP=105°，∴∠HAP=45°.∴∴，BP=BH+PH=∴.连接PD.∵，∴. ∴又∵∠E=∠BAP=105°，△ABP∽△EDP.∴∠EPD=∠APB=45°，.∴∠BPD=90°，∴连接BD.∴.∵tan ∠PBD=，∴∠PBD=30°.∵∠ABC=90°，∠ABC=30°，∴∠DBC=30°∵∠C=105°，∴△ABP ∽△EDP ∽△CBD.∴S △BCD =S △ABP +S△EDP =.∴S 五边形ABCDE =S △ABP +S △EDP +S △BCD +S △BPD36．(2020苏州）.如图，在矩形ABCD中，E 是BC 的中点，DFAE ⊥，垂足为F．AH 3,60AH BH BAH ==∠=︒AP =3(33222ABP BP AH S ∆⋅+===2PE ED ==PE ED AP AB ====.PEEDAP AB =BDPEBP AP ==1PD =213BPD ABP S S ∆∆=⋅==32BPD PB PDS ∆⋅===PD BP =31222+=2)3)7++=（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC ∥．∴AEB DAF ∠=∠，∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒．∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽．解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽， ∴AB AE DF AD=． ∵4BC =，E 是BC 的中点， ∴114222BE BC ==⨯=． ∴在Rt ABE ∆中，AE == 又∵4AD BC ==，∴6DF =∴DF =37．（2020南京）（9分）如图，在和△中，、分别是、上一点，．ABC ∆A B C '''D D 'AB A B ''AD A D AB A B ''=''。
2020-2021全国中考数学相似的综合中考真题汇总及详细答案
2020-2021全国中考数学相似的综合中考真题汇总及详细答案一、相似1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，当x=0时，y=﹣3a，∴C（0，﹣3a）（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=3a，∴S△ACB= AB•OC=6，∴6a=6，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，∴OF=2m+1，HF=1，当∠CGF=90°时，∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，∴∠GQH=∠HGF，∴Rt△QGH∽Rt△GFH，∴ = ，即，解得m=9，∴Q的坐标为（9，0）；当∠CFG=90°时，∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，∴∠CFO=∠FGH，∴Rt△GFH∽Rt△FCO，∴ = ，即 = ，解得m=4，∴Q的坐标为（4，0）；∠GCF=90°不存在，综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。
2020-2021全国中考数学相似的综合中考模拟和真题分类汇总含答案解析
2020-2021全国中考数学相似的综合中考模拟和真题分类汇总含答案解析一、相似1．在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M 从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝ EM；（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；（3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长.【答案】（1）证明：：∵ °, ° ,∴ °∵ ,∴∵∥ ,∴∴ °,∴过点作于点 ,则 .在中，∴∴（2）解：在中，，∴∵a.当点在线段上时，过点作于点 ,在中，由（1）可知：,∴∴∴b.当点在线段延长线上时，过点作于点在中， ,在中， ,∴ ,∴（3）解：连接 ,交于点 .∵为的中点∴ ,∴ .∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ .∵∥∴ ,∴ ,,∵ ,∴ ,又∵ ,∴∽ ,∴，即 ,∴【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥MN于点H ,由已知条件易得EN=EM，解直角三角形EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解；（2）在Rt△ABE中，由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE，由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段ED外，所以可分两种情况求解：①当点M在线段ED上时，过点N作NI⊥AD于点I ,结合（1）中的结论MN=EM即可求解；②当点M在线段ED延长线上时，过点N作NI'⊥AD于点I '，解RtΔNI′M 和可求得NI'和NE，则DM=NE−DE，所以以M、N、D为顶点的三角形面积y=MD.NI可求解；（3）连接CM,交BD于点N'，由（2）中的计算可得MN、CD、MC的长，解直角三角形CDM可得∠DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得∠NMC=，根据平行线的性质可得DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得MN′=MD；则NC的长可求，由已知条件易得ΔNMC∽ΔMN′G根据所得的比例式即可求解.,2．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y= x2+bx+c，得解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x， x2+2x+6），则FG= ，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，∴当点F在x轴上方时，有，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标为（-1，）,当点F在x轴下方时，有，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐标为（-3，）,综上可知F点的坐标为（-1，）或（-3，）（3）解：如图2，不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上，∴k= (2-k)2+2(2-k)+6解得k1= 或k2=∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，）或Q2（2，）.【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。
