双曲线中焦点三角形的探索
双曲线焦点三角形内切圆的横坐标
双曲线焦点三角形内切圆的横坐标1. 引言在数学几何中，双曲线是一种重要的曲线，其焦点三角形内切圆的横坐标问题也是一个经典而有趣的话题。
在本文中，我们将深入探讨双曲线焦点三角形内切圆的横坐标，并从简单到复杂、由浅入深地解释这一问题，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
2. 基础概念让我们回顾一下双曲线的基本定义和性质。
双曲线是平面上的一种曲线，其定义为所有满足特定条件的点构成的集合。
在直角坐标系中，双曲线的方程通常具有形如$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的标准形式。
焦点三角形是指由双曲线的两焦点和双曲线上的一点组成的三角形。
内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
我们将重点讨论双曲线的焦点三角形内切圆的横坐标问题，并探究其数学特性。
3. 双曲线焦点三角形内切圆的横坐标求解让我们以一种直观的方法来解决这一问题。
我们需要了解内切圆与焦点三角形的关系。
根据数学知识，焦点三角形的三条边上的垂直角相等，而内切圆的切点处与三角形的边垂直，因此我们可以利用这一性质来求解内切圆的横坐标。
通过构建直角坐标系，我们可以利用双曲线的方程和辅助线的斜率等来推导出内切圆的横坐标的具体表达式。
在推导过程中，我们需要灵活运用数学分析和几何推导的方法，从而找到内切圆横坐标的通用解。
4. 数学推导和分析接下来，我们将进行更深入的数学推导和分析，来解决双曲线焦点三角形内切圆横坐标的问题。
通过引入参数并代入双曲线的方程，我们可以对内切圆横坐标的表达式进行进一步的简化和推导。
我们需要综合运用双曲线的性质、焦点三角形的几何关系以及内切圆的切线性质，来得出内切圆横坐标的最终结果。
在这一过程中，我们需要逐步展开推导，进行严密的数学分析，以确保结果的准确性和可靠性。
5. 结论与展望通过以上的分析与探讨，我们得出了双曲线焦点三角形内切圆横坐标的解析表达式。
在我们可以给出结论，总结一下我们所得的结果，并对相关问题进行进一步的展望。
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
设 犉１犇 ＝ 犉１犎 ＝犿， 犉２犇 ＝ 犉２犈 ＝狀， 犘犈 ＝ 犘犎 ＝狆，内切圆的半径为狉，结合双曲线的 定 义 及 圆 的 切 线 长 性 质，可 得 犘犉１ － 犘犉２ ＝
犉１犇 － 犉２犇 ＝犿 －狀＝２犪． 而 犉１犉２ ＝ 犉１犇 ＋ 犉２犇 ＝犿 ＋狀＝２犮，可求
得 犿 ＝犮＋犪，狀＝犮－犪．
教学
２０２０年２月 解法探究
参谋
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
? 福建省平和第一中学 赖平民
众所周知，圆锥曲线一直是高中数学中的重点和 难点之一，备受关注．圆锥曲线中，往往交汇着代数与 几何，既有“数”又有“形”，既有“动”又有“静”，是各方 面知识融合与交汇的场所，要求有较强的综合能力与 应变能力，是 考 查 数 学 能 力，体 现 选 拔 功 能 的 主 阵 地 之一．下面结合一个双曲线焦点三角形内心的两个性 质加以展现、证明，并结合实际加以巧妙应用．
犉１、犉２ 分别为双曲线犆 的左、右焦点，△犘犉１犉２ 的内 切圆的圆心为犐，设直线犐犉１，犐犉２ 的斜率分别为犽１，
犽２，则犽犽１ ２ ＝
．
分析：结合题目条件中给出的双曲线 犆 的离心
率，直接根据性质２中双曲线的焦点三角形内心的性
一、性质展现
【性质１】已知犘
为双曲线犆：狓犪２２
狔２ －犫２
＝１（犪
＞０，
犫＞０）上的任意一点，犉１、犉２ 分别为双曲线犆 的左、右
焦点，△犘犉１犉２ 的内切圆的圆心为犐，则点犐必在直线
狓＝±犪 上．
图１
证明：根据对称性，不失一般性，假定犘 为双曲线 犆 右支上的任意一点，如图１所示，设 △犘犉１犉２ 的内切 圆的圆心犐 在对应三边上的投影分别为犇、犈、犎 ．
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。
在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。
让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。
双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。
它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。
现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。
在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。
我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。
我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。
现在，我们要计算这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。
通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。
然而，这只是一个简单的推导过程。
如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。
我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。
在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。
椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题
x2 y2 1 上的一点， F1 、 F2 是其焦点，且 F1 PF2 60 ， 例 8 若 P 是椭圆 100 64
求 D F1PF2 的面积。
课堂总结
