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最新北京中考数学一模22题一次函数专题

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2022年北京中考数学一模分类汇编——一次函数与反比例函数(学生版)

2022年北京中考数学一模分类汇编——一次函数与反比例函数(学生版)

2022年北京中考数学一模分类汇编——一次函数与反比例函数1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（﹣2，0）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞m时，对于x的每一个值，函数y＝3x﹣4的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与坐标轴分别交于A （2，0），B（0，4）两点．将直线l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线l2：y＝m（x﹣4）（m≠0）分别交于点C，D．（1）求k，b的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．①当m＝1时，区域W内有个整点；②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．3．（2022•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点B（3，m），点P为反比例函数y＝（k ≠0）的图象上一点．（1）求m，k的值；＝2时，求点P的坐标．（2）连接OP，AP．当S△OAP4．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．5．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝2x 交于点A（m，n）．（1）当m＝2时，求n，b的值；（2）过动点P（t，0）且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D．当t≤1时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．6．（2022•通州区一模）已知一次函数y1＝2x+m的图象与反比例函数y2＝（k＞0）的图象交于A，B两点．（1）当点A的坐标为（2，1）时．①求m，k的值；②当x＞2时，y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．（2）将一次函数y1＝2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值．7．（2022•房山区一模）一次函数y＝kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．（1）当m＝时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值大于一次函数y＝kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．8．（2022•门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（3，m）．（1）如果点A，B均在反比例函数y1＝的图象上，求m的值；（2）如果点A、B均在一次函数y2＝ax+b的图象上，①当m＝2时，求该一次函数的表达式；②当x≥3时，如果不等式mx﹣1＞ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．9．（2022•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b （k≠0）的值，直接写出m的取值范围．10．（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．。

2022-2023学年北师大版中考数学复习《一次函数综合解答题》专题提升训练(附答案)

2022-2023学年北师大版中考数学复习《一次函数综合解答题》专题提升训练(附答案)

2022-2023学年北师大版中考数学复习《一次函数综合解答题》专题提升训练（附答案）1．阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，若直线l2与直线l1关于y轴对称，求直线l2的表达式．下面是小明的解题思路，请补充完整．第一步：求出直线l1与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l1；第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标；第四步：由点B，点C的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l2的表达式．小明求出的直线l2的表达式是．请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：（1）若直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，则直线l3的表达式是；（2）若点M（m，3）在直线l1上，将直线l1绕点M顺时针旋转90°．得到直线l4，求直线l4的表达式．2．直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD 并请直接写出点D的坐标；（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y＝kx+3．（1）当直线l经过D点时，求点D的坐标及k的值；（2）当直线l与正方形有两个交点时，直接写出k的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0），（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；（2）点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，求出b的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（6，3），连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”．（1）判断点C（1，4），D（3，4）中，是线段AB的“邻近点”的是；（2）若点H（m，n）在一次函数y＝x﹣1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m 的取值范围．（3）若一次函数y＝x+b的图象上至少存在一个线段AB的“邻近点”，则b的取值范围是．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90，AB＝AC，D是BC上一动点，P是边AC 的中点，过点D作DE⊥BC，交AB或AC于点E，连接PE，PD．已知BC＝6cm，设B，D两点间的距离为xcm，E，D两点间的距离为y1cm，P，D两点间的距离为y2cm．小乐根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小乐的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了为y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1.01 1.61 2.433 3.524 4.71 5.166y1/cm0 1.01 1.61 2.433 2.482 1.290.840y2/cm 4.75 3.81 3.26 2.56m 1.80 1.59 1.52 1.64 2.12则m＝．（2）如图，y2的函数图象已经给出，在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），并画出y1的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PDE为等腰三角形，且PD＝DE时，BD的长度约为．7．一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x、y轴交于点A、B．（1）直接写出△AOB的面积为；（2）点P（x，y）是坐标平面内的点，且满足△APB的面积是△AOB的面积的3倍，直接写出y与x的函数关系式；（3）若点C是线段AB的中点，点P在正比例函数y＝﹣x的图象上，设以点A、C、O、P为顶点的四边形的面积为S，当8≤S≤10时，求点P的纵坐标的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“关联点”的坐标定义如下：当a≥b时，Q 点坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，Q点坐标为（a﹣2，b）．（1）点A（3，2）的“关联点”坐标是，点B（﹣2，1）的“关联点”坐标是．（2）已知点C在一次函数y＝x+1的图象上，且点C的“关联点”为点D．①若点D的坐标为（m，﹣4），求m的值；②设所有的点C的“关联点”为点D组成一个新的图形，记作图形G．（i）一次函数y＝﹣x+1的图象与图形G的交点坐标是；（ii）当k满足时，一次函数y＝kx﹣2k的图象与图形G只有一个交点．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，点E是边BC上一动点，连接DE，过点E作DE的垂线交直线AB于点F，已知AD＝4cm，AB＝2cm，BC＝5cm，设CE的长为xcm，BF的长为ycm．小帅，根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究，下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）通过取点画图，测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54 4.55y/cm 2.5 1.100.9 1.52 1.90.90（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE＝BF时，CE的长度约为cm．10．阅读下列材料：①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（p，l）；②两条平行线l1，l2，直线l1上任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d（l1，l2）；③若直线l1，l2相交，则定义d（l1，l2）＝0；④对于同一直线l我们定义d（l，l）＝0；⑤对于两点P1，P2和直线l1，l2，定义两点P1，P2的“l1，l2﹣相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）．根据以上材料，解决以下问题：设P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，l3：y＝kx，l4：y＝kx+b，l5：y＝k′x．（1）①d（P1，l1）＝，②d（P1，P2|l1，l2）＝；（2）①若k＞0，则d（P1，P2|l3，l3）的最大值为；②若k＜0，b＝﹣2，则d（P1，P2|l4，l4）取最大值时，k的值为；③若k′＞k＞0，且l3，l5的夹角是30°，则d（P1，P2|l3，l5）的最大值为；（3）若k＝1，试确定d（P1，P2|l3，l4）的值（用含b的代数式表示）．11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，BC＝5cm，P是AB边上一动点，连接PC，设P，A两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，x的值为0）小东根据学习一次函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，请补充完整：（说明：相关数值保留一位小数）x/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.9 5.5 6.0 6.57.07.58.0 y/cm 6.2 5.5 4.94.0 3.9 4.0 4.1 4.2 4.4 4.7（2）建立平面直角坐标系（图2），描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当y取最小值时，x的值约为多少cm．（结果保留一位小数）②当PC＝2P A时，P A的长度约为多少cm．（结果保留一位小数）12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，点P是斜边AB上一点（点P 不与点A，B重合），过点P作PQ⊥AB于P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变换而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：x……0.8 1.0 1.4 2.0 3.0 4.0 4.5 4.8 5.0 5.5……y……0.20.30.6 1.2 2.6 4.6 5.8 5.0m 2.4……经测量、计算，m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合几何图形和函数图象直接写出，当QP＝CQ时，x的值是．13．