中考数学压轴题分类练习代数计算推理专题(无答案)

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代数式(压轴必刷30题5种题型专项训练)(解析版)

代数式（压轴必刷30题5种题型专项训练）一．列代数式（共7小题）1．（2022秋•拱墅区月考）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a），如图1；取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图2；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图3．则图3中阴影部分的面积为（用含有a，b的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，则小正方形卡片的面积是．【分析】图2中阴影正方形的边长为（2b﹣a），面积就是（2b﹣a）2；图3中两个阴影部分的面积可以上下拼在一起，也是个正方形，其边长是（a﹣b），面积就是（a﹣b）2．再根据等量关系列方程就可以得出含有a、b的关系式了．【解答】解：图2中阴影部分是正方形，它的边长是（2b﹣a），所以它的面积就是（2b﹣a）2．图3a﹣b），所以它的面积就可以表示为：（a﹣b）2．又因为图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，所以可得：（2b﹣a）2+2ab﹣15＝（a﹣b）2，4b2﹣4ab+a2+2ab﹣15＝a2+b2﹣2ab，3b2＝15，b2＝5，故小正方形的面积是5．【点评】本题考查列代数式的能力，用字母表示阴影部分的面积．再根据等量关系进行推导．2．（2022秋•余姚市校级期中）A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知调运机器的费用如表所示．设从A市、B市各调x台到D市．（1）C市调运到D市的机器为台（用含x的代数式表示）；（2）B市调运到E市的机器的费用为元（用含x的代数式表示，并化简）；（3）求调运完毕后的总运费（用含x的代数式表示，并化简）；（4）当x＝5和x＝8时，哪种调运方式总运费少？少多少？【分析】（1）用D市需要的总数减去从A市、B市各调的台数即可；（2）求得B市剩下的台数，再乘运费即可；（3）用运送的台数乘运费分别求得各自得运费，再进一步求和即可；（4）把x＝5和x＝8分别代入求得答案即可．【解答】解：（1）C市调运到D市的机器为18﹣2x台；故答案为：（18﹣2x）；（2）B市调运到E市的机器的费用为700（10﹣x）＝（7000﹣700x）元（用含x的代数式表示，并化简）；故答案为：（7000﹣700x）．（3）调运完毕后的总运费为200x+800（10﹣x）+300x+700（10﹣x）+400（18﹣2x）+500[8﹣（18﹣2x）]＝17200﹣800x；（4）当x＝5时，总运费为17200﹣800×5＝13200元；当x＝8时，总运费为17200﹣800×8＝10800元；10800元＜13200元，13200﹣10800＝2400，所以当x＝8时，总运费最少，最少为10800元，少2400元．【点评】此题考查列代数式，题目关系是比较多，理清顺序，正确利用基本数量关系解决问题．3．（2021秋•陕州区期末）某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为2000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有a（a＞10）人，则甲旅行社的费用为元，乙旅行社的费用为元；（用含a的代数式表示，并化简．）（2）假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．（3）如果计划在五月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为a，则这七天的日期之和为．（用含a的代数式表示，并化简．）（4）假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程．）【分析】（1）由题意得，甲旅行社的费用＝2000×0.75a；乙旅行社的费用＝2000×0.8（a﹣1），再对两个式子进行化简即可；（2）将a＝20代入（1）中的代数式，比较费用较少的比较优惠；（3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可；根据前面求得七天的日期之和的求得最中间的那个日期，然后分别求得当为63的1倍，2倍，3倍时，日期分别是什么即可．【解答】解：（1）由题意得，甲旅行社的费用＝2000×0.75a＝1500a；乙旅行社的费用＝2000×0.8（a﹣1）＝1600a﹣1600；故答案为1500a．（1600a﹣1600）．（2）将a＝20代入得，甲旅行社的费用＝1500×20＝30000（元）；乙旅行社的费用＝1600×20﹣＝30400（元）∵30000＜30400元∴甲旅行社更优惠；（3）设最中间一天的日期为a，则这七天分别为：a﹣3，a﹣2，a﹣1，a，a+1，a+2，a+3∴这七天的日期之和＝（a﹣3）+（a﹣2）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+2）+（a+3）＝7a（4）①设这七天的日期和是63，则7a＝63，a＝9，所以a﹣3＝6，即6号出发；②设这七天的日期和是63的2倍，即126，则7a＝126，a＝18，所以a﹣3＝15，即15号出发；③设这七天的日期和是63的3倍，即189，则7a＝189，a＝27，所以a﹣3＝24，即24号出发；所以他们可能于五月6号或15号或24号出发．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．4．（2020秋•衢州期中）甲．乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是：按定价的9折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）用代数式表示（所填式子需化简）：当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款元；在乙店购买需付款元．（2）当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由．（3）当购买乒乓球盒数为10盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款几元？【分析】（1）甲店需付费：4副乒乓球拍子费用+（x﹣4）盒乒乓球费用；乙店需付费：（4副乒乓球拍子费用+x盒乒乓球费用）×0.9，把相关数值代入求解即可；（2）把x＝10代入（1）得到的式子计算，比较结果即可；（3）可在甲店购买乒乓球拍子，在乙店购买乒乓球．【解答】解：（1）甲店需付费：4×20+（x﹣4）×5＝80+5x﹣20＝（5x+60）元；乙店需付费：（4×20+x ×5）×0.9＝（4.5x+72）元；故答案为（5x+60）；（4.5x+72）；（2）当x＝10时，甲店需付费5×10+60＝110元；乙店需付费4.5×10+72＝117元，∴到甲商店比较合算；（3）可在甲店购买4副乒乓球拍子，在乙店购买（10﹣4）盒乒乓球，所需费用为：4×20+（10﹣4）×5×0.9＝80+27＝107元．【点评】5．（2021秋•下城区校级期中）从2012年7月1日起某市执行新版居民阶梯电价，小明同学家收到了新政后的第一张电费单，小明爸爸说：“小明，请你计算一下，这个月的电费支出与新政前相比是多了还是少了？”于是小明上网了解了有关电费的收费情况，得到如下两表：2004年1月至2012年6月执行的收费标准：2012年7月起执行的收费标准：（1）若小明家2012年7月份的用电量为200度，则小明家7月份的电费支出是多少元？比新政前少了多少元？（2）若新政后小明家的月用电量为a度，请你用含a的代数式表示当月的电费支出．【分析】（1）根据表格中的数据可以计算出小明家2012年7月份的用电量为200度时当月的电费支出和新政前用电量为200度时当月的电费支出，从而可以解答本题；（2）根据表格中的数据可以分别用代数式表示出各个阶段的电费支出．【解答】解：（1）由题意可得，小明家2012年7月份的用电量为200度，小明家7月份的电费支出是：200×0.53＝106（元），新政前，用电200度电费支出为：50×0.53+（200﹣50）×0.56＝110.5（元），∵110.5﹣106＝4.5（元），∴新政后比新政前少华4.5元，即若小明家2012年7月份的用电量为200度，则小明家7月份的电费支出是106元，比新政前少了4.5元；（2）由题意可得，当0≤a≤230时，小明家当月的电费支出为：0.53a，当230＜a≤400时，小明家当月的电费支出为：0.53×230+（a﹣230）×0.58＝0.58a﹣11.5，当a＞400时，小明家当月的电费支出为：0.53×230+0.58×（400﹣230）+0.83×（a﹣400）＝0.83a﹣111.5，由上可得，新政后小明家的月用电量为a度，当月支出的费用为：．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．6．（2023秋•海曙区校级期中）小明去文具用品商店给同学买某品牌水性笔，已知甲、乙两商店都有该品牌的水性笔且标价都是1.50元/支，但甲、乙两商店的优惠条件却不同．甲商店：若购买不超过10支，则按标价付款；若一次购10支以上，则超过10支的部分按标价的60%付款．乙商店：按标价的80%付款．在水性笔的质量等因素相同的条件下．（1）设小明要购买的该品牌笔数是x（x＞10）支，请用含x的式子分别表示在甲、乙两个商店购买该品牌笔的费用；（2）若小明要购买该品牌笔30支，你认为在甲、乙两商店中，到哪个商店购买比较省钱？说明理由．【分析】（1）先求出甲商店10支水性笔的价钱，然后再求出超过10支的部分的价钱，然后列出代数式；乙商店每支水性笔的价钱是1.5×0.8元，那么x支的价钱是1.5×0.8×x元；（2）把x＝30代入即可得到答案．【解答】解：（1）在甲商店需要：10×1.5+0.6×1.5×（x﹣10）＝0.9x+6（元），在乙商店需要：1.5×0.8×x＝1.2x（元），（2）当x＝30时，0.9x+6＝33，1.2x＝36，因为33＜36，所以小明要买30支笔应到甲商店买比较省钱．【点评】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．7．（2021秋•临海市月考）大客车上原有（3a﹣b）人，中途下车一半人，又上车若干人，使车上共有乘客（8a﹣5b）人．问中途上车乘客是多少人？当a＝10，b＝8时，上车乘客是多少人？【分析】原有（3a﹣b）人，中途下车（3a﹣b）人，又上车若干人后车上共有乘客（8a﹣5b）人．中途上车乘客数＝车上共有乘客数﹣中途下车人数，所以中途上车乘客为，把a＝10，b＝8代入上式可得上车乘客人数．【解答】解：中途上车乘客是（8a﹣5b）﹣（3a﹣b）＝（人），当a＝10，b＝8时，上车乘客是29人．【点评】要分析透题中的数量关系：中途上车乘客数＝车上共有乘客数﹣中途下车人数，用代数式表示各个量后代入即可．二．代数式求值（共7小题）8．（2023秋•西湖区期中）已知|m|＝3，|n|＝2，且m＜n，求m2+mn+n2的值．【分析】先利用绝对值的性质求得m、n的值，然后根据m＜n分类计算即可．【解答】解：由题意可得，m＝±2，n＝±2，又∵m＜n，∴m＝﹣3，n＝2 或m＝﹣3，n＝﹣2，当m＝﹣3，n＝2时，原式＝（﹣3）2+（﹣3）×2+22＝9﹣6+4＝7；当m＝﹣3，n＝﹣2时，原式＝（﹣3）2+（﹣3）×（﹣2）+（﹣2）2＝9+6+4＝19．【点评】本题主要考查的是求代数式的值，求得m、n的值是解题的关键．9．（2022秋•阳新县期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元，“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的式子表示）（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；（2）将x＝30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；（3）根据题意考可以得到先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉更合算．【解答】解：（1）800×10+200x﹣10）＝200x+6000（元），（800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）；（2）当x＝30时，方案一：200×30+6000＝12000（元），方案二：180×30+7200＝12600（元），所以，按方案一购买较合算．（3）先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，共10×800+200×20×90%＝11600（元）．【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．10．（2022秋•吴兴区期中）电动车厂计划每天平均生产n辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）：（1）用含n的整式表示本周五天生产电动车的总数；（2）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当n＝50时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？（3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当n ＝50时，在此方式下这一周工人的工资总额与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．【分析】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电动车的数量，再求和即可；（2）5天的生产电动车的总数×200元+超出部分的奖励﹣罚款可得工人这一周的工资总额；（3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可．【解答】解：（1）n+5+n﹣1+n﹣6+n+13+n﹣2＝5n+9；（2）当n＝50时，5n+9＝5×50+9＝259，200×259+55（5+13）+60（﹣1﹣6﹣2）＝52250，所以该厂工人这一周的工资总额是52250元．（3）5+（﹣1）+（﹣6）+13+（﹣2）＝9，259×200+9×55＝52295，∵52250＜52295，∴每周计件工资制一周工人的工资总额更多．【点评】此题主要考查了由实际问题列代数式，关键是正确理解题意，掌握每日计件工资制的计算方法．11．（2021秋•镇海区校级期中）周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价40元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠，甲商店买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯），乙商店全场九折优惠，小明的爸爸需茶壶5把，茶杯a只（不少于25只）（1）分别用含有a的代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用；（2）当a＝40时，在甲、乙哪个商店购买付款较少？请说明理由．（3）若小明的爸爸准备了1800元钱，在甲、乙哪个商店购买的茶杯多？请说明理由．