2020年高考数学 考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积1.（2020·陕西高考理科·Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是（ ） (A)13 (B) 23(C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。

【思路点拨】三视图⇒几何体是直三棱柱⇒该几何体的体积【规范解答】选C 由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为2和1的直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积1(21)2 1.2V =⨯⨯⨯=2.（2020·辽宁高考文科·Ｔ11）已知SABC 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ，SA =AB =1 BC =2,则球O 的表面积等于（ ） （A ）4π(B ）3π(C)2π(D) π【命题立意】本题考查了空间是两点间距离公式和球的表面积公式。

【思路点拨】【规范解答】选A 。

SA ⊥Q 平面ABC ，AB ，AC ⊂平面ABC ，SA AB ∴⊥，SA AC ⊥， 故可以A 为原点，AC 所在的直线为y 轴，AS 所在的直线为z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系A-xyz ，则(0,0,0)A ,63(,,0)33B ,(0,3,0)C ,(0,0,1)S ,设球心O 坐标为000(,,)x y z ，则点O 到各顶点SABC 的距离相等，都等于球的半径R 。

22220002222000222200222200063()()(0)33(0)(3)(0)(0)(0)(1)x y z R x y z R x y z R x y z R ⎧++=⎪⎪-+-+-=⎪∴⎨⎪-+-+-=⎪⎪-+-+-=⎩， 解得2000310,,,122x y z R ====， 建立空间坐标球心坐标球的半径球的表面积∴球的表面积为24414R πππ=⨯=。

故选A 。

【方法技巧】1、选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，2、也可用另外的方法找到球心，因为∠ABC 是直角，所以AC 是过A 、B 、C 三点的小圆的直径，所以球心在过AC 和平面A BC 垂直的平面上，可知球心在平面SAC 中，又因为球心到点SAC 的距离都相等，且△SAC 是直角三角形，所以球心就是斜边SC 的中点，球的半径为SC 的一半，3、再一种方法是将三棱锥S-ABC 补成一个长方体。

3.（2020·辽宁高考理科·Ｔ12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）(A)（0,62+） (B)（1,22） (C) (62-,62+） (D) （0,22） 【命题立意】以三棱锥为背景考查三角形中的三边关系考查空间想象能力和运算能力。

【思路点拨】分两种情况，一种是边长为a 的棱在一个三角形中，另一种情况时长度为a 的棱不在一个三角形中，分别讨论。

【规范解答】选A对于第一种情况，取BC 的中点D 连结PD 、AD ，则2PD 3 AD 1,a -＝，＝在三角形PAD 中，有2222131236262321a PA AD PD AD PA PD a a PD PA AD a ⎧<-+<+⎧⎪⎪⎪<+-<+⇒-<<+⎨⎨⎪⎪<+⎩<+-⎪⎩即 对于第二种情况同理可以得到022a <<综合两种情况，及04a <<，所以a 的取值范围是（0,62+）。

4.（2020·安徽高考理科·Ｔ8）一个几何体的三视图如图， 该几何体的表面积为（ ）A 、280B 、292C 、360D 、372【命题立意】本题主要考查三视图知识，考查考生的空间想 象能力．【思路点拨】把三视图转化为直观图，进而运算求解。

【规范解答】选 C ，由几何体的三视图可知，该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

其中下面的长方体的长、宽、高分别为8、10、2, 上面的长方体的长、宽、高分别为6、2、8,所以该几何体的表面积为2(81082102)2(6828)360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确。

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决此题的关键。

由三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度，把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

5.（2020·浙江高考文科·Ｔ8）若某几何体的三视图 （单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）（A ）3523cm 3 （B ）3203cm 3（C ）2243cm 3 （D ）1603cm3【命题立意】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的 识别以及几何体体积的计算，属容易题。

【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积。

【规范解答】选B 。

此几何体上方为正四棱柱、下方为正四棱锥。

所以其体积为22231320422(4848)33V cm =⨯+⨯++⨯=。

【方法技巧】对于不规则几何体求体积时可分几部分规则的几何体，再求体积和。

6.（2020·北京高考理科·Ｔ3）一个长方体 去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视 图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何 体的俯视图为（ ）4【命题立意】本题考查三视图知识，考查同学们的空间想象能力。