在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行（不包括重合），那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），（1）如果b＝3，那么R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是；（2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求直线AB的表达式；（3）如图2，在矩形OEFG中，F（3，2）．点M的坐标为（m，3），如果在矩形OEFG 上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．14．对于平面直角坐标系xOy中的点P与图形W，给出如下的定义：在点P与图形W上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点P与图形W的距离，特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的距离为零．如图1，点A（1，3），B（5，3）．（1）点E（0，1）与线段AB的距离为；点F（5，1）与线段AB的距离为；（2）若直线y＝x﹣2上的点P与线段AB的距离为2，求出点P的坐标；（3）如图2，将线段AB沿y轴向上平移2个单位，得到线段DC，连接AD，BC，若直线y＝x+b上存在点P，使得点P与四边形ABCD的距离小于或等于1，请直接写出b的取值范围为．15．在平面直角坐标系xOy中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若PM+PN≤4，则称P为直线l的近距点，特别地，直线上l所有的点都是直线l的近距点．已知点A（﹣，0），B（0，2），C（﹣2，2）．（1）当直线l的表达式为y＝x时，①在点A，B，C中，直线l的近距点是；②若以OA为边的矩形OAEF上所有的点都是直线l的近距点，求点E的纵坐标n的取值范围；（2）当直线l的表达式为y＝kx时，若点C是直线l的近距点，直接写出k的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点A（﹣2，0），点B（1，1），点C（﹣1，﹣2），则A、B、C三点的“横长”a ＝|1﹣（﹣2）|＝3，A、B、C三点的“纵长”b＝|1﹣（﹣2）|＝3．因为a＝b，所以A、B、C三点为正方点．（1）在点R（3，5），S（3，﹣2），T（﹣4，﹣3）中，与点A、B为正方点的是；（2）点P（0，t）为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为；（3）已知点D（1，0）．①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；②若直线l：y＝x+m上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围．17．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm，E，F 分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PE＝y1cm，PF ＝y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数y1的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1与x的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y1/cm 1.120.50.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1的图象；（2）画函数y2的图象，在同一坐标系中，画出函数y2的图象；（3）根据画出的函数y1的图象、函数y2的图象，解决问题①函数y1的最小值是；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是；③若PE＝PC，AP的长约为cm18．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．20．对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d（P，W），即d（P，W）＝M﹣m，已知点A（2，1），B（﹣2，1）（1）求d（O，AB）；（2）点C为直线y＝﹣1上的一个动点，当d（C，AB）＝1时，点C的横坐标是；（3）点D为函数y＝x+b（﹣2≤x≤2）图象上的任意一点，当d（D，AB）≤2时，直接写出b的取值范围．参考答案1．解：∵直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，∴直线l1与x轴的交点A的坐标为（2，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），∴点A关于y轴的对称点C的坐标为（﹣2，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得k＝2，∴直线l2的表达式为：y＝2x+4．故答案为：y＝2x+4；（1）∵A（2，0），B（0，4），∴A、B两点的坐标关于直线y＝x的对称点分别为E（0，2），F（4，0），设直线EF的解析式为y＝ax+c，则，解得，∴直线l3的表达式为：y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2；（2）过M点作直线l4⊥l1，l4交y轴于点D，作MN⊥y轴于点N．∵点M（m，3）在直线l1上，∴﹣2m+4＝3，∴m＝，∴MN＝，B N＝1，∴BM＝．设ND＝a，则MN＝，BN＝1，BD＝a+1，由勾股定理得：（a+1）2＝a2+（）2+（）2，解得：a＝∴D（0，）．设直线l4的表达式y＝kx+把M（，3）代入得：k＝∴直线l4的表达式y＝x+．2．解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x+b，得b＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝1，∵点C在x轴负半轴上，∴C（﹣1，0），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（0，3）及C（﹣1，0）代入，得，解得．∴直线BC的解析式为：y＝3x+3；（2）如图，进而得出D1（4，3），D2（3，4）；（3）由题意，PB＝PC，设PB＝PC＝x，则OP＝3﹣x，在Rt△POC中，∠POC＝90°，∴OP2+OC2＝PC2，∴（3﹣x）2+12＝x2，解得，x＝，∴OP＝3﹣x＝，∴点P的坐标（0，）．3．解：（1）如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED＝∠1+∠2＝90°．在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝AB．∴∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3．又∵∠AOB＝∠AED＝90°，在△AED和△BOA中，，∴△AED≌△BOA，∴DE＝AO＝4，AE＝OB＝3，∴OE＝7，∴D点坐标为（4，7），把D（4，7）代入y＝kx+3，得k＝1；（2）当直线y＝kx+3过B点时，把（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1．所以当直线l与正方形有两个交点时，k的取值范围是k＞﹣1．4．解：（1）∵A（1，0），B（3，1）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2；（2）由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y＝x+m或y＝﹣x+n把（1，0）分别y＝x+m，∴m＝﹣1，∴直线AC的解析为：y＝x﹣1，把（1，0）代入y＝﹣x+n，∴n＝1，∴y＝﹣x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1；（3）把A（1，0），D（4，2）分别代入y＝2x+b±2，得出b＝0，或b＝﹣8，∴b＞0或b＜﹣85．解：（1）由点C、D、A的坐标知，点C、D在点A的正上方，间隔和距离均为1的位置，其中点C到点A的最小距离（也是到线段AB的最小距离）为＝1，而点D到直线AB的最小距离为4﹣3＝1，故答案为D；（2）如图1，由题意知，符合条件的点在AB周围类似操场的环形跑道（两侧为半径为2的半圆）内的部分，当y＝2时，即2＝y＝x﹣1，解得x＝3，即点E的坐标为（3，2），当y＝4时，即4＝y＝x﹣1，解得x＝5，即点E的坐标为（5，2），即3≤m≤5；（3）如图2，由（2）知，当直线m、n和类似操场的环形跑道两侧半圆相切时，为题设的临界点，设直线m和半圆的切点为D，直线AB交直线m于点F，由直线m的表达式知，∠DF A＝45°，则AF＝AD＝，故点F的坐标为（2﹣，3），将点F的坐标代入y＝x+b并解得b＝1+；同理点E的坐标为（6+，3），将点E的坐标代入y＝x+b并解得b＝﹣3﹣；∴﹣3﹣≤b≤1．故答案为：﹣3﹣≤b≤1．6．解：（1）当x＝3时，如图1，此时点A、E重合，则x＝BD＝3＝AD，则DP为Rt△ADC的中线，故y2＝DP＝AC＝AB×＝≈2.12，故答案为2.12；（2）根据表格数据描点绘图如下：（3）因为DE＝PD时，即y1＝y2，则（2）中图象的交点的横坐标，即为所求点，从图上看x≈2.49或4.59（答案不唯一）；BD的长度约为2.49或4.59．故答案为2.49或4.59．7．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x、y轴交于点A、B，∴A（4，0），B（0，2），∴△AOB的面积为：＝4，故答案为4；（2）如图1，∵△APB的面积是△AOB的面积的3倍，∴点P在平行于AB，且到AB的距离为3OG的直线EF、直线MN上，因此有HG＝3GO，GK＝3GO，即：＝，＝，由△AOB∽△EOF，△AOB∽△MON得，＝＝，＝＝，∵OB＝2，∴OF＝4，ON＝8，∴F（0，﹣4），N（0，8），∴直线MN的关系式为：y＝﹣x﹣4，直线MN的关系式为：y＝﹣x+8，故答案为y＝﹣x+8或y＝﹣x﹣4；（3）①如图2﹣1，点P在正比例函数y＝﹣x（x＞0）的图象上，即在第四象限内的直线上，∵点C是AB的中点，A（4，0），B（0，2），∴C（2，1）∵S△AOC＝×4×1＝2，8≤S四边形OCAP≤10，∴6≤S△OAP≤8，即：6≤×4×PD≤8，∴3≤PD≤4，此时点P的纵坐标y的取值范围为：﹣4≤y P≤﹣3；②如图2﹣2，点P在正比例函数y＝﹣x（x＜0）的图象上，即在第二象限内的直线上，∵S△PCA＝S△OCA＝×4×1＝2，8≤S四边形OCAP≤10，∴6≤S△OAP≤8，即：6≤×4×PD≤8，∴3≤PD≤4，此时点P的纵坐标y的取值范围为：3≤y P≤4；综上所述，点P的纵坐标y的取值范围为：3≤y P≤4或﹣4≤y P≤﹣3；8．解：（1）A（3，2）的“关联点”坐标是（3，﹣2），点B（﹣2，1）的“关联点”坐标是（﹣4，1）．故答案为（3，﹣2），（﹣4，1）；（2）∵点C在一次函数y＝x+1的图象上，∴C（x，x+1），∵点C的“关联点”为点D，∴D（x，﹣x﹣1）或（x﹣2，x+1），①若点D的坐标为（m，﹣4），∴﹣x﹣1＝﹣4，或x+1＝﹣4，解得x＝﹣或x＝，∴m＝﹣﹣2＝﹣或．②（i）由题意函数G：y＝，由，解得，由，解得，∴G（6，﹣5）或（﹣，）．故答案为（6，﹣5）或（﹣，）．（ii）函数G的图象如图所示：∵一次函数y＝kx﹣2k的图象过定点G（2，0），当直线y＝kx﹣2k经过点A（3，﹣3）时，k＝﹣3，此时满足条件，只有一个交点，当直线y＝kx﹣2k平行AB时，k＝﹣，观察图象可知：当k＝﹣3或﹣≤k＜0或0＜k＜时，一次函数y＝kx﹣2k的图象与图形G只有一个交点．故答案为k＝﹣3或﹣≤k＜0或0＜k＜．9．解：（1）根据题意作图测量可得x＝2.5时，y＝1.9，当x＝4时，y＝1.5故答案为：1.9，1.5（2）根据题意作图得：（3）如图，作y＝x的函数图象根据题意，所画图象于直线y＝x交点即为所求数值．故测量数据在0.6～0.8之间．10．解：（1）∵P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，∴①d（P1，l1）＝4×＝2，②d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）＝2+0+3×＝2+；故答案为2，2+；（2））①如图1，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，，d（P1，P2|l3，l3）＝d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）＝P1A+P2B，∵P1A≤P1C，P2B≤P2C，∴P1A+P2B≤P1P2，∴当P1P2⊥l3时，P1A+P2B的最大值是：＝＝5．②如图2中，直线l4交y轴于C（0，﹣2），作P1关于C的对称点P1′（﹣4，﹣4）．作P1E⊥直线l4于E，P1′F⊥直线l4于F．易证P1E＝P1′F，∴d（P1，P2|l4，l4）＝d（P1′，P2|l4，l4）＝P2P1′＝＝，③如图3，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，把线段OP绕点O逆时针旋转30°得到OP1′，作P1′⊥直线y＝k′x于H，易证P1A＝P1′H，∴d（P1，P2|l3，l5）＝d（P1′，P2|l3，l5）＝P1′P2，∵P1′（2，2），P2（0，3），∴P1′P2＝＝．