【分析】（1）根据实际付款数得到甲店购买需付款为5（a﹣5）+40×5＝（5a+175）（元），乙店购买需付款为（5a+40×5）×0.9＝（4.5a+180）（元）；（2）将a＝40分别代入（1）中所求的两式子，得出的值在哪家少就在那家买；（3）令甲乙的付款数都为1800，然后解方程5a+175＝1800和4.5a+135＝1800，根据a的大小进行判断．【解答】解：（1）设购买茶杯a只（不少于25只），甲商店买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯），且茶壶每把定价40元，茶杯每只定价5元，故在甲店购买需付：5（a﹣5）+40×5＝（5a+175）（元）；乙商店全场九折优惠，故在乙店购买需付：（5a+40×5）×0.9＝（4.5a+180）（元）；（2）在乙商店购买付钱较少．理由如下：当a＝40时，在甲店购买需付：5×40+175＝375元，在乙店购买需付：4.5×40+180＝360元，∵375＞360，∴在乙商店购买付款较少；（3由5a+175＝1800，得a＝325；由4.5a+180＝1800，得a＝360．所以在乙商店购买的茶杯多．【点评】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题，注意细心求解即可．12．（2023秋•下城区校级月考）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为4时，求最后输出的结果y是．【分析】根据题中的程序流程图，将x＝4代入计算，得到结果为﹣2小于1，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果．【解答】解：输入x＝4，代入（x2﹣8）×（﹣）得：（16﹣8）×（﹣）＝﹣2＜1，将x＝﹣2代入（x2﹣8）×（﹣）得：（4﹣8）×（﹣）＝1＝1，将x＝1代入（x2﹣8）×（﹣）得：（1﹣8）×（﹣）＝＞1，则输出的结果为．故答案为：．【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．13．（2021秋•诸暨市期中）若在运动会颁奖台上面及两侧铺上地毯（如图阴影部分），长为m，宽为n，高为h，（单位为：cm）（1）用m，n，h表示需要地毯的面积；（2）若m＝160，n＝60，h＝80，求地毯的面积．【分析】（1）根据平移计算出地毯总长，然后再根据长×宽可得面积；（2）把已知数据代入（1）中求出答案．【解答】解：（1）地毯的面积为：mn+2nh；（2）地毯总长：80×2+160＝320（cm），320×60＝19200（cm2），答：地毯的面积为19200cm2．【点评】此题主要考查了生活中的平移现象、代数式求值，关键是掌握平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．14．（2021秋•椒江区校级期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式）形式来表示，例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7．已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣12．（1）求g（﹣2）值；（2）若h（）＝﹣11，求g（a）的值．【分析】（1）根据举的例子把x＝﹣2代入求出即可；（2）把x＝代入h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣12得出一个关于a的方程，求出a的值，把a的值代入g（x）＝﹣2x2﹣3x+1即可．【解答】解：（1）g（﹣2）＝﹣2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝﹣2×4﹣3×（﹣2）+1＝﹣8+6+1＝﹣1；（2）∵h（）＝﹣11，∴a×（）3+2×（）2﹣﹣12＝﹣11，解得：a＝1，即a＝8∴g（a）＝﹣2×82﹣3×8+1＝﹣2×64﹣24+1＝﹣128﹣24+1＝﹣151．【点评】本题考查了有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．三．多项式（共1小题）15．（2021秋•越城区期中）关于x的多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1中不含二次项和一次项时，求m、n的值．【分析】利用多项式的定义得出二次项与一次项系数为0，进而求出即可．【解答】解：∵关于x的多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1中不含二次项和一次项，∴﹣5﹣（2m﹣1）＝0，2﹣3n＝0，解得：m＝﹣2，n＝．【点评】此题主要考查了多项式的定义，得出各项系数之间关系是解题关键．四．整式的加减（共9小题）16．（2020秋•西湖区校级期末）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）3与是关于1的平衡数，5﹣x与是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．【分析】（1）由平衡数的定义可求得答案；（2）计算a+b是否等于2即可．【解答】解：（1）设3的关于1的平衡数为a，则3+a＝2，解得a＝﹣1，∴3与﹣1是关于1的平衡数，设5﹣x的关于1的平衡数为b，则5﹣x+b＝2，解得b＝2﹣（5﹣x）＝x﹣3，∴5﹣x与x﹣3是关于1故答案为：﹣1；x﹣3；（2）a与b不是关于1的平衡数，理由如下：∵a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，∴a+b＝2x2﹣3（x2+x）+4+2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝2x2﹣3x2﹣3x+4+2x﹣3x+4x+x2+2＝6≠2，∴a与b不是关于1的平衡数．【点评】本题主要考查整式的加减，理解题目中所给平衡数的定义是解题的关键．17．（2021秋•婺城区校级期中）已知整式M＝x2+5ax﹣x﹣1，整式M与整式N之差是3x2+4ax﹣x （1）求出整式N；（2）若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值．【分析】（1）根据题意，可得N＝（x2+5ax﹣x﹣1）﹣（3x2+4ax﹣x），去括号合并即可；（2）把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．【解答】解：（1）N＝（x2+5ax﹣x﹣1）﹣（3x2+4ax﹣x）＝x2+5ax﹣x﹣1﹣3x2﹣4ax+x＝﹣2x2+ax﹣1；（2）∵M＝x2+5ax﹣x﹣1，N＝﹣2x2+ax﹣1，∴2M+N＝2（x2+5ax﹣x﹣1）+（﹣2x2+ax﹣1）＝2x2+10ax﹣2x﹣2﹣2x2+ax﹣1＝（11a﹣2）x﹣3，由结果与x值无关，得到11a﹣2＝0，解得：a＝．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．18．（2021秋•临海市校级期中）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．（1）求3A+6B；（2）若3A+6B的值与a的取值无关，求b的值；（3）如果A+2B+C＝0，则C的表达式是多少？【分析】（1）先把A、B的表达式代入，再去括号，合并同类项即可；（2）根据（1）中3A+6B的表达式，再令a的系数等于0，求出b的值即可；（3）先把A、B C的表达式即可．【解答】解：（1）∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，∴3A+6B＝3（2a2+3ab﹣2a﹣1）+6（﹣a2+ab﹣1）＝6a2+9ab﹣6a﹣3﹣6a2+6ab﹣6＝15ab﹣6a﹣9；（2）3A+6B＝15ab﹣6a﹣9＝a（15b﹣6）﹣9，∵3A+6B的值与a无关，∴15b﹣6＝0，∴b＝；（3）∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，A+2B+C＝0，∴C＝﹣A﹣2B＝﹣（2a2+3ab﹣2a﹣1）﹣2（﹣a2+ab﹣1）＝﹣2a2﹣3ab+2a+1+2a2﹣2ab+2＝﹣5ab+2a+3．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．19．（2020秋•奉化区校级期末）已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求n m+mn的值．【分析】把A与B代入A﹣2B中，去括号合并得到最简结果，由结果不含有x2项和y项求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，解得：m＝2，n＝﹣1，则原式＝1﹣2＝﹣1．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．20．（2021秋•嵊州市期中）一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1．如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求这个三位数．【分析】x，则这个数是100（2x+1）+10x+（3x﹣1），把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调后的数为100（3x﹣1）+10x+（2x+1），根据新数减去原数等于99建立方程求解．【解答】解：由题意设十位上的数为x，则这个数是100（2x+1）+10x+（3x﹣1），把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调后的数为100（3x﹣1）+10x+（2x+1），则100（3x﹣1）+10x+（2x+1）﹣[100（2x+1）+10x+（3x﹣1）]＝99，解得x＝3．所以这个数是738．【点评】本题利用了整式来表示每位上的数，整式的减法，建立方程求解．21．（2021秋•嵊州市期中）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法规为：＝ad﹣bc．（1）计算：＝；（直接写出答案）（2）化简二阶行列式：．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝10﹣12＝﹣2；故答案为：﹣2；（2）根据题中的新定义得：原式＝（a+2b）（a﹣2b）﹣4b（0.5a﹣b）＝a2﹣4b2﹣2ab+4b2＝a2﹣2ab．【点评】此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2023秋•象山县校级期中）已知：A＝ax2+x﹣1，B＝3x2﹣2x+4（a为常数）．（1）若A与B的和中不含x2项，求出a的值；（2）在（1）的基础上化简：B﹣2A．【分析】（1）A与B的和中不含x2项，即x2项的系数为0，依此求得a的值；（2）先将表示A与B的式子代入B﹣2A，再去括号合并同类项．【解答】解：（1）A+B＝ax2+x﹣1+3x2﹣2x+4＝（a+3）x2﹣x+3，∵A与B的和中不含x2项，∴a+3＝0，则a＝﹣3；（2）B﹣2A＝3x2﹣2x+4﹣2×（﹣3x2+x﹣1）＝3x2﹣2x+4+6x2﹣2x+2＝9x2﹣4x+6．【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握多项式加减的运算法则，合并同类项的法则．23．（2020秋•婺城区期末）已知A﹣2B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．（1）用含a，b的代数式表示A．（2）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求A的值．【分析】（1）表示出A，然后去掉括号，再根据整式的加减运算方法进行计算即可得解；（2）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵A﹣2B＝7a2﹣7ab，∴A＝7a2﹣7ab+2B，＝7a2﹣7ab+2（﹣4a2+6ab+7）＝7a2﹣7ab﹣8a2+12ab+14＝﹣a2+5ab+14；（2）根据题意得，a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，∴A＝﹣a2+5ab+14＝﹣（﹣1）2+5×（﹣1）×2+14＝﹣1﹣10+14＝3．【点评】本题考查了整式的加减，代数式求值，非负数的性质，实质就是去括号，合并同类项的过程，熟记去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．24．（2022秋•鄞州区校级期中）已知A＝3x2+3y2﹣5xy，B＝2xy﹣3y2+4x2．（1）化简：2B﹣A；（2）已知﹣a|x﹣2|b2与ab y是同类项，求2B﹣A的值．【分析】（1）把A与B代入2B﹣A中，去括号合并即可得到结果；（2）利用同类项的定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）∵A＝3x2+3y2﹣5xy，B＝2xy﹣3y2+4x2，∴2B﹣A＝2（2xy﹣3y2+4x2）﹣（3x2+3y2﹣5xy）＝4xy﹣6y2+8x2﹣3x2﹣3y2+5xy＝5x2+9xy﹣9y2；（2）∵﹣a|x﹣2|b2与ab y的同类项，∴|x﹣2|＝1，y＝2，解得：x＝3或x＝1，y＝2，当x＝3，y＝2时，原式＝45+54﹣36＝63；当x＝1，y＝2时，原式＝5+18﹣36＝﹣13．【点评】此题考查了整式的加减，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．五．整式的加减—化简求值（共6小题）25．（2020秋•永嘉县校级期末）先化简再求值：2（x2+3y）﹣（2x2+3y﹣x），其中x＝1，y＝﹣2．【分析】先去括号，再合并同类项即可化简原式，继而将x、y的值代入计算可得．【解答】解：原式＝2x2+6y﹣2x2﹣3y+x＝3y+x，当x＝1、y＝﹣2时，原式＝3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算整式加减运算顺序和法则是解本题的关键．26．（2020秋•诸暨市期中）化简求值：5（3a2b﹣2ab2）﹣4（﹣2ab2+3a2b），其中a＝﹣2，b＝1．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（15a2b﹣10ab2）﹣（﹣8ab2+12a2b）＝15a2b﹣10ab2+8ab2﹣12a2b＝3a2b﹣2ab2，当a＝﹣2，b＝1时，原式＝16．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27．（2020秋•富阳区期中）化简并求值：[2b2﹣3+2（a2﹣1）]﹣（4a2﹣3b2），其中a＝﹣2，b＝1．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝2b2﹣3+2a2﹣2﹣4a2+3b2＝5b2﹣2a2﹣5，当a＝﹣2，b＝1时，原式＝5﹣8﹣5＝﹣8．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2020秋•温州月考）求多项式的值，其中x＝5，y＝﹣8．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣xy+x2﹣3x2+xy＝﹣2x2，当x＝5时，原式＝﹣50．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．（2020秋•长兴县期末）先化简，再求值：2（a2﹣ab）﹣3（a2﹣ab﹣1），其中a＝﹣2，b＝3．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝2a2﹣2ab﹣2a2+3ab+3＝ab+3，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝﹣6+3＝﹣3．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30．（2021秋•椒江区校级期中）已知|x+2|+（y﹣）2＝0，求代数式（x3+2x2y）+x3﹣（﹣3x2y+5xy2）﹣（7﹣5xy2）的值．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵|x+2|+（y﹣）2＝0，∴x＝﹣2，y＝，则原式＝x3+2x2y+x3+3x2y﹣5xy2﹣7+5xy2＝x3+5x2y﹣7＝﹣8+10﹣7＝﹣5．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