【思路点拨】结合正、侧视图，想象直观图。

【规范解答】选C 。

由主、左视图可知直观图如图所示：因此，俯视图是（C ）。

7.（2020·北京高考理科·Ｔ8）如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积（ ）（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关【命题立意】本题考查几何体体积的求法，关键是找到易求面积的底面与高。

考查空间想象能力，运算能力。

【思路点拨】把PEFQ 的体积表示出来。

由于EFQ ∆中，1EF =，Q 到EF 的距离为侧面的对角线长，故选择EFQ ∆为底面。

点P 到EFQ ∆的距离，即是点P 到对角面11A B CD 的距离。

【规范解答】选D 。

112222EFQ S =⨯⨯=点P 到平面EFQ 的距离为22z ，13P EFQ EFQ V S h -=⋅ 13z =。

因此体积只与z 有关，而与,x y 无关。

（A ）（B ）（C ）（D ）ABCD 1A 1B 1C 1D EFPQ8.（2020·北京高考文科·Ｔ8）如图，正方体1111ABCD-A B C D的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上。

点Q 是CD 的中点，动点P 在 棱A D 上，若EF=1，DP=x ，1A E=y(x,y 大于零)，则三棱锥P-EFQ 的 体积：（ ）（A ）与x ，y 都有关； （B ）与x ，y 都无关；（C ）与x 有关，与y 无关； （D ）与y 有关，与x 无关；【命题立意】本题考查几何体体积的相关知识，关键是找到易求面积的底面与高。

【思路点拨】把EFQ 看作底面，点P 到对角面11A B CD 的距离即为对应的高。

【规范解答】选C 。

12222EFQ S EF ∆=⋅=P 到平面EFQ 2x 。

1122333P EFQ EFQ xV S h -∆=⋅==。

9.（2020 ·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD 1A 1B 1C 1D EFPQABCD 1A 1B 1C 1D EFPQABD 1A 1B 11D EFPQ（A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π 【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】找出球与棱柱的相对关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.【规范解答】选Ｂ.设球心为O ，设正三棱柱上底面为ABC ∆，中心为O '，因为三棱柱所有棱的长都为a ，则可知OO ' 2a=，33O A a '=，又由球的相关性质可知，球的半径22216R OO O A a ''=+=，所以球的表面积为22743R a ππ=，故选Ｂ. 10.（2020·福建高考文科·Ｔ3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于（ ） A.3 B.2 C.23 D.6 【命题立意】本题考查三棱柱的三视图与直观图、表面积。

【思路点拨】把三视图恢复成直观图，求出各个侧面的侧面积，进为求出总的侧面积。

【规范解答】选D ，三棱柱的直观图如下：底面为边长2的正三角形，侧棱长为1的正三棱柱，()S 1236∴=⨯⨯=侧。

11.（2020·广东高考理科·Ｔ6）如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32BB '=CC ' =AB,则多面体ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是（ ）A B C D【命题立意】本题考察三视图的画法。

【思路点拨】可由投影的方法得到。

【规范解答】选D 由AA '//BB '及3AA '=32BB '可得四边形''ABB A 的投影为梯形，再由ABC'A 'B 'C 1图 1113AA '=32BB '=CC ' =AB 及底面为三角形可得正视图为D 。

12.（2020 ·海南宁夏高考·理科T14）正视图为一个三角形的几何体可以是 ．(写出三种) 【命题立意】本题主要考查空间几何体的三视图的相关知识. 【思路点拨】一般来说，椎体的正视图中才会出现三角形.【规范解答】由几何体的三视图可知，正视图为三角形的可以是三棱锥、圆锥、四棱锥等. 【答案】三棱锥、圆锥、四棱锥（不唯一）13.（2020·天津高考文科·Ｔ１2）一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积为【命题立意】本题主要考查三视图的基础知识，和柱体体积的计算，属于容易题。