专题：勾股定理折叠问题教学文稿
人教版八年级数学下册《勾股定理的应用——折叠问题》教学设计
义务教育课程标准试验教科书数学八年级下册第十七章《勾股定理》习题课勾股定理的应用——折叠问题教学设计一．教学目标：知识与技能1、学习利用方程思想，转化思想，勾股定理解决折叠问题中边长问题。
2、识别三角形，四边形折叠中经典问题。
3、学会运用折叠解决折叠中综合题。
过程与方法1 经历探究勾股定理在折叠问题中的应用过程，进一步体会勾股定理在折叠问题中发挥的作用。
2 通过解决问题的过程，树立类比转化的思想，方程的思想。
情感态度与价值观1 在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2 体会勾股定理的应用价值，增加学生应用数学知识解决问题的经验。
3 学习过程中体会获得成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣和信心。
二重点难点1 重点：运用勾股定理解决折叠问题。
2 难点：利用轴对称找到数量关系，列出方程。
三 教学准备：导学案 课件四 教学设计：（一）复习回顾：填空：1 在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，那么三边a,b,c 之间的关系为( ）。
2 轴对称的定义：平面内如果把一个图形沿着某一条直线折叠后能够与另一个图形（ ），那么这两个图形关于这条直线（ ），这条直线叫（ ），折叠后重合的点叫 （ ）。
设计意图：学生回顾勾股定理的内容和轴对称定义，为本节课利用这些知识点做好铺垫。
二 具体探究过程：（一）折叠三角形探究一（一次折叠）如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长 设计意图: 由学生小组合作完成，引导学生主动探究，养成良好的思维习惯，培养与他人合作交流的意识，激发学生强烈的求知欲。
让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。
A CB解:设CD=x,在R t ∆ABC 中，AC=6，BC=8，易求AB=10由折叠可知，DE=CD=x,AE=AC=6, BE=4,DB=8－x,在 R t ∆DEB 中 x ²+4²=(8－x)²,解得x=3, CD=3 探究二：（二次折叠）如图，∆ABC 中，AB=AC=13，BC=10，将AB 向AC折叠到CA 边上，折痕为CE，求∆ACE 的面积分析：这道题是两次折叠，已知条件也较上题复杂，仍让学生小组合作探究，找学生到前面给大家讲解，提高学生分析问题解决问题的能力。
利用勾股定理解决折叠问题教学设计
利用勾股定理解决折叠问题一、学习目标1.掌握处理勾股定理中折叠问题用到的相关知识点,明确解决此类问题的技巧。
2、明确折叠的性质,会进行线段的转移、能够将已知条件、设出的未知数转移至同一直角三角形中，最终利用勾股定理解决问题。
二、学习重难点教学重点：利用勾股定理解决数学问题教学难点：用转化思想将有关线段转化到直角三角形中，借助勾股定理通过设未知数列方程求解三、前置性小研究（一）复习回顾（1）如图，在则AC∠=∆BCABRABCCct=,b中，,a︒,，==90（2）轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的基本特征：相等，相等。
（3）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将Rt △ABC折叠，使点A，C重合，得折痕DE，求△ABE的周长为。
（二）新知探究有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点G处，试求CD的长。
四、新知运用例1.如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD于E．若AB=4cm,BC=8cm求AE的长.练习1.如图，折叠长方形ABCD的一边AD,点A落在BC边的点F处，已知DC=8,AD=10,求EB的长。
例2.Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC 上运动，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若∠B′ED＝90°，求BD的长。
五、课堂小结六、当堂检测1.如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为。
3.如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC的长为．4.如图.长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3.求AB的长。
第17章勾股定理利用勾股定理解决折叠问题(教案)
今天我们在课堂上一起探讨了勾股定理及其在折叠问题中的应用。整体来看，学生们对勾股定理的概念和应用有了更深入的理解，但在教学过程中我也发现了一些需要改进的地方。
首先，我发现有些学生在理解勾股定理时，仍然存在一定的困难。特别是在将定理应用于实际问题时，他们往往不知道如何下手。针对这一点，我考虑在未来的教学中，可以多设计一些直观的例子，让学生通过观察和操作，更直观地感受勾股定理的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.培养学生的团队合作精神，通过小组讨论和合作，共同解决折叠问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的理解与应用。
-学生需掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方这一数学关系。
-学生需学会如何将勾股定理应用于解决实际问题，特别是折叠问题中的长度计算。