中考数学压轴题：“代数计算说理问题”训练及解析

中考数学压轴题：“代数计算说理问题”训练及解析计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE =．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+．请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2014年湖南省长沙市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P (2, m )是反比例函数ny x=（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y ＝3kx ＋s －1（k 、s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1（a 、b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个“梦之点”A (x 1, x 1)、B (x 2,x 2)，且满足－2＜x 1＜2，| x 1－x 2|＝2，令2157248t b b =-+，试求t 的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“14长沙25”，拖动y 轴正半轴上表示实数a 的点，可以体验到，A 、B 两点位于y 轴同侧，A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a ，有两个对应的b 和b ′，但是t 随b 、t 随b ′变化时对应的t 的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y ＝x 上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t 关于b 的二次函数的最值，b 的取值范围由“梦之点”、－2＜x 1＜2和| x 1－x 2|＝2三个条件决定，而且－2＜x 1＜2还要分两段讨论．图文解析（1）因为点P (2, m )是“梦之点”，所以P (2, 2)．所以4yx=．（2）“梦之点”一定在直线y ＝x 上，直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时k ＝13，s ＝1． ②如图2，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 平行时，没有“梦之点”．此时k ＝13，s ≠1． ③如图3，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 相交时，有1个“梦之点”．此时k ≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s s k k ----．（3）因为A (x 1,x 1)、B (x 2,x 2)两点是抛物线与直线y ＝x 的交点，联立y ＝ax 2＋bx ＋1和y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．所以x 1x 2＝1a＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧．如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2．已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值范围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8． ②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8．综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8．所以0＜1a ＜8．所以a ＞18．由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a．由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+．所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++．如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176．所以t 的取值范围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+．另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0．所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18．例 2 2014年湖南省怀化市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m -的值；（2）求2121211mx mx m x x +---的最大值．动感体验请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．思路点拨1．先确定m 的取值范围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程． 3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点．图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0．由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1．又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+．若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+．整理，得210m m --=．解得m =，或m =．所以323(12m -=-．所以132m -2．（2）2121211mx mx m x x +---＝121211x x m m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m变化时，抛物线y＝x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y＝(m－2)2－2(m－2)2＋m2－3m＋3＝m－1．因为x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1为定值，所以y＝－x＋1．也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线y＝－x＋1（如图2所示）．图2例 3 2014年湖南省湘潭市中考第26题如图1，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过原点，直线AC 的解析式为y ＝kx ＋4，直线AC 与y 轴交于点A ，与二次函数的图象交于B 、C 两点．（1）求二次函数解析式；（2）若1=3AOB BOC S S △△，求k 的值；（3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ．思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．图文解析（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x (x －4)＝－x 2＋4x ．（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ．将点B (m , km ＋4)、C (4m , 4km ＋4)分别代入y ＝－x (x －4)，得4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①② ①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）．（3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B (x 1,kx 1＋4)，C (x 2,kx 2＋4)．联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2＋(k －4)x ＋4＝0．所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°．作BM ⊥y 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ．根据BM ON MO NC =，得1212(4)4x kx kx x -+=+．所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54k =-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组．将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①② ①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2014年湖南省株洲市中考第24题已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++．（1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行．思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD //BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．图文解析（1）因为222(52)17(2)42()424k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C (－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．由根与系数的关系，得x 1·x 2＝(52)4k +．所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4k k -++．因此710x=-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980．（3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CGAB GE=．所以AG //BE ，即AD //BE ．所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222(1)1k x +=．所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A (1, 0)．再将点A (1, 0)代入252(2)4k yx k x +=-++，得5201(2)4k k +=-++．解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．图2 图3考点伸展把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B (k ＋1, 0)．将点B (k ＋1, 0)代入252(2)4k yx k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=．解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．。

2022北京中考数学题型专练：代数压轴题

2022北京中考数学题型专练：代数压轴题一、解答题1．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．xOy ()1,m ()3n ,()20y ax bx a =+>（1）若，求该抛物线的对称轴；3,15m n ==（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． ()()()1231,,2,,4,y y y -0mn <123,,y y y 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点xOy 21y axbx a=+-y B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含的式子表示）；a （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 11(,)2P a-(2,2)Q a 3．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，xOy 44y x =+x y A B 23y ax bx a =+-A 将点向右平移5个单位长度，得到点．B C （1）求点的坐标；C （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．BC a 4．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．xOy 24(0)y ax bx a a =++-≠1x =（1）求抛物线的顶点坐标；24(0)y ax bx a a =++-≠（2）当时，y 的最大值是5，求a 的值；23x -≤≤（3）在（2）的条件下，当时，y 的最大值是m ，最小值是n ，且，求t 的值． 1t x t ≤≤+3m n -=5．在平面直角坐标系中，抛物线．分别过点和点作x 轴的垂线，交抛xOy 222(0)y ax ax a a =-+->(,0)M t (2,0)N t +物线于点A 和点B ．记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包括A ，B 两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m ．①当时，若图形G 为轴对称图形，求m 的值；2a =②若存在实数t ，使得，直接写出a 的取值范围．2m =6．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． xOy ()()1122,,,A x y B x y 22(22)2y x a x a a =-+--+12x x <（1）求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；（2）①当时，求y 的值；x a =②若，求x 1的值（用含a 的式子表示）；120y y ==（3）若对于，都有，求a 的取值范围．