∴d（P1，P2|l3，l5）＝d（P1′，P2|l3，l5）＝P1′P2＝．故答案为5，，；（3）l3：y＝k，l4：y＝x+b，当b≥0时，如图4﹣1中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝b，P1E＝2，P2F＝（（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）+b+2＝．当﹣4≤b＜0时，如图4﹣2中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝﹣b，P1E ＝2，P2F＝（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）﹣b+2＝﹣b．当b＜﹣4时，如图b﹣3中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝﹣b，P1E＝2，P2F＝（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）﹣b+2＝﹣b．综上所述，d（P1，P2|l3，l4）＝或﹣b．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵∠B＝∠B，∠CHB＝∠ACB＝90°，∴△BCH∽△BAC，∴BC2＝BH•BA，∴BH＝，∴PH＝5﹣＝，∴CH＝＝，∴PC＝＝≈4.3，x＝8时，P与B重合，PC＝5，故答案为4.3，5．（2）函数的图象如图所示：（3）结合画出的函数图象，解决问题：①4.9 （4.5至5.4均可）②2.3（2.1至2.8均可）12．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴AC＝3，BC＝3，∠B＝60°当点Q与点C重合时，AP＝4.5当0＜AP≤4.5时因为tan∠A＝∴PQ＝tan30°×AP＝x又∵y＝PQ×AP＝×x×x＝x2当5＜AP≤6时，y＝S△ABC﹣S△ACQ﹣S△BPQ＝AC×BC﹣AC×CQ﹣BP×PQ＝﹣﹣（6﹣x）2＝﹣+3x当x＝5.0时，y＝﹣+3×5≈4.3故答案为：4.3（2）如图（3）当点Q在线段AC上时，若QC＝QP即3﹣＝x解得，x＝3；当点Q在线段BC上时，若QC＝QP即（6﹣x）＝2x﹣9解得，x＝5.2故答案为：3.0或5.2．13．解：（1）如图1中，观察图象可知S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．故答案为S．（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．∵点A，B的“相关菱形”为正方形，∴△ABH为等腰直角三角形．∵A（1，4），∴BH＝AH＝4．∴b＝﹣3或5．∴B点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）．∴设直线AB的表达式为y＝kx+b．∴由题意得或解得或∴直线AB的表达式为y＝x+3或y＝﹣x+5．（3）如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．∵点M，N的“相关菱形”为正方形，∴△NMG为等腰直角三角形，∴EG＝GM＝3，∴M（6，3）．如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．∵点M，N的“相关菱形”为正方形，∴△NMG为等腰直角三角形，∴OG＝GM＝3，∴M（﹣3，3）．∴m的取值范围是：﹣3≤m≤6．14．解：（1）点E（0，1）与线段AB的距离为线段AE的长＝；点F（5，1）与线段AB的距离为线段FB的长＝2，故答案为；2．，（2）如图1，点B（5，3）在直线y＝x﹣2上．∵点A（1，3），B（5，3），∴AB平行于x轴，当y＝1时，x﹣2＝1，∴x＝3，∴P1（3，1），过P2作P2E⊥AB交AB的延长线于点E，∵直线y＝x﹣2与坐标轴分别交于点C（0，﹣2），D（2，0），∴OC＝OD，∴可证∠P2BE＝∠ODC＝45°，∵P2B＝2，∴，∴，∴点P的坐标为（3，1）或．（3）如图2中，作BE⊥直线y＝x+b于E，延长CB交直线y＝x+b于P，当BE＝1时，P（5，3﹣），∴3﹣＝5+b，∴b＝﹣2﹣．作DF⊥直线y＝x+b于F，延长AD交直线y＝x+b于Q，当DF＝1时，Q（1，5+），∴5+＝1+b，∴b＝4+．观察图象可知：满足条件的b的范围为：．15．解：（1）①根据直线l的近距点可知A，B是直线y＝x的近距点．故答案为A、B．②当PM+PN＝4时，可知点P在直线l1：y＝x+2，直线l2：y＝x﹣2上．所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点．如图1，EF在OA上方，当点E在直线l1上时，n的值最大，为．如图2，EF在OA下方，当点F在直线l2上时，n的值最小，为﹣2．当n＝0时，EF与AO重合，矩形不存在．综上所述，n的取值范围是，且n≠0．（2）如图3中，过点C作CE⊥x轴交直线y＝kx于E或M，作CF⊥y轴交直线y＝kx 于F或N．易知E（﹣2，﹣2k），F（，2），M（﹣2，﹣2k），N（，2），当CF+CE＝4时，2+2k+（﹣2﹣）＝4，解得k＝1﹣或1+（舍弃）当CM+CN＝4时，﹣2+（﹣2+2k）＝4，解得k＝﹣1﹣或﹣1+（舍弃），观察图象可知，满足条件的k的值为：．16．解：（1）根据正方点的定义，可知点R与A、B是正方点．故答案为R．（2）由题意：t﹣0＝1﹣（﹣2）或1﹣t＝1﹣（﹣2），解得t＝3或﹣2，故答案为﹣2或3．（3）①画出如图所示的图象，②如图，当直线y＝x+b与①中的图象有交点时满足条件．当直线y＝x+b经过图中M（1，3）时，3＝+b，解得b＝，当直线y＝x+b经过图中N（﹣2，﹣3）时，﹣3＝﹣1+b，解得b＝﹣2，观察图象可知：m或m≤﹣2时，y＝x+m上存在点N，使得A，D，N三点为正方点．17．解：（1）①由函数的对称性知，当x＝0.5时，y1＝0.71；②补全表格后描绘得到以下图象：（2）y1、y2关于x＝2对称，故描点得到y2的图象，如下：（3）①从图象可以看出函数y1的最小值为：0.5，故答案为0.5；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点点P到达点O处，故答案为：点P到达点O处；③PE＝PC，即：y1＝PC＝AC﹣x＝4﹣x，在图上画出直线l：y＝4﹣x，直线l与y1的交点坐标为：x＝2.5，y＝1.58，故答案为2.5．18．解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．19．解：（1）①∵b＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：∵点A的坐标为（1，2），∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，故答案为：6；②如图2﹣2所示：由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：CG＝3，则C（4，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝kx+a，则，解得；，∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，则C（﹣2，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，则，解得：，∴直线AC的表达式为：y＝x+1，综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）∵点M的坐标为（m，2），∴点M在直线y＝2上，∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），∴OD＝OE＝DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，∴OF＝OD＝，分两种情况：如图4所示：①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2+，2）或（2﹣，2）；∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2﹣，2）或（﹣2+，2）；∴m的取值范围为2﹣≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+；综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤3．20．解：（1）如图1中，∵A（2，1），B（﹣2，1），∴AB∥x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为，∴d（O，AB）＝﹣1．（2）如图2中，设C（m，﹣1）．当点C在y轴的左侧时，由题意AC﹣2＝1,∴AC＝3,∴(2﹣m)2+22＝9,∴m＝2﹣或2+（舍弃），∴C(2﹣,﹣1),当点C在y轴的右侧时，同法可得C(﹣2,﹣1),综上所述，满足条件的点C的坐标为（2﹣，﹣1）或（﹣2，﹣1）．故答案为：（2﹣，﹣1）或（﹣2，﹣1）．（3）如图3中，当b＝6时，线段EF：y＝x+6（﹣2≤x≤2）上任意一点D，满足d（D，AB）≤2，当b＝﹣4时，线段E′F′：y＝x﹣4（﹣2≤x≤2）上任意一点D′，满足d（D′，AB）≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤﹣4时，函数y＝x+b（﹣2≤x≤2）图象上的任意一点，满足d（D，AB）≤2．。

2024北京市平谷区中考一模数学试题

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2024北京市平谷区中考一模数学试题1．从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计调水700亿立方米．其中70000000000用科学记数法表示为（）A ．8710⨯B ．9710⨯C ．10710⨯D ．11710⨯2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，点C 为直线AB 上一点，CD CE ⊥，若165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒4．已知10x -<<，下列四个结论中，错误的是（）A ．1x <B ．0x ->C ．1x ->D ．10x +>5．正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（）A ．5B ．6C ．7D ．86．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．237．已知两组数据（1）3005，3005，3003，3000，2994；（2）5，5，3，0，6-．设第一组数据的平均值为1x ，方差为21s ，设第二组数据的平均值为2x ，方差为22s ，下列结论正确的是（）A ．12x x >，2212s s <B ．12x x >，2212s s >C ．12x x =，2212s s =D ．12x x >，2212s s =8．如图，正方形ABCD 中，点E 、H 、G 、F 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的点，点K 、M 、N 为对角线BD 上的点，四边形EKNF 和四边形MHCG 均为正方形，它们的面积分别表示为1S 和2S ，给出下面三个结论：①12S S =；②2DF AF =；③12924ABCD S S S =+正方形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③91x -x 的取值范围是．10．分解因式：22ab ab a ++=．11．化简：3311x x x+--的结果为．12．请写出一个大于1小于4的无理数.13．如图，反比例函数()0ky k x=≠经过点A 、点B ，则m =．14．关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．15．如图，ABC 内接于O ，BC 为O 的直径，D 为O 上一点，连接AD CD 、．若20D ∠=︒，则ACB ∠的度数为．16．某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F 六道工序，其中A ，B 是前期准备阶段，C ，D ，E 是中期制作阶段，F 为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：阶段准备阶段中期制作阶段扫尾阶段工序ABC D EF 所需时间/分钟1115201763加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元100701008050不能缩短在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是元．17．计算：112cos3031122-⎛⎫︒++-- ⎪⎝⎭．18．解不等式组：32162x x x x >-⎧⎪⎨<-+⎪⎩．19．已知250x x +-=，求代数式()()()112x x x x +-++的值．20．我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题．21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点()0,3．