高中数学第一章计数原理3组合第2课时组合的应用课件北师大版选修2_3
解答
(2)至少有1名女运动员；
解 方法一 (直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女
4男，2女3男，3女2男，4女1男.
4 2 3 3 2 4 1 由分类加法计数原理知共有 C1 · C ＋ C · C ＋ C · C ＋ C · C 4 6 4 6 4 6 4 6 ＝246(种)选法.
再从除外科专家的6人中选取4人，有 C4 6 种选法，
4 所以共有 C2 C 4 6＝90(种)抽调方法.
解答
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解 “至少”的含义是不低于，有两种解答方法， 方法一 (直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
4 ①选2名外科专家，共有 C2 C 4 6 种选法； 3 ②选3名外科专家，共有 C3 C 4 6 种选法； 2 ③选4名外科专家，共有 C4 C 4 6 种选法.
B的六个点C1，C2，„，C6，线段AB上有异于A，
B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？
其中含C1点的有多少个？
解 方法一
1 2 2 1 可作出三角形 C3 C4＋C6· C4 ＝116(个). 6＋C6·
方法二
3 可作三角形 C3 － C 10 4 ＝116(个)，
方法二 (间接法)：不考虑条件，从10人中任选5人，有 C5 10 种选法，其中
5 5 全是男运动员的选法有C5 种，故 “ 至少有 1 名女运动员 ” 的选法有 C － C 10 6 6
＝246(种).
解答
(3)既要有队长，又要有女运动员.
解 当有女队长时，其他人选法任意，共有C4 9 种选法；
解答
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解 “至多2名 ” 包括 “没有” 、“ 有1名 ” 和“ 有2 名” 三种情况，分
类解答. ①没有外科专家参加，有 C6 6 种选法；
5 ②有1名外科专家参加，有 C1 C 4 6 种选法； 4 C ③有2名外科专家参加，有 C2 4 6 种选法.
跟踪训练2
空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无
三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 A.205 C.204 解析 方法二 方法一 B.110 D.200 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，
4 1 3 2 2 3 1 则得到所有的取法总数为C0 C ＋ C C ＋ C C ＋ C 5 5 5 5 5 5 5C5 ＝205.
1 1 2 ＝36(个). 其中以C1为顶点的三角形有C2 ＋ C · C ＋ C 5 5 4 4
解答
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
解
3 1 2 2 可作出四边形 C4 ＋ C · C ＋ C · C 6 6 6 6 6＝360(个).
解答
反思与感悟
(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异 面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题 来解决.
4 3 3 4 2 根据分类加法计数原理，共有 C2 C ＋ C C ＋ C 4 6 4 6 4C6 ＝185(种)抽调方法.
方法二 (间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 C6 10 种选法，若选取1名
5 6 外科专家参加，有 C1 种选法；没有外科专家参加，有 C C 4 6 6 种选法，所以
1 5 6 共有 C6 － C C － C 10 4 6 6 ＝185(种)抽调方法.
题型探究
类型一 例1
有限制条件的组合问题
去年7月23日，某铁路线发生特大交通事故，某医院从10名医疗专
家中抽调6名赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科 专家.问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
解 分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有 C2 4 种选法，
跟踪训练1
男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派
5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； 解 第一步：选3名男运动员，有 C3 6 种选法；
3 2 第二步：选2名女运动员，有 C2 种选法，故共有 C · C 4 6 4 ＝120(种)选法.
不选女队长时，必选男队长，共有 C4 8 种选法，其中不含女运动员的选
法有 C4 5 种，
4 － C 故不选女队长时共有 C4 8 5 种选法.
4 4 ＋ C － C 所以既有队长又有女运动员的选法共有 C4 9 8 5 ＝191(种).
解答
类型二
与几何有关的组合应用题
例2
如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，
第一章 §3 组
合
第2课时 组合的应用
学习目标
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
2.能解决有限制条件的组合问题.
内容索引
知识梳理
题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点
组合应用题的解法
1.无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、 求值；四、作答. 2.有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般 地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数 的多少分类.
从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个
4 点的情况，得到所有构成四面体的个数为C4 － C 10 5 ＝205.
解析
答案类Biblioteka 三分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题 例3 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配
方式？ (1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
1 5 2 4 所以共有 C6 ＋ C C ＋ C 6 4 6 4C6＝115(种)抽调方法.
解答
反思与感悟
(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一 样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分 步法或用间接法. (2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等 的确切含义，正确分类，合理分步. (3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处 理，即“正难则反”的策略.