124x x +<-12y y <7．在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与抛物线xOy 2221(0)y ax a x a =-+≠交于点B ．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；4AB =（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． (4,1),(0,1)P a Q a ++PQ 8．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线的顶点．xOy 22221y x mx m m =-+-++（1）求点A 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若射线与x 轴所成的锐角为，求m 的值；OA 45︒（3）将点向右平移4个单位得到点Q ，若抛物线与线段只有一个公共点，直接写出m 的取值范围． (0,1)P PQ 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．xOy 2222(0)y x bx b b =-+->(,)A m n （1）用含b 的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点，且满足，求n 的取值范围；(0,2)B 03m <<（3）若时，，结合函数图象，直接写出b 的取值范围．35m ≤≤2n ≤10．已知二次函数．221(0)y ax ax a =-+≠（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x 轴交于不重合两点，（其中），且满足，求a 的()1,0M x ()2,0N x 12x x <1262x x <-取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与y 轴交于点A ．231y ax ax =-+（1）求抛物线的对称轴；（2）点B 是点A 关于对称轴的对称点，求点B 的坐标；（3）已知点P (0，2)，Q ，若线段PQ 与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． ()1,1a +12．在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴的交点为A ，过点A 作直线l 垂直于y 轴． xOy 222y x mx m =-+（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ．点，图形G ()11,M x y ()22,N x y 上任意两点．①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；0m =12x x <1y 2y ②若对于，都有，求m 的取值范围．122,2x m x m =-=+12y y >13．在平面直角坐标系xOy 中，点，为抛物线上的两点． ()11,P x y ()22,Q x y 2221(0)y ax ahx ah a =-++<（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；（2）若对于，，都有，求h 的取值范围．102x ≤≤245h x h -≤≤-12y y ≥14．在平面直角坐标系中，抛物线（）．xOy 223y ax ax a =--0a ≠（1）求抛物线的对称轴及抛物线与y 轴交点坐标．（2）已知点B （3，4），将点B 向左平移3个单位长度，得到点C ．若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．15．已知抛物线经过点．点，为抛物线上两个不同的点，且满足，2(0)y ax bx a =+≠(3,3)A 11(,)M x y 22(,)N x y 12x x <．122x x +=（1）用含的代数式表示；a b （2）当时，求抛物线的对称轴及的值；12y y =a （3）当时，求的取值范围．12y y <a 16．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为xOy 222y x mx m m =-+-+A （1）求抛物线的顶点坐标（用表示）；m（2）若点在第一象限，且A OA =（3）已知点，，若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围 (1,2)B m m --(2,2)C BC m 17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的对称轴为直线x =2．223y x bx =-+-（1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中n ．12x x <①当时，结合函数图象，求出n 的值；213x x -=②把直线PB 上方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5时，满足，求的取值范围．44y -≤≤n18．已知抛物线y=ax 2+bx+a+2(a≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，点B(x 2，0)，(点A 在点B 的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．(1)若点A 的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B 的坐标；(2)C 是第三象限的点，且点C 的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C ，直接写出x 2的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，点P 在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P 恰有4个，结合图象，求a 的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与y 轴交于点A ，与抛物线的对称3y ax =-+()2230y ax ax a a =--≠轴交于点B ，将点A 向右平移5个单位得到点C ，连接AB ，AC 得到的折线段记为图形G ．（1）求出抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）①当时，直接写出抛物线与图形G 的公共点个数．1a =-223y ax ax a =--②如果抛物线与图形G 有且只有一个公共点，求出a 的取值范围．223y ax ax a =--20．在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点．xOy 22y ax a x c =++(0,2)（1）求c 的值；（2）当时，求抛物线顶点的坐标；2a =（3）已知点，若抛物线与线段有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范(2,0),(1,0)A B -22y ax a x c =++AB 围．参考答案1．（1）；（2），理由见解析1x =-213y y y <<【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； ()1,3()3,15（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．0,0m n <>0,0m n ><【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：3,15m n ==()1,3()3,15()20y ax bx a =+>，解得：， 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为，22y x x =+∴抛物线的对称轴为； 12b x a=-=-（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：()20y ax bx a =+>()0,00mn <①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛0,0m n ><()20y ax bx a =+>()0,00a <0a >盾；②当时，0,0m n <>∵抛物线始终过定点，()20y ax bx a =+>()0,0∴此时抛物线的对称轴的范围为， 1322x <<∵点在该抛物线上，()()()1231,,2,,4,y y y -∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为， ()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<∵，开口向上，0a >∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴．213y y y <<【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（1）点B 的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 1(2,)a -1x =12a ≤-【分析】（1）向右平移2个单位长度，得到点； 10,⎛⎫- ⎪⎝⎭A a 12,⎛⎫- ⎪⎝⎭B a （2）A 与B 关于对称轴x=1对称；（3））①a ＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB 无交点；②a ＜0时，当y=212=-<y a 1=-y a 时，，或当时，； 2122--=ax ax a |1|++=a a x a |1|-+=a a x a |1|2++a a a 12-a 【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点A ，∴令，得， y 0x =1=-y a∴点A 的坐标为，∵点A 向右平移两个单位长度，得到点B ， 1(0,a-∴点B 的坐标为； 1(2,)a-（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为 1(0,)A a -1(2,B a-直线，故对称轴为直线 0212x +==1x =（3）∵对称轴x=1，∴b-2a ，， 212∴=--y ax ax a①a ＞0时，当x=2时，，当x=0或x=2， 12=-<y a 1=-y a∴函数与AB 无交点；②a ＜0时，当y=2时，， 2122--=ax ax a或当时，； |1|++=a a x a |1|-+=a a x a |1|2++a a a 12-a ∴当时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点； 12-a（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可0a >10a-<能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点.②当时，则. 0a <10a ->分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时即 12,a-≤ 12a ≤-综上所述，当时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 12a ≤-【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．3．（1）（5，4）；（2）x=1；（3）或或． C 43a <-13a ≥1a =-【详解】分析：（1）根据直线与轴、轴交于、．即可求出（，0），（0，4），根据点的平移即可44y x =+x y A B A 1-B 求出点的坐标；C （2）根据抛物线过（，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物23y ax bx a =+-A 1-02b a =-线的对称轴；（3）分①当抛物线过点时．②当抛物线过点时．③当抛物线顶点在上时．三种情况进行讨论即可. C B BC 详解：（1）解：∵直线与轴、轴交于、．44y x =+x y A B ∴（，0），（0，4）A 1-B ∴（5，4）C（2）解：抛物线过（，） 23y ax bx a =+-A 1-0∴． 30a b a --=2b a =-∴223y ax ax a =--∴对称轴为．212ax a -=-=（3）解：①当抛物线过点时． C，解得．251034a a a --=13a =②当抛物线过点时．B，解得．34a -=43a =-③当抛物线顶点在上时．BC此时顶点为（1，4）∴，解得．234a a a --=1a =-∴综上所述或或． 43a <-13a ≥1a =-点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用.4．（1）顶点坐标为；（2）；（3）或()1,4-1a =1t =-2t =【分析】（1）根据对称轴可得a 与b 间的关系b =-2a ，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a 为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互矛盾的，故可排除a 为负的情况，所以a 为正．再由于x 轴上-2与1的距离大小3与1的距离，根据抛物线的性质，函数在x =-2处取得最大值，从而可求得a 的值．（3）分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三1t x t ≤≤+种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t 的值．【详解】解：（1）∵对称轴是直线，1x =∴． 12b a-=∴．2b a =-∴．2224(1)4=-+-=--y ax ax a a x ∴顶点坐标为．()1,4-（2）若a <0，则抛物线的开口向下，从而y 有最大值4∵当时，y 的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x =1，23x -≤≤∴函数此时在时取得最大值5,1x =这与y 有最大值4矛盾，从而a >0．∴抛物线的顶点为图象的最低点．∵1-（-2）>3-1∴当时，．2x =-5y =代入解析式，得2(21)45,a ⨯---= ．∴1a =（3）①当时，此时0≤t ≤1，11t t ≤≤+∴，函数的最大值在t +1或t 处取得，即或4n =-24m t =-2(1)4m t =--∴m 的最大值为．3-此时．1m n -=不符合题意，舍去．②当，即时，11t +<0t <．22(1)4,(11)4=--=+--m t n t ∵，3m n -=∴．1t =-③当时，1t >同理可得．2t =综上所述，或．1t =-2t =【点睛】本题是二次函数的综合题，解决后两问的关键是分清顶点的横坐标与所给自变量的范围之间的位置关系，即它是在自变量的范围内、还是在自变量范围左边或自变量范围右边，才能确定函数的最大值与最小值，这其实就是分类讨论，这也是同学们易于忽略的．5．（1）；（2） ① ；②．(1,2)-2m =02a <≤【分析】（1）将抛物线的一般式改为顶点式即可写出其顶点坐标．（2）①由可知抛物线解析式为，再由对称的性质即可求出t 的值．最后由增减性即可求出m 的2a =22(1)2y x =--值．