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当0x >时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于0，直接写出n 的取值范围．22．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别是BC AB 、边的中点，连接DE 并延长，使2EF DE =，连接AF CE 、．(1)求证：四边形ACEF 是平行四边形；(2)若30B ∠=︒，求证：四边形ACEF 是菱形．23．如图，ABC 内接于O ，45ACB ∠=︒，连接OA ，过B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ．(1)求证：D OAD ∠=∠；(2)若BC =3tan4D =，求O 半径的长．24．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据：温度（℃）5101520253035404550光合作用产氧速0.020.180.300.400.580.821.420.900.400.02率（2mol/m s μ）呼吸作用耗氧速率（2mol/m s μ）0.030.100.150.200.280.370.420.600.820.60(1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为x ，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象；(2)结合函数图象，解决问题：（结果取整）①最适合草莓生长的温度约为______℃；②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．25．4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a ．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在8090x ≤<这一组的是：84858586868889c ．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：(1)补全a 中频数分布直方图；(2)七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是______；(3)已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22=-y x bx ．(1)当抛物线过点(2,0)时，求抛物线的解析式；(2)若抛物线上存在两点()11,A x y 和()22,B x y ，若对于112x ≤≤，22x b =+，都有120y y ⋅<，求b 的取值范围．27．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边中点，DE AB ⊥于E ，作EDC ∠的平分线交AC 于点F ，过点E 作DF 的垂线交DF 于点G ，交BC 于点H ．(1)依题意补全图形；(2)求证：DH BE =；(3)判断线段FD 、HC 与BE 之间的数量关系，并证明．28．平面直角坐标系xOy 中，已知O 和平面上一点P ，若PA 切O 于点A ，PB 切O 于点B ，且90180APB ︒≤∠<︒，则称点P 为O 的伴随双切点．(1)如果O 的半径为2①下列各点()11,0P -，()22,2P -，()33,3P ，()41,2P --是O 的伴随双切点的是______；②直线y x b =+上存在点P 为O 的伴随双切点，则b 的取值范围______；(2)已知点()()1,20,2E F -、，过点F 作y 轴的垂线l ，点()0C m ，是x 轴上一点，若直线l 上存在以CE 为直径的圆的伴随双切点，直接写出m 的取值范围.参考答案：1．C【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，将70000000000写成10n a ⨯的形式即可，其中110a ≤<，n 的值与小数点移动位数相同．【详解】解：7000000000010710=⨯，故选C ．2．D【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C ．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；故选：D ．3．B【分析】本题考查角的运算，垂线，平角的定义，解题的关键是熟练运用垂直的定义，平角的定义．根据垂直的定义可得90DCE ∠=︒，然后利用平角的定义即可求解．【详解】解： CD CE ⊥，∴90DCE ∠=︒，165∠=︒，∴21801180906525DCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．4．C【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得：10x -<<，A 、1x <的解集为：11x -<<，故该选项正确，不符合题意；B 、0x ->，则0x <，故该选项正确，不符合题意；C 、1x ->，则1x <-，故该选项错误，符合题意；D 、10x +>，则1x >-，故该选项正确，不符合题意；故选：C ．5．B【分析】设所求正多边形边数为n ，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n =360°，求解即可．【详解】解：设所求正多边形边数为n ，∵正n 边形的每个内角都等于120°，∴正n 边形的每个外角都等于180°-120°=60°．又因为多边形的外角和为360°，即60°•n =360°，∴n =6．故选：B【点睛】本题考查了多边形内角和外角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°并根据外角和求出正多边形的边数．6．A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【详解】解：列表如下：正反正正正正反反反正反反共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种，∴两次都是正面向上的概率为14．故选：A ．7．D【分析】本题考查了平均数的定义，方差的定义，解题的关键是掌握平均数的定义，方差的定义，先求出两组数据的平均数，再求出方差即可求解．【详解】解：（1）的平均数为：300523003300029943001.45⨯+++=，方差是：()()()()2222130053001.4230033001.430003001.429943001.417.045⎡⎤-⨯+-+-+-=⎣⎦，（2）的平均数是：523061.45⨯++-=，方差是：()()()()222215 1.423 1.40 1.46 1.417.045⎡⎤-⨯+-+-+--=⎣⎦，∴12x x >，2212s s =，故选：D ．8．C【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得12BH CH MH BC ===，BK EK KN ==，DN KN =，进而得到133EK BD ==，根据正方形的面积公式即可判断①；根据DF =，E F F =，FN EF =，即可判断②；由212299ABCD S BC S ==正方形，221144ABCD S BC S ==正方形，可判断③．【详解】解：① 四边形ABCD 是正方形，∴45ABD CBD ∠=∠=︒，四边形EKNF 和四边形MHCG 均为正方形，∴90BHM CHM ∠=∠=︒，90BKE NKE ∠=∠=︒，∴BEK △和BMH V 都是等腰直角三角形，∴12BH CH MH BC ===，BK EK KN ==，同理可得DN KN =，∴133EK BD ==，∴2221239S EK BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，22221124S MH BC BC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴12S S ≠，故①错误；② AEF △和DFN △都是等腰直角三角形，∴DF =，EF =，四边形EKNF 为正方形，∴FN EF =，∴2DF AF =，故②正确；③由①知：212299ABCD S BC S ==正方形，221144ABCD S BC S ==正方形，∴122919244249ABCD ABCD ABCD S S S S S ++=⨯⨯=正方形正方形正方形，故③正确；故选：C ．9．x ＜1．【分析】根据二次根式的性质可以得到x -1是负数，由此即可求解．∴x -1＜0，∴x ＜1．实数x 的取值范围是x ＜1．故答案为：x ＜1．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．10．()21a b +【分析】先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：()()2222211ab ab a a b b a b ++=++=+，故答案为：()21a b +．【点睛】本题主要考查了综合提取公因式和公式法进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式，并掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+．11．3【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算．【详解】解：3311x x x +--原式3311x x x =---331x x -=-()311x x -=-3=故答案为：3．12【分析】根据实数的大小关系，结合数轴和无理数的定义可分析出答案.只要是被开方数大于1而小于16，且不是完全平方数的都可．【详解】根据题意可知：大于1小于4的无理数有如π13．2【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把A 点坐标代入解析式求出k ，进而求出反比例函数的解析式，然后将3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数的解析式即可．【详解】解：由图可知()3,1A --，3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将()3,1A --代入()0k y k x=≠，得：()()313k =-⨯-=，∴3y x=，将3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：332m =，解得：2m =，故答案为：2．14．k ＜1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0-⨯⨯>，解得：k 1<，故答案为k 1<.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠中，若方程有两个不相等的实数根，则△=2b 4ac 0->”是解答本题的关键.15．70︒/70度【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．由BC 为O 的直径，可得90BAC ∠=︒，由 AC AC =，可得20ABC D ∠=∠=︒，根据180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠，计算求解即可．【详解】解：∵BC 为O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∵ AC AC =，∴20ABC D ∠=∠=︒，∴18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：70︒．16．38750【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键．求出各个阶段的工序最长时间和即可求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短4分钟，在制作阶段若缩短3分钟，最后1分钟则看两个阶段谁投入的费用少，即可求解．【详解】解： 一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行，则加工该件艺术品最少需要：1520338++=（分钟）；需将加工时间缩短到30分钟，则共需要缩短8分钟，在准备阶段若缩短4分钟，则需要投入470280⨯=（元），在制作阶段若缩短3分钟，则需要投入3100300⨯=（元），还要1分钟，在准备阶段缩短1分钟需要投入10070170+=（元），在制作阶段缩短1分钟需要投入10080180+=（元），170180<，综上，最少投入为：280300170750++=（元），故答案为：38，750．17．1【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算三角函数、负整数指数幂、绝对值和二次根式，再算加减即可．【详解】解：112cos3012-⎛⎫︒++- ⎪⎝⎭=2212+--=118．14x -<<【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：32162x x x x >-⎧⎪⎨<-+⎪⎩①②，解由①得，1x >-，由②得，4x <，∴14x -<<．19．9【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后将250x x +-=变形为25x x +=，最后代入计算即可．【详解】解：()()()112x x x x +-++2212x x x=-++2221x x =+-()221x x =+-250x x +-= 25x x ∴+=∴原式2519=⨯-=．