第一章 计数原理 本章小结 线上课程课件-北师大版高中数学选修2-3
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间即图中“”的位置这样
相当于7个“”选4个来排，一共有A74＝840种排法.
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，
根据分步乘法计数原理，
一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的
节目安排顺序？
插空法
解 第一步将6个演唱节目排成一行如图中的“ ”，一共有A66＝720(种)排法.
北师大版 高中数学 选修2—3 第一章 计数原理
本章小结
一、
知 识 网 络
两个原理
分类加法计算原理 分步乘法计数原理
排列与组合 简单计数问题
排列 组合
Anm 的意义及计算 Cnm 的意义及计算 组合数的性质
二项式定理
二项式定理 二项展开式的系数
二、 要点归纳
1.两个计数原理
有n类
完
办法
成
一
件 事
第三类：用2种颜色涂，对角区域各涂一色有A42＝4 3＝12(种). 共有24＋48＋12＝84(种).
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
分析
钳工 5
2
题型三 二项式定理及其应用
高中数学北师大版选修2-3：1.3组合(一)+课件
高二数学备课组
[学习目标]
1．理解组合及组合数的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式 解决简单的组合问题．
导
问题1 某城市有3个大型体育场A,B,C,需要 选择2个体育场承办一次运动会，有多少种选择 方案？？ 分析 利用枚举法 我们把所有可能都列出来，一共有AB,AC,BC3种， 因此有3中选择方案. 问题2 从a，b，c，d4个元素中取出2个 元素，共有多少种可能？
分析 设取法的总数为C，其中每一种取 法是a，b，c，d中的2个元素，如a，b. 这2个元素，可以组成2种不同的排列. 这样，就可以分两步来计算“从4个不同元 素中，任取2个元素”的排列问题. 第一步：先从4个元素中取出2个元素， 总数为C. 第二步：将取出的2个元素进行排列，排列 数为2. 根据乘法原理，A42=C×2，从而 2 A4 43 C 6. 2 2
m n
我们规定：Cn 1.
0
例1 计算（1）C104 ; (2)C73
10 9 8 7 解 (1)C 210. 4 3 2 1
4 10
7 65 (2)C 35. 3 2 1 例2 平面内有12个点，任何3个点不在同 一条直线上，以每3点为顶点画一个三角形， 一个可以画多少个三角形？
思
上面这些问题有什么共同特征？ 它们与排列问题有什么不同吗？
展
组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n) 个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.我们把求有关组合的个数的 问题叫作组合问题. 说明： ⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题
高中数学第一章计数原理3组合课件选修23高二选修23数学课件
D 当堂检测
ANGTANGJIANCE
首页
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
X 新知导学
INZHIDAOXUE
D 答疑解惑
AYIJIEHUO
思维辨析
变式训练 1给出下列问题:
(1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?
§3 组合(zǔhé)
12/9/2021
第一页，共三十三页。
首页
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.理解并掌握组合、组
合数的概念,掌握组合
与排列之间的联系与
区别.
2.熟练掌握组合数公
式及组合数的两个性
质,并运用于计算之中.
3.能够运用排列组合
公式及计算原理解决
一些简单的应用问题,
提高学生的数学应用
能力和分析问题、解决
名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具体的事
件(shìjiàn),不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数,它是一个
数.
2.利用排列数公式和组合数公式进行计算,证明时,要正确地选用
公式,同时注意A
, C 中 m≤n 这个隐含条件.在利用组合数公式计
算、化简时,要灵活运用组合数的性质,一般地,计算C 时,若 m 比较
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如
何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有(zhǐyǒu)一个元
素不同)时,就是不同的组合.