②分四种情况讨论：t ≤-1，-1＜t ≤0，0＜t ＜1，t ≥1，根据m =2分别列出方程，由t 的范围即可求出a 的范围．．【详解】（1）抛物线的解析式为，2222(1)2y ax ax a a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为． (1)2-，（2）①当时，抛物线为，其对称轴为．2a =22(1)2y x =--1x =∵图象G 为轴对称图形，∴点A ，B 必关于对称轴对称．1x =∵点A 的横坐标为t ，点B 的横坐标为，2t +∴，2AB =∴，即点A 为，点B 为． 0t =(0)0，(2)0，∵当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大，01x ≤<12x ≤≤∴图象G 上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为．2-∴．0(2)2m =--=②∵过点M （t ，0）和点N （t +2，0）作x 轴的垂线，交抛物线于点A 和点B ，∴A （t ，at 2-2at +a -2），B （t +2，a （t +2）2-2a （t +2）+a -2），又a ＞0，抛物线对称轴x =1，（Ⅰ）当t +2≤1，即t ≤-1时，图象G 上A 的纵坐标的值最大，B 的纵坐标的值最小，（at 2-2at +a -2）-[a （t +2）2-2a （t +2）+a -2]=2，解得t =-， 12a∴-≤-1， 12a∴a ≤；12（Ⅱ）当t ＜1＜t +2，且t +2-1≤1-t ，即-1＜t ≤0时，图象G 上A 的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小， ∴（at 2-2at +a -2）-（-2）=2，∴， 22(1)a t =-又-1＜t ≤0， ∴＜a ≤2；12（Ⅲ）当t ＜1＜t +2，且t +2-1＞1-t ，即0＜t ＜1时，图象G 上B 的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小， ∴a （t +2）2-2a （t +2）+a -2-（-2）=2，∴， 22(+1)a t =又0＜t ＜1， ∴＜a ＜2；12（四）当t ≥1时，图象G 上B 的纵坐标的值最大，A 的纵坐标的值最小，∴a （t +2）2-2a （t +2）+a -2-（at 2-2at +a -2）=2，∴t =， 12a 又t ≥1，∴a ≤，12综上所述，若存在实数t ，使得m =2，则0＜a ≤2．【点睛】本题考查二次函数知识的综合应用，解题的关键是分类讨论图象G 上纵坐标的最大值与最小值列方程． 6．（1）；（2）①；②；（3）1x a =-0y =12x a =-1a ≥-【分析】（1）根据对称轴公式计算即可；（2）①把代入即可得解；②令，求出方程的解，再根据已知条件判断即可；x a =0y =（3）分三种情况根据二次函数的性质讨论即可；【详解】（1）∵，22(22)2y x a x a a =-+--+∴对称轴； ()22112a x a -=-=--⨯（2）①当时，；x a =()222222222220y a a a a a a a a a a =-+--+=-+--+=②令，则，。

中考数学压轴题分类练习代数计算推理专题无答

代数计算推理专题1．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a ﹣b+c ＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b ）；⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是（）A ．①②③B ．③④⑤C ．①②④D ．①④⑤2如图9，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是203；④OD =；其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）3．如图，在平面直角坐标系x y O 中，已知直线y kx =（0k >）分别交反比例函数1y x =和9y x =在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作D x B ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点C ，连结C A ．若C ∆AB 是等腰三角形，则k 的值是．4．如图，某日的钱塘江观测信息如下：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x （千米）与时间t （分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点)12,0(A ，点B 坐标为)0,(m ，曲线BC 可用二次函数：s=21125t bt c ++，（c b ,是常数）刻画. （1）求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以48.0千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为48.0千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度)30(12520-+=t v v ，0v 是加速前的速度）. 5．已知函数y kx b =+，k y x =，k 、b 为整数且1bk =. (1)讨论b,k 的取值.(2)分别画出两种函数的所有图象.(不需列表)(3)求y kx b =+与k y x =的交点个数.6．如图，已知抛物线285y ax x c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于C 点，且(2,0),(0,4)A C -，直线1:42l y x =--与x 轴交于D 点，点P 是抛物线285y ax x c =++上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交直线l 于点F .（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图（2），过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC ，①求证：ACD ∆是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点,,P C H 为顶点的三角形与ACD ∆相似？7．以菱形ABCD 的对角线交点O 为坐标原点，AC 所在的直线为x 轴，已知(4,0)A -，(0,2)B -，(0,4)M ，P 为折线BCD 上一动点，内行PE y ⊥轴于点E ，设点P 的纵坐标为.a（1）求BC 边所在直线的解析式；（2）设22y MP OP =+，求y 关于a 的函数关系式；（3）当OPM 为直角三角形，求点P 的坐标.8．如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E ．矩形OABC 的边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程212320x x -+=的两个根，且OA OC >．（1）求线段OA ，OC 的长；（2）求证：ADE COE ∆≅∆∆，并求出线段OE 的长；（3）直接写出点D 的坐标；（4）若F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以点E ，C ，P ，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．9．（已知抛物线c 1的顶点为A （﹣1，4），与y 轴的交点为D （0，3）．（1）求c 1的解析式；（2）若直线l 1：y =x +m 与c 1仅有唯一的交点，求m 的值；（3）若抛物线c 1关于y 轴对称的抛物线记作c 2，平行于x 轴的直线记作l 2：y =n ．试结合图形回答：当n 为何值时，l 2与c 1和c 2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c 2与x 轴正半轴交点记作B ，试在x 轴上求点P ，使△PAB 为等腰三角形．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点)23,0(A .（1）若此抛物线经过点)21,2(-B ，且与x 轴相交于点F E ,.①填空：=b （用含a 的代数式表示）；②当EF 的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若21=a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为3时，求b 的值.。

2025年中考数学总复习重难题型集训第一部分选择填空压轴题小卷练(三)代数推理题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
33.小卷练(三) 代数推理题
-7-
【解析】
选项正误
原因
A √ 由c＝0得ab＝0，a2＋b2＝0，故a＝b＝c＝0
B
√
当a＝b时，a2＋b2＝2a2＝3ab＝3a2，∴a＝0，故a ＝b＝c＝0
C
×
当c＝3时，a2＋b2＝3，ab＝1，(a＋b)2－2ab＝3， (a＋b)2＝3＋2＝5，∴a＋b＝± 5
3(－3－2a)≤0，解得a≤－97.∵a－3b≤0，∴a≤3b，∴ba ≤ 13.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
33.小卷练(三) 代数推理题
-4-
3.若实数a，b满足ab≥0，a≠0，2a＋b＋3＝0，令m＝a＋2b，则m的取值范围是( B )
A.－5<m≤－12
B.－6<m≤－32
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
33.小卷练(三) 代数推理题
-3-
2.已知实数a，b满足2a＋b＝－3，a－3b≤0，则下列不等式一定成立的是( D )
A.ba≥3
C.ba
≥
1 3
B.ba≤3
D.ba
≤
1 3
【解析】∵2a＋b＝－3，∴b＝－3－2a.∵a－3b≤0，∴a－
33.小卷练(三) 代数推理题
33.小卷练(三) 代数推理题
-2-
1.已知a，b，c为实数，且b＋c＝5－4a＋3a2，c－b＝1－2a
＋a2，则a，b，c之间的大小关系是( A )
A.a<b≤c
B.b<a≤c
C.b≤c<a
D.c<a≤b

2024年中考数学重难点- 选择压轴题(代数篇)(原卷版)

重难点选择压轴题（代数篇）目录题型01 数与式的运算类型一实数的运算及其应用类型二整式运算及其应用类型三分式的计算及其应用题型02 方程与不等式组类型四一次方程（组）及其应用类型五分式方程及其应用类型六不等式与不等式组题型03 函数及其应用类型七动点问题的函数图象类型八一次函数及其应用类型九类型十反比例函数及其应用类型十一双函数的综合问题题型01 数与式的运算类型一实数的运算及其应用1．有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以12−，再加3”的运算.现在输入一个4x =，通过第1次运算的结果为1x ，再把1x 输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为2x ，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果n x （） A ．越来越接近4 B ．越来越接近于－2C ．越来越接近2D ．不会越来越接近于一个固定的数2．如图，在数轴上，点P 表示1−，将点P 沿数轴做如下移动，第一次点P 向右平移2个单位长度到达点1P ，第二次将点1P 向左移动4个单位长度到达2P ，第三次将点2P 向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点n P ，给出以下结论：①5P 表示5；②1211P P >；③若点n P 到原点的距离为15，则15n =； ④当n 为奇数时，12n n n P P P −−=；以上结论正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③D ．①④3．潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．计算121231,,23x x x x x x +++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的最佳值．例如，对于数列2,1,3−，因为()()212131422,,2233+−+−+===，所以数列2,1,3−的最佳值为12．潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列1,2,3−的最佳值为12；数列3,1,2−的最佳值为1；…经过研究，潼铜发现，对于“2,1,3−”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12；…．根据以上材料，下列说法正确的个数有 ①数列4,3,2−−的最佳值为53；②将“4−，3−，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为3,2,4−−；③将2，9−，(1)a a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，则满足条件a 的值有4个． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个4．（2024·重庆大渡口·一模）(),,,a b c d 表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，(),,,a b b c c d d a ++++表示由它生成的第一个数组，(),,,a b b c b c c d c d d a d a a b ++++++++++++表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记0M a b c d =+++，第n 个数组的四个数之和为n M （n 为正整数）. 下列说法：①n M 可以是奇数，也可以是偶数； ②n M 的最小值是20； ③若010002000nM M <<，则10n =. 其中正确的个数（） A ．0B ．1C ．2D ．35．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”111515=++×，11是一个“可拆分”整数．下列说法： ①最小的“可拆分”整数是5；②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种； ③最大的“不可拆分”的两位整数是96．其中正确的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．36．观察下列算式：15a =，211a =，319a =，…，它有一定的规律性，把第n 个算式的结果记为n a ，则123711111111a a a a ++++−−−− 的值是（） A ．12B ．121360C ．5391080D ．1192407．对于任意实数x ，x 均能写成其整数部分[]x 与小数部分{}x 的和，其中[]x 称为x 的整数部分，表示不超过x 的最大整数，{}x 称为x 的小数部分，即[]{}x x x =+.比如[]{}1.7 1.7 1.710.7=+=+，[]1.71=，{}1.70.7=，[]{}1.7 1.7 1.720.3−=−+−=−+，[]1.72−=−，{}1.70.3−=，则下列结论正确的有（） ①1233−= ；②{}01x < ；③若{}20.3x −=，则 2.3x =；④{}{}{}1x y x y +=++对一切实数x 、y 均成立；⑤方程{}11x x+=无解． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p ，q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：F （n ）=pq．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F （12）=34．如果一个两位正整数t ，t =10x +y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F （48）=34；（2）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，则对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F （t ）的最大值为34． ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型二整式运算及其应用9．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：()()a b c d e −+−−−，其中称a 为“数1”，b 为“数2”，+c 为“数3”，d −为“数4”，e −为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：()()e b c d a −−+−−+，则下列说法中正确的个数是（）①代数式()a b c d e −+−−进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变 ②代数式()()a b c d e −+−−进行1次“换位运算”，化简后只能得到a b c d e −+−− ③代数式()a b c d e +−−− 进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果 A ．0B ．1C ．2D ．310．对多项式21234x x +−+添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：()()222222352301234235230x x x x x x x x x x −+−≥+−+= −++−< ，称对多项式21234x x +−+一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式2235x x −+进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（）①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为2235x x −+； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种；③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A ．0B ．1C ．2D ．311．关于x ，y 的二次三项式224,4x mxy x y mxy y +−+−（m 为常数），下列结论正确的有（） ①当1m =时，若240x mxy x +−=，则4x y += ②无论x 取任何实数，等式243x mxy x x +−=都恒成立，则7x my += ③若2245,47x xy x y xy y +−=+−=，则6x y +=④满足22440x xy x y xy y +−+−−≤的正整数解(,)x y 共有25个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=−+<，则下列结论一定正确的是（） A ．43b a >>B ．2b c >>C ．43b a >> D ．240b ac −≤13．对整式 2a 进行如下操作：将 2a 与另一个整式 1x 相加，使得 2a 与 1x 的和等于 ()21+a ，表示为()22111=+=+m a x a ，称为第一次操作；将第一次操作的结果 1m 与另一个整式 1y 相减，使得 1m与1y 的差等于 21a −，表示为 22111=−=−m m y a ，称为第二次操作；将第二次的操作结果 2m 与另一个整式 2x 相加，使得 2m 与 2x 的和等于 ()22a +，表示为 ()23222=+=+m m x a ，称为第三次操作；将第三次操作的结果 3m 与另一个整式 2y 相减，使得 3m 与 2y 的差等于 222−a ，表示为224322=−=−m m y a ，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①2613=+x a ；② 575720+−−=y y x x ；③ 2022202124045−=+x y a ；④当 n 为奇数时，第 n 次操作结果 212+ =+ n n m a ；当 n 为偶数时，第 n 次操作结果 222 =−n n m a ：四个结论中正确的有（） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个D ．4 个14．已知多项式22A x y m =++和22B y x n =−+（m ，n 为常数），以下结论中正确的是（） ①当2x =且1m n +=时，无论y 取何值，都有0A B +≥； ②当0m n ==时，A B ×所得的结果中不含一次项； ③当x y =时，一定有A B ≥；④若2m n +=且0A B +=，则x y =； ⑤若m n =，1−=−A B 且x ，y 为整数，则1x y +=． A ．①②④B ．①②⑤C ．①④⑤D ．③④⑤15．下列四种说法中正确的有（） ①关于x 、y 的方程26199x y +=存在整数解． ②若两个不等实数a 、b 满足442222()()a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．③若2()4()()0a c a b b c −−−=−，则2b a c =+． ④若222x yz y xz z xy −−−==，则x y z ==． A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．②③④16．已知三个函数：2()4T x x x =−，()2G x x =−，2()x F x x+=，下列说法： ①当()()16T x F x ⋅=时，x 的值为6或4−；②对于任意的实数m ，n ，若m n +1mn =，则()()3T m T n +=−；③若()()3G x F x +=时，则2421746x x x =−+； ④若当式子()T x ax +中x 的取值为2b 与23b −时，()T x ax +的值相等，则a 的最大值为8．以上说法中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4类型三分式的计算及其应用17．（23-24九年级下·浙江杭州）《庄子・天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为n ，则（） A ．23111112222n +++⋅⋅⋅+<B ．23111112222n +++⋅⋅⋅+=C ．23111112222nn +++⋅⋅⋅+>D ．23111112222nn ×+++⋅⋅⋅+=18．设n 是大于1909的正整数，且19092009n n−−是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n 之和为( )A ．1959B ．7954C ．82D ．394819．有一组数据：()()12335721,,,,12323434512n n a a a a n n n +====××××××++ ．记123n n S a a a a =++++ ，则12S =（） A ．201182B ．203180C ．199198D ．20318420．按顺序排列的若干个数： 1x ，2x ，3x ，…，n x （n 是正整数），从第二个数2x 开始，每一个数都等于1与它前一个数的倒数之差，即：2111x x =−，3211x x =−，…，则下列说法：①若22x =，则912x =；②若13x =，则．123181922x x x x x +++++=；③若1x a =，812102x x +=，则2a =；④无论m 为何值，代数式()12012181x x m x x x ⋅+−⋅的值恒为负．其中正确的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．0210.618≈这个数叫做黄金比，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果．设a =b =记111S a b =+，222222a ab b S a b ++=，()3333a b S a b +=，…依此规律，则6S 的值为（）A．B ．25C．D ．12522．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：()()21231223111a a a a a a a a a a a −+−+−−+−+==+=−−−a ﹣121a +−，这样，分式就拆分成一个分式2a 1−与一个整式a ﹣1的和的形式，下列说法正确的有（）个．①若x 为整数，42x x ++为负整数，则x ＝﹣3；②6226182x x +≤+＜9；③若分式25932x x x +−+拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣1116n +−（整式部分对应等于5m ﹣11，真分式部分对应等于16n −），则m 2+n 2+mn 的最小值为27． A ．0B ．1C ．2D ．323．已知两个分式：1x，11x +；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为1M ；作差，结果记为1N ；（即1111M x x =++，1111N x x =−+）第二次操作：将1M ，1N 作和，结果记为2M ：作差，结果记为2N ；（即211M M N =+，211N M N =−）第三次操作：将2M ，2N 作和，结果记为3M ；作差，结果记为3N ；（即322M M N =+，322N M N =−）…（依此类推）将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．①312M M =；②当1x =时，246820M M M M +++=；③若244N M ⋅=，则1x =； ④在第n （n 为正整数）次和第1n +次操作的结果中：1nn N N +为定值： ⑤在第2n （n 为正整数）次操作的结果中：22n n M x =，221nn N x =+；以上结论正确的个数有（）个 A ．5B ．4C ．3D ．224．对x 、y 定义一种新运算T ，规定：(),4T x y axy bx +−（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()0,101044T a b =××+×−=−，若()2,12T =，()1,28T −=−，则结论正确的个数为（）（1）a ＝1，b ＝2；（2）若()(),02T m n n =≠−，则42m n =+；（3）若()(),02T m n n =≠−，m 、n 均取整数，则12m n = = 或20m n = =或41m n = =− ；（4）若()(),02T m n n =≠−，当n 取s 、t 时，m 对应的值为c 、d ，当2t s <<−时，c d <；（5）若()(),,T kx y T ky x =对任意有理数x 、y 都成立（这里T （x 、y ）和T （y 、x ）均有意义），则0k = A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个题型02 方程与不等式组类型四一次方程（组）及其应用25．规定：()2f x x =−，()3g y y =+．例如()442f −=−−，()443g −=−+．下列结论中：①若()()0f x g y +=，则2313x y −=；②若3x <−，则()()12f x g x x +=−−；③能使()()f x g x =成立的x 的值不存在；④式子()()11f x g x −++的最小值是7．其中正确的所有结论是（） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④26．（2023·浙江·A ，B 两地相距1200m ，小车从A 地出发，以8m/s 的速度向B 地行驶，中途在C 地停靠3分钟．大货车从B 地出发，以5m/s 的速度向A 地行驶，途经D 地（在A 地与C 地之间）时沿原路返回B 点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A 点．已知：3100m AC BC CD ==，，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．527．有5个正整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①1a ，2a ，3a 是三个连续偶数（123a a a <<），②4a ，5a 是两个连续奇数（45a a <），③12345a a a a a ++=+．该小组成员分别得到一个结论：甲：取26a =，5个正整数不满足上述3个条件；乙：取212a =，5个正整数满足上述3个条件；丙：当2a 满足“2a 是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；丁：5个正整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a 满足上述3个条件，则534a k =+（k 为正整数）；戊：5个正整数满足上述3个条件，则1a ，2a ，3a 的平均数与4a ，5a 的平均数之和是10p （p 为正整数）；以上结论正确的个数有（）个． A ．2B ．3C ．4D ．528．甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，甲车从A 地匀速驶向B 地，乙车从B 地匀速驶向A 地．两车之间的距离y （单位：km ）与两车行驶的时间x （单位：h ）之间的关系如图所示，已知甲车的速度比乙车快20km/h ．下列说法错误的是（）A ．A 、B 两地相距360km B ．甲车的速度为100km /hC ．点E 的横坐标为185D ．当甲车到B 地时，甲乙两车相距280km29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（） A ．6种B ．5种C ．4种D ．30种30．若实数x ,y 满足22227{3x y xy x y xy ++=+−=，则20222022x y +的值是（） A ．202221+B ．202221−C ．202221−+D ．202221−−31．已知、、A B C 三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从A 地出发，向C 地匀速行驶.甲比乙早出发5分钟；甲到达B 地并休息了2分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从B 地以各自原速继续向C 地行驶.当乙到达C 地后，乙立即掉头并提速为原速的54倍按原路返回A 地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向C 地行驶，到达C 地就停止.若甲、乙间的距离y (米)与甲出发的时间t (分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A ．