2 第二型曲线积分
第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
第二类曲面积分的计算方法赵海林 张纬纬摘要 利用定义法,参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。
由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用。
2 预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2。
1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1)的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则cos .S v S v n θΦ==⋅⋅若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.(1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。
(2) 近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值:∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).（3) 求和Φ≈1niiii v n S=⋅⋅∆∑(4） 取极限101max{},=.limniii niiT i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2。
第二形曲线积分
第二形曲线积分
在微积分中，曲线积分是一个非常重要的概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
其中，第二形曲线积分是曲线积分的一种特殊形式，它在计算力学中的功和电磁学中的电势等方面起着重要作用。
第二形曲线积分也被称为矢量场在曲线上的积分。
它的计算方法相对简单，只需要将积分路径上的矢量场与微小位移的点积相加即可。
这个过程可以看作是将曲线分成无数个微小的线段，然后将每个线段上的矢量场的投影相加，最终得到整个曲线上的积分结果。
这种方法在物理学中有着广泛的应用。
举例来说，在力学中，我们可以通过计算力场在位移路径上的第二形曲线积分来求解力的功。
功是描述力对物体所做的工作的量，通过计算力在位移路径上的投影相加，我们可以求出力所做的总功。
这个概念也可以扩展到电磁学中，通过计算电场在电势路径上的第二形曲线积分，我们可以求解电势差。
此外，第二形曲线积分还可以用来计算曲线的长度。
在数学中，我们经常遇到需要计算曲线长度的问题。
通过将曲线分成无数个微小的线段，然后对每个线段长度求和，最终可以得到整个曲线的长度。
这种方法在计算机图形学和几何学上有着广泛的应用，在绘制曲线和求解曲线的长度等方面起到了重要作用。
总而言之，第二形曲线积分是曲线积分的一种特殊形式，它在数学和物理学中具有重要的应用价值。
通过计算矢量场在曲线上的积分，我们可以求解力的功、电势差以及曲线的长度等问题。
这个概念不仅在理论学科中有着广泛的应用，也在实际应用中发挥着重要作用。
对于学习微积分和应用数学的人来说，掌握第二形曲线积分的概念和计算方法是至关重要的。
§2第二类曲线积分
§ 2 第二型曲线积分前面我们已讲过第一型曲线积分,但在力学.物理等许多问题中,还常常用到另外一类曲线积分,叫做第二型曲线积分.一 第二型曲线积分的定义1 力场作功问题如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s ，那末这个常力所做功为 θcos s F W = 其中s F ,分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角.设平面力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F = ，即力),(y x F 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y). 质点在力场作用下，沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功.先用微元法讨论.再用定义积分的方法讨论这一问题.a) 分割T对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n M M M M T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以i s ∆记为小曲线段i i M M 1-的弧长. i ni s T ∆=≤≤1max . b) 作和任取一点i i i i M M P 1),(-∈ηξ，由于有向线段),,().,(111i i i i i i y x M y x M ---在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,于是 ),(1i i i i y x M M ∆∆=-.从而力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈i i y x ∆∆,(）= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆c) 取极限于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x s P ∆+∆≈∑∑==11),(),(ηη 当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.有很多物理量的确定,都要求计算上述形式的和式上极限（参见本节附录）, 这种类型和式极限就是下面所讨论的第二类曲线积分，因此给以下面的一般定义2 第二型曲线积分的定义（P202-203）设P,Q 为定义在平面有向可求长度的曲线（即光滑或分段光滑平面有向曲线）C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,i ni s T ∆=≤≤1max ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , n i ,,2,1 =.任取(j i ηξ,)∈i i M M 1-,若极限 i n i ii i n i i i T y s Q x s P ∆+∆∑∑==→110),(),(lim ηη存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为 ⎰cQdy Pdx + 或者⎰AB Qdy Pdx + （1） 或者 ⎰⎰+c c Qdy Pdx 或者⎰AB Qdy Pds AB ⎰+按这一定义 , 有 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰⋅=AB ds F W ⎰⎰+==ABAB Qdy Pdx dy dx Q P ),)(,(. 可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功，导出空间曲线上的第二型曲线积分. 