北师大版数学高二-必修5素材 3.4线性规划中的两个结论及其应用
线性规划中的两个结论及其应用
结论
1、若点P ),(11y x ，Q ),(22y x 在直线l ：Ax ＋By ＋c ＝0的同侧，则（)11c By Ax ++· （0)22>++c By Ax ；若在异侧，则（)11c By Ax ++（.0)22<++c By Ax
2、直线l ：Ax ＋By ＋c ＝0（B>0），当P ),(11y x 在l 的上方时，011>++c By Ax ；在下方时，.011<++c By Ax 同理可知B<0的结论，可用口诀表示为“同号在上，异号在下”。
应用
表示平面区域
例1、画出不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧-><+<242y y x x y 表示的平面区域
解：原不等式组可化为⎪⎩
⎪⎨⎧>+<-+>-)3(02)2(042)1(0 y y x y x
根据口诀“异号在下方”，得不等式(1)表示的平面区域在直线x －y ＝0的下方，不等式(2)表示的平面区域在直线x ＋2y －4＝0的下方。
根据“同号在上方”，得不等式(3)表示的平面区域在直线y ＋2＝0的上方。
故原不等式组所表示的平面区域如图1中三角形的阴影部分（不包括边界）。
求斜率范围
例2、已知有向线段PQ 的起点P （－1，1），终点Q （2，2），过点A （0，－1）的直
线l 与PQ 的延长线相交于点M ，求直线l 的斜率k 的取值范围。
解：如图2，因为l 与有向线段PQ 的延长线相交，所以，P 、Q 应在l 的上方。
设l ：y ＋1＝kx （斜率显然存在且k>0），即kx －y
－1＝0.由结论（2）知，由题意，应满足
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=><--<---310122011PQ k k k k ， 所以，.2331<<k 求取值范围
例3、设βα,是实系数方程022
=++b ax x 的两根，且)2,1(),1,0(∈∈βα，则 1
2--a b 的取值范围是（ ） A 、)1,41( B 、)1,21( C 、)41,21(- D 、)2
1,21(- 解：依题意得βα+＝－a ，即a ＝－（βα+），且αβ＝2b.因为，)2,1(),1,0(∈∈βα， 所以，.20,1)(3<<-<+-<-αββα 所以，.10,13<<-<<-b a 令
12--a b ＝k ，则
k （a －1）－不＋2＝0. 记f （a ，b ）＝k （a －1）－b ＋2，A （1，
2），B （－1，0），C （－3，1），D （a ，b ），则f （a ，b ）＝0
表示过定点A （1，2）的直线，由a ，b 的变化范围知点B 、C 位于
直线
f （a ，b ）＝0异侧，如图3.
所以，f （－1，0）f （－3，1）<0，即（－2k ＋2）（－4k ＋1）<0
所以，
.14
1<<k 故选A.。
高二数学北师大版必修5教学教案3-4-2简单线性规划(5)Word版含解析
3.4.2简单的线性规划一、教学目标：1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2.能根据条件建立线性目标函数；3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.二、教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.三、教学过程：（一）复习练习：1．画出下列不等式表示的平面区域：（1）()(233)0x y x y -+-<； （2）|341|5x y +-<．（二）新课讲解：1．引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值.问题：能否用不等式的知识来解决以上问题？（否）那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。
由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。
由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大，当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．2．有关概念在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。
2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。
又由于2z x y =+是,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
北师大版高中必修54.3简单线性规划的应用课程设计
北师大版高中必修54.3简单线性规划的应用课程设计1. 课程目的本课程旨在通过学习简单线性规划的应用，让学生掌握线性规划的基本概念和解题方法，了解线性规划在现实生活中的应用，培养学生的逻辑思维和对问题的分析能力。
2. 教学内容2.1 线性规划的基本概念•定义线性规划问题•表示线性规划问题的标准形式及其意义•线性规划问题的约束条件和目标函数的概念和意义2.2 简单线性规划问题的求解•图像法求解线性规划问题•单纯性法求解线性规划问题2.3 线性规划在现实生活中的应用•运输问题的线性规划模型•生产计划问题的线性规划模型•投资问题的线性规划模型3. 教学方法通过讲解概念原理和实例分析相结合的方式，引导学生从线性规划的基本概念出发，逐渐深入理解线性规划的应用，并通过练习题帮助学生掌握解题方法。
