第二型曲线积分论文

目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (1)2.3提出问题 (2)3预备知识 (2)3.1第二型曲线积分的定义 (2)3.2第二型曲线积分的性质 (3)4第二型曲线积分的计算 (4)4.1直接计算 (4)4.2利用格林公式计算 (12)4.3利用曲线与路径无关计算 (14)4.4利用奇偶对称性计算 (16)4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16)5结论 (19)5.1主要观点 (19)5.2启示 (19)5.3局限性 (19)5.4努力方向 (19)参考文献 (20)1 引言第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算.2 文献综述2.1 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化.2.2国内外现状评价从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.2.3提出问题对于第二型曲线积分的计算方法有多种，那么它的计算方法具体有哪些呢？本文在参考相关文献的基础上对这一问题进行了综述，把数学软件Mathmatic 也应用在其中，并例举了一些具有针对性、典范性的例题.3预备知识为了更好的讲述第二型曲线积分的计算，我们下面来介绍第二型曲线积分的定义及其相关性质.3.1第二型曲线积分的定义设平面上有光滑有向曲线),(B A C 二元函数),(y x f 在曲线C 上有定义.用任意分法T ，将曲线C 依次分成n 个有向小弧：⌒10A A ，⌒21A A ,…，⌒n n A A 1-，其中B A A A n ==,0.设第k 个小弧⌒k k A A 1-的弦−→−-k k A A 1在x 轴与y 轴上投影区间的长分别是k x ∆与k y ∆.在第k 个小弧⌒k k A A 1-上任取一点),(k k k E ηε−→−.作和⋅∑=),(k k n k k F ηξ1k x ∆ ， ⋅∑=),(k k nk k F ηξ1k y ∆ ， （1）分别称为二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x 与y 的积分和.令},...,,m ax {)(n s s s T ∆∆∆=21λ。

（k s ∆是第k 个小弧⌒k k A A 1-的长）若当0→)(T λ时，二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x （或y ）的积分和（1）存在极限x J （或y J ），即x k nk k kI J x f =∆∑=→1),(lim)(ηελ（或y k nk k kI J x f =∆∑=→1),(lim)(ηελ），称x J （或y J ）是dx y x f ),(（或（dy y x f ),(）在曲线),(B A C 的第二型曲线积分，表为dx y x f B A C ⎰),(),( （或dy y x f B A C ⎰),(),(）.因此可得到，质点在平面力场)),(),,((y x Q y x P F =−→−的作用下，沿光滑的有向曲线C由点A 到点B ，力场F 所作的功W 是dx y x P ),(与dy y x Q ),(在曲线),(B A C 上的第二型曲线积分之和，即k k k T k nk k kI y Q x P W ∆+∆=→=→∑),(lim ),(lim)()(ηεηελλ01=dy y x Q dx y x P B A C B A C ⎰⎰+),(),(),(),(通常上式简写为dy y x Q dx y x P W B A C B A C ⎰⎰+=),(),(),(),(. （2）若L 为封闭有向曲线, 则记为⎰+LQdy Pdx 或⎰+ABQdy Pdx ．由弧长微分知，dx 与dy 分别是弧长微分ds 在x 轴与y 轴上的投影。