若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为⎰⋅AB ds F dz z y x R dy z y x Q dx z y x P c),,(),,(),,(++=⎰ （4） .介绍有向闭路曲线积分的记法 ⎰cfds平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?(此时无所谓“起点”和”终点”)3 第二型曲线积分的性质（P204）(1)线性 设C 为有向曲线,⎰c fds ,⎰cgds 存在, 则 ,,R ∈∀βα则ds f f c )(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cc c gds fds ds f f βαβα)( (2)可加性 设⎰c fds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且 ⎰⎰⎰+=21c c c fds fds fds （3）第二类曲线积分与曲线C 的方向有关设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反), 则⎰c fds =-⎰c fds （⎰⎰-=BA AB ） （5）第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性. 注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘积,它与曲线C 的方向无关,这是两种类型曲线积分的一个重要差别.定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.注1 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分 相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的 思想建立的积分. 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积 分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向 量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向 之间的夹角有关.二 第二型曲线积分的计算设L （AB ）为平面有向光滑或按段光滑曲线 , L :βαψϕ≤≤==t t y t x , )( , )(或者αβ≤≤t 起点A ())( , )(αψαϕ, 终点B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L ( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+L dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(. （6） 证明 略类似，设有空间有向光滑曲线C 的方程是X=x(t),Y=y(t),Z=z(t).曲线的方向是曲线上点A 到点B 设当t=a 时对应点A ，t=b 对应点B(注意:a<b 或者a>b 均有可能出现);又设)),,(),,,(),,,((),,(z y x R z y x Q z y x P z y x f =, 那么dt t z t z t y t x R y t y t z t y t x Q t x t z t y t x P fds ba c )}())](),(),([)())](),(),([)())](),(),([{'''++=⎰⎰ （7） 注2 式中,必须注意定积分上,下限的安排应该与曲线积分所给的曲线方向相一致,那下限对应于起点参数值,上限对应于终点的参数值.注3 曲线的自然方向:设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.例1 计算积分⎰-+Ldy x y xydx )(, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分 从点A 到点B 或闭合, 路径为 （P205）（1） 直线段AB（2） 抛物线1)1(22+-=x y ;（3） A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 ), 折线闭合路径 .注4 此例表明, 第二类曲线积分不仅与积分的起点和终点有关,而与还与所给曲线有关.即使同一个起点和同一个终点,但设不同的曲线将获得不同的积分值.(即不同的积分,积分值就不同),会不会有如下情形发生:积分只与起点和终点有关,而在积分路径无关?（参见例2） 从物理上讲有----重力作功.一般地讲,积分与路径无关里需要的,到底需什么呢?以后在讲.例2 计算积分⎰+Lydx xdy , 这里L : （P206） （1） 沿抛物线22x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（2） 沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（3） 沿折线闭合路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0).例3 计算第二型曲线积分 I = ⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(, 其中L 是螺旋线bt z t a y t a x === , sin , cos , 从0=t 到π=t 的一段 . （P207） 例4 求在力场) , , (z y x x y ++-作用下,（1） 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿螺旋线到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功, 其中L 1 : bt z t a y t a x === , sin , cos , ) 20 (π≤≤t .（2） 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿直线L 2到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功. （P207）补例1 I=⎰+c dy x dx y 22 ;C:22a x + 22b y =1(y 0≥) ,方向：（-a,0）→(a,0). 补例2 I=⎰-cdy x xydx 22 ;C: 直线y=x,方向从原点到（０，０）附录（说明：附录是本章或本节内容的补充、深化和拓宽，根据情况，简单介绍，或者不讲） 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到 右侧的流量E . 