20．250步【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设走路快的人走了x 步追上走路慢的人，根据走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，可知相同时间内走路慢的人所走路程为60100x 步，据此列出方程求解即可．【详解】解：设走路快的人走了x 步追上走路慢的人．由题意得，60100100x x =+解得：250x =，答：走路快的人250步追上走路慢的人21．(1)3y x =+(2)03n ≤≤【分析】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．（1）由题意结合函数图象平移的特点可得出1k =，再将()0,3代入，求出b 的值即可；（2）画出大致图形，结合图形即得出当03n ≤≤时，当0x >时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数3y x =+的值且大于0．【详解】（1）解：∵一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，∴1k =，∴y x b =+．∵该一次函数经过点()0,3，∴30b =+，即3b =，∴这个一次函数的解析式为3y x =+；（2）解：如图，由图可知当03n ≤≤时，当0x >时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数3y x =+的值且大于0，∴n 的取值范围是03n ≤≤．22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由点D 、E 分别是BC AB 、边的中点，可得∥DE AC ，且12DE AC =，则EF AC =，进而可证四边形ACEF 是平行四边形；（2）由E 为AB 中点，可得12CE AB AE ==，由30B ∠=︒，可得60BAC ∠=︒，证明AEC △是等边三角形，则AC EC =，进而可证四边形ACEF 是菱形．【详解】（1）证明：∵点D 、E 分别是BC AB 、边的中点，∴∥DE AC ，且12DE AC =，∵2EF DE =，∴EF AC =，∴四边形ACEF 是平行四边形；（2）证明：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，E 为AB 中点，∴12CE AB AE ==，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∴AEC △是等边三角形，∴AC EC =，∴四边形ACEF 是菱形．【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．23．(1)见解析(2)20【分析】（1）连接OB ，根据圆周角定理可得90AOB ∠=︒，然后利用平行线的性质即可解答；（2）过点B 作BH AD ⊥于点H ，直角三角形的性质以及勾股定理，得4BH HC ==，再证明MBH OAM D ∠=∠=∠即可．【详解】（1）证明：连接OB ，∵BD 是O 的切线，90OBD ∴∠=︒，45ACB =︒∠ ，90AOB OBD ∴∠=∠=︒，OA BD ∴∥，∴D OAD ∠=∠；（2）解：过点B 作BH AD ⊥于点H ，90AHB DHB ∴∠=∠=︒，∵45ACB ∠=︒，BC =ACB HBC ∴∠∠=，BH HC ∴=，222BH HC BC +=，4BH HC ∴==，90HBM BMH ∠+∠=︒ ，90OAM AMO ∠∠=︒＋，BMH AMO ∠=∠，MBH OAM D ∴∠=∠=∠，3tan 4D = ，3tan 4MBH ∴∠=，35MH BM ∴==，，设O 的半径为x ，5OM x ∴=-，53tan tan 4OM x OAM D OA x -∴∠====，解得20x =，O ∴ 半径的长20．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角函数，掌握切线的判定方法和性质，圆周角定理正确解答的关键．24．(1)见解析(2)①35；②57x ≤<或4250x <≤【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键．（1）描点并用光滑的曲线连接起来即可；（2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根据图象作答即可．【详解】（1）解：描点及图象如图所示：（2）①由图象可知，当35x =时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，故答案为：35；②由图象可知，当57x ≤<或4250x <≤时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率．25．(1)见解析(2)88.5；94(3)435【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，中位数和众数，从题目图表中获取有用信息是解题的关键．（1）根据频数分布直方图的数据可得成绩为7080x ≤<的学生人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）求出七、八年级学生参加活动的成绩为优秀的百分比可得答案．【详解】（1）解：成绩为7080x ≤<的学生人数为2011792----=（人），补全的频数分布直方图如图所示：（2）将七年级参加活动的20名学生成绩按从小到大的顺序排列，中位数是888988.52+=（分）八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94；故答案为：88.5；94；（3）69143003004352020+⨯+⨯=（人）答：估计这两个年级共有435人达到了优秀．26．(1)22y x x=-(2)12b <<或2b <-【分析】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）分情况讨论：当原点位于对称轴的左侧时，当原点位于对称轴的右侧时，根据112x ≤≤，22x b =+，都有120y y ⋅<，确定b 的取值范围．【详解】（1）解：∵抛物线过点(2,0)∴440b -=，解得：1b =∴抛物线的解析式为22y x x =-（2）解：∵抛物线的对称轴为x b =，当0y =时220x bx -=解得120,2x x b==故与x 轴的交点为()()0.02,0b ，情况1：当原点位于对称轴的左侧时，要满足对于112x ≤≤，22x b =+，都有120y y ⋅<，此时，有2222b b b+>⎧⎨<⎩解得12b <<情况2：当原点位于对称轴的右侧时要满足对于112x ≤≤，22x b =+，都有120y y ⋅<，此时，有220b b <+<，解得22b b <⎧⎨<-⎩，解得2b <-综上，12b <<或2b <-27．(1)见解析(2)见解析(3)222BE HC DF +=，见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）通过ASA 证明EDG HDG ≌，得到DE DH =，根据题意易得45B ∠=︒，由DE AB ⊥，可得BDE △为等腰直角三角形，于是BE DE DH ==；（3）过点F 作FN CD ⊥于点N ，得DE 为ABC 的中位线，则BD CD =，根据三角形内角和定理求得67.5CDF CFD ∠=∠=︒，于是CD CF BD ==，进而CN FN BE DE DH ====，以此得出CD DH CD CN -=-，即CH DN =，在Rt DFN 中，利用勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：补全图形如图所示．（2）证明：DF 平分EDC ∠，EDG HDG ∴∠=∠，EH DF ⊥ ，90EGD HGD ∴∠=∠=︒，在EDG △和HDG △中，EGD HGD ∠=∠，DG DG =，EDG HDG ∠=∠，(ASA)EDG HDG ∴ ≌，D E D H ∴=，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，ABC ∴ 为等腰直角三角形，45B ∴∠=︒，又DE AB ∵⊥，即90DEB ∠=︒，BDE ∴ 为等腰直角三角形，BE DE DH ∴==．（3）解：222HC BE FD +=，证明如下：如图，过点F 作FN CD ⊥于点N ，则CFN 为等腰直角三角形，90DEB CAB ∠=∠=︒ ，DE AC ∴∥，又E 为AB 的中点，DE ∴为ABC 的中位线，BD CD ∴=，45BDE ∠=︒ ，135CDE ∴∠=︒，DF 平分EDC ∠，67.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，45C ∠=︒ ，18067.5CFD CDF C ∴∠=︒-∠-∠=︒，即CDF CFD ∠=∠，CD CF BD ∴==，CN FN BE DE DH ∴====，CD DH CD CN ∴-=-，即CH DN =，在Rt DFN 中，由勾股定理得222DN FN DF +=，222HC BE FD ∴+=．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾股定理解决问题．28．(1)①2P ，4P ；②44b -≤≤(2)1m ≥或1m ≤【分析】（1）求出点P 为O 的伴随双切线的条件，①根据求出的条件进行判断即可；②根据得出的条件，判断原点到直线y x b =+的距离的关系，从而得出解；（2）根据（1）得出点P 存在的条件，判断以CE 为直径的圆的圆心和半径的数量关系，从而得解．【详解】（1）解：①根据定义，由PA ，PB 是O 的切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∵OA OB =，OP OP =，∴AOP BOP ≌△△，∴APO BPO ∠=∠．∵90180APB ︒≤∠<︒，∴4590APO ︒≤∠<︒，∴sin 12APO ≤∠<．∵sin OA OP APO =∠，=2AO ，∴2OP <≤．∵点1(1,0)-P ，2(22)P -，，3(3,3)P ，4(1,2)P --，∴12341OP OP OP OP ====，∵2OP <≤，∴点24P P ，是O 的伴随双切点．故答案为：24P P ，；②∵直线y x b =+上存在点P 为O 的伴随双切点．∴圆心O 到直线y x b =+的距离不大于设直线y x b =+与x 轴，y 的交点为C ，D ，过点O 作OE CD ⊥于点E ，如图．令0x =，则y b =，令0y =，则x b =-，∴点(,0)C b -，(0,)D b ，∴OC OD b ==，∴COD △为等腰直角三角形，∴2222OE b =，2222b ≤∴44b -≤≤．故答案为：44b -≤≤；（2）设CE 的中点为F ，∴1(,1)2m F +．∵l y ⊥轴，F 过直线l ，∴直线l 的表达式为=2y -，∴圆心F 到直线l 的距离为1(2)3--=，由（1）可知32EF ≤，∴322EF ≥∴32CE ≥，22(1)232m -+≥∴141m ≥+或114m ≤【点睛】本题是一道圆的综合问题，考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理等，准确的理解新定义是解题的关键。

2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，主视图为如图的是（）A．B．C．D．2．（2分）北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83000余份，总量位居世界第二位．将83000用科学记数法表示应为（）A．83×103B．8.3×104C．8.3×105D．0.83×105 3．（2分）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）A．B．C．D．4．（2分）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．5．（2分）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．|m|＜|n|B．m+n＞0C．m﹣n＜0D．mn＞06．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．27．（2分）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为（）A．63°B．36°C．27°D．18°8．（2分）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：a2b+4ab+4b＝．11．（2分）分式方程的解为．12．（2分）根据如表估计≈（精确到0.1）．x16.216.316.416.516.6x2262.44265.69268.96272.25275.56 13．（2分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝4，BD＝8，则OM的长为．14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，a），则点B的坐标为．15．（2分）如图，点M在正六边形的边EF上运动．若∠ABM＝x°，写出一个符合条件的x的值．16．（2分）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．