1、根据题意列式子 1）定义 2）余弦定理 2、变形或解方程
椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题
探究 1 计算焦点三角形的周长
x2 y2 例 1 椭圆 1 的焦点为 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上。求 D F1PF2 的周长。 16 12
解：由题可得： PF1 PF1 2
而
PF1 PF1 2a 8 PF1 5, PF2 3
的面积。
x2 F 例 6 设 F1 、 2 为 - y 2 = 1 的两个焦点， P 在曲线上， ? F1PF2 点 若 4ຫໍສະໝຸດ 求 90 ， D F1PF2
的面积。
x2 y 2 1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ， P 是椭圆上一点，当 D F1PF2 的面 例 7 椭圆 4
积最大时，求 PF PF2 的值。 1
D F1PF2 为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。
探究 4 与焦点三角形有关的椭圆方程问题 例 4 若椭圆的对称轴在坐标轴上， 短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形， 焦点到椭圆上点的最短距离为 3 ，求这个椭圆方程。
探究 5 计算焦点三角形的面积
y2 x2 1 上一点 P 与椭圆两个焦点 F1 、F2 的连线互相垂直，求 D F1PF2 例 5 椭圆 49 24
探究 2 判定焦点三角形的形状
x2 y2 例 2 椭圆 1 上一点 P 到焦点 F1 、 F2 的距离之差为 2，试判断 D F1PF2 的 16 12
形状。
探究 3 与焦点三角形有关的椭圆离心率问题 例 3 设椭圆的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若
双曲线中的焦点三角形性质整理.pdf
双曲线中的焦点三角形江苏省盱眙中学 赵福余1.设双曲线19422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .设双曲线为()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 .性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 .（1）设双曲线14422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .（2）若1F 、2F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 .3.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 21+=的范围是 .性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 .4.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan2tanβα .性质5：=2tan2tanβα .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e . 性质6：=e .（用BA ，AP 表示）。
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导在几何学中，双曲线是一种重要的曲线形状，其具有许多独特的性质和特点。
其中，双曲线的焦点三角形面积公式是一个非常有趣且富有挑战性的数学问题。
现在，让我们一起来探讨这一问题，从简单到复杂地推导出双曲线的焦点三角形面积的公式。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上一种与两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a 的点P的轨迹。
这两个固定点被称为焦点，常数2a被称为双曲线的距离。
2. 双曲线的方程双曲线的方程可以表示为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/b² - x²/a² = 1，其中a和b分别是双曲线的焦点到坐标原点的距离。
根据这个方程，我们可以推导出双曲线的各种性质和公式。
3. 双曲线焦点三角形的面积现在，让我们来考虑双曲线的焦点三角形。
根据数学知识，我们知道双曲线焦点三角形的面积可以表示为S = |ab/2|。
4. 推导过程接下来，让我们来推导双曲线焦点三角形面积的公式。
我们可以利用双曲线的方程将焦点三角形的顶点表示出来，然后通过向量法或者直角坐标系下的坐标运算，计算出三角形的面积。
5. 结论与总结我们得出了双曲线焦点三角形面积的公式：S = |ab/2|。
通过对双曲线的方程和三角形几何性质的分析，我们可以清晰地理解这一公式的推导过程和数学意义。
另外，这一公式也为我们在求解双曲线性质和问题时提供了重要的数学工具。
6. 个人观点与理解双曲线的焦点三角形面积公式是一个具有挑战性的数学问题，但通过深入的数学分析和推导，我们可以清晰地理解其数学本质和几何含义。
作为一个数学爱好者，我认为通过不断探索和学习数学问题，我们可以提升自己的数学思维能力和解决问题的能力，同时也能够领略数学的优美和深邃之处。
通过以上分析与探讨，我希望你能够对双曲线的焦点三角形面积的公式有一个更深入的理解，并能够在数学的学习和研究中有所启发。
双曲线的焦点三角形问题知多少