4. 教学流程4.1 导入环节（5分钟）•导入课程主题，简单介绍线性规划的基本概念和目标4.2 理论部分（60分钟）•讲解线性规划问题的定义和标准形式•介绍线性规划问题的约束条件和目标函数的概念和意义•介绍图像法和单纯性法两种解法4.3 实践部分（80分钟）•通过练习题讲解和指导，帮助学生掌握线性规划问题的解法4.4 结束环节（5分钟）•简要回顾本节课内容•引导学生思考线性规划在现实生活中的应用5. 课程效果评估通过课堂练习、作业和考试等途径对学生进行综合评估。
课堂练习和作业主要测试学生对概念和解题方法的掌握情况；考试主要测试学生对实际应用问题的解决能力。
6. 参考教材•《高中数学必修3》（人教版）•《线性规划及其应用》（高等教育出版社）7. 教学反思本课程将理论知识和实践应用有机地结合起来，能够很好地激发学生学习的积极性和兴趣。
在实践部分的教学过程中，我发现一些学生对一些概念和解法还存在疑惑，需要在这方面再加强针对性的指导和练习。
同时，考试题目的难度要适当，避免给学生造成压力和挫败感。
2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.4.2 简单线性规划 Word版含解析
zmax＝21. 规律方法 上述三个问题都是非线性目标函数模型，第一个是两点间的距离模
型，第二个是斜率模型，第三个是点到直线的距离模型，但其本质还是二元函数的 最值问题．熟悉这些模型有助于更好地解决问题．
【解】 作出可行域，如图中阴影部分所示，则 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
上任意一点，zmin＝2－4＝－2.
规律方法 求线性目标函数最值的两种方法 1．平移直线法 (1)依约束条件画出可行域； (2)依目标函数 z＝ax＋by 作直线 l0：ax＋by＝0； (3)平移直线 l0，确定最优解的位置； (4)求出最优解，并计算出 z＝ax＋by 的值． 2．顶点代入法 (1)依约束条件画出可行域(多边形)； (2)解方程组得出可行域各顶点的坐标；
y＝2，
最大值，zmax＝2×1＋2＝4.故选 C.
【例 2】 已知实数 x，y 满足不等式组xx－＋yy＋－24≥≥00
求：
2x－y－5≤0，
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； (2)z＝2xy＋＋11的取值范围；
(3)求 z＝|x＋2y－4|的最大值． 【思路点拨】 将所求目标函数变形后认清其几何意义，再运用数形结合思想
(2)作出直线 x－y＝0.因为将 z＝x－y 变形为 y＝x－z，z 的几何意义是直线 y＝
类型一
求线性目标函数的最值
x－z 在 y 轴上截距的相反数，为获取 z 的最小值，只需在 y 轴上截距最大，所以向 上平移直线 x－y＝0，当与直线 BC 所在直线重合时截距最大，即最优解为线段 BC
【例 1】
3x－y－2≥0
x－y＋2≥0 已知变量 x，y 满足 x－2y＋1≤0
高中数学第三章不等式3.4.2.1简单线性规划课件北师大版必修5
线性目标函数
关于 x，y 的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题
|化解疑难|
求解线性规划问题的注意事项 (1)线性约束条件是指一组对变量 x，y 的限制条件，它可以是 一组关于变量 x，y 的一次不等式，也可以是一次方程． (2)有时可将目标函数 z＝ax＋by 改写成 y＝mx＋nz 的形式．将 nz 看作直线 y＝mx＋nz 在 y 轴上的截距来处理． (3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的某一约 束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无数个． (4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解 是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时，常把视线落在可 行域的顶点上．
【课标要求】 1.理解约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解的概念. 2.会用图解法解决有关最优解问题．
自主学习 基础认识
线性规划的基本概念
名称
意义
约束条件
关于变量 x，y 的不等式(或方程)组
线性约束条件
关于 x，y 的一次不等式(或方程)组成的
目标函数
欲求最大值或最小值的关于变量 x，y 的函数解析式
A．－15 B．－9
C．1
D．9
【解析】 本题考查简单的线性规划问题． 根据线性约束条件画出可行域，如图． 作出直线 l0：y＝－2x.平移直线 l0，当经过点 A 时，目标函数 取得最小值．
由2y＋x－33＝y＋0 3＝0， 得点 A 的坐标为(－6，－3)． ∴zmin＝2×(－6)＋(－3)＝－15. 故选 A. 【答案】 A
北师大版高二数学必修5第三章第四节简单线性规划PPT课件
y
3x
x 1
ห้องสมุดไป่ตู้求z的最大值与最小值。
线性约束条 件
抽象概括
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最 小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划 问题的最优解。
C
4x+3y=36
令z=0,作直线l:2x+3y=0 当把l平移到B点时,z最小,平移到D点时, z最大
由于B点的坐标为(-3,-4),
D点的坐标是方程组
4x 3y 12 4x 3y 36
的解,为(3,8)
此时顶点B(-3,-4)与顶点D(3,8)为最优解
所以,
zmin 2 (3) 3 (4) 18
B点的坐标是方程组 A点的坐标是方程组
x 2 y 4, x 2 0, 的解,为(-2,3)
x 2 y 4, x y 1,
的解,为(2,1)
所以, zmin 3 (2) 3 9.