3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中任取出m
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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知识梳理
典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
高中数学 第一章 计数原理 3 组合学案 北师大版选修23
§3 组 合1．组合一般地，从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素为一组，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题．预习交流1如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：一个问题究竟是组合问题还是排列问题，不能想当然地判断，必须要结合具体的问题，依照题目的要求，寻找处理的过程中是否与顺序有关，如果与顺序有关，就是排列问题，否则就是组合问题．2．组合数我们把从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．C m n ＝A mn A m m ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！.规定C 0n ＝1.预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示：在记住排列数公式的基础上，分母再除以m ！就得组合数公式． 3．组合数的性质性质1：C m n ＝C n －mn .性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 预习交流3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从n 个元素中取m 个元素，剩余(n －m )个元素，故C m n ＝Cn －mn .从n＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n ，第二类不含有此元素a ，则为C m n ，根据分类加法计数原理得C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .1．组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A ＝{a ，b ，c ，d }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个？ (2)一个班中有52人，任意两个人握一次手，共握多少次手？(3)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换任何两个元素的顺序，看结果有无影响，如无影响则是组合问题． 解：(1)因为集合中取出元素具有“无序性”，故这是组合问题； (2)因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题；(3)因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．下列问题中，是组合问题的有__________．(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；(2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法； (3)a ，b ，c ，d 四支足球队进行单循环比赛，共需多少场比赛； (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果． 答案：(1)(3)解析：(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题； (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题； (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．与顺序无关的是组合问题，与顺序有关的是排列问题． 2．组合数公式及组合数的性质(1)计算C 98100＋C 199200；(2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ；(3)化简C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋C 88.思路分析：先把组合数利用性质进行化简，或利用组合数性质求解．解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.(2)由C 3n ＋618＝C 4n －218，知3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋(4n －2)＝18. 解得n ＝8或n ＝2.而3n ＋6≤18且4n －2≤18， 即n ≤4且n ∈N ＋，∴n ＝2.(3)C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋C 88＝C 88＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 55＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48＝C 57＋C 47＋C 48＝C 58＋C 48＝C 59＝C 49＝9×8×7×64×3×2×1＝126.(1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝__________；(2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101＝__________.答案：(1)329 (2)16解析：(1)原式＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－1＝…＝C 410＋C 310－1 ＝C 411－1＝329.(2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 31013！÷A 3101＝16.熟记公式、正确地选用公式、准确地计算是解决此类题的关键． 3．组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45(种)． (2)从6名男教师中选2名的选法有C 26，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C 26·C 24＝6×52×1·4×32×1＝90(种)．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生； (2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解：(1)一名女生，四名男生，故共有C 15·C 48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C 22·C 311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种)选法．或采用间接法：C 513－C 511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C 25·C 38＋C 15·C 48＋C 58＝966(种)选法．(5)分两类：第一类，女队长当选，有C 412种选法；第二类，女队长不当选，有C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44(种)选法，故选法共有C 412＋C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44＝790(种)．利用组合知识解决实际问题要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法； ②要使用分类方法，要做到不重不漏；③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )． ①某班选10名同学参加拔河比赛；②由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a 的坐标；③由1,2,3,4选出两个数分别作为实轴长和虚轴长，构成焦点在x 轴上的双曲线方程； ④从正方体8个顶点中任取两个点构成线段．A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③ 答案：B解析：由组合的概念知①④是组合问题．2．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝( )．A ．C 9799B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100 答案：B解析：原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100.3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个点作圆，共可作圆( )个．A ．220B ．210C ．200D ．1 320 答案：A解析：由题意知C 312＝12×11×103×2×1＝220.4．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是__________． 答案：{5}解析：∵C x 17＝C x 16＋C x －116，∴C x －116＝C 2x ＋216.由组合数的性质得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x 1＝－3(舍)，x 2＝5.5．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点的(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45(条)．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90(条)．。
高中数学第一章计数原理1_3_1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
第30页
方法三 原式＝C33＋C32＋C42＋C52＋…＋C1002 ＝C43＋C42＋C52＋…＋C1002 ＝C53＋C52＋…＋C1002＝…＝C1013 ＝166 650.
3n≥38－n>0， ① 21＋n≥3n>0， ② 由①得348≤n<38，由②得0<n≤221. ∴348≤n≤221，又n∈N*，∴n＝10. 即f(n)定义域为{10}．
第18页
(2)由题设不等式，得
10！
10！
（n－3）！（13－n）！ < （n－2）！（12－n）！
10！ <（n－1）！（11－n）！.
第41页
5．若 Cn＋22＝14An＋13，求 n.
解析 由 Cn＋22＝14An＋13，得
（n＋2）！ （n＋2－2）！
2！＝14·（（n＋n＋1－1）3）！！，
即n（nn＋－21）＝12，解得 n＝－1(舍)或 n＝4.
故 n＝4.
