2020年高考数学试题分类汇编--向量

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2020年全国高考数学试题分类汇编4-平面向量-含详细答案

2020年全国高考数学试题分类汇编平面向量一、选择题1. 设a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ) A. (−53,0)∪(0,+∞) B. (−53,+∞) C. [−53,0)∪(0,+∞)D. (−53,0)2. △ABC 中A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 103. 已知M(3,−2)，N(−5,−1)，且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为( ) A. (−8,1)B. (−1,−32)C. (1,32)D. (8,−1)4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=√5，b ⃗ =(2,4)，则“a ⃗ =(−1,−2)”是“a ⃗ //b ⃗ ”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 过抛物线y 2=2x 的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34B. 14C. −14D. −346. 在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1), AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,k)，则实数k =( ) A. −6 B. 4 C. 2D. 237. △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，则下列结论正确的是( )A. |b ⃗ |=1B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ ⋅b⃗ =1 D. (4a ⃗ +b⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =( )A. −8B. −6C. 6D. 89. 设a ⃗ ，b ⃗ 是向量，则“|a ⃗ |=|b ⃗ |”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，且c ⃗ ⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°11. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是( )A. 12B. √22 C. √32D. 112. 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −3 B. 2 C. 3 D. 413. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 614. 设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 设点A,B,C 不共线，则“ AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是锐角”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 已知向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，则2a ⃗ −b ⃗ =( )A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)17. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2√3B. √32 C. √33D. √318. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 设a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，则“”是“a ⃗ ⊥b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题20. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，且a ⃗ =(−2,−6)，|b ⃗ |=√10，则a ⃗ ·b ⃗ =______． 21. 已知向量a ⃗ =(−4,3)，b ⃗ =(6,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 22. 设向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(m +1,2m −4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 23. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为45°，k a ⃗ −b⃗ 与a ⃗ 垂直，则k =______． 24. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为______． 25. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=3，|a ⃗ +b ⃗ |=√13，则|b ⃗ |=________．26. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8)(m,n ∈R)，则m −n 的值为______． 27. 设向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m).若a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，则m =______． 28. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，则实数λ=________． 29. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．30. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b ⃗ =0⃗ (λ∈R)，则|λ|= ______ ． 31. 若P(x,y)满足约束条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0，设A(3,−4)，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为______． 32. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 33. 已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2+22√2的最大值为______．34. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=4，那么b ⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )的值为______．35. 平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c ⃗ =m a ⃗ +b ⃗ (m ∈R)，且c ⃗ 与a ⃗ 的夹角等于c ⃗ 与b ⃗ 的夹角，则m =______．三、解答题36. 已知平面向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2x +3,−x)(x ∈R)．(1)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求x 的值；(2)若a ⃗ //b⃗ ，求|a ⃗ −b ⃗ |．37. 已知点M(−2,0)，N(2,0)，动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2.记动点P 的轨迹为W ．(Ⅰ)求W 的方程；(Ⅱ)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．38. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示，考查向量的夹角问题，属于简单题．由题意，a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )的数量积大于0，且排除同向的情况即可得．【解答】解：由已知得a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )>0且去掉a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同的情况， a ⃗ +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)=3λ+5>0，解出λ>−53，当a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同时λ=0，所以λ>−53且λ≠0，故选A ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目．