-举例：在折叠问题中，若已知一个直角三角形的两个直角边长度，学生应能迅速计算出斜边长度。
数学人教版八年级下册第17章 ：勾股定理在折叠问题中的应用教学设计
，
∴FC=BC-BF=4cm，
（2）设EC=xcm，则EF=DC－EC=(8－x)cm，
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC2＋FC2=EF2，
即x2＋42=（8－x）2，
x=3cm，
∴EC的长为3cm。
（3）
师：通过对本道题的探究，你知道解决折叠四边形的一般思路是什么（解题步骤）？
五．拓展训练：
练习1:如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求折痕EF的长。
练习2：折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
你还能用其他方法求AG的长吗？
师：提示用面积求：
学生上台完成。其余同学，下面完成。并由板书的同学讲解。
解决折叠问题中具有代表性的问题。教师适时加以点拨，整理思路，总结规律和方法。
三.拓展训练：
练习1:三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为CE，求三角形ACE的面积
问：（1）从折纸过程中你发现了什么？
（2）本题已知什么？求的是什么？
（3）求三角形ACE的面积应该怎么办？
（4）请谈谈我们解决这类折叠问题的思路和方法？
注：(1)本题学生谈解决图形中的折叠问题时，解决问题的关键是什么？
(2)并体现一题多解，用两种不同的方法解。
师：用这样的解题思路，我们再来折叠长方形，看看又有什么样的问题等着大家呢？
学生小组讨论，并上台展示小组讨论结果，展示环节是学生展示自我，体验成功的重要手段。师生评价与生生评价相结合
期末复习专题勾股定理与折叠问题教学设计人教版数学八年级下册
-教师巡回指导，针对学生的疑惑和困难，给予及时解答和指导。
4.实践应用，巩固知识
-设计具有挑战性的实际问题，让学生运用勾股定理及其逆定理解决问题，提高学以致用的能力。
-通过变式练习，引导学生发现勾股定理在不同情境下的应用，巩固知识。
4.结合实际生活中的例子，引导学生将勾股定理与折叠问题应用于实际，培养学生的学以致用能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学的情感。
2.通过勾股定理与折叠问题的学习，让学生体会到数学的实用性和美感，提高审美情趣。
3.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强他们面对困难、解决问题的信心。
期末复习专题勾股定理与折叠问题教学设计人教Βιβλιοθήκη 数学八年级下册一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握勾股定理的内容、证明和应用，能熟练运用勾股定理解决实际问题。
2.学会运用折叠方法，将复杂的几何问题转化为简单的勾股定理问题，提高解决问题的能力。
3.能够运用勾股定理及折叠问题，解决生活中的实际问题，如建筑、工程等领域。
4.培养学生的团队协作精神，让他们在合作中学会互相尊重、互相帮助，形成良好的集体氛围。
5.引导学生关注生活中的数学，体会数学在现实世界中的广泛应用，增强学生的社会责任感。
本章节教学设计以勾股定理与折叠问题为核心，旨在帮助学生巩固知识、提高能力、培养情感。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，让每个学生都能在愉快的氛围中学习、成长。
2.选做题：
-鼓励学有余力的学生探索勾股定理在其他领域的应用，例如艺术、工程等，并撰写一篇小报告，分享他们的发现和体会。
勾股定理折叠问题教案
勾股定理折叠问题教案
中考中的折叠问题题型多样、变化灵活，从考查同学们的空间想象能
力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的中考压轴题。
下面就对中考中的折叠问题进行总结。
一、寻找或构造直角三角形
例1如图1，一张直角三角形的纸片折叠，使两个锐角的顶点A、B
重合，若∠B=30°，AC2=3，求DE的长。
点评：对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相
等的线段，也可以构造直角三角形,本题把折叠问题转化为轴对称问题，
利用勾股定理或相似三角形的性质求出未知线段，最后把所求的线段转化
到直角三角形中去处理。
二、挖掘相等的线段和角
例2如图2，把矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，EB延长线交AD于F得到△AEF，若矩形的宽CD=4，求
△AEF的面积。
点评：1、折叠通常是轴对称变换．折叠过程中，重合部分是全等图形，一些隐藏的条件需要同学们去发掘，譬如相等的线段、相等的角、相
等的弧等等。
2、折叠前后对应点的连线被折叠垂直平分。
三、寻求坐标变化与直角三角形的关系
点评：把矩形放在平面直角坐标系中，经过折叠后，求一些点坐标的
问题，要抓住两个关键点：（1）抓住翻折前后两个图形是全等的，把握
翻折后不变的要素；（2）作适当的辅助线，构造直角三角形，把求点的
坐标转化为求直角三角形中条边的长度。
编辑、王宇
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
勾股定理的应用 ------- 直角三角形、矩形的折叠教学设
教学设计勾股定理的应用----直角三角形、矩形的折叠问题抚顺市德才中学霍泰波勾股定理的应用------- 直角三角形、矩形的折叠教学设计教学目标：1.以直角三角形、矩形、勾股定理为载体，使学生通过复习，掌握矩形中折叠问题的解题规律。
2.通过动手操作，帮助学生更好的理解题意，引领学生尝试画出符合题意的图形，设计解题方案。