第42页
第6页
3．组合数、组合数公式及组合数性质 (1)组合数符号表示为Cnm，如从4个不同元素取出3个元素的 组合数为C43； (2)“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指 “从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素合成一组”，它不 是一个数，而是具体的一件事；组合数是指从n个不同元素中取 出m个元素的所有组合的个数，它是一个数；
第13页
(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有 多少种可能？
2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理本章整合课件 北师大版选修2-3
3
3
由
2)
������-6
3 C6 ������ ( 2)
6
1 33
3
������-6
=
������ 1 ������ ,化简得 63-4 =6-1,∴ -4=-1,∴ n=9. 6 3
∴ 第 7 项为 C 9 ( 2)
6
9-6
1
3
6
3
3 = C9 ·2· =
1 9
56 . 3
专题一
专题二
专题三
2.赋值法 应用 2 已知(2x-1) =a0· x +a1· x +a2· x +a3· x +a4x+a5. (1)求 a0+a1+a2+…+a5; (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|; (3)求 a1+a3+a5. 提示:有关求系数的问题,一般采用 “赋值法 ”,令二项式中的字母取± 1,0 等特殊的数,得到一个或几个等式,然后再根据需求得出结果. 解:(1)令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a5=1. (2)令 x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.∵ 偶数项的系数为 负,∴ |a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=3 =243.
专题一
专题二
专题三
提示:解决排列组合题目时,从正面入手,情况较复杂,不易解决时,可以 从问题的反面入手,往往能收到意想不到的效果. (1)解法一:(直接法)
4 可分三类,①A,B,C 三人只选一人,有 C1 3 · C9 =378 种,②A,B,C 三人中选
高中数学第1章计数原理3组合第2课时组合的应用课件北师大版选修2_3
数学研究学习小组共有13名学生，其中男生8人，女生5 人，从这13人里选出3个人准备做报告．在选出的3个人中，至 少要有1名女生，一共有多少种选法？
【错解】 先选 1 名女生，有 C15种方法；再从剩下的 12 个人中选出 2 名，有 C212种方法．
∴共有 C15·C212＝330 种不同的选法．
2．有限制条件的组合应用题 (1)“含”与“不含”问题，其解题思路是将限制条件视为 特殊元素和特殊位置．一般来讲，特殊要先满足，其余则“一 视同仁”． (2) 若 正 面 入 手 不 易 ， 则 从 反 面 入 手 ， 寻 找 问 题 的 突 破 口．即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至 多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含 义，准确把握分类标准．
方法一(直接法)：C14·C56＋C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝209 种． 方法二(间接法)：C610－C66＝209 种．
与几何图形有关的组合问题
(12分)(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少 个四面体？
(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？ [思路导引] (1)采用间接法求解． (2)采用直接法、先确定底面，再选顶点．
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加； (5)甲、乙、丙三人至少1人参加．
[思路导引] 本题是组合问题中的最基本的问题，可根据 题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和 分析．
解析： (1)C512＝792 种不同的选法； (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人， 共有 C29＝36 种不同的选法； (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选 5 人， 共有 C59＝126 种不同的选法； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，分两步，先从甲、乙、 丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法，再从另外的 9 人中选 4 人有 C49 种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法；
高中数学(北师大版,选修23)第一章 计数原理+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(12份)第1章 3
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合 数为 C310＝120.
判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位 数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数 字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ [分析] 取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关 则为排列问题，与顺序无关则为组合问题．
叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
nn－1n－2…n－m＋1
2．组合数公式 Cnm＝_A_mm___＝___________m_！_____________，
规定 C0n＝1.
因为 An！nm＝n－n！m！，所以，上面的组合数公式还可以写成 Cnm＝_m_！___n_－__m__！.
②性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合 数．
③性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项 式定理”时，我们会看到它的具体应用．
思路方法技巧
排列问题与组合问题的辨别
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求 出相应的排列数或组合数．
知能目标解读
1．通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：组合的概念． 本节难点：组合数的两个性质．
高中数学 第1部分 第一章 §3 第二课时 组合的应用课件 北师大版选修23
考点一
考点二
应用创新 演练
[例1]
2011年7月23日，甬温线发生特大铁路交通事故，
某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员， 其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有 多少种？
答案：96
3．某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民
医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的 选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有选法C3 18＝816种．
6 ①没有外科专家参加，有C6 种选法； 1 5 ②有1名外科专家参加，有C4 C6种选法； 2 4 ③有2名外科专家参加，有C4 C6种选法． 1 5 2 4 所以共有C6 ＋ C C ＋ C 6 4 6 4C6＝115种抽调方法．
[一点通]
(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约
束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先” 的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2分) 第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1
1 点可确定C1 4C5条直线．
(3分)
根据分类加法计数原理，共有不同直线
2 1 1 1＋C5 ＋C4 C5＝1＋10＋20＝31条． (4分)
1 (2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得C 2 C 4 5个
三角形；
1 2 第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得C4 C5个三角