根据平面向量的坐标表示与数量积运算，计算即可．【解答】解：△ABC 中，A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×3+3×5=9．故选C ．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两个向量的加减法法则的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．设点P 的坐标为(x,y)，则由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)，解方程求得x 、y 的值，即可求得点P 的坐标．【解答】解：设点P 的坐标为(x,y)，则由 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)=(−4,12)， ∴x −3=−4，y +2=12．解得x =−1，y =−32， ∴点P 的坐标为(−1,−32)，故选B ．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．通过向量共线的充要条件利用充分必要条件的定义求解．【解答】解：由a ⃗ =(−1,−2)，则b ⃗ =−2a ⃗ ，显然a ⃗ //b ⃗ 成立，故充分性具备．反之，若a ⃗ //b ⃗ ，则b ⃗ =λa ⃗ ，设a ⃗ =(x,y)，则必有{2=λx,4=λy,所以y =2x ，① 又x 2+y 2=5，② 由①②得{x =1,y =2或{x =−1,y =−2.则a⃗ =(1,2)或a ⃗ =(−1,−2)，故必要性不具备．因而是充分不必要条件．故选A ．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x 轴的直线方程，将直线方程代入y 2=2x 求得y 的值，即可求出OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解答】解：y 2=2x 的焦点坐标是(12,0)，则过焦点且垂直x 轴的直线是x =12，代入y 2=2x 得y =±1，所以不妨设M(12,1)，N(12,−1)故OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1)·(12,−1)=14−1=−34．故选D ．6.【答案】B【解析】解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)；据题意知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+k −1=0； ∴k =4．故选：B ．可得出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)，而根据题意可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出k ．考查向量垂直的充要条件，向量数量积和减法的坐标运算，以及向量减法的几何意义．7.【答案】D【解析】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴b ⃗ 的方向应该为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向．所以a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2×cos120°=−1，4a ⃗ ⋅b ⃗ =4×1×2×cos120°=−4，b ⃗ 2=4，所以4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=0，即(4a⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，即(4a ⃗ +b ⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(4a ⃗ +b ⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；故选：D ．由题意，知道a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据已知三角形为等边三角形解之．本题考查了向量的数量积公式的运用及向量的模；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．求出向量a⃗+b⃗ 的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．【解答】解：∵向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(3,−2)，∴a⃗+b⃗ =(4,m−2)，又∵(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗+b⃗ )·b⃗ =12−2(m−2)=0，解得m=8．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的知识点是充分条件，必要条件的判断，涉及向量的数量积与模的概念，属于基础题．根据|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |⇔a⃗·b⃗ =0，从而可以判断“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．【解答】解：因为|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，所以|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，则a⃗2+b⃗ 2+2a⃗·b⃗ =a⃗2+b⃗ 2−2a⃗·b⃗ ，即a⃗·b⃗ =0，由|a⃗|=|b⃗ |⇏a⃗·b⃗ =0，a⃗·b⃗ =0⇏|a⃗|=|b⃗ |，故“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量垂直的条件，是基础题．根据两个向量垂直，数量积为零，把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程，解出夹角的余弦值，根据角的范围，得到结果．【解答】解：若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， ∵c ⃗ ⊥a ⃗ ，c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，则|a ⃗ |2+|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cosθ=0， ∴cosθ=−|a ⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=−12，又0°≤θ≤180°，∴θ=120°．故选C ．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．属于基础题．根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．【解答】解：∵A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，=√2−2cos600=1．故选D ．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．【解答】在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×0+(−1)(−3)=3．故选：C ．13.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．根据图形得出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的数量积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9 故选：C ．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0.而非零向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，但m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立．则答案可得．【解答】解：m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0．反之不成立，非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，而m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立． ∴m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的充分不必要条件．故选A ．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．“AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解答】解：点A ，B ，C 不共线，若“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0， |AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角， ∴“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”， ∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件．故选C ．16.【答案】A【解析】解：由a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，得： 2a ⃗ −b ⃗ =2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)．故选：A ．直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．17.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积以及向量加法法则的运用，属于中档题．由向量的加法结合AD ⊥AB 可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此可求解．【解答】解：由题意可得，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√3，故选D ．18.【答案】A【解析】【分析】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义，属于中档题．由a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |便可得到a ⃗ ,b ⃗ 夹角为0，从而得到a ⃗ //b ⃗ ，而a ⃗ //b ⃗ 并不能得到a ⃗ 夹角为0，从而得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |时，cos <a ⃗ ,b ⃗ >=1； ∴<a ⃗ ,b ⃗ >=0； ∴a ⃗ //b ⃗ ；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分条件； (2)a ⃗ //b ⃗ 时，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为0或π； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，或−|a ⃗ ||b ⃗ |；即a ⃗ //b ⃗ 得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”不是“a ⃗ //b ⃗ ”的必要条件；∴总上可得“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分不必要条件．故选：A ．19.【答案】C【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量垂直的判断，属于中档题．根据题意，分别验证充分条件、必要条件即可．【解答】解：若“|a ⃗ −3b ⃗ |=|3a ⃗ +b ⃗ |”，则|a ⃗ |2+9|b ⃗ |2−6a ⃗ ·b ⃗ =9|a ⃗|2+|b ⃗ |2+6a ⃗ ·b ⃗ ，又∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，即|a⃗ |=|b ⃗ |=1，∴a⃗·b⃗ =0，即a⃗⊥b⃗ ，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的充分条件；若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗·b⃗ =0，a⃗，b⃗ 均为单位向量，即|a⃗|=|b⃗ |=1，∵|a⃗−3b⃗ |2=|a⃗|2+9|b⃗ |2−6a⃗·b⃗ =1+9×1−6×0=10，|3a⃗+b⃗ |2=9|a⃗|2+|b⃗ |2+6a⃗·b⃗ =9×1+1+6×0=10，∴|a⃗−3b⃗ |2=|3a⃗+b⃗ |2，则|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的必要条件；综上，则“”是“a⃗⊥b⃗ ”的充要条件，故选C．20.【答案】10【解析】【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出即可．【解答】解：∵a⃗=(−2,−6)，∴|a⃗|=√(−2)2+(−6)2=2√10，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >．故答案为10．21.【答案】8【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．a⃗⊥b⃗ 则a⃗⋅b⃗ =0，代入a⃗，b⃗ ，解方程即可．【解答】解：由向量a⃗=(−4,3)，b⃗ =(6,m)，且a⃗⊥b⃗ ，得a⃗⋅b⃗ =−24+3m=0，∴m=8．故答案为8．22.【答案】5【解析】解：向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =m+1−(2m−4)=−m+5=0，则m=5，故答案为：5根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．23.【答案】√22【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 为单位向量，且a⃗，b⃗ 的夹角为45°，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos45°=1×1×√22=√22，又k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，∴(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k|a⃗|2−a⃗⋅b⃗ =0，即k−√22=0，则k=√22．故答案为：√22．由已知求得a⃗⋅b⃗ ，再由k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，可得(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，展开即可求得k值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题．24.【答案】π3【解析】解：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，平面向量a⃗，b⃗ ，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，可得1×2×cosθ=1，可得cosθ=12，所以θ=π3．故答案为：π3．直接利用向量的数量积列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．25.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积，属于基础的计算题，|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°即得9+|b ⃗|2−3|b ⃗ |=13，即可解得|b ⃗ |，【解答】解：因为|a ⃗ +b ⃗ |=√13，所以|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°，所以9+|b ⃗ |2−3|b ⃗ |=13，解得|b ⃗ |=4，故答案为4．26.【答案】−3【解析】解：向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8) 可得{2m +n =9m −2n =−8，解得m =2，n =5，∴m −n =−3．故答案为：−3．直接利用向量的坐标运算，求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．27.【答案】−1【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可．【解答】解：向量a⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m)． m a ⃗ −b ⃗ =(m +1,−m)． ∵a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，∴m+1=0，解得m=−1．故答案为−1．28.【答案】12【解析】【分析】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．利用向量平行的条件直接求解即可．【解答】解：∵向量a⃗，b⃗ 不平行，向量λa⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，∴λa⃗+b⃗ =t(a⃗+2b⃗ )=t a⃗+2t b⃗ ，∴{λ=t1=2t，解得实数λ=12．故答案为12．29.【答案】π6【解析】【分析】本题考查平面向量的夹角公式，属于基础题．