尺寸数量（个）大中小款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．20．（5分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°．求证：BC ＝AB ．方法一证明：如图，延长BC 到点D ，使得CD ＝BC ，连接AD ．方法二证明：如图，在线段AB 上取一点D ，使得BD ＝BC ，连接CD．21．（6分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，过点B 作BE ∥AD 交CD 于点E ，点F 为AD 边上一点，AF ＝BE ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 为矩形；（2）若AB ＝6，BC ＝3，CE ＝4，求ED 的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过点（1，3），（2，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞2时，对于x 的每一个值，一次函数y ＝mx 的值大于一次函数y ＝kx +b 的值，直接写出m 的取值范围．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE为⊙O的切线；（2）延长AB，ED交于点F．若BF＝2，，求AC的长．24．（6分）某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：蔬菜价格众数中位数西红柿（元/千克）6m黄瓜（元/千克）n6根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）在西红柿与黄瓜中，的价格相对更稳定；（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．25．（5分）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：水平距离x/m00.41 1.42 2.4 2.8竖直高度y/m00.480.90.980.80.480根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m；②求满足条件的抛物线的解析式；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过篱笆．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，AE，BF交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）在线段AG上截取MG＝BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点N．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（m，n），我们称直线y＝mx+n为点P的关联直线．例如，点P（2，4）的关联直线为y＝2x+4．（1）已知点A（1，2）．①点A的关联直线为；②若⊙O与点A的关联直线相切，则⊙O的半径为；（2）已知点C（0，2），点D（d，0）．点M为直线CD上的动点．①当d＝2时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；②以T（﹣1，1）为圆心，3为半径作⊙T．在点M运动过程中，当点M的关联直线与⊙T交于E，F两点时，EF的最小值为4，请直接写出d的值．2023年北京市海淀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．【解答】解：A、该圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；B、该圆锥主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意；C、该三棱锥的主视图为三角形（三角形内部由一条纵向的实线），故本选项不符合题意；D、球的主视图是圆，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：83000＝8.3×104．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】连接甲乙，交MN于点P，点P就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短．【解答】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．符合题意的画法是A．故选：A．【点评】本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．4．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是＝，故选：D．【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．5．【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质解决此题．【解答】解：A．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得|m|＜|n|，那么A错误．B．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得m+n＞0，那么B正确．D．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得m﹣n＞0，那么C错误．D．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得mn＜0，那么D错误．故选：B．【点评】本题主要考查数轴上的点表示的数、实数的乘法、绝对值、不等式的性质，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质是解决本题的关键．6．【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，即可得方程4﹣4m＝0，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＝0，∴m＝1．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0．7．【分析】由平行线的性质，垂直的定义得到∠PQO＝90°，∠ACP＝90°，由对顶角的性质得到∠APC＝∠OPQ，由三角形内角和定理即可得到∠BAC＝∠COD＝27°．【解答】解：∵MN∥AB，OD⊥MN，∴OD⊥AB，∴∠PQO＝90°，∵OC⊥AD，∴∠ACP＝90°，∵∠APC＝∠OPQ，∴∠BAC＝∠COD＝27°，∴被测物体表面的倾斜角α为27°．故选：C．【点评】本题考查垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是理解题意，应用以上知识点来解决问题．8．【分析】由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m为常数，m＞0），将y＝kx+b代入z＝my得z＝mkx+mb，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【解答】解：由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m 为常数，m＞0），将y＝kx+b代入z＝my得：z＝m（kx+b）＝mkx+mb，∴z与x的函数关系为一次函数关系，∵k＜0，b＞0，m＞0，∴mk＜0，mb＞0，∴z与x的函数图象过一、二、四象限．故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，故实数x的取值范围是：x≥5．故答案为：x≥5．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．10．【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝b（a2+4a+4）＝b（a+2）2，故答案为：b（a+2）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．【解答】解：，方程两边都乘以x（x+3）约去分母得：x+3＝2x，解这个整式方程得x＝3，检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，∴x＝3是原分式方程的解．故答案为：x＝3．【点评】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．12．【分析】根据表格可得268.96＜269＜272.25，从而可得16.4＜＜16.5，即可解答．【解答】解：∵268.96＜269＜272.25，∴16.4＜＜16.5，∴≈16.4，故答案为：16.4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．13．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝4，则∠AOB＝90°，所以AB＝＝2，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM＝AB＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，OB＝OD＝BD＝×8＝4，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵点M为AB的中点，∴OM＝AB＝×2＝，故答案为：．【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．14．【分析】把A（1，a）代，可得a＝2，可得A（1，2），再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标．【解答】解：把A（1，a）代，可得a＝2，∴A（1，2），∵点B与点A关于原点对称，∴B（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．15．【分析】由正多边形的性质和平行线的性质求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°可得x的取值范围30°≤x≤60°，即可得到答案．【解答】解：连接BF，BE，∵六边形ABCDEF是正六边形，AF∥BE，∴∠A＝∠ABC＝∠AFE＝＝120°，AB＝AF，∴∠ABF＝＝30°，∠ABE＝180°﹣∠A＝60°，∵点M在正六边形的边EF上运动，∠ABM＝x°，∴30°≤x≤60°，∴x＝50°．故答案为：50°（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，根据正多边形的性质和平行线的性质求得∠ABF ＝30°，∠ABE＝60°得到x的取值范围是解决问题的关键．16．【分析】（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，由烧制大尺寸陶艺品只能使用A款电热窑及烧制的大尺寸陶艺品不少于10个，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论；（2）当使用A款电热窑烧制2次时，可求出恰好还需使用B款电热窑烧制一次，求出该方案的成本，再求出使用A款电热窑烧制3次所需成本，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，根据题意得：8x≥10，解得：x≥，又∵x为正整数，∴x的最小值为2，∴A款电热窑至少使用2次．故答案为：2；（2）当使用A款电热窑烧制2次时，将第2次的5个大尺寸陶艺品位置替换成10个中尺寸陶艺品，1个大尺寸陶艺品位置替换成6个小尺寸陶艺品，∴还需烧制中尺寸陶艺品50﹣15×2﹣10＝10（个），小尺寸陶艺品76﹣25×2﹣6＝20（个），又∵B款电热窑一次可烧制10个中尺寸陶艺品，20个小尺寸陶艺品，∴还需使用B款电热窑烧制一次，∴此方案所需成本为55×2+25＝135（元）．当A款电热窑使用3次时，所需成本为55×3＝165（元）．∵165＞135，∴烧制这批陶艺品成本最低为135元．故答案为：135．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，求出各烧制方案所需的成本．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝1+2+2﹣2×＝1+2+2﹣＝3+．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜5，则不等式组的解集为3＜x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式，化简（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+2x+7，再根据2x2+x﹣1＝0，可得2x2+x＝1，整体代入求值即可．【解答】解：（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+4x+1﹣2x+6＝4x2+2x+7，∵2x2+x﹣1＝0，∴2x2+x＝1，∴4x2+2x＝2（2x2+x）＝2，∴原式＝2+7＝9．【点评】本题考查了完全平方公式，代数式求值，涉及单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握整体代入法是解题的关键．