弧长微分ds 的方向就是曲线),(B A C 的方向，则弧长向量微元),(dy dx ds =.于是，功W 可写成向量形式的积分ds y x F W B A C ⋅=⎰),(),(. （3）类似地，可以定义三元函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 沿空间曲线Γ对坐标的曲线积分，即∑⎰=→Γ=nk k kT k P dx z y x P 10),,(lim ),,()(ςηελx Vk,∑⎰=→Γ=nk k kT k Q dx z y x Q 10),,(lim ),,()(ςηελy V k,z R dx z y x R Vk nk k kT k ∑⎰=→Γ=1),,(lim ),,()(ςηελ,组合形式为：dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++⎰Γ，其中Γ是光滑空间有向曲线，三元函数R Q P ,,在Γ上连续.3.2第二型曲线积分的性质1.（方向性）对同一曲线,当方向有A 到B 改为由B 到A 时,每一小曲线段的方向都改变.即dx y x f dx y x f A B C B A C ),(),(),(),(⎰⎰-=,dy y x f dy y x f A B C B A C ),(),(),(),(⎰⎰-=.因为k x ∆与k y ∆分别是第k 个第k 个有向的小弧⌒k k A A 1-的弦表为−→−=1k k A A 在x 轴与y轴上的投影，当改变曲线C 的方向时，k x ∆与k y ∆要改变符号，所以第二型曲线积分也要改变符号.2.（线性性）若(1,2,,)ii LPdx Q dy i k +=⎰存在,则11()()k ki i i i Li i c P dx c Q dy ==+∑∑⎰也存在,且111()()()kkki i i i i ii LLi i i c P dx c Q dy c Pdx Q dy ===+=+∑∑∑⎰⎰． 3.（积分弧长的可加性）若有向曲线L 是由有向曲线12,,,k L L L 首尾连接而成,且⎰+iL Qdy Pdx 存在，则(1,2,,)LPdx Qdy i k +=⎰也存在,且1ikLL i Pdx Qdy Pdx Qdy =+=+∑⎰⎰．4第二型曲线积分的计算下面将介绍曲线积分的五种计算方法：直接计算，格林公式，利用曲线与路径无关计算，利用奇偶对称性及数学软件Mathmatic 进行计算.4.1直接计算第二型曲线积分可以化为定积分来计算．定理1 设平面曲线L:()()[]b a t t y y t x x ,,∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧== ，且()()][()[()]ββααy x B y x A ,,,，则()dx y x f ,与()dy y x f ,在()B A C ,的第二型曲线积分都存在，且()()[()]()dt t x t y t x f dx y x f B A c '=⎰⎰βα,,),(,()()[()]()dt t y t y t x f dy y x f B A c '=⎰⎰βα,,),(,其中()x x t =,()y y t =在[],a b 上具有一阶连续导函数,且点A 与B 的坐标分别为()()(),x a y a 与()()(),x b y b ．又设(,)P x y 与为(,)Q x y 为L 上的连续函数,则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分.()dy y x Q dx y x P L),(,+⎰dt t y t y t x Q t x t y t x P ba⎰'+'=)]())(),(()())((),(([，若点A 与B 的坐标分别为()()(),x b y b 与()()(),x a y a ，则满足上述条件的沿L 从A 到B 的第二型曲线积分()dy y x Q dx y x P L),(,+⎰dt t y t y t x Q t x t y t x P ba⎰'+'=)]())(),(()())((),(([.证明 设{}0cos ,cos ταβ=为曲线L 上在t 处的单位切线矢量 则有cos α=,cos β'=,由于 cos ,cos dx ds dy ds αβ==,(,)(,)cos LLP x y dx P x y ds α=⎰⎰,((),(b aP x t y t =⎰,=((),())()baP x t y t x t dt '⎰．同理有(,)((),(bLa Q x y dy Q x t y t '=⎰⎰,((),())()baQ x t y t y t dt '=⎰．特殊情形 当(),,:b x a x y L ≤≤=ϕ且起点对应a x =，终点对应b x =，则()()()()()[]dx x x x Q x x P Qdy Pdx Lba⎰⎰'+=+ϕϕϕ,,,当()y x L φ=:，d y c ≤≤，且起点对应c y =，终点对应d y =，则()[]()()()[]dy y y Q y y y P Qdy Pdx Ldc⎰⎰+'=+,,φφφ.由此，对于第二型曲线积分的直接计算方法，可采用三个步骤： 代：将L 的参数方程代入被积函数; 换：()dt t x dx '=，()dt t y dy '=; 定限：下限—起点参数值, 上限—终点参数值.下面我们通过几个例题来说明这种方法的应用.例1计算dx xy L⎰，其中L 为沿抛物线x y =2从点()11-,A 到()11,B 的一段.解 若取x 为参数，则L ：⌒AO +⌒OB， ⌒AO :x y -=,01→:x ， ⌒OB : xy =,10→:x ，∴dx xy dx xy xydx L⎰⎰⎰+=101+-=⎰x x x d )(01x x x d ⎰1542123==⎰x x d ，若取y 为参数，则112→-=:,:y y x L 所以y y y y x y x Ld )(d 2112'=⎰⎰-，542114==⎰-y y d .例2 计算⎰+Ldy x xydx 22，其中L 为⑴ 抛物线2x y =上从()00,O 到),(11B 的一段弧； ⑵ 抛物线2y x =上从()00,O 到),(11B 的一段弧； ⑶有向折线OAB ，这里B A O ,,依次是点()()()110100,,,,,.图1)0,1(A )1,1(B 解 ⑴若取x 为参数x x y L ,:2=从0变到1，⎰⋅+⋅=12222dx x x x x )(原式dx x x 31322+=⎰⎰=134dx x =dx x ⎰1341=.⑵若取y 为参数,,:102变到从y y x L =⎰⎰+⋅⋅=+1422222dy y y y ydy x xydx L)(⎰+=1444dx y y=⎰145y1=.⑶⎰⎰+++=ABOAdy x xydx dy x xydx 2222原式,上在OA ,,100变到从x y =⎰⎰⋅+⋅=+1220022dx x x dy x xydx OA)(.0=,上在AB ,,101变到从y x =⎰⎰+⋅=+121022dy y dy x xydx AB)(x 2y =),(01A ),(11B ),(01A ()11,B 图2图3图41=..,:但积分值相同虽然路径不同由此知例3 计算曲线积分⎰-Cydx xdy ，其中积分路径为如图5所示.（1）在椭圆12222=+b y a x 上， 从()0,a A 经第一﹑二﹑三象限到点()b B -,0；（2） 在直线b x aby -=上，从点()0,a A 到点()b B -,0解 （1）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为：⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，且起点0=→t A ，终点23π=→t B ，所以()[]dt t a t b t tb a ydx xdy L⎰⎰--=-230πsin sin cos cos⎰=320πabdt=ab 32π.图5图6（2）线段AB 的方程为：b x ab y -=，起点,a A →终点0=→x B ，dx abdy =,⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝+-=-ABa dxb x ab ax ydx xdydx b a⎰=0ab -=.例4 计算⎰+Lxdy ydx （其中积分路径L 为x y x 222=+） ()0>y 由起点()000,到终点()02,B 的积分值.方法1分析 被积函数中的变量y x ,都与积分路径L 的方程有关，所以可以把x 或y 作为参数，L 的方程：(),0222>=+y x y x 选x 为参数，22x x y -=L x ≤≤0，dx xx x dy 221--=解 dx x x x x x x xdy ydx I L ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+-=+=2022212 ()()dx x x x ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=2022211112, 利用定积分第二类换元法作变量替换θsin =-1x ，则 θθd dx cos =,θθθθθθθππππd d I cos cos sin cos cos ⋅+-⋅=⎰⎰--222212图70=-=ππ.在方法1中，确定参数为x ，写出L 的参数方程()⎩⎨⎧==x f y xx ，找出参数的起点和终点。