ʏ河北省张家口市第一中学 郝荩华双曲线的焦点三角形问题,既能考查同学们对双曲线定义的理解和灵活运用,又能考查大家的解三角形技能和数学运算素养,因此备受命题者青睐㊂那么这类问题主要有哪些呢?下面举例说明㊂1.焦点三角形的面积问题例1 已知双曲线C :y2m -x 28=1m >0 的上㊁下焦点分别为F 1㊁F 2,P 为双曲线C 上一点,且满足øF 1P F 2=120ʎ,则әP F 1F 2的面积为( )㊂A.833B .83C .3m3D .3m 分析:记|P F 1|=r 1,|P F 2|=r 2,øF 1P F 2=θ,根据双曲线定义结合余弦定理可得r 1r 2=2b21-c o s θ,再利用三角形面积公式可推得S әF 1P F2=b2t a nθ2,即可求得答案㊂解:记|P F 1|=r 1,|P F 2|=r 2,øF 1P F 2=θ㊂因为|r 1-r 2|=2a ,所以(r 1-r 2)2=4a 2㊂在әF 1P F 2中,由余弦定理得r 21+r 22-2r 1r 2c o s θ=(2c )2,配方得(r 1-r 2)2+2r 1r 2-2r 1r 2c o s θ=4c 2,即4a 2+2r 1r 2(1-c o s θ)=4c 2㊂所以r 1r 2=2(c 2-a 2)1-c o s θ=2b21-c o s θ㊂由面积公式得S әF1P F2=12r 1r 2s i n θ=b 2s i n θ1-c o s θ=b 22s i n θ2c o s θ22s i n 2θ2=b 2t a nθ2㊂所以S әF1P F2=b2t a nθ2,本题中b 2=8㊂又因为θ=120ʎ,所以S әP F 1F 2=8t a n 60ʎ=833㊂本题选A ㊂2.焦点三角形的周长问题例2 已知双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点为F ,P 是双曲线C 的左支上一点,M (0,2),则әP F M 的周长的最小值为( )㊂A.2+42 B .4+22C .32D .26+3分析:设双曲线C 的左焦点为F 1,则|P F |-|P F 1|=2a ㊂由题意可得әP F M 的周长为|M F |+|M P |+|P F |=22+2+|M P |+|P F 1|,当M ,P ,F 1三点共线时,|M P |+|P F 1|的值最小,从而可得答案㊂解:设双曲线C 的左焦点为F 1,则|P F |-|P F 1|=2a ㊂由题可知a =1,c =2㊂所以|P F |=2+|P F 1|,F 1(-2,0),F (2,0)㊂易得|M F |=22㊂әP F M 的周长为|M F |+|M P |+|P F |=22+2+|M P |+|P F 1|㊂因为当M ,P ,F 1三点共线时,|M P |+|P F 1|的值最小,最小值为|M F 1|=22,所53解题篇 经典题突破方法 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.以әP F M 周长的最小值为2+42㊂故本题选A ㊂3.焦点三角形的内角问题例3 在平面直角坐标系x O y 中,曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 是以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第一象限内的交点,过点A 且与直线A O 垂直的直线与x 轴相交于点B ,若øB A F 2=15ʎ,则双曲线C 的离心率为( )㊂A.2 B .3 C .2 D .5分析:根据圆的性质㊁同角的余角相等,结合双曲线的定义㊁双曲线离心率公式㊁辅助角公式进行求解即可㊂图1解:如图1,设双曲线C的焦距为2c ㊂因为øF 1A F 2=90ʎ,øO A B =90ʎ,所以øO A F 2+øO A F 1=øO A F 2+øB A F 2=90ʎ,可得øO A F 1=øB A F 2=15ʎ㊂又由|O A |=|O F 1|,可得øA F 1O =15ʎ㊂在R t әA F 1F 2中,|A F 1|=2c c o s 15ʎ,|A F 2|=2c s i n 15ʎ㊂由双曲线的定义得2a =|A F 1|-|A F 2|,也即2a =2c (c o s 15ʎ-s i n 15ʎ),解得a =2c c o s 60ʎ,则e =2㊂故选A ㊂4.焦点三角形的内切圆问题例4 已知点F 1(-3,0)㊁F 2(3,0)分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点,M 是双曲线C 右支上的一点,M F 1与y 轴交于点P ,әM P F 2的内切圆在边P F 2上的切点为Q ,若|P Q |=2,则双曲线C 的离心率为㊂分析:设әM P F 2的内切圆与M F 1,M F 2的切点分别为A ,B ,然后根据切线长定理结合双曲线的定义列方程可求出a ,从而求出离心率㊂解:设әM P F 2的内切圆与M F 1,M F 2的切点分别为A ,B ㊂由切线长定理可知|M A |=|M B |,|P A |=|P Q |,|B F 2|=|Q F 2|㊂又|P F 1|=|P F 2|,所以|M F 1|-|M F 2|=|M A |+|A P |+|P F 1|-(|M B |+|B F 2|)=|P Q |+|P F 2|-|Q F 2|=2|P Q |㊂由双曲线的定义可知|M F 1|-|M F 2|=2a ,所以|P Q |=a =2㊂又因为c =3,所以双曲线的离心率e =c a =32㊂故答案为32㊂5.焦点三角形的综合应用例5 已知F 1㊁F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点,点B 为双曲线C 的左顶点,动点A 在双曲线C 上,当A F 2ʅB F 2时,|A F 2|=|B F 2|,且|A F 1|-|A F 2|=2,则双曲线C 的方程为( )㊂A.x 23-y 2=1 B .x 2-y 24=1C .x 24-y 2=1 D .x 2-y 23=1分析:先根据双曲线的定义求出a ,再根据直角三角形中|A F 1|2=|A F 2|2+|F 1F 2|2建立方程求出c ,根据双曲线的系数关系即可求得方程㊂解:因为|A F 1|-|A F 2|=2a =2,所以a =1㊂所以|A F 2|=|B F 2|=|O B |+|O F 2|=a +c =1+c ㊂又因为|A F 1|-|A F 2|=2,所以|A F 1|=|A F 2|+2=3+c ㊂因为A F 2ʅB F 2,所以在R tәA F 1F 2中,由勾股定理得|A F 1|2=|A F 2|2+|F 1F 2|2,于是4c 2+(1+c )2=(3+c )2,即c 2-c -2=0㊂解得c =-1(舍去)或c =2㊂由a 2+b 2=c 2,得b 2=3,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1,选D ㊂(责任编辑 徐利杰)63 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