20．【分析】若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，再利用平角定义求出∠ACD＝90°，从而可得∠ACD＝∠ACB＝90°，然后利用SAS证明△BCA ≌△DCA，从而可得AD＝AB，进而可得△ABD是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得AB＝BD，即可解答；若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，从而可得△BCD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，从而可得∠DCA＝∠A＝30°，进而可得DC＝DA，最后利用等量代换可得BC＝BD＝DA＝AB，即可解答．【解答】解：若选择方法一：如图：延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∵AC＝AC，∴△BCA≌△DCA（SAS），∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB；若选择方法二：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，∴∠DCA＝∠A＝30°，∴DC＝DA，∴BC＝BD＝DA＝AB，即BC＝AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BE∥AD，AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABEF是矩形；（2）解：∵∠C＝90°，BC＝3，CE＝4，∴BE＝，∵四边形ABEF是矩形，∴∠BEF＝∠AFE＝90°，AB＝EF＝6，∴∠BEC+∠FED＝90°，∠EFD＝90°，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠FED，∵∠EFD＝∠C＝90°，∴△BCE∽△EFD，∴，即，∴DE＝10．【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．22．【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）当x＝﹣2时，求出y＝2x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，3），（2，2）代入一次函数y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式：y＝﹣x+4；（2）当x＝2时，y＝﹣x+4＝﹣2+4＝2，根据题意，可知当x＝2时，2m≥2，解得m≥1，∴m的取值范围是m≥1．【点评】本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握待定系数法与函数图象是解题的关键．23．【分析】（1）连接OD，连接BC交OD于点F，证明DE∥BC，由垂径定理得出OD⊥CB，得出OD⊥DE，由切线的判定可得出答案；（2）连接BC，OD，根据锐角三角函数求出OB＝1，AB＝2，根据平行线的性质得出∠ABC＝∠AFE，根据锐角三角函数求解即可．【解答】（1）证明：连接OD，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AE，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是的中点，∴OD⊥CB，∴OD⊥DE，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BC，OD，由（1）知，OD⊥EF，BC∥EF，∵sin∠AFE＝，∴＝，∵BF＝2，OB＝OD，∴＝，∴OB＝1，∴AB＝2，∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠AFE，∴sin∠ABC＝sin∠AFE，∴＝，∴AC＝．【点评】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键．24．【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得m、n的值；（2）根据方差的意义解答即可；（3）根据统计图解答即可．【解答】解：（1）把西红柿在当地2022年3月至10月的价格从小到大排列，排在中间的两个数分别是6和7，故中位数m＝＝6.5；黄瓜在当地2022年3月至10月的价格中，6元/千克出现了3次，出现的次数最多，故众数n＝6；故答案为：6.5；6；（2）由折线统计图可知，西红柿的价格在5元/千克至10元/千克徘徊，黄瓜的价格在3元/千克至10元/千克徘徊，所以在西红柿与黄瓜中，西红柿的价格相对更稳定．故答案为：西红柿；（3）由统计图可知，6月份两种蔬菜的价格最低，所以如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在6月的产量相对更高．故答案为：6．【点评】本题考查了折线统计图、中位数、众数和方差，掌握相关统计量的意义是解决问题的关键．25．【分析】（1）①根据表中数据得出结论；②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可；（2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m，求出函数解析式，再把x＝2代入解析式求出y与0.8比较即可．【解答】解：（1）①由x＝0，y＝0和x＝2.8，y＝0可知，野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8﹣0＝2.8（米），对称轴为直线x＝＝1.4，∴当x＝1.4时，y有最大值0.98，∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米，故答案为：2.8，0.98；②设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.4）2+0.98，把x＝1，y＝0.9代入y＝a（x﹣1.4）2+0.98得，a（1﹣1.4）2+0.98＝0.9，解得a＝﹣0.5，∴抛物线的解析式为y＝﹣0.5（x﹣1.4）2+0.98；（2）设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为y＝mx2+nx，根据题意得：，解得，∴野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为y＝﹣x2+x，当x＝2时，y＝﹣×22+×2＝﹣+＝，∵＞0.8，∴野兔此次跳跃能跃过篱笆．故答案为：能．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．26．【分析】（1）抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断；（2）求得抛物线与直线y＝1的交点，即可求得对称轴，由对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1得到，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，从而得到，解得4＜b＜5．【解答】解：（1）由题意可知A（3，m），B（7，n）在抛物线y＝x2﹣10x+1上，∵y＝x2﹣10x+1＝（x﹣5）2﹣24，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝5，∵A（3，m），B（7，n）到对称轴的距离相同，∴m＝n；（2）当y＝1时，则y＝x2﹣2bx+1＝1，解得x1＝0，x2＝2b，∴抛物线经过点（0，1），（2b，1），∴对称轴为直线x＝b，∵对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，∴，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，∴，解得4＜b＜5．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△BCF，可得∠BAE＝∠CBF，由余角的性质可得结论；（2）①由题意补全图形；②由“SAS”可证△ABG≌△ADH，可得DH＝BG，∠AHD＝∠AGB＝90°，由“AAS”可证△MNG≌△DNH，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BGE＝90°＝∠AGF；（2）①如图所示：②MN＝DN，理由如下：过点A作AH⊥AE，交EN的延长线于点H，∵AH⊥AE，∴∠EAH＝90°＝∠BAD，∴∠BAE＝∠DAH，∵GN平分∠AGF，∴∠AGN＝∠NGF＝45°，∴∠AGN＝∠AHG＝45°，∴AH＝AG，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADH（SAS），∴DH＝BG，∠AHD＝∠AGB＝90°，∴∠AHN＝∠DHN＝45°，又∵BG＝MG，∴MG＝HD，又∵∠DHN＝∠AGN＝45°，∠MNG＝∠DNH，∴△MNG≌△DNH（AAS），∴MN＝DN．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）①根据点P的关联直线的定义可解答；②先根据切线的性质得：OB⊥GH，再根据直角三角形斜边中线的性质可得OB的长，即可得⊙O的半径的长；（2）①根据待定系数法可求得直线CD的解析式，设M（m，﹣m+2），表示点M的关联直线，确定这个关联直线经过定点N（1，2），可得结论；②同理确定CD的解析式，及点M关联直线的解析式和顶点坐标，根据两点的距离公式列方程可解答．【解答】解：（1）①∵点A（1，2），∴点A的关联直线为：y＝x+2；故答案为：y＝x+2；②如图1，设直线y＝x+2与⊙O相切的切点为B，连接OB，∴OB⊥GH，在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2，∴OG＝2，当y＝0时，x+2＝0，∴x＝﹣2，∴OH＝2，∴△GOH是等腰直角三角形，∴GH＝＝2，∵OB⊥GH，∴BH＝BG，∴OB＝GH＝×＝，则⊙O的半径为；故答案为：；（2）①当d＝2时，D（2，0），设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∵C（0，2），∴，解得：，∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+2，设点M的坐标为（m，﹣m+2），∴点M的关联直线为：y＝mx﹣m+2＝m（x﹣1）+2，∴点M的关联直线经过定点N（1，2），如图2，过点O作直线y＝﹣mx﹣m+2的垂线，垂足为H，连接ON，∴ON≥OH，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为：＝；②∵点C（0，2），点D（d，0），∴得直线CD的解析式为：y＝﹣+2，设点M的坐标为（n，﹣+2），∴点M的关联直线为：y＝nx﹣+2＝n（x﹣）+2，∴点M的关联直线经过定点（，2），如图3，过点T作TN⊥EF于N，连接TF，则EF＝2FN，要想使EF最小，因为TF＝3是定值，则TN为最大＝＝，由（2）①可知：当N与（，2）重合时，TN最大，∵T（﹣1，1），则：（﹣1﹣）2+（1﹣2）2＝（）2，解得：d＝2或﹣．【点评】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象及性质，两点的距离公式，新定义：关联直线的理解和运用等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合是解题的关键。

2022北京中考数学一模分类汇编《代数综合》含答案解析

2022北京中考数学一模分类汇编《代数综合》含答案解析