根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案，【解答】解：∵向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(√3,1)，∴a⃗与b⃗ 夹角θ满足，cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2√32×2=√32，又∵θ∈[0,π]，∴θ=π6，故答案为π6．30.【答案】√5【解析】解：设a⃗=(x,y)．∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(2,1)，且λa⃗+b⃗ =0⃗(λ∈R)，∴λa ⃗ +b ⃗ =λ(x,y)+(2,1)=(λx +2,λy +1)， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2=5．解得|λ|=√5．故答案为：√5．设a ⃗ =(x,y).由于向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b⃗ =0⃗ (λ∈R)，可得{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，解出即可．本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．31.【答案】−15【解析】【分析】本题考查线性规划中的最值问题，向量的投影，属于中档题．根据题意，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，数形结合，进行求解即可．【解答】解：∵P(x,y)，A(3,−4)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，设z =3x −4y ，得y =34x −z4，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线y =34x −z4，由图象可知，当直线y =34x −z4经过点B(1,1)时，直线y =34x −z4的截距最大，此时z 取得最小值，所以z min =3−4=−1，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为−15．故答案为−15．32.【答案】2【解析】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4+0−0−12×4=2，故答案为2．根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．33.【答案】√2+√3【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，由此可求最大值．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos∠AOB =x 1x 2+y 1y 2=12，即有∠AOB =60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线l:x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，设AB 中点为M ，则距离d 1与d 2之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心到线段AB中点M的距离d=√32，圆心到直线l的距离d′=√2=√22，∴M到直线l的距离的最大值为d+d′=√32+√22，即11√222√2的最大值为√2+√3，故答案为：√2+√3．34.【答案】0【解析】解：由题意知b⃗ ⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．由向量数量积公式进行计算即可．本题考查向量数量积运算公式．35.【答案】2【解析】解：∵向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(4,2)，c⃗=m a⃗+b⃗ (m∈R)，∴c⃗=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2)．∴c⃗⋅a⃗=m+4+2(2m+2)=5m+8，c⃗⋅b⃗ =4(m+4)+2(2m+2)=8m+20．|a⃗|=√5，|b⃗ |=√42+22=2√5．∵c⃗与a⃗的夹角等于c⃗与b⃗ 的夹角，∴c⃗ ⋅a⃗|c⃗ | |a⃗ |=c⃗ ⋅b⃗|c⃗ | |b⃗|，∴√5=2√5，化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：2．利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．36.【答案】解：(1)由a⃗⊥b⃗ 得，2x+3−x2=0，即(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；(2)由a⃗//b⃗ ，则2x2+3x+x=0，即2x2+4x=0，得x=0或x=−2．当x=0时，a⃗=(1,0),b⃗ =(3,0)，∴a⃗−b⃗ =(−2,0)，此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)，则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b⃗ |=√22+(−4)2=2√5．【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件． (1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．37.【答案】解：(Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x 22−y 22=1(x >0)(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得：(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{ Δ=4k 2b 2−4(1−k 2)⋅(−b 2−2)>0x 1+x 2=2kb1−k 2>0x 1x 2=b 2+2k 2−1>0, 解得|k|>1又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b) =(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2 =2k 2+2k 2−1=2+4k 2−1>2 综上可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2．【解析】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． (Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0.依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 38.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，∴4=2p ，解得p =2，由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设过点(0,1)的直线l 的方程为y =kx +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立方程组可得{y 2=4xy =kx +1，消y 可得k 2x 2+(2k −4)x +1=0， ∴Δ=(2k −4)2−4k 2>0，且k ≠0，解得k <1，且k ≠0，则x 1+x 2=−2k−4k 2，x 1x 2=1k 2，又∵PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点(1,−2)，即k ≠−3，故直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−3)∪(−3,0)∪(0,1)； (Ⅱ)证明：设点M(0,y M )，N(0,y N )，则QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y M −1)，QO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)，因为QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以y M −1=−λ，故λ=1−y M ，同理μ=1−y N ，直线PA 的方程为y −2=2−y11−x 1(x −1)=2−y 11−y 124(x −1)=42+y 1(x −1)，令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，第21页，共21页因为1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2) =8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2k k +1)1−4−2k k +1=4−2×4−2k k 2−4−2k k =2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于难题． (Ⅰ)根据题意，利用直线与抛物线的位置关系进行求解即可；(Ⅱ)求得λ=1−y M ，μ=1−y N ，带入韦达定理化简即可．。