双曲线中焦点三角形的探索
双曲线中焦点三角形的探索 基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c ，另两边的差的约对值为定值2a 。
2：该三角形中由余弦定理得||||2||||||cos 21221222121PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=∠结合定义，有 性质一、设若双曲线方程为2222x y 1a b -=（a ＞0，b＞0），F1,F2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：若12F PF ,∠=θ则122F PF S b cot 2θ=；特别地，当12F PF 90∠=时，有122F PF S b =。
证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的定义得在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ 由任意三角形的面积公式得：2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F . 特别地，当θ＝︒90时，2cot θ＝1，所以122F PF S b =同理可证，在双曲线12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.例4 若P 是双曲线1366422=-y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.解法一：在双曲线1366422=-y x 中，,10,6,8===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==点P 在双曲线上，∴由双曲线定义得：.16221==-a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：=+-21221)(r r r r 400 .25640021=-∴r r 从而.14421=r r解法二：在双曲线1366422=-y x 中，362=b ，而.60︒=θ考题欣赏（2010全国卷1理）(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)2(B)2【答案】 B（2010全国卷1文）（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8【答案】B 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +- 12||||PF PF =4 【解析2】由焦点三角形面积公式得：12||||PF PF =4性质一推论：在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，左右焦点分别为1F 、2F ，当点P 是双曲线左支上任意一点，若θ=∠21F PF ，则θθcos sin 221c a c b S PF F +=∆.特别地，当︒=∠9021F PF 时，有a c b S PF F 221=∆。
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双曲线中焦点三角形的探索基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c ，另两边的差的约对值为定值2a 。
2：该三角形中由余弦定理得||||2||||||cos 21221222121PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=∠结合定义，有()||||24||||2||||||||212212212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ⋅+=⋅+-=+性质一、设若双曲线方程为2222x y 1a b -=（a ＞0，b ＞0），F1,F2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：若12F PF ,∠=θ则122F PF Sb cot2θ=；特别地，当12F PF 90∠=时，有122F PF S b =。
证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的定义得.4)(,2222121a r r a r r =-∴=-在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ.cos 12cos 1)(222221θθ-=--=∴b a c r r由任意三角形的面积公式得：2cot 2sin 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F ..2cot 221θb S PF F =∴∆特别地，当θ＝︒90时，2cotθ＝1，所以122F PF S b =同理可证，在双曲线12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.例4 若P 是双曲线1366422=-y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.