设曲线AB 上点1-i M 处的切向量 B 为)sin , (cos αατ=, ( α是切向量方向与X 轴 i M 正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 1-i M 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问 A题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线 n 方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段⋂-i i M M 1上的流量 ds n v dE ) , (=. )cos , (sin )2sin( , )2cos(ααπαπα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此 ,()=-⋅=||)cos , (sin ),( , ),(ds y x Q y x P dE αα ||cos ),(||sin ),(ds y x Q ds y x P ⋅-⋅=αα. 由 dx ds dy ds dy dx ds =⋅=⋅⇒=||cos , ||sin ), , (αα, 得 dx y x Q dy y x P dE ),(),(-=. 于是流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为⎰⎰-==AB ABdx y x Q dy y x P dE E ),(),(.三 两类曲线积分的联系 （P208）作业 1（3）、（4）、（5），2。
数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1， 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分， 记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有 向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算 设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且 点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则 沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]， 起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π， 当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算作者：钟家伟 指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称性,参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算;关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法;1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义;1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法;2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F ,的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,所做功W .大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F所做功为 W =AB F ⋅. 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ∆.则分割},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤.设力()y x F ,在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P与),(y x Q ,那么()y x F ,=()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P),(),(+=由于),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ∆∆从而力()y x F ,在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ⋅≈),(i F ηξi i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ∆+()i i Q ηξ,i y ∆其中j i ηξ,为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,沿L 所作的功可近似等于为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：1 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .2 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的为点0,1,2)n 将曲线i l ,(iiX XX ∆-I的分点及点 L 对坐标作坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分;类似的,设函数Qx,y 在xy 平面上的一条光滑或分段光滑曲线LAB 上有定义且有界;若对于L的任意分法和(,)i i ξη的任意取法,极限都存在且唯一,则称此极限值1lim ()ni i ii Q Y λξη→∞=-∆∑为函数Qx,y 按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分,记作(,)L Q x y dy⎰(2. 2 第二类曲线积分的参数计算法首先要弄清楚两类积分的定义,简单地说,第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ 1,而,但这里要注意αβ≤,即对t 的定积分中,下限比上限小时才有0dt >,也就有dt dt=,这样才有上述计算公式;这个问题在计算中也要特别注意;沿l 上的点由A 变到B,即t 的下限α对应曲线积分的起点A,他的上限β对应曲线积分的起点A,t 的上限β对应终点B;在计算中总要用到曲线的参数方程,这里列出一些常用曲线的参数方程;椭圆的参数方程为(sin ),02(cos ),x a t t t y a t t π=-⎧≤≤⎨=-⎩有些较简单的曲线可取x 或y 为参数,即可由直角坐标方程; 例如,直线y ax b =+,取可由直角坐标方程得出参数方程;例如,直角y ax b =+,取x 为参数,参数方程即为,,x x x y ax b =⎧-∞<<+∞⎨=+⎩又如,抛物线y x =,取y 为参数,参数方程为2,0,x y y y y ⎧=≤<+∞⎨=⎩例1 设l 为以(0,0),(1,0),(0,0)O A B 为顶点的三角形边界,计算（1）22()lx y ds +⎰（2）2222()()lx y dx x y dy +++⎰,沿逆时针方向;解：1这是第一类曲线积分;22222222()()()()lOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰线段OA 的参数方程为,010,x x x y =⎧≤≤⎨=⎩122201()3OAx y ds x dx +==⎰⎰线段AB 的参数方程为,011,x x x y x =⎧≤≤⎨=-⎩12222022()((1))23ABx y ds x x dx +=+-=⎰⎰.