2020高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2020高考试题汇编第五章平面向量 Word版含解析.doc

第五章平面向量第一节平面向量的线性运算及其坐标表示题型59 向量的概念及共线向量题型60 平面向量的线性表示——暂无题型61 向量共线的应用1.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅==△，即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++= 2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕcos ϕ)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3. 2.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是，最大值是 .解析解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ．易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==；当AO BC ⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB +==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值a题型62 平面向量基本定理及应用1.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且t a n 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若O C m O An O =+(),mn ∈R ，则m n += ．B解析解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OA OC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ （*）而由tan 7α=，得sin α=，cos α=，11cos 4OA OB απ⎛⎫⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭3cos cos sin sin 445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为13 5531 5m n m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①②式①加式②，得3m n +=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA 所在的直线为x 轴，过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3m n +=．故填3．解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin 10α=，cos 10α=，如图所示，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．题型63 平面向量的坐标运算1.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是．解析不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致．题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无第二节平面向量的数量积题型65 平面向量的数量积1.（2017天津理13）在ABC △中，60A =∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.解析解法一：如图所示，以向量AB ，AC 为平面向量的基底，则依题意可得1cos603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=.又因为2BD DC =，则()22213333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，则22212114533333AD AE AC AB AC AB λλλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅=- ⎪⎝⎭，解得311λ=.DCBA解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得()0,0A ，()3,0B，(C ，()=3,0AB，(BC =-，(=1,3AC .则可得2533AD AB BD AB BC ⎛=+=+= ⎝⎭，()AE AC AB λλ=-=-，于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-，解得311λ=.2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（）. A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.（2017全国1理13）13.已知向量a ，b 的夹角为60，2=a ，1=b ，则2+=a b . 解析 ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b221222222=+⨯⨯⨯+=444++=12，所以2+==a b 4.（2017全国2理12）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）.A.2-B.32-C. 43- D.1-解析解法一（几何法）：如图所示，取BC 的中点D ，联结AD ，取AD 的中点E ，由2PB PC PD +=，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，当且仅当20PE =，即点P 与点E 重合时，取得最小值为32-，故选B.解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC 的中点为坐标原点，所以(0A ，()10B -，，()10C ，．设点()P x y ，，()PA x y=-，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，所以()2222PA PB PC x y ⋅+=-+22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，y =．故选B.5.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅==△，即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕcos ϕ)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA6.（2017山东理12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是. 解析)()221212112122λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=e e e e e e e e ，122-===e，12λ+===e e2cos601λ==+，解得3λ=．7.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形ABCD，AB BC⊥，2AB BC AD===，3CD=，AC与BD交于点O，记1·I O A O B=，2·I OB OC=，3·IOC OD=，则（）.A．123I I I<<B．132I I I<<C．312I I I<<D．213I I I<<解析如图所示，动态研究问题:D D¢®，O O¢®．此时有90AOB?o，90BOC?o，90COD?o，且CO AO>，DO BO>．故OB OC OA OB OC OD???uu u r uuu r uu r uu u r uuu r uuu r.8.(2017浙江理15)已知向量a，b满足1=a，2=b，则++-a b a b的最小值是，最大值是.解析解法一：如图所示，a+b和-a b是以,a b为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A是以O为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD，平行四边形ECOA．所以AB AC+-=+a+b a b．易知当A，B，C三点共线时，AB AC+最小，此时4AB AC BC+==；当AO BC⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB+==Aa解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值题型66 向量与三角形的四心——暂无。