解法一：在双曲线1366422=-y x 中，,10,6,8===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在双曲线上， ∴由双曲线定义得：.16221==-a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：=+-21221)(r r r r 400 .25640021=-∴r r 从而.14421=r r.3362314421sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F解法二：在双曲线1366422=-y x 中，362=b ，而.60︒=θ 33630cot 362tan221=︒==∴∆θb S PF F考题欣赏（2010全国卷1理）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠P =，则P 到x 轴的距离为【答案】 B（2010全国卷1文）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠=，则(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8【答案】B 【解析1】.由余弦定理得cos ∠P =1F 2F 221x y -=1F 2F 0601F 2F 221x y -=1F P 2F 06012||||PF PF =1F 2F 222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=4【解析2】由焦点三角形面积公式得：4性质一推论：在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，左右焦点分别为1F 、2F ，当点P 是双曲线左支上任意一点，若θ=∠21F PF ，则θθcos sin 221c a c b S PF F +=∆.特别地，当︒=∠9021F PF 时，有a cb S PF F 221=∆。
当点P 是双曲线右支上任意一点，若θ=∠21F PF （<θ双曲线渐近线的倾斜角），则a c cb S PF F -=∆θθcos sin 221证明：i 、当P 为左支上一点时，记2211||,||r PF r PF ==（21r r <），由双曲线的定义得a r r a r r 2,21212+==-，在△21PF F 中，由余弦定理得：.cos 44221221r c r c r =-+θ 代入得.)2(cos 44211221a r c r c r +=-+θ 求得θcos 21c a b r +=。
θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆得证特别地，当θ＝︒90时，a cb S PF F 221=∆ii 、当P 为右支上一点时，记2211||,||r PF r PF ==（21r r >），由双曲线的定义得a r r a r r 2,21221-==-，在△21PF F 中，由余弦定理得：.cos 44221221r c r c r =-+θ 12||||PF PF=1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =代入得.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θ 求得a c b r -=θcos 21。
a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121得证例5 （1） 若P 是双曲线1366422=-y x 左支上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021F PF ，求△21PF F 的面积.（2）若P 是双曲线1422=-y x 右支上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021F PF ，求△21PF F 的面积.（1）解法一：在双曲线1366422=-y x 中，,10,6,8===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==点P 在双曲线上，∴由双曲线定义得：121216.162r r a r r +===-在△21PF F 中，由余弦定理得：.cos 44221221r c r c r =-+θ.)16(60cos 4040021121r r r +=︒-+解得：13361=r.3131802320133621sin 2121121=⨯⨯⨯==∆θF F r S PF F解法二：在双曲线1366422=-y x 中，,10,6,8===c b a 362=b ，而.60︒=θ 31318060cos 10860sin 1036cos sin 221=︒+︒⨯⨯=+=∆θθc a c b S PF F（2）解法一：在双曲线1422=-y x 中，,5,2,1===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==点P 在双曲线上，∴由双曲线定义得：2.221221-===-r r a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.cos 44221221r c r c r =-+θ .)2(60cos 542021121-=︒-+r r r解得：)25(81+=r1583202352)25(821sin 2121121+=⨯⨯+⨯==∆θF F r S PF F解法二：在双曲线1366422=-y x 中，,10,6,8===c b a 362=b ，而.60︒=θ=-︒︒⨯⨯=-=∆160cos 560sin 54cos sin 221a c c b S PF F θθ158320+性质二、双曲线的焦点三角形PF1F2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cottan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β 由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sinc sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅- 分子分母同除以cossin 22αβ，得tancot 1e 122e tan cot 22e 1tan cot 122αβ+αβ-=⇒=αβ++。