2020-2021全国各地中考数学分类：相似综合题汇编及详细答案
2020-2021全国各地中考数学分类：相似综合题汇编及详细答案一、相似1．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E。
（1）求证：DC2＝CE·AC；（2）若AE＝2EC，求之值；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH＝，求EC之长.【答案】（1）证明：∵CD＝BC，∴∠DAC＝∠CDB，又∵∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴，∴DC2＝CE·AC；（2）解：设EC＝k，则AE＝2k，∴AC＝3k，由（1）DC2＝CE·AC＝3k2，DC= k，连接OC，OD，∵CD＝BC，∴OC平分∠DOB，∴BC＝DC＝ k，∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB中，，∴OB=OC=OD= k，∴∠BOD＝120°，∴∠DOA＝60°，∴AD＝AO，∴（3）解：∵CH是⊙O的切线，连接CO，∴OC⊥CH．∵∠COH＝60°，∠H＝30°，过C作CG⊥AB于G，设EC=k，∵∠CAB＝30°，∴，又∵∠H＝∠CAB＝30°，∴AC＝CH＝3k，∴AH＝，∵S△ACH＝，∴，∴k2＝4，k＝2，即EC＝2．【解析】【分析】（1）要证DC2＝CE·AC，只需证△ACD∽△DCE即可求解；（2）连接OC，OD，根据已知条件AE＝2EC可用含k的代数式表示线段AE、CE、AC，由（1）可将CD用含K的代数式表示，在Rt△ACB中，由勾股定理可将AB用含K的代数式表示，结合已知条件和圆的性质可求解；（3）过C作CG⊥AB于G，设EC=k，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可将CG用含K的代数式表示，根据三角形ACH的面积=AH CG=9即可求解。
2．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由;（2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值;（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长.【答案】（1）解：AC是⊙O的切线理由：，，作于，是的角平分线，，AC是⊙O的切线（2）解：连接，是⊙O的直径，,即 ..又 (同角) ，∽ ,（3）解：设在和中，由三角函数定义有：得：解之得：即的长为【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的.3．已知如图1，抛物线y=﹣ x2﹣ x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN= （点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+3与x轴交于A和B两点，∴0=﹣ x2﹣ x+3，∴x=2或x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵D（0，﹣1），∴直线AD解析式为y=﹣ x﹣1（2）解：如图1，过点F作FH⊥x轴，交AD于H，设F（m，﹣ m2﹣ m+3），H（m，﹣ m﹣1），∴FH=﹣ m2﹣ m+3﹣（﹣ m﹣1）=﹣ m2﹣ m+4，∴S△ADF=S△AFH+S△DFH= FH×|x D﹣x A|=2FH=2（﹣ m2﹣ m+4）=﹣m2﹣m+8=﹣（m+ ）2+ ，当m=﹣时，S△ADF最大，∴F（﹣，）如图2，作点A关于直线BD的对称点A1，把A1沿平行直线BD方向平移到A2，且A1A2= ，连接A2F，交直线BD于点N，把点N沿直线BD向左平移得点M，此时四边形AMNF 的周长最小．．∵OB=2，OD=1，∴tan∠OBD= ，∵AB=6，∴AK= ，∴AA1=2AK= ，在Rt△ABK中，AH= ，A1H= ，∴OH=OA﹣AH= ，∴A1（﹣，﹣），过A2作A2P⊥A2H，∴∠A1A2P=∠ABK，∵A1A2= ，∴A2P=2，A1P=1，∴A2（﹣，﹣）∵F（﹣，）∴A2F的解析式为y=﹣ x﹣①，∵B（2，0），D（0，﹣1），∴直线BD解析式为y=﹣ x﹣1②，联立①②得，x=﹣，∴N点的横坐标为：﹣（3）解：∵C（0，3），B（2，0），D（0，﹣1）∴CD=4，BC= ，OB=2，BC边上的高为DH，根据等面积法得， BC×DH= CD×OB，∴DH= = ，∵A（﹣4，0），C（0，3），∴OA=4，OC=3，∴tan∠ACD= ，①当PC=PQ时，简图如图1，过点P作PG⊥CD，过点D作DH⊥PQ，∵tan∠ACD=∴设CG=3a，则QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣6a∵△PGQ∽△DHQ，∴，∴，∴a= ，∴PC=5a= ；②当PC=CQ时，简图如图2，过点P作PG⊥CD，∵tan∠ACD=∴设CG=3a，则PG=4a，∴CQ=PC=5a，∴QG=CQ﹣CG=2a，∴PQ=2 a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a∵△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC=4﹣，设CG=3a，则PG=4a，从而得出CQ,QG,PQ,DQ的长，由△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC的长；③当QC=PQ时，简图如图1过点Q作QG⊥PC，过点C作CN⊥PQ，设CG=3a，则QG=4a，PQ=CQ=5a，∴PG=3a，∴PC=6a∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a，利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，∴CN= a，∵△CQN∽△DQH同①的方法得出PC=④当PC=CQ时，简图如图4，过点P作PG⊥CD，过H作HD⊥PQ，设CG=3a，则PG=4a，CQ=PC=5a，∴QD=4+5a，PQ=4 ，∵△QPG∽△QDH，同①方法得出．