甲、乙提速前的速度分别为300米/分、400米/分.B ．AC 、两地相距7200米 C ．甲从A 地到C 地共用时26分钟D ．当甲到达C 地时，乙距A 地6075米32．已知多项式222101,2143A x x B x x =−−=−−，其中x 为任意实数，则下列结论中正确的有（）①若4428A B x +=−，则123,4x x ==； ②若(2018)(2023)20A A −−=，则22(2018)(2023)65A A −+−=； ③若0A B ×=，则此关于x 4个互不相等的实数解； ④若分式1327A B ++的值为整数，则整数x 的值有4个． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个33．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a 2，则这块地砖的面积为（）A ．50B ．40C ．30D ．2034．（2023·浙江杭州·二模）已知点A ，B ，C 是直线l 上互不重合的三个点，设24AB a a =++，AC na =，21BC na =+，其中n ，a 是常数，（）A ．若01n <≤，则点A 在点B ，C 之间 B ．若23n <≤，则点A 在点B ，C 之间 C ．若01n <≤，则点C 在点A ，B 之间D ．若23n <≤，则点C 在点A ，B 之间35．（2023·重庆·二模）定义一个运算()()1212121212,,,,0nn n n nx x x H x x x y y y y y y y y y +++=+++≠+++ ，下列说法正确的有（）个 ①()1,231H =；②若()()24,41,21H x H x −−−=−，则=1x −或2； ③()()()()22217511,212,413,6110,20264H H H H ++++= ；④若()()()(),,,,,,,,H a b c d H b a c d H c a b d H d a b c ===，则1c da b+=+． A ．1B ．2C ．3D ．4类型五分式方程及其应用36．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A 地出发前往B 地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚05h ．出发，并且在中途停留1h 后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A 地的路程s （km ）与甲出发的时间t （h ）之间的关系如图．下列说法：①A ，B 两地相距24km ；②甲比乙晚到B 地1h ；③乙从A 地刚出发时的速度为72km/h ；④乙出发17h 14与甲第三次相遇．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个37．若整数a 使得关于x 的不等式组()533213x x x a x ++<−≥−解集为1x >，使得关于y 的分式方程1a y −＝51y y −−+2的解为正数，则所有满足条件的整数a 的和为（） A ．﹣21B ．﹣20C ．﹣17D ．﹣1638．若关于x 的不等式组()32212x a x x −≤−>+ 至少有两个正整数解，且关于x 的分式方程(1)5155a x x x −+=−−−有正整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（） A ．15B ．16C ．18D ．1939．若关于x 的一元一次不等式组()151131212x x a x x−−≤− + >+ 的解集恰好有3个负整数解，且关于y 的分式方程232111y a y y y −−−=−−有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（） A ．6B ．9C ．1−D ．240．从7−，5−，1−，0，4，3这六个数中，随机抽一个数，记为m ，若数m 使关于x 的不等式组()x m02x 43x 2− >−<− 的解集为x 1>，且关于x 的分式方程1x m32x x 2−+=−−有非负整数解，则符合条件的m 的值的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型六不等式与不等式组41．已知两个非负实数a b ，满足23a b +=，30a b c +−=，则下列式子正确的是（） A ．3a c −=B ．29b c −=C ．02a ≤≤D ．3 4.5c ≤≤42．（2023·河北保定·一模）已知实数a ，b ，c 满足23a b c +=，则下列结论不．正确的是（） A ．()3a b c b −=− B ．2a cc b −=− C ．若a b >，则a c b >>D ．若a c >，则2c ab a −−>43．已知关于x 的不等式组320230a x a x −≥ +>恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）A ．2332a ≤≤B ．4332a ≤≤ C ．4332a <≤ D ．4332a ≤< 44．关于x 的不等式组1132x a x − ≤−< 恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（）A ．23a ≤<B ．23a ≤≤C ．3a <D ．23a <<45．喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第1组有a 首、第2组有b 首、第3组有c 首、第4组有d 首；②对于第()1,2,3,4i i =组诗词，第i 天背诵第一遍，第()1i +天背诵第二遍，第()3i +天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（）首． A ．21B ．22C ．23D ．2446．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +−=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+−a b c 的最小值是（） A ．111−B ．57−C ．37D ．711题型03 函数及其应用类型七动点问题的函数图象47．（2024·河南·Rt ABC 中，90ACB ∠=°，2AB BC =，定长线段DE 的端点D ，E 分别是边AC ，BC 上的动点，P 是DE 的中点，连接AP ．设CD x =，AP y =，y 与x 之间的函数关系的部分图象如图2所示，已知DE BC =，则图象最低点的纵坐标m 为（）A1 B ．1 C ．2− D ．3−48．（2024·安徽合肥·一模）如图，在ABC 中，90C ∠=°，AC BC =．AB 与矩形DEFG 的一边EF 都在直线l 上，其中4AB =、1DE =、3EF =，且点B 位于点E 处．将ABC 沿直线，向右平移，直到点A 与点E 重合为止．记点B 平移的距离为x ，ABC 与矩形DEFG 重叠区域面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（）A ．B ．49．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ．设AE x DF y ==，，已知x ，y 满足反比例函数()00ky k x x=>>，，其图像如图2所示，则矩形ABCD 的面积为（）．A ．B ．9C ．10D ．50．如图，在矩形ABCD 中，AB =4BC =，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，P ，Q 分别是AE ，DE 上的点，且PE DQ =．设EPQ △的面积为y ，PE 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．51．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，4AC =，2BD =，点N 为CD 中点，点P 从点A 出发沿路径A O B C −−−运动，过P 作PQ AC ⊥交菱形的边于Q 点在点P 上方，连接PN ，QN ，当点Q 与点N 重合时停止运动，设PQN 的面积为y ，点P 的运动距离为x ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．52．（2023·辽宁·二模）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=°，60C ∠=°，2AC =DEFG 从点B 出发，沿射线BC 运动．当点G 与点C 重合时，运动停止．设BD x =，正方形DEFG 与ABC 的重叠面积为S ，S 关于x 的图象如图所示．下列结论：①m 3n =，4p =，3q =4r =+3x ≤时，S x =；③在运动过程中，S 的最大值为1438+．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③53．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC −−运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，BPQ 的面积为2cm y ．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（）A ．:4:5AB AD = B ．当 2.5t =秒时，PQ =C ．当294t =时，53BQ PQ = D ．当BPQ 的面积为24cm 时，t 475秒 54．如图1，点Q 为菱形ABCD 的边BC 上一点，将菱形 ABCD 沿直线AQ 翻折，点B 的对应点P 落在BC 的延长线上.已知动点M 从点B 出发，在射线 BC 上以每秒1个单位长度运动.设点M 运动的时间为x ，△APM 的面积为y ．图2为y 关于x 的函数图象，则菱形 ABCD 的面积为（）A ．12B ．24C ．10D ．20类型八一次函数及其应用55．（2023·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线113–33y x =+分别与x 轴、y 轴交于点P ，Q ，在Rt OPQ 中从左向右依次作正方形1112A B C C ，2223A B C C ，3334A B C C …，1n n n n A B C C +，点123nA A A A …，，，在x 轴上，点1B 在y 轴上，点1231nC C C C +…，，，在直线PQ 上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为123n S S S S …，，，，则n S 可表示为( )A ．1134n n ++B ．212234n n −−C ．1134n n −−D ．222334n n −− 56．（2023·江苏宿迁·二模）点(),A m n 在直线1:22L y x =−上，将直线1L 绕点A 旋转45°得到直线2L ：22y kx k =−+，则m n k ++=( )A ．1B ．133C ．1或0D ．1或13357．（2023·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，点()E ，点B 是线段OE 上任意一点，在射线OA 上取一点C ，使OB BC =，在射线BC 上取一点D ，使BD BE =．OA 所在直线的关系式为12y x =，点F 、G 分别为线段OC DE 、的中点，则FG 的最小值是（）A B C ．D ．4．858．（2023·福建·一模）如图，ABC 的顶点(8,0)A −，(2,8)B −，点C 在y 轴的正半轴上，AB AC =，将ABC 向右平移得到A B C ′′′ ，若A B ′′经过点C ，则点C ′的坐标为（）A ．7,64B ．(3,6)C ．7,62D ．(4,6)59．如图，直线1y x =−+与x 轴交于点A ，直线m 是过点A 、()3,0B −的抛物线2y ax bx c ++的对称轴，直线1y x =−+与直线m 交于点C ，已知点(),5D n 在直线1y x =−+上，作线段CD 关于直线m 对称的线段CE ，若抛物线与折线DCE 有两个交点，则a 的取值范围为（）A ．1a ≥B ．01a <≤C ．102a −<<或01a << D ．1a ≥或12a <−60．如图，已知直线AB ：yx 轴、y 轴于点B A 、两点，(3,0)C ，D E 、分别为线段AO 和线段AC 上一动点，BE 交y 轴于点H ，且AD CE =．当BD BE +的值最小时，则H 点的坐标为（）A ．B ．(0,5)C ．(0,4)D ．61．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴上，点()3,1B 在直线l ：4y kx =+上，直线l 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．将正方形ABCD 沿y 轴向下平移m 个单位长度后，点C 恰好落在直线l 上．则m 的值为( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．262．（2022·浙江宁波·一模）已知a ，b ，c 分别是Rt ABC △的三条边长，c 为斜边长，90C ∠=°，我们把关于x 的形如a by x c c =+的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P − 在“勾股一次函数”的图象上，且Rt ABC △的面积是4，则c 的值是（）A ．B ．24C ．D ．1263．为了缅怀先烈．继承遗志，某中学初二年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动．每个小组需要在点A 出发，跑步到点B 打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C 点，……，最后到达终点（假设点A ，点B ，点C 在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“函数组”最先出发．过了一段时间后，“方程组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C ．若“方程组”出发的时间为x （单位：分钟），在点A 与点C 之间的行进过程中，“函数组”和“方程组”之间的距离为y （单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（）个．（1）当2x =时，“函数组”恰好到达B 点；（2）“函数组”的速度为150米/分钟，“方程组”的速度为200米/分钟；（3）两个小组从A 点出发的时间间隔为1分钟；（4）图中M 点表示“方程组”在B 点打卡结束，开始向C 点出发；（5）出发点A 到打卡点B 的距离是600米，打卡点B 到点C 的距离是800米； A ．1B ．2C ．3D ．464．如图，在平面直角坐标系中，若折线21y x =−−+与直线交2y kx k =+（0k >）有且仅有一个交点，则k 的取值范围是（）A ．01k <<或14k =B ．1k >或14k =C ．02k <<或14k =D ．2k >或14k =65．如图，在平面直角坐标系中，四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ，…都是菱形，点123,,A A A …都在x 轴上，点123,,C C C ，…都在直线y =11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==°= ，则点n C 的横坐标是（）A ．2321n −×−B ．2321n −×+C ．