zmax 3 2 1 5.
例8 求z=4a-2b在约束条件
zmax 23 38 30
(2)可行域同(1)
y x=-3
-4x+3y=12
D
A
O
B
x
y=-4
C
4x+3y=36
令z=0,作直线l0:-4x+3y=0 当把l0平移到C点时,z最小,平移到直线-4x+3y=12时, z最大
C点的坐标是方程组
y 4 4x 3y
高中数学北师大版必修5《第3章44.3简单线性规划的应用》课件
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌 4 个，绘画标牌 5 个．现 有两种规格的原料，甲种规格每张 3 m2，可做文字标牌 1 个，绘画标 牌 2 个；乙种规格每张 2 m2，可做文字标牌 2 个，绘画标牌 1 个，求 两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
22
[解] 设需要甲种原料 x 张，乙种原料 y 张，则可做文字标牌(x ＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
8
90 [该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于 x，y∈N*，计算区域内与121，92最近的点为(5,4)，故当 x＝5，y＝4 时， z 取得最大值为 90.
]
9
【例 1】 某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品 的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际 情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最 大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查， 得到关于两种产品的有关数据如下表
x＋y≥35 000， 由题意得y≥15x，
0≤x≤50 000， y≥0， 而 z＝0.28x＋0.9y.
16
如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，
作一组平行直线 0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且和原
点最近的直线经过直线
x ＋ y ＝ 35
000
和直线
y
＝
1 5
x
D．46xx＋ ＋53yy><2224
[答案] A
6
2．A，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道 工序才能成为成品．已知 A 产品需要在甲机器上加工 3 小时，在乙机 器上加工 1 小时；B 产品需要在甲机器上加工 1 小时，在乙机器上加 工 3 小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用 11 小时，乙机器 至多只能使用 9 小时．设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，列出满 足生产条件的约束条件为________．
高二数学北师大版必修5教学教案3-4-2简单线性规划 Word版含解析
简单线性规划 教学目标一、知识与技能 1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、.过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感,态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学重点、难点重点: 简单线性规划问题的求解，线性目标函数的几何意义难点:简单线性规划问题的求解教学过程导入新课师 前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.（生回答）推进新课问题提出 设x , y 满足条件求z=2x+y 的最大值和最小值.师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 （板演）师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组时，z 的最大值是多少？ 师 把z=2x+y 变形为2y x z =-+,这是斜率为-2，在y 轴上的截距为z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线2y x z =-+，这说明，截距z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线2y x z =-+与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线2y x z =-+与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距z 最大.［合作探究］师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.设计意图:这个问题是前两个问题的综合,这样设计,过渡自然,层层递进,学生分组合作探究,讨论做法,重点体现数与形的结合。
高中数学3.4.3简单线性规划的应用北师大版必修5
30x＋20y＝300， 5x＋10y＝110
(x≥0，y≥0，x，y∈Z)，
得xy＝＝49，， ∴点 M 坐标为(4,9)． 将 x＝4，y＝9 代入目标函数 z＝6x＋8y， 得 z＝6×4＋8×9＝96(百元)为最大． 答：当月供应量为电子琴 4 架、洗衣机 9 台时， 该公司可获得最大利润为 9600 元．
解析：设该人每天服用甲种胶囊 x 粒，乙种胶囊 y 粒，得到维生素 Z z mg，由题意得
x＋3y≤19， x＋2y≤13， 4x＋y≤24， 4x＋3y≥12， x≥0， y≥0，
目标函数为 z＝5x＋2y.