CP=综上所述，PC的值为：；4﹣，，=【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交点的坐标特点，把y=0代入抛物线的解析式，得出一个关于x的一元二次方程，求解得出x的值，进而得出A,B两点的坐标；然后由A,D 两点的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式；（2）过点F作FH⊥x轴，交AD于H，根据函数图像上点的坐标特点，及平行于y轴的直线上的点的坐标特点，设出F,H的坐标，从而得出FH的长度，S△ADF=S△AFH+S△DFH= FH×|x D﹣x A|=2FH,列出关于m的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m=﹣时，S△ADF最大，从而得出F点的坐标；如图2，作点A关于直线BD的对称点A1，把A1沿平行直线BD方向平移到A2，且A1A2= ，连接A2F，交直线BD于点N，把点N沿直线BD向左平移得点M，此时四边形AMNF的周长最小，进而求出点A1，A2坐标，即可确定出A2F的解析式和直线BD解析式联立方程组即可确定出N点的横坐标；（3）根据C,B,D三点的坐标，得出CD,BC,OB的长，BC边上的高为DH，根据等面积法得BC×DH= CD×OB，从而得出DH的长，根据A,C两点的坐标，得出OA,OC的长，根据正切函数的定义得出tan∠ACD= 4∶ 3 ；然后分四种情况讨论：①当PC=PQ时，过点P作PG⊥CD，过点D作DH⊥PQ，由tan∠ACD= 4∶ 3 ，设CG=3a，则QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a，从而由DQ=CD﹣CQ得出DQ的长，根据△PGQ∽△DHQ，得出PG∶DH=PQ∶DQ,从而求出a的值，进而求出PC的值；②当PC=CQ时，简图如图2，过点P作PG⊥CD，tan∠ACD= 4∶3，设CG=3a，则PG=4a，从而得出CQ,QG,PQ,DQ的长，由△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC的长；③当QC=PQ时，过点Q作QG⊥PC，过点C作CN⊥PQ，设CG=3a，则QG=4a，PQ=CQ=5a，从而得出PG,PC,DQ的长，利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，从而得出CN，由△CQN∽△DQH同①的方法得出PC的长；④当PC=CQ时，过点P作PG⊥CD，过H作HD⊥PQ，设CG=3a，则PG=4a，CQ=PC=5a，从而得出QD,PQ 的长，由△QPG∽△QDH，同①方法得出．CP的长。
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相似一.选择题1.如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)3．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( )A ．13 B ．23 C ．34 D ．454．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2015•甘肃武威,第9题3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在△ABC 中，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD ，连接AE ．对于下列结论：①AD=DC ；②△CBA ∽△CDE ；③=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）A ． ①②B ． ①②③C ． ①④D ． ①②④7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ． ∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．=D ．=10. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为l ：2，∠OCD=90°，CO=CD.若B(1，0)，则点C[中国^的坐标为( )A.(1,2)B.(1,1)C.(2, 2)D.(2,1)11.如图，在ABC ∆中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE ,则EC 的长为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）412.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．13.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2这与三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF 的长为（ ）A． 4 B． 5 C． 6 D． 814．如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ．若点M、N分别是线段AC AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A． 10 B． 8 C． 53 D． 615.若，则的值为（）A．1 B． C． D．16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B 作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则．其中正确的结论序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④17.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.分析：根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF ∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．解答：解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故选D．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．……依次顺延18．（2015•甘肃兰州,第5题，4分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为A.（2，5）B.（2.5，5）C. （3，5）D.（3，6）【答案】B【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B。