线段OB 的参数方程为0,01,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩1222013i OBx y ds y dy +==⎰⎰所以2212212(12)()3333L x y ds ++=++=⎰（2）这是第二类曲线积分;22()(2)lxy dx x dy+++⎰2222()(2)()(2)OABOx y dx x dy x y dx x dy=+++++++⎰⎰111222(1)(2)(1)2x dx x x dx x d x dy=++-++-+⎰⎰⎰12011(132)236x x dx =++--=⎰在这个例子中,必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法,尤其是方向性 问题;2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分设D 是由分段光滑的曲线l 围成的连通有界闭区域,函数(,)P x y ,(,)Q x y 在其上有一阶连续偏导数,则有格林公式(,)(,)()lDQ PP x y dx Q x y dy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰其中l 取正向;格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系;凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的,格林公式正是这样的公式;在讨论曲线积分与路径无关问题中,在许多公式的推导中,在曲线积分的计算中,格林公式都是很重要的工具;这里再列举两个计算曲线积分的例子;例2. 用格林公式计算例1中2的第二类曲线积分;解： 显然,这个积分满足格林公式的条件;用格林公式,22()(2)l xy dx x dy+++⎰110(12)(12)yDy dxdy dy y dx-=-=-⎰⎰⎰⎰11(12)(12)6y y d y =--=⎰这比例1中的解法简单一些;例3. 计算第二类曲线积分22()(),ly x dx x y dy +-+⎰其中l 为从A-2,0到B2,0沿椭圆2214x y +=的上半部分的曲线;解：l 不是一条封闭曲线,不能直接用格林公式;增加沿x 轴的线段BA 而成为封闭曲线;2222()()()()lBAy x dx x y dy y x dx x y dy+-+++-+⎰⎰(11)224D dxdy ππ=---==⎰⎰22()()ly xdx x y dy+-+⎰224()()ABy x dx x y dyπ=++-+⎰224()()BAy x dx x y dyπ=-+-+⎰22216443x dx ππ-=+=+⎰此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算;2.4 利用对称性计算第二类曲线积分定理1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设为(),()y y x a x b =±≤≤;记12,L L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分,12,L L 分别在上的投影方向相反,函数(,)P x y 在L 上连续,那么1）当(,)P x y 关于y 为偶函数时,则有a故1当(,)P x y 关于为偶函数时,有[]{}(,)[,()],()b LaP x y dx P x y x P x y x dx =-⎰⎰00badx ==⎰2）当(,)P x y 位于为奇函数时,有[]{}(,)[,()],()bLaP x y dx P x y x P x y x dx =+=⎰⎰[]2,()2(,)baLP x y x dx P x y dx=⎰⎰注1 对于(,)LQ x y dy ⎰有定理1的结论注2 定理1可用两句口诀来简言之,即“反对偶零”“与反对奇倍”;其中“反”指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零;口诀“反对奇倍”涵义类似解释;为2从点变到0.于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有12(,)(,)(,)L L L P x y dx P x y dx P x y dx =+=⎰⎰⎰[][]0,(),()aaP x y x dx P x y x dx-+-⎰⎰对右端第2个积分,令x t =-,有[]0(,)()aP x y x dx --=⎰[][]0(,(),()aaP t y t dt P x y x dx-=-⎰⎰因此有(,)LP x y dx =⎰[][]0,(),()a aP x y x dx P x y x dx+-⎰⎰[][]{}0,(),()aP x y x P x y x dx=+-⎰故1当(,)P x y 在L 上关于x 为奇函数时,有“同对奇零倍”轴例4 计算LI xydx=⎰.其中L 为抛物线2y x =从点(1,1)A -到(1,1)B 上的一段弧; 解：以题设条件知,该曲线积分满足定理1中“反对奇倍”的结论,故有14225LI xydx ===⎰⎰,其中,1:L y =,x从点0变到1.例 5 计算222()(sin )LI x y dx x y y dy=+-+⎰其L 为222 (0)x y a a +=>按逆时针方向从点(,0)A a 到点(,0)B a -的上半圆周; 解可将原式改写为3个曲线积分的代数和,即2222()2(sin )LLLI x y dx xydx x y y dy=+--+⎰⎰⎰,依题设条件分析知,等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同对偶倍”、“同对奇零”及及定理1的注1中“反对偶乘零“的结论,故有22()LI x y dx=+⎰1222()Lx y dx =+⎰022232()2ax a x dx a =+-=-⎰其中,221:L y a x =-,x从点a 变到0.2.5 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分斯托克斯Stokes 公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系;在介绍下述定理之前,先对双侧面S 的侧与边界L 的方向作如下规定：设有人站在S 上指定的一侧,若沿L 行走,指定的侧总在人的左方,则人的前进方向为边界L 正向；若沿L 行走,指定的侧总在人的右方,则人的前进方向为边界线L 的负向,这个规定方法也称为右手法则,如下图所示;定理3 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线,若函数P,Q,R 在S 连同L 上连续, 且有一阶连续偏导数,则(((SR R P R Q P dydz dzdx dxdy y z z y x y ∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰LPdx Qdy Rdz=++⎰2其中S 的侧面与L 的方向按右手法则确定;公式2称之此公式为斯托克斯公式;证明： 先证,LSP P dzdx dxdy Pdx z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰3其中曲面S 由方程(,)z z x y =确定,它的正侧法线方向数为{},,1xyz z ''--,方向余弦为{}cos ,cos ,cos αβγ,所以cos cos ,,cos cos Z Z x y αβγγ∂∂==-∂∂(,,)(,,())LP x y z dx P x y z x dx Γ==⎰⎰(,,(,)),P P zP x y z x y y y z y ∂∂∂∂=∂∂∂∂(,,(,))(xy xyD D P P x y z x y dxdy y y ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰⎰cos ,z β∂=-cos cos )SP P dS y zγβ∂∂=--∂∂⎰⎰SP P dzdx dxdy z y∂∂=-∂∂⎰⎰综合上述结果,便得所要证明的3式;同样对于曲面S 表示(,)x x y x =和(,)y y z x =时,可得LSQ Q dxdy dydz Qdyx z ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰4和LSQ R dydz dydz Rdsx z ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰5将3、4、5三式相加即得斯托克斯公式2;如果曲线S 不能以(,)z z x y =的形式给出,则用一些光滑曲线把S 分割为若干小块,使每一小块能和这种形式表示,因而这时斯托克斯公式也能成立; 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式：SLdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdzx y z P Q R∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰例1,()()(),Cy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰其中C 为椭圆若从轴ox 正向看去,此椭圆是依次反时针方向进行的;解：椭圆如图所示,把平面1x za h +=上C 所包围的区域记为S,则S 的法线方向为{},,h o a , 注意到S 的法线和曲线C 的方向是正向联系的,可知S 的法线与轴正向的夹角为锐角,因此,02222,0,,h an h ah a ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭于是由斯托克斯公式知()()()2CSy z dx z x dy x y dz dydz dxdz dxdy-+-+-=-++⎰⎰⎰2(cos cos cos )SdSαβγ=-++⎰⎰2222222()2SSh a h a ds dSa ha ha h+=-+=-+++⎰⎰⎰⎰2222222222222122()x y a h a h h a a h d a a h a a aa h a h σππ+≤+++=-+=-=-+++⎰⎰例2 222222()()()Cy z dx x z dy x y dz+++++⎰,式中C 是曲线222222,2(0,0)x y z Rx x y rx r R z ++=+=<<>此曲线是如下进行的：由它所包围在球2222x y z Rx ++=处表面上的最小区域保持在左方如图所示;解： 注意到球面的法线的方向余弦为cos ,cos ,cos ,x R y zR R R αβγ-===由斯托克斯公式有[]=2)cos ()cos ()cos Sy z z x x y dSαβγ-+-+-⎰⎰原式（2()(1)()()Sx y zy z z x x y dS R R R=--+-+-⎰⎰2()Sz y dS=-⎰⎰由于曲面S 关于oxz 平面对称,y 关于y 是奇函数,有SydS =⎰⎰于是2222=cos SSSx y rxzdS R rdS Rdxdy Rd R r σπ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式结束语第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法,是多元函数积分重要分支;本文不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算,而且对平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算,同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积分与沿边界的曲线积分之间的联系,对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化或计算出结果;通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法;。
第二类曲线积分奇偶性结论
第二类曲线积分奇偶性结论
1 积分奇偶性
积分奇偶性是积分计算中的一个重要的性质，它是指给定函数的积分和其变换函数的积分之间的关系。
例如，已知函数f(x)，f(-x)是其变换函数，它们在积分计算中满足积分奇偶性，即：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(-x)dx$$
积分奇偶性可以被称为积分变换法，这种方法可以用来简化复杂的积分计算，减少所需的计算量和时间。
2 第二类曲线
第二类曲线指的是曲线沿着两个坐标轴的分布，其形状是以0，0点为原点和原线段为轴，形成以原点为顶点角，一致增大的两段弧线而构成的曲线。
形状如：。
第二类曲线是分析曲线在图形上比较常见的一种曲线，在积分学中可以将第二类曲线简单的看成是被约分成使被积函数恒等于0的两个部分，从而得到积分的结果。
3 第二类曲线积分奇偶性
第二类曲线积分奇偶性是积分计算中的一个重要概念，它是指给定函数的积分和其变换函数的积分在第二类曲线范围内存在奇偶性。
具体来说，第二类曲线积分奇偶性的结论为：
给定函数 $f(x)$ 经过变换得到函数 $g(x)$，在给定第二类曲线
范围内有：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx$$
从上面可以得出，第二类曲线积分奇偶性包括了一般积分奇偶性，但是在第二类曲线积分范围内，奇偶性结论更为明确，减少了变换所
需要进行的计算，为积分计算提供便利。
2 第二型曲线积分详细版.ppt
解
(1)
L
:
x y
a a
cos sin
,
从 0 变到，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
A(a,0)
精选
a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .
0
3
(2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式
a
0dx 0.
a
B(a,0)
A(a,0)
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。
精选
例7 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1).
精选
求和，得
n i 1
F
(
i
,i
)
ri，令
m1iaxn {si }
0，
则有限和的极限值为 F ( x, y) 沿曲线 L 从 A 到 B 的
第二型曲线积分，记作
lim
0
i
n 1
F
(
i
,i
)
ri
F ( x, y) dr
L
向量形式
上式也可以写成
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
第二类曲线积分与路径无关的条件
探究第二类曲线积分与路径无关的条件
第二类曲线积分又称为弧长积分，是一个沿曲线的长度积分。
对于一个向量场F，我们希望找到一个路径无关性条件，使得F沿一条从A到B的路径的积分等于F沿另一条路径的积分，从而简化积分的计算。
首先我们需要了解一个概念：保守场。
如果一个向量场F满足一定条件，那么F就是保守场，这意味着路径积分只与A、B两点的位置有关，即与路径无关。
具体而言，F是连续可微的，并且满足旋度为零的条件，即curl F=0。
这个条件表明，F的散度为零，即场的通量经过任意一个闭合曲面都等于零。
总之，保守场是第二类曲线积分与路径无关的条件之一。
另外一个条件是单连通域。
一个域是单连通的，当且仅当从该域中任意一点出发的任意路径都可以被连续地收缩为一个点。
单连通域的存在保证了积分的路径无关性。
具体来说，如果F定义在单连通域上，F满足连续和可微的条件，并且：
∮<sub>γ</sub>F·ds=0
对于该域中任意两点A、B以及连接它们的任意两条路径都成立。
当然，这个定理的证明需要一定的拓扑学知识，这里不再详细阐述。
综上所述，第二类曲线积分与路径无关的条件包括保守场和单连通域。
在实际问题中，我们需要根据给定的向量场和曲线来判断是否满足这些条件，以确保积分的计算是正确的。
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证明: 下面先证
L P ( x, y )dx P [ (t ), (t )] (t )dt
根据定义 设分点 x i 对应参数 t i ,
lim P ( i , i ) xi
0
i 1
n
对应参数 i , 由于
xi xi xi 1 ( t i ) ( t i 1 ) ( i )t i
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有 一阶连
2 ( t ) 2 ( t ) 0, 则曲线积分 续导数, 且
L P ( x, y)dx Q ( x, y)dy存在,
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
{ P[ ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t )] ( t )}dt
L上有界. 将 L任意分割成n个有向小弧段 M i 1 M i ( i 1,2,, n, M i 1 M i的长记为si . M i 1 M i ri , i 1,2,, n, 任取M i 1 M i 上一 点( i , i ), 做数量积F ( i , i ) ri
L
A
M2 M1
M i 1 x i
yi
M i M n 1
即 Wi P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi . o
x
求和 W Wi F ( i ,i ) ri
n n i 1
n
近似值
i 1
[ P ( i , i ) x i Q( i , i ) y i ].
4 3 ( sin t cos t cos t sin t )dt 3 16 2
4 2
2 0
(2) AOB
AOB
0
( x 2 y 2 )dx ( x 2 y 2 )dy Pdx Qdy Pdx Qdy
2 性质
1) 2)
AB AB
kF dr k
AB
F dr
AB
[ F ( x , y ) Q( x , y )] dr
F dr
AB
Q dr
其物理意义可解释为：合力做的功等于每个分 力所作的功之和或差。
同理可证
Q [ ( t ), ( t )] (t ) d t
特殊情形
(1) L : y y( x )
b L a
x起点为a，终点为b.
则 Pdx Qdy { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx .
( 2) L : x x ( y )
(1 32t )dt 17
0
1
例4 计算 L ( x y )dx ( x y )dy，其中L为
2 2 2 2
曲线y 1 | 1 x | (0 x 2)依增大的方向；
解 积分路线如图所示，其方 程为
y
x, 0 x 1 L: y 2 x , 1 x 2
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )t i
0
i 1
n
因为L 为光滑弧 ,
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )t i
0
i 1
n
P [ ( t ), ( t )] (t )dt
y 1
解
2nx lim dx L 1 n2 y 2 n 1 2nx lim dx 2 4 n 0 1 n x
lim arctan nx |
n 2 1 0
A(1,1)
o
1
x
lim arctan n
n
2
例3 设F { y / 3, x , x y z }，求 F dr , L是
L
(1) 圆弧 AB(半径为1)；( 2) 折线 AOB；
解： (1) AB 弧的参数方程为：
x cos t y sin t t [0, ] 2
y
A
x B A 点对应 t ，B 点对应 t 0， 0 2 0 I1 [(sin 2 t ) cos 2 t )(cos t ) (cos 3 t sin 2 t )(sin t )]dt
d L c
y起点为c，终点为d .
则 Pdx Qdy { P[ x ( y ), y] x ( y ) Q[ x ( y ), y]}dy.
x (t ) ( 3) 推广 : y ( t ), t起点 , 终点 . z (t )
一 第二型曲线积分的概念与性质
y
实例: 变力沿曲线所作的功
B
L : A B, F ( x , y ) { P ( x , y ), Q( x , y )} 常力所作的功 W F AB.
L
A
M2 M1
M i 1 x i
yi
M i M n 1
o
x
分割 A M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( x n1 , yn1 ), M n B .
b
• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x , y )ds
f ( r ( ) cos , r ( ) sin )
r 2 ( ) r 2 ( ) d
Fri. Apr. 28
§2 第二型曲线积分
第二型曲线积分的概念与性质
第二型曲线积分的计算
两类曲线积分的关系
Review
1. 定义
L f ( x , y ) ds
f ( x , y , z ) ds
2. 性质
(1)
f ( x , y , z ) g( x , y , z ) ds g( x , y , z )ds ( , 为常数) L ( 2) f ( x , y , z ) d s f ( x , y , z ) d s f ( x , y , z ) d s
M i 1 M i ( x i ) i ( y i ) j .
y 取 F ( i ,i ) P ( i ,i )i Q( i ,i ) j , Wi F ( i , i ) M i 1 M i ,
F ( i ,i )
B
规定： L 为封闭曲线时，规定 L 的 当
正向为：当沿封闭曲线行走时， 如果闭曲线所围成的区域总在 人的左侧，则人前进的方向为 正向。
L
二 第二型曲线积分的计算
定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧L上有定义且连
x ( t ), 续, L的参数方程为 当参数t单调地由变 y ( t ), 到时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B,
第二型曲线积分与曲线的方向有关。
三维空间的第二型曲线积分： 对向量场 F ( x , y , z ) { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}
定义第二型曲线积分：
F dr Pdx Qdy Rdz
L
从点A(1,0,0)到B( 3,3,4)的直线；
解 直线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程为：
x 1 y z 2 3 4
0 t 1
参数方程为： x 1 2t y 3t z 4t
t 0 A, t 1 B
1 3t LF dr 0 [ 3 (2t ) (1 2t )(3t ) (1 9t )(4t )]dt
x y ,
2
y从 1到1.
B(1,1)
L xydx AB xydx
y 2 y( y 2 )dy
1 1
y2 x
A(1,1)
4 2 y 4 dy . 1 5
1
2nx dx , 其中L为y x 2 例2 计算 lim 2 2 n L 1 n y 从原点O到A(1,1)的一段弧；
0
i 1 L
i 1
1 i n
向量形式
上式也可以写成
L P ( x, y )dx Q( x, y )dy
坐标形式
物理意义：
变力 F ( x , y ) 沿曲线 L 从 A 到对质点所作的功。
定理： 当P ( x , y ), Q( x , y )在光滑曲线弧 L上连
续时, 第二类曲线积分存在 .
3) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则 F dr F dr F dr .
L L1 L2
4) L是与L方向相反的有向曲线弧, 则
F dr F dr
L L
积分路径相反，则第二型曲线积分变号。
当封闭曲线的方向确定后，该封闭曲线上第 二型曲线积分的值与起点的位置无关，记作： F dr
L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
y 解 (1) 化为对x的定积分， x .
B(1,1)
y2 x
L
xydx
AO
0
xydx xydx
OB
1
A(1,1)
1
x ( x )dx x xdx
0
4 2 x dx . 0 5
1
3 2
( 2) 化为对y的定积分，