作出不等式组表示的平面区域如图所示，
作出5x＋2y＝0. 把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z ＝5x＋2y取得最大值．
由35xx＋ ＋63yy＝ ＝115500， ， 解得yx＝＝11570700， ， 即点 P 坐标为(1570，1070)． 故每天生产甲种产品1570吨、乙种产品1070吨时，才能 创造最大的经济效益．
[变式训练2] (图表信息题)北京华欣公司计划在今年 内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK智能型”洗衣 机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销 售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定 产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种 产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到 关于这两种产品有关数据如下表：
(2)若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市．当28台 机器全部调完毕后，用x、y表示总运费P，并求P的最大值 和最小值.
解析：第一步，列表、分析条件： 表1
供方
Байду номын сангаас
运费
A
B
高中数学课件-3.4.3《简单线性规划的应用》课件(北师大版必修5)
某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3 吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润 3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料 不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是多少？
本题解答可先设出企业生产甲、乙两产品的吨数，再根 据原料限制条件列出约束条件，建立目标函数求解．
解析： 设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车 2x＋2y≤20
皮数．由题意得9x＋5y≤70， x≥0，y≥0
工厂利润z＝8 000x＋6 000y. 由29xx＋ ＋25yy＝ ＝2700 得xy＝ ＝55’
即当直线8 000x＋6 000y－z＝0过(5,5)点时，z取得最大值． 即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大利润．
1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需载重6 吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆，则要运送最多的货物，完成 这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y
B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y
D．z＝4x＋5y
答案： A
2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如 表所示(单位：千克)
最后相交的点，可使目标函数z＝ax＋by＋c取得最值．也就是
最优解． 2．设z＝2x＋y，其中变量x，y满足条件
3x－x＋45y≤y≤－253，， x≥1.
z的最大值和最小值分别为12,3 .
线性规划的应用
线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最 大值或最小值的问题，其关键是列出所有 限制条件 ， 不 能 有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准 确找到 目标函数 ，如果数量关系多而杂，可以用列表等方 法把关系理清．
最新-2021学年高中数学北师大版必修5课件：第三章 §4 43 简单线性规划的应用 精品
解决实际问题中的线性规划问题，要先审清题意， 然后通过设元，根据实际问题列出不等式组，写出目标 函数，再根据不等式组画出平面区域，求出目标函数的 最值．
[活学活用]
某厂计划生产甲、乙两种产品，甲产品售价 50 千元/件，乙产
品售价 30 千元/件，生产这两种产品需要 A，B 两种原料，生
Байду номын сангаас产甲产品需要 A 种原料 4 t/件，B 种原料 2 t/件，生产乙产品
线性规划应用问题中最优整数解确定方法 如果已知条件要求的最优解是整数解，而用图解法得到的 是非整数解，可用下面三种方法确定最优解． (1)平移直线法：先在可行域内打网格，描整点，平移直线 l，最先经过或最后经过的整点的坐标便是整点最优解． (2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点 坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得最优解． (3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定 方程的知识调整最优解，最后筛选出最优解． 一般地，先考虑直线平移法和检验优值法，如果这两种方 法都有困难，再用调整优值法．
[活学活用] 学校有线网络同时提供A，B两套选修课程．A套选修课播40 分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分 钟，课后研讨40分钟，可获学分4分．全学期20周，网络每 周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看 选修课不超过1 400分钟，研讨时间不得少于1 000分钟．问 两套选修课怎样合理选择，才能获得最高学分成绩？
x∈N，y∈N，
即22xx＋＋y3≤y≤223，0， x∈N，y∈N，
作出可行域，如图．
作出直线 l0∶4x＋3y＝0 并平移，由图像得，当直线经过
M 点时 z 能取得最大值，由22xx＋ ＋3y＝y＝223，0，