2020高考数学平面向量(一)pdf

平面向量（一）（二）平面向量的实际背景及基本概念平面向量的线性运算平面向量（一）平面向量的实际背景及基本概念一、基本概念1.向量：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称矢量），而只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中成标量）.2.几何表达：（1）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示.（2）如图，以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，起点写在终点的前面.（3）向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小，也就是向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度（或称模），记作|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |.长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.（4）向量也可以用字母a ,b ,c ,…表示.（印刷用黑体a ，书写时，写成a ）3.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.（如记作a ∥b ）。

我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .4.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 平面向量（二）平面向量的线性运算一、向量加法的三角形法则1.已知向量AB 、BC ，再作向量AC ，则向量AC 叫做AB 、BC 的和，记作AB+BC ，即有：AB +BC =AC 。

2.用坐标表示时，显然有：AB +BC =(x 2-x 1,y 2-y 1)+(x 3-x 2,y 3-y 2)=(x 2-x 1+x 3-x 2,y 2-y 1+y 3-y 2)=(x 3-x 1,y 3-y 1)=AC 。

这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

3.三角形法则：AB +BC =AC ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。

4.四边形法则：已知两个从同一点A 出发的两个向量AC 、AB ，以AC 、A B 为邻边作平行四边形ACDB ，则以A 为起点的对角线AD 就是向量AC 、AB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点对角连。

专题7 平面向量--2020届高三理科数学3年高考真题分类汇编含解析答案

专题7平面向量1．【2019年全国新课标2理科03】已知（2，3），（3，t），||＝1，则•（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵（2，3），（3，t），∴（1，t﹣3），∵||＝1，∴t﹣3＝0即（1，0），则• 2故选：C．2．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．3．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．4．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．5．【2018年新课标2理科04】已知向量，满足||＝1，1，则•（2）＝（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：向量，满足||＝1，1，则•（2）＝22+1＝3，故选：B．6．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A． 1 B． 1 C．2 D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．7．【2018年北京理科06】设，均为单位向量，则“|3|＝|3|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“|3|＝|3|”∴平方得||2+9||2﹣6•9||2+||2+6•，即1+9﹣6•9+1+6•，即12•0，则•0，即⊥，则“|3|＝|3|”是“⊥”的充要条件，故选：C．8．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．9．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．10．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．11．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．12．【2017年北京理科06】设，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是“•0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得λ，则向量，共线且方向相反，可得•0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•0，而λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是•0”的充分不必要条件．故选：A．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年新课标3理科13】已知，为单位向量，且•0，若2，则cos，．【解答】解：22，∵（2）2＝4459，∴||＝3，∴cos，．故答案为：15．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：16．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．17．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．18．【2018年新课标3理科13】已知向量（1，2），（2，﹣2），（1，λ）．若∥（2），则λ＝．【解答】解：∵向量（1，2），（2，﹣2），∴（4，2），∵（1，λ），∥（2），∴，解得λ．故答案为：．19．【2018年上海08】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则的最小值为．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a＝b+2，或b＝a+2；且；∴；当a＝b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b＝a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．20．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．21．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．22．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．23．【2017年天津理科13】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．。

2020年高考数学分类汇编：向量、不等式

2020年高考数学分类汇编：向量、不等式、二项式定理6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b += A.3135-B. 1935-C.1735 D.193512.已知5458<，45138<，设5a log 3=，8b=log 5，13c log 8=，则 A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a c b << B.a b c << C. b c a << D. c a b <<7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-11．已知a >0，b >0，且a +b =1，则A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D5．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 A ．a +2bB ．2a +bC ．a –2bD ．2a –b13.若x,y 满足约束条件x 02x 01y y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z=3x+2y 的最大值为_____.14.262x )x+（的展开式中常数项是______（用数字作答）. 13.若x ，y 满足约束条件x 02x 01y y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z=3x+2y 的最大值为_____.3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A ．120种 B ．90种 C ．60种D ．30种7．执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A ．2B ．3C ．4D ．512．若2x －2y <3−x －3−y ，则A ．ln(y -x +1)>0B ．ln(y -x +1)<0C ．ln ∣x -y ∣>0D ．ln ∣x -y ∣<015．若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．11．若2x －2y <3−x －3−y ，则A ．ln(y -x +1)>0B ．ln(y -x +1)<0C ．ln ∣x -y ∣>0D ．ln ∣x -y ∣<013．已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a –b 与a 垂直，则k =__________．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．13．若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为.14．设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b .8．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15D ．2012．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <13．若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为.14．设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m =. 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是▲.12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是___▲_______．13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是__▲________．3．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞9．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >010．设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素12．二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________．17．已知平面单位向量1e ，2e 满足122||-≤e e 设12=+a e e ，123=+b e e ，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是_______．2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在52)的展开式中，2x 的系数为（）．A ．5-B ．5C ．10-D ．10 6．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞ C ．(0,1) D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<13．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．。