初步感悟动点问题、存在性问题的解题思路。
3.通过动手操作，动脑思考，合作交流，让学生在生动有趣的情景中学会知识。
教学重点：利用勾股定理建等式，列方程。
教学难点：1.利用勾股定理建等式，列方程。
2.动点问题，存在性问题的处理思路。
教学过程：一、复习导入1.复习提问：（抢答）（1）一个直角三角形的三边分别用a，b，c来表示，若∠C=90º，则a2+b2=c2; 若∠B=90º，则a2+c2=b2; 若∠A=90º，则b2+c2=a2;（2）勾股定理的文字描述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.导语入课1、在直角三角形ABC 中,∠C=90°，（１）已知ａ：ｂ＝３：４，ｃ＝２５，求ａ和ｂ （２）已知∠Ａ＝３０°ａ＝３，求ｂ和ｃ （３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，求ａ和ｂ （4)已知a 比b 大1，ｃ＝５，求ａ和ｂ （5）两直角边和是10，三角形面积是9，求c ２、直角△的两边长为８和１０，求第三边的长度．例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．练习:三角形ABC 是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB 向AC 方向对折，再将CD 折叠到CA 边上，折痕为CE ，求三角形ACE 的面积例2. 如图，长方形纸片ABCD 中，AB=8cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点F ，若AF=425cm,则AD 长为（） A.7cm B.5cm C.6cm D.4cm启发学生发现此题中“平行线+角平分线 等腰” 的几何结构。
勾股定理应用折叠专题教学设计
成都市七中育才学校学道分校教学设计课题勾股定理应用一一折叠专题授课人________ 张舟____________教学环节教师活动学生活动活动目标新课导入应用勾股定理探究折叠问题播放”折纸艺术欣赏“视频折纸与一数学定理密切相关。
该定理不仅引导了无理数的发现，引起了第一次数学危机，它更是被誉为“几何学的基石”，建立了数与形之间的桥梁，在求线段的长度时发挥着重要的作用。
聪明的你们知道它是什么定理吗？请同学们，将手中的矩形折叠，若已知边长为6、8，你知道重叠部分的面积吗？展开矩形纸片，再折叠，使AB落在对角线AC上G点处，得折痕AF,你知道折痕的长度吗？请同学们总结：折叠问题中求线段长度的方法学生观看视频并猜想激发学生学习兴趣，拓展学生对勾股定理的认识并提高学生审美能力。
折叠纸片，并在学案上计算重叠部分的面积。
分享求解方法。
折叠纸片，并在学案上计算折痕长度。
分享求解方法。
总结：利用折叠性质转化相等线段、设元表示相关线段、应用勾股定理建立等式、求解线段长度。
多媒体、教具应用及分析利用计算机播放视频，体验视觉冲击，导入新课。
通过折叠纸片，学生切身体会折叠的基本性质，为求解线段长度奠定基础。
调动学生一起动手展开探究，并分享求解方法，培养学生的表达能力。
加强同学对求线段长度方法的掌握，在总结方法过程中培养学生数学思想，如转化思想、方程思想。
利用纸片折叠，形象地让学生体会折叠过程，并用几何画板展示，进一步体会折叠过程。
板书的同时，利用多媒体展示，引起学生的注意，强化学生对方法总结的认识运用折叠实验探究动点问题几何画板展示矩形纸片，按照题意折叠，让学生利用手中的纸片来探究动点问题。
学生利用手中的纸片，通过实验完成探究。
矩形ABCD中，AB=3 BC=4点E是BC边上一点，连接AE,把/ B沿AE折叠，使B落在B'处，当三角形CEB'为直角三角形时，求BE的长。
将长为17,宽为8的矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边上A'处，折痕所在直线同时经过边ABAD(包括端点)，试利用手中的纸片探究BA'的最大值和最小值。
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的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC 20cm宽，AB 16cm
的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落
在BC边上的F处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：
（1）找出图中∠FEC的余角；
A
D
（2）计算EC的长．
E
B
FC
３．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、
5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
பைடு நூலகம்
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
二、矩形的折叠
１．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD， 再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1， 求AG。
D
C
•A´
AG
B
2.为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的
庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都 在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
C
B
A1
E
F
D
G
A