【题目星级】★★★19．（2015•安徽省,第9题，4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是[（）]A．2 5 B．3 5 C．5 D．6考点：菱形的性质；矩形的性质．.分析：连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD 是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．解答：解；连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∵AC==4，∴AO=AC=2，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=5．故选C．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．20. （2015山东济宁，10，3分）将一副三角尺（在中，∠ACB=，∠B=；在中，∠EDF=，∠E=）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C.将绕点D 顺时针方向旋转角，交AC 于点M ，交BC 于点N ，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由题意知D 为Rt △ABC 的斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD=AB ，再由∠B=60°可知△BCD 是等边三角形，因此可得∠DCP=30°，且可求∠DPC=60°，因此tan30°=.根据旋转变换的性质，可知∠PDM=∠CDN ，因此可知△PDM ∽△CDN ，再由相似三角形的性质可得，因此是一个定值.故选C考点：直角三角形斜边上的中线，相似三角形，旋转变换二.填空题1．(2015·贵州六盘水，第14题4分)已知0654≠==ab c ，则a c b +的值为 ．考点：比例的性质．.分析：根据比例的性质，可用a 表示b 、c ，根据分式的性质，可得答案．解答：解：由比例的性质，得c=a ，b=A ．===．故答案为：．点评：本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a 表示b 、c 是解题关键，又利用了分式的性质．2． (2015·河南，第10题3分)如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE//AC ，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC= .23【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE ∥AC ，∴ECBEDA BD =，∴EC=23432BD BE DA =⨯=⋅.3．（2015•广东梅州,第14题5分）已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 AF=AC 或∠AFE=∠ABC ．（写出一个即可）考点： 相似三角形的判定． 专题：开放型．E C DBA第10题分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．解答：解：分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB=AF：AC，即1：2=AF：AC，∴AF=AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE=∠ABC．∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．4．（2015•广东佛山,第13题3分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 25 ．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：由已知可得到△AFE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例即可求得EF的长，进而根据正方形的面积公式即可求得．解答：解：∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∵AB=BC，AC=10．∴2AB2=200，∴AB=BC=10，设EF=x，则AF=10﹣x∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC∴=，即=，∴x=5，∴EF=5，∴此正方形的面积为5×5=25． 故答案为25． 点评：主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．5． (2015·河南，第22题10分)如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE. 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现① 当︒=0α时，_____________=BDAE；② 当︒=180α时，.__________=BDAE（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，DBAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.（1）【分析】①根据题意可得DE 是三角形ABC 的中位线和BD 的长，根据中位线的性质和勾股定理求得AE 的长即可求解；②根据旋转180°的特性，结合①，分别得到AC 、CE 、BC 和CD 的长即可求解.1分）ECDBA （图1） E DBA C（图2）（备用图）CBA②2.……………………………………………………（2分）【解法提示】①当α=0°，如解图①，∵BC=2AB=8，∴AB=4，∵点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，∴DE=121=AB ,AE=EC,，∵∠B=90°，∴AC ==,∴AE=CE=∴AE BD ==；②当α=180度，如解图②，由旋转性质可得CE=5,CD=2，∵AC=BC=8，∴25485254=++=++=CD BC CE AC BD AE .（2）【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到CBCDCA CE =，再观察图②中△EDC 绕点C 的旋转过程，结合旋转的性质得到CBCDCA CE =任然成立，从而求得△ACE ∽△BCD ，利用其性质，结合题干求得AC 的长即可得到结论.第22题解图③(3) 【分析】解：5………………………………………………………………………（10分）【解法提示】当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，∴BD=AC=EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，由勾股定理可求得AD=8，∴AE=6，根据AE BD =2可求得BD =5.图④图⑤第22题解图6．(2015·黑龙江绥化，第21题分)在矩形ABCD中，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。