（2020高考数学复习）2020高考数学《高中数学》必会基础题型5—《平面向量》

（2020⾼考数学复习）2020⾼考数学《⾼中数学》必会基础题型5—《平⾯向量》《数学》必会基础题型——《平⾯向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量。

记作：AB u u u r 或a r。

2.向量的模：向量的⼤⼩（或长度），记作：||AB uuu r 或||a r。

3.单位向量：长度为1的向量。

若e r 是单位向量，则||1e =r。

4.零向量：长度为0的向量。

记作：0r 。

【0r⽅向是任意的，且与任意向量平⾏】5.平⾏向量（共线向量）：⽅向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和⽅向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，⽅向相反的向量。

AB BA =-u u u r u u u r。

8.三⾓形法则： AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ；AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r（指向被减数） 9.平⾏四边形法则：以,a b r r为临边的平⾏四边形的两条对⾓线分别为a b +r r ，a b -r r 。

10.共线定理：//a b a b λ=?r r r r 。

当0λ>时，a b r r 与同向；当0λ<时，a b r r与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为⼀组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =r，则||a =r ，22||a a =r r，||a b +=r r 13.数量积与夹⾓公式：||||cos a b a b θ?=?r r r r ； cos ||||a ba b θ?=?r rr r14.平⾏与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=r r r r ；121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同⼀条直线上的向量。

2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练

（（2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一平面向量的基本定理例 1 给出下列命题：（1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量；（2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ；（3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形；（4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。

两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0时， a 与 b 可以共线可以不共线【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。

l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。

【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．1（（例 2 已知 a = (1,2) , b = (2 x, -3) 且 a ∥ b ,则 x =．【答案】 -34【解析】根据 a ∥ b 有 x y - x y = 0 ,可知1 ⨯ (-3) - 2 ⨯ 2 x = 0 ,得 x = -1 22 134【易错点】 1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了 x 1x 2 - y 1 y 2 = 0 ． 2）a || b ⇔ x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 ，不是 x 1 x 2 - y 1 y 2 = 0 ，可以记为 “斜乘相减等于零 ”． a ^ b ?x 1x2y y =0 1 2，可以记为“竖乘相加等于零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．【思维点拨】1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（3）向量平行与起点的位置无关．题型二平面向量的线性运算例 1 在 ABCD 中，错误的式子是（）A ． AD - AB = BDB ． AD - AB = DBC ． AB + BC = ACD ． AD + AB = AC【答案】D ．【解析】根据平行四边形法则知，错误的为 B ．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如 AB + BC = AC ，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如 AD - AB = BD ，对于 D 选项，利用平行四边形法则结合图像可得 AD + AB = AC ．【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。

2020年高考数学真题汇编12 平面向量文(解析版)

2020高考试题分类汇编：12：平面向量一、选择题1.【2020高考全国文9】ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r【答案】D【解析】如图，在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即5454)(5454-=-==，选D. 2.【2020高考重庆文6】设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ，则||a b +=r r（A 5 （B 10（C ）5（D ）10 【答案】B【解析】因为⊥，所以有02=-x ，解得2=x ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+10=+b a ，选B.3.【2020高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．4.【2020高考四川文7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =r rr r 成立的充分条件是（）A 、||||a b =r r且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r【答案】Ｄ【解析】A.可以推得||||a ba b =r rr r ==为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.5.【2020高考陕西文7】设向量a r =（1.cos θ）与b r=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（）A2 B 12C .0 D.-1 【答案】C.【解析】02cos 0cos 212=⇔=+-⇔⊥θθ，故选C.6.【2020高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=Q ，故选D【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