4、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的 点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF； (2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系， 并给予证明。
A′
D B′
EA
CF
B
如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=8，将矩形折叠，使 点C与点A重合，则折痕EF长为______．
勾股定理折叠问题中应用
一、三角形的折叠
1.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10， D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上， 求CD的长。
A
C´
CD
B
2.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°， D为AB上一点，将⊿ABC沿 DE折叠，使点B与点A重合， ①若AC=4，BC=8，求CE的长。 ②若AC=24，BC=32，求折痕DE的长。
C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
①求DF的长；
②求重叠部分△AEF的面积；
③求折痕EF的长。
Ｄ´
④着色部分的面积为多少？ Ａ
ＦＤ
ＢＥ
Ｃ
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折 痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求
第二次折痕BG的长。
提示：先证明正三角形AA1B
小题1:填充甲同学所得结果中的数据； 小题2: 写出在乙同学所得结果的求解过程； 小题3:当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时： ① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的 面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？
7、如图，长方形ABCD中，O，F分别为AD，CD的中点，且点O 是直角坐标系的原点，AB=2，沿BO将△ABO折叠，点A恰好落在 BF上 .
（1）求AD的长度； （2）如图，若把△BCF绕点F顺时针旋转90°，得到△B′C′F′，求B′的坐标．
8、（2011•内江）如图．在直角坐标系中，矩形 ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为 （1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的 位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（ ）
3、已知一个直角三角形纸片OAB，其∠AOB=90°，OA=2，OB=4， 如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交 于点C，与边AB交于点D。
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x， OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范 围；
如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2，
三、正方形的折叠
１．将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中
点E处，点A落在F处，折痕为MN，
①求线段CN的长
②求AM ③求折痕MN的长
总结：①折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称， 两图形全等。 ②注意利用线段关系和勾股定理列方程计算
A
D
M
A´
N
BE C
2、如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠， 使A点与E点重合，折痕为MN，若EB：AB=13 ， DC+CE=10． （1）求△ANE的面积； （2）求sin∠ENB的值．
3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动. 活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处， FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm； 乙：△FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务：
A
D
C
E
B
3、已知一个直角三角形纸片OAB，其∠AOB=90°，OA=2， OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片， 折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
解：（Ⅰ）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC， 则△ACD≌△BCD， 设点C的坐标为（0，m）（m>0）， 则BC=OB-OC=4-m， 于是AC=BC=4-m， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2， 即（4-m）2=m2+22，解得m= ， ∴点C的坐标为 ；
母题 （2014成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，