2014中考二轮复习专题——代数推理题

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2x (x a x x 12x ax =-+++-中考二轮复习专题——代数推理题
例1.老师在黑板上写出三个算式： 52一 32= 8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112 5 2=8×12，152-72
=8×22，…… (1)请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3 )证明这个规律的正确性．
例 2. 方程有且仅有一个实根，求a 的值．
例3. 已知二次函数)a c (bx 2x )c a (y 2--++=，其中a 、b 、c 是△ABC 的三边，
且b 2c a ,c a ,b a =+≥≥．
（1）若这个二次函数的图像经过原点，试证：△ABC 是等边三角形；
（2）若△ABC 是直角三角形，试证：这个二次函数的图像除顶点以外都在x 轴上方．
例4. 关于x 的方程)c bx (2)1x )(1x )(c a (+=-+-有两个相等实根，其中a ，b ，c 为△ABC
中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若0c b 4ac 2a 222=+-+，求sinB 和tanA 的值．
例5.已知二次函数122+-+=m mx x y （m 为常数）．
（1）求证：不论m 为何值，该二次函数图象的顶点P 都在函数12++-=x x y 的图象上；
（2）若顶点P 的横、纵坐标相等，求P 点坐标．
例6. 已知一次函数y 1 = 2x 和二次函数y 2 = x 2 + 1。

(1) 求证：函数y 1、y 2的图像都经过同一个定点；
(2) 求证：在实数范围内，对于任意同一个x 的值，这两个函数所对应的函数值y 1 ≤ y 2
总成立； (3) 是否存在抛物线y 3 = ax 2 + bx + c ，其图象经过点(-5，2)，且在实数范围内，对于同
一个x 的值，这三个函数所对应的函数值y 1 ≤ y 3 ≤ y 2总成立？若存在，求出y 3的解
析式；若不存在，说明理由。

例1、思路分析：通过观察、对比每个等式可知左边是两个奇数的平方差，右边是8与某个因数的乘积，同时左边的两个奇数不一定是连续的，所以不能用2n-1或2n+1表示，于是只有用两个不同的字母m ，n 来表示，并且要针对m ，n 的奇偶性讨论.
解（1）如：152-112=8×13；172-152=8×8
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数
（3）证明：设m ，n 为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则
（2m+1）2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1)
(a)当m,n 同是奇数或偶数时，m-n 一定为偶数，所以4（m-n ）一定是8的倍数
(b)当m 、n 为一奇一偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数.故任意两个奇数的平方差是8的倍数.
重要提醒：本题虽然第一、第二个等式的左边均是两个连续奇数，但其它的等式左边却不是，因而在探索规律时，不能眼睛只盯住其中一个或两个甚至更多个的规律，应该是总揽全局，要观察、分析出每一个都具有的规律，同时本题证明时，应注意分类讨论的思想.
例2、分析：解分式方程的基本方法是把它转化为整式方程，而这个整式方程的根可能是原方程的根，也可能是原方程的增根，本题条件中分式方程有且仅有一个实根，则有以下三种可能的情况：（1）转化为整式方程后是一元一次方程，且它的根不是原方程的增根；（2）转化为整式方程后是一元二次方程，该方程有两个相等实根，且不是原方程的增根；（3）转化为整式方程后是一元二次方程，且这个一元二次方程的两个根中有一个是原方程的增根，另一个不是增根．
解：把原方程去分母，整理得：
02a x 2ax 2=-++ （1）当a=0时，x=1，经检验是原方程的根；
（2）当0a ≠时，
①若方程02a x 2ax 2=-++有两个相等实根，则△=0
即0)2a (a 44=-- 解之得21a ±= 当21a +=时，21x -=，经检验是原方程的根． 当21a -=时，12x +=，经检验是原方程的根．
②若方程02a x 2ax 2=-++有两个不等实根，且一个是原方程的增根，另一个是原方
程的根，则
（1）设x=0是02a x 2ax 2=-++的根，则a=2，此时，另一根1x -=，经检验是原
方程的根．
（2）设x=2是02a x 2ax 2=-++的根，则
52a -=，此时，另一根为x=3，经检验是
原方程的根． 综上所述：当21a ,0a ±==，a=2，或52a -=时，方程0)2x (x a x x 12x ax =-+++-有且
仅有一个实根．
例3. 分析：（1）从结论看，要证△ABC 是等边三角形，需证a=b=c ；从条件看，由函数图像通过原点，可知（0，0）满足该函数的解析式，将之代入变形，寻找a=b=c 的关系．
（2）从结论看，要证二次函数的图像除顶点外都在x 轴上方，那么解析式配方后n )m x (a y 2++=，其中n=0；从条件看，利用△ABC 是b 2c a ,Rt =+∆，可将a 、b 、c 均用a 表示，通过配方观察结论．
证明：（1）由
)(2)(2a c bx x c a y --++=图像过原点，得a=c 又b 2c a =+
c b a ==∴ 即△ABC 是等边三角形
（2）由△ABC 是Rt △，及c a ,b a ≥≥
222c b a +=∴
又b 2c a =+
a 53c ,a 54
b ==∴
0)21x (a 58a 52ax 58ax 58y 22≥+=++=∴ ∴二次函数的图像除顶点外都在x 轴上方
例4、分析：从题目结构看是把方程的知识，三角形边角关系“串联”起来，知识衔接关系清楚，属组合型综合题．
解：把方程)c bx (2)1x )(1x )(c a (+=-+-整理得0c a bx 2x )c a (2=----
因为方程有两个相等实根，所以0c a ≠-，且△=0
即0)c a )(c a (4b 42=+-+
0c a b 222=-+∴ ∴△ABC 为直角三角形，∠C=90°
由0c b 4ac 2a 222=+-+可得
b 2
c a 0
b 2
c a 0
)b 2c a )(b 2c a (=-+>++=-+++
由⎩⎨⎧=-=+c a b 2c a b 2
22 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==c 54b c 53a ABC Rt ∆∴中，5:4:3c :b :a =
43b a tgA ,54c b B sin ====∴
例5. 23. (1) 证明： .1)(122
22+--+=+-+=m m m x m mx x y
∴顶点P 的坐标为 (－m , 12
+--m m ). ……………………………2分 当x =－m 时，11)()(22+--=+-+--=m m m m y .………………………3分 ∴不论m 为何值，该二次函数图象的顶点P 都在函数12++-=x x y 的图象上. ……………………4分
(用顶点坐标公式求出顶点坐标参照给分)
（2）根据题意得：.12+--=-m m m 解得： .1±=m ……………………6分 ∴点P 的坐标为 (1，1) 或 (－1，－1) . ……………………7分
例6、(1)略(3分) (2)略(3分) (3) 存在 23141333
y x x =++(1分 + 2分)。