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2020年高考数学试题分类汇编——向量（2020湖南文数）6. 若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为A. 300B. 600C. 1200D. 1500（2020全国卷2理数）（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =uu u r（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA 2=DBCB1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r，故选B.（2020辽宁文数）（8）平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==u u u r r u u u r r,则OAB ∆的面积等于（A （B（C （D 解析：选C.111||||sin ,||||||222OABS a b a b a b a b ∆=<>=r r r r r r r r=（2020辽宁理数）(8)平面上O,A,B 三点不共线，设,OA=a OB b =，则△OAB 的面积等于【答案】C【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。

【解析】三角形的面积S=12|a||b|sin<a,b>，而=11||||||||sin ,22a b a b a b =<>（2020全国卷2文数）（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB u u u r= a ,CA u u u r= b , a = 1 ， b = 2, 则CD uuu r=（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b【解析】B ：本题考查了平面向量的基础知识∵ CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，∵ AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴ 222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，∴ 22213333CD CA AD b a b a b=+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r（2020安徽文数）(3)设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是(A)a b = (B)22a b =g(C)//a b (D)a b -与b 垂直 3.D【解析】11(,)22--a b =，()0a b b -=g ，所以-a b 与b 垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.（2020重庆文数）（3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =g ，则实数m 的值为（A ）32- （B ）32（C ）2 （D ）6 解析：60a b m =-=g ，所以m =6（2020重庆理数）(2) 已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b •===，则2a b -= A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 解析：2a b -=22844)2(222==+⋅-=-b b a a b a（2020山东文数）（12）定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-e ，下面说法错误的是(A)若a 与b 共线，则0a b =e (B)a b b a =e e(C)对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=e e (D)2222()()||||a b a b a b +•=e答案：B（2020四川理数）（5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r则AM ∣∣=u u u u r （A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1解析：由2BC u u u r ＝16，得|BC|＝4AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=||u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝4而AB AC AM ∣+∣=2∣∣u u u r u u u r u u u u r 故AM ∣∣=u u u u r2答案：C（2020天津文数）（9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =u u u r BD u u u r，1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r =（A ）23 （B ）3 （C ）3 （D ）3【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。

||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC•=•=•=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∠∠∠sin B 3BC ==u u u r【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。

（2020广东文数）（2020福建文数）（2020全国卷1文数）（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v的最小值为(A) 42-32- (C) 422-+322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，21x +，2sin 1xα=+||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=u u u v u u u v ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得32y ≤--32y ≥-+故min ()322PA PB •=-+u u u v u u u v.此时21x =-【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭u u u v u u u v 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，PABO()()112123223x x PA PB x x x--•==+-≥-u u u v u u u v 【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒= ()22222222110011011022123223PA PB x x x x y x x x x x •=-+-=-+--=+-≥-u u u v u u u v（2020四川文数）（6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ， AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AM u u u u r =（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1解析：由2BC u u u r ＝16，得|BC|＝4AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=||u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝4而AB AC AM ∣+∣=2∣∣u u u r u u u r u u u u r 故AM ∣∣=u u u u r2答案：C（2020湖北文数）8.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r.若存在实m 使得AM AC mAM +=u u u u r u u u r u u u u r成立，则m =A.2B.3C.4D.5（2020山东理数） (12)定义平面向量之间的一种运算“e ”如下，对任意的a=(m,n)r，()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y •=-⋅--=-+-u u u v u u u vb p,q)=r （，令a b=mq-np r re ，下面说法错误的是（）A.若a r 与b r共线，则a b=0r r e B.a b=b a r r r r e e C.对任意的R λ∈，有a)b=(λλr r e （a b)r r e D. 2222(a b)+(ab)=|a||b|r r r r r r e 【答案】B【解析】若a r 与b r 共线，则有a b=mq-np=0r r e ，故A 正确；因为b a pn-qm =r re ，而 a b=mq-np r re ，所以有a b b a ≠r r r r e e ，故选项B 错误，故选B 。

【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。

（2020湖南理数）4、在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅uu u r uuu r等于A 、-16B 、-8C 、8D 、161.(2020年安徽理数)2. （2020湖北理数）5．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=A ．2B ．3C ．4D ．5。