1321n −×−D ．1321n −×+类型九二次函数及其应用66．（2024·天津红桥·一模）已知开口向下的抛物线 ²y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数， 0)a ≠与x 轴的一个交点的坐标为()60，，对称轴为直线x 2=．有下列结论：① 0a b c −+>； ②方程²0cx bx a ++=的两个根为 121126x x =−=，；③抛物线上有两点()11P x y ，和()22Q x y ，，若2x x <<₁₁且 4x x +>₁₁，则y y >₁₁．其中正确结论的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．367．（2024·安徽合肥·一模）如图，P 是线段AB 上一动点，四边形APEF 和四边形PBGH 是位于直线AB 同侧的两个正方形，点C ，D 分别是,GH EF 的中点，若4AB =，则下列结论错误的是（）A ．DPC ∠为定值B ．当1AP =时，CD 的值为C ．PCD 周长的最小值为2D ．PCD 面积的最大值为268．（2024·陕西西安·二模）把抛物线()2230y ax ax a =−+>沿直线112y x =+点仍在原抛物线上，则a 是（） A ．2B ．15C ．14D ．2569．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系xOy 中，若点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为雅系点．已知二次函数()240y ax x c a =−+≠的图象上有且只有一个雅系点55,22 −−，且当0m x ≤≤时，函数()21404y ax x c a =−++≠的最小值为6−，最大值为2−，则m 的取值范围是（） A ．10m −≤≤ B ．722m −<≤− C ．42m −≤≤− D ．7924m −≤<− 70．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横，纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”，如：()5,0B ，()2,3C −都是“整点”．抛物线2443y mx mx m =−++（m 是常数，且0m <）与x 轴交于点P ，Q 两点，若该抛物线在P ，Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则m 的取值范围为（） A ．334m −<≤−B ．32m −<≤−C ．334m −≤<−D ．32m −≤<−71．已知二次函数22(2)2y x m x m =+−−+的图象与x 轴最多有一个公共点，若223y m tm =−−的最小值为3，则t 的值为（） A ．12−B ．32或32−C ．52−或32−D ．52−72．已知二次函数()()212y x ax b x x x x =++=−−（12,,,a b x x 为常数），若1213x x <<<，记=+t a b ，则（）A ．30t −<<B ．10t −<<C ．13t −<<D ．03t <<73．抛物线22y ax ax c =−+（a c ，是常数且00a c ≠>，）经过点A （3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过()10B −，； ②20a c +>；③点()()112220222023P t y P t y ++，，，，在抛物线上，且12y y >，则2021t >−； ④若()m n m n <，是方程22ax ax c p ++=的两个根，其中0p >，则31m n −<<<．其中正确的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个74．如图，已知二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A −，与y 轴的交点B 在()0,2−和()0,1−之间（不包括这两点），对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③244ac b a −<−；④1233a <<；⑤bc >．其中正确结论有（）A ．①②⑤B ．①④⑤C ．①③④⑤D ．①②③④⑤类型十反比例函数及其应用75．（2023·四川达州·模拟预测）如图，O 是坐标原点，等腰直角三角形11OA B ，122A A B ，233A A B △，…，1n n n A A B − 的斜边均在x 轴正半轴上，直角顶点1B ，2B ，3B ，…，n B 均在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点2023B 的横坐标为（）ABC ．D76．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别落在双曲线()0ky k x=>第一和第三象限的两支上，连接AB ，线段AB 恰好经过原点O ，以AB 为腰作等腰三角形ABC ，AB AC =，点C 落在第四象限中，且BC x ∥轴，过点C 作CD AB ∥交x 轴于E 点，交双曲线第一象限一支于D 点，若ACD的面积为4，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．77．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于A 、()3,1B 两点，直线OC AB ⊥，AC BC =.过点C 作x 轴的垂线于点D .若点(),P m n 在直线OC 上，且APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（）.A ．4+或2B ．3或32C ．2或6D ．3378．如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y ．定义(),x y 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线1x =，3y =将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（）A ．点A 的横坐标有可能大于3B ．矩形1是正方形时，点A 位于区域②C ．当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D ．当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等79．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，边BC x ∥轴，顶点A ，B 均落在反比例函数(0,0)ky x y x=>>的图象上，延长AB 交x 轴于点F ，过点C 作DE AF ∥，分别交OA ，OF 于点D 、E ，若2OD AD =，则ACDBCEFS S 四边形为（）A ．1：4B ．1：5C ．1：6D1080．（2023九年级下·浙江宁波）如图，点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，以AB 为边构造正方形ABCD ，点C ，D 恰好都落在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，点E 在BC 延长线上，CE BC =，EF BE ⊥，交x 轴于点F ，边EF 交反比例函数()0ky k x =≠的图象于点P ，记BEF △的面积为S ，若122k S =+，则CEP △的面积是（）A．2 B．2− C2 D2−类型十一双函数的综合问题81．（2023·贵州铜仁·三模）将抛物线2(1)y x =+的图象位于直线9y =以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y x m =+与此图象有四个交点，则m 的取值范围是（）。

中考压轴题汇编《代数计算及通过代数计算进行说理》含答案

第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2017年北京市中考第29题在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点P 关于⊙C的反称点．如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断点M(2, 1)，N3(,0)2，T (1,3)关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；图1（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线3233y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．例2 2017年福州市中考第22题如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．图1例3 2017年南京市中考第26题已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．第三部分图形运动中的计算说理问题答案3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2017年北京市中考第29题在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点P 关于⊙C的反称点．如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断点M(2, 1)，N3(,0)2，T (1,3)关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；图1（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线3233y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“15北京29”，拖动点圆心C在x轴上运动，可以体验到，当点P′在圆内时，CP的变化范围是1＜CP≤2．思路点拨1．反称点P′是否存在，就是看CP′是否大于或等于0．2．第（2）题反称点P′在圆内，就是0≤CP′＜1，进一步转化为0≤2－CP＜1．满分解答（1）①对于M(2, 1)，OM＝5．因为OM′＝25-＜0，所以点M不存在反称点（如图2）．如图3，对于N3(,0)2，ON＝32．因为ON′＝31222-=，所以点N′的坐标为1(,0)2．如图4，对于T (1,3)，OT＝2．因为OT′＝0，所以点T关于⊙O的反称点T′是(0,0)．图2 图3 图4②如图5，如果点P′存在，那么OP′＝2－OP≥0．所以OP≤2．设直线y＝－x＋2与x轴、y轴的交点分别为A、B，那么OA＝OB＝2．如果点P在线段AB上，那么OP≤2．所以满足OP≤2且点P′不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0≤x＜2．（2）由3233y x=-+，得A(6, 0)，B(0,23)．所以tan∠A＝33OBOA=．所以∠A＝30°．因为点P′在⊙C的内部，所以0≤CP′＜1．解不等式组0≤2－CP＜1，得1＜CP≤2．过点C作CP⊥AB于P，那么CP＝12AC．所以2＜AC≤4．所以2≤OC＜4．因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x＜4（如图6，图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题如果把条件“反称点P′在⊙C的内部”改为“反称点P′存在”，那么圆心C 的横坐标的取值范围是什么呢？如果点P′存在，那么CP′≥0．解不等式2－CP≥0，得CP≤2．所以AC≤4．因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x＜6．例2 2017年福州市中考第22题如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14福州22”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，当PE 最小时，PQ 也最小．思路点拨1．计算点E 的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等． 2．求PE 的最小值，设点P 的坐标为(x , y )，如果把PE 2表示为x 的四次函数，运算很麻烦．如果把PE 2转化为y 的二次函数就比较简便了．满分解答（1）由22117(3)13222y x x x =--=-+，得(3,1)D -，7(0,)2C ．由22111(3)1[(3)2](32)(32)222y x x x x =--=--=-+--，得(32,0)A -，(32,0)B +．（2）设CD 与AE 交于点F ，对称轴与x 轴交于点M ，作DN ⊥y 轴于N ．如图2，由(3,1)D -，7(0,)2C ，得DN ＝3，92CN =．因此2tan 3DN DCN CN ∠==．如图3，由OE ⊥CD ，得∠EOM ＝∠DCN ．因此2tan 3EM EOM OM ∠==．所以EM ＝2，E (3, 2)．由(32,0)A -，(3,0)M ，得2AM =．因此2tan 2AM AEM EM ∠==，12tan 22DM DAM AM ∠===．所以∠AEM ＝∠DAM ．于是可得∠AED ＝90°．如图4，在Rt △EHF 与Rt △DAF 中，因为∠EFH ＝∠DF A ，所以∠HEF ＝∠ADF ，即∠AEO ＝∠ADC ．图2 图3 图4（3）如图5，在Rt △EPQ 中，EQ 为定值，因此当PE 最小时，PQ 也最小．设点P 的坐标为(x , y )，那么PE 2＝(x －3)2＋(y －2)2．已知21(3)12y x =--，所以2(3)22x y -=+．因此222(22)(2)26PE y y y y =++-=-+．所以当y ＝1时，PE 取得最小值．解方程21(3)112x --=，得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．因此点P 的坐标为(5, 1)．此时点Q 的坐标为(3, 1)或1913(,)55（如图6所示）．图5 图6 图7考点伸展第（3）题可以这样求点Q 的坐标：设点Q 的坐标为(m , n )．由E (3, 2)、P (5, 1)，可得PE 2＝5．又已知EQ 2＝1，所以PQ 2＝4．列方程组2222(3)(2)1,(5)(1)4,m n m n ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 解得113,1,m n =⎧⎨=⎩ 2219,513.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩还可以如图7那样求点Q 的坐标：对于Q (m , n )，根据两个阴影三角形相似，可以列方程组321152m n n m --==--．同样地，对于Q ′(m , n )，可以列方程组321152m n n m --==--．例3 2017年南京市中考第26题已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y 轴上表示实数a 的点可以改变a 的值，拖动点A 可以改变m 的值．分别点击按钮“m 1”、“m 2”、“m 3”，再改变实数a ，可以体验到，这3种情况下，点C 、D 到x 轴的距离相等．请打开超级画板文件名“13南京26”，拖动点A 可以改变m 的值，竖直拖动点C 可以改变a 的值．分别点击按钮，可得到△ABC 的面积与△ABD 的面积相等的三种情形。