2022北京市中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+4）x+3经过点（2，m）．（1）若m＝﹣3，①求此抛物线的对称轴；②当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在此抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．3．（2022•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+n（k≠0）经过A，B两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）；（3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围．4．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．（1）若y1＝y2，求y3的值；（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．5．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，p）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m ＜p＜n，求t的取值范围．6．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a ＞0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．7．（2022•通州区一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C （3，p）三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若mnp＜0，求a的取值范围．8．（2022•房山区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，﹣3），其顶点为P．（1）求二次函数的解析式及P点坐标；（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．9．（2022•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式农示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．10．（2022•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．11．（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，﹣2）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．若0＜n＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．12．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+6．（1）若此二次函数图象的对称轴为x＝1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y5（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”）；（2）若a＜﹣2，当﹣2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．2022北京市中考数学一模分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得出关于a的方程，解方程求出a的值，进而求出二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）先求出一次函数的解析式，把点（m，y1）代入一次函数解析式得出y1＝2m+5，把点（m+4，y2）代入二次函数解析式得出y2＝m2+6m+8，再由y1＞y2得出2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，利用二次函数的性质求出不等式的解集，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，解得：a＝1，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，∴﹣2+b＝3，∴b＝5，∴y＝2x+5，∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，∴y1＝2m+5，∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，∵y1＞y2，∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，令y＝m2+4m+3，当y＝0时，m2+4m+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），∵抛物线开口项上，∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解决问题的关键．2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+4）x+3经过点（2，m）．（1）若m＝﹣3，①求此抛物线的对称轴；②当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在此抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）①将（2，﹣3）代入解析式求解．②将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．（2）由m＞0，抛物线经过（2，m）可得a的取值范围，从而可得抛物线对称轴，由5x1+5x2≥14可得点（x1，y1），（x2，y2）到对称轴距离的大小关系，进而求解．【解答】解：（1）①将（2，﹣3）代入y＝ax2﹣（a+4）x+3得﹣3＝4a﹣2（a+4）+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣5x+3．∴抛物线的对称轴为直线x＝；②∵y＝x2﹣5x+3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（，﹣），把x＝5代入y＝x2﹣5x+3得y＝3，∴当1＜x＜5时，﹣≤y＜3．（2）将（2，m）代入y＝ax2﹣（a+4）x+3得m＝4a﹣2（a+4）+3＝2a﹣5，∵m＝2a﹣5＞0，∴a＞，∵y＝ax2﹣（a+4）x+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝+＜，∵5x1+5x2≥14，∴x1+x2≥，∴≥＞，∵x1＜x2，∴（x1，y1）到抛物线对称轴的距离小于（x2，y2）到抛物线对称轴的距离，‘∴y1＜y2．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．3．（2022•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+n（k≠0）经过A，B两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a＝b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）；（3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围．【分析】（1）将抛物线的解析式写成顶点式，即可得出答案；（2）先确定出抛物线的对称轴，再用点C，D到对称轴的距离的大小，即可得出答案；（3）先确定出n＝m2+1，得出直线AB的解析式为y＝kx+m2+1，再联立抛物线解析式，化简得x[x﹣（2m+k）]＝0，最后利用对于x1＜﹣3时，总有k＜0，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（m，1）；（2）由（1）知，抛物线的顶点坐标为（m，1），∴抛物线的对称轴为x＝m，∵|m+2﹣m|＝2，|m﹣2﹣m|＝2，∴点C和点点D到抛物线的对称轴的距离相等，∴a＝b，故答案为：＝；（3）针对于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1①，令x＝0，则y＝m2+1，∴A（0，m2+1），∵点A在直线y＝kx十n（k≠0）上，∴n＝m2+1，∴直线AB的解析式为y＝kx+m2+1②，联立①②整理得，x2﹣2mx+m2+1＝kx+m2+1，∴x[x﹣（2m+k）]＝0，∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，∵点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，∴x1≠0，∴x1＝2m+k，∵对于x1＜﹣3时，总有k＜0，∴2m+k＜﹣3，总有k＜0，∴k＜﹣2m﹣3，总有k＜0，∴﹣2m﹣3≤0，∴m≥﹣．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，解不等式，求出x＝2m+k是解本题的关键．4．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．（1）若y1＝y2，求y3的值；（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．【分析】（1）由y1＝y2可得抛物线对称轴为y轴，由抛物线经过（﹣2，0），（2，y3）可得y3的值．（2）由抛物线经过（﹣2，0）可得4﹣2b+c＝0，分别将（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）代入解析式，根据y2＜y1＜y3及b的取值范围求解．【解答】解：（1）当y1＝y2时，（﹣1，y1），（1，y2）关于对称轴对称，则抛物线对称轴为y轴，∴（﹣2，0），（2，y3）关于y轴对称，∴y3＝0．（2）将（﹣2，0）代入y＝x2+bx+c得4﹣2b+c＝0，将（1，y2）代入y＝x2+bx+c得y2＝1+b+c，将（﹣1，y1）代入y＝x2+bx+c得y1＝1﹣b+c，∵y2＜y1，∴1+b+c＜1﹣b+c，∴b＜0，将（2，y3）代入y＝x2+bx+c得y3＝4+2b+c，∵y1＜y3，∴1﹣b+c＜4+2b+c，∴b＞﹣1，∵4﹣2b+c＝0，∴y3＝4+2b+c＝4b，∴﹣4＜4b＜0，即﹣4＜y3＜0．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．5．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，p）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m ＜p＜n，求t的取值范围．【分析】（1）将点M（2，m），N（4，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣6a，再求对称轴即可；（2）根据c＝0，可知抛物线过原点，再根据mn＜0，且m＜p＜n，可知抛物线与x轴的另一交点在2和4之间，从而确定出对称轴的取值范围．【解答】解：（1）∵点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，m＝n，∴，解得：b＝﹣6a，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3；（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），∴抛物线开口向上且经过原点，∵mn＜0，且m＜p＜n，∴m＜0，n＞0，∴抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个点为（2t，0），∴2＜2t＜4，∴1＜t＜2，∵点P（﹣1，p），点P关于对称轴的对称点为（2t+1，p），∵m＜p＜n，∴2＜2t+1＜4，∴＜t＜．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．6．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a ＞0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线与y轴交点坐标，再由抛物线经过（4，2）可得抛物线对称轴．（2）①由t＝可得x1与x2的取值范围，从而可得点P，Q到对称轴的距离大小关系，进而求解．②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），由y1≠y2可得x0≠x2，x1≠x2，通过解不等式求解．【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+2得y＝2，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2），又∵抛物线经过（4，2），∴抛物线对称轴为直线x＝2．（2）①∵a＞0，∴抛物线开口向上，当t＝时，点＜x1＜，＜x2＜．∴|x1﹣2|＜，|x2﹣2|，∴点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离，∴y1＜y2．②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），则x0＝4﹣x1，∵t＜x1＜t+1，∴3﹣t＜x0＜4﹣t，∵4﹣t＜x2＜5﹣t，∴x0≠x2，当t+1≤4﹣t或5﹣t≤t时，x1≠x2，解得t≤或t≥．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．7．（2022•通州区一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C （3，p）三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若mnp＜0，求a的取值范围．【分析】（1）将（2，n）代入解析式求解．（2）将A（﹣1，m），B（2，n），C（3，p）代入解析式，求出m，n，p与a的关系，分类讨论a＞0，a＜0时满足mnp＜0的条件，进而求解．【解答】解：（1）将（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得n＝4a﹣8a+2＝﹣4a+2．（2）∵y＝ax2﹣4ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4a+2），将（﹣1，m）代入y＝ax2﹣4ax+2得m＝a+4a+2＝5a+2，将（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得n＝﹣4a+2，将（3，p）代入y＝ax2﹣4ax+2得p＝﹣3a+2，当a＜0时，抛物线开口向下，若mnp＜0，则n＞0，p＞0，m＜0，∴5a+2＜0，解得a＜﹣，当a＞0时，抛物线开口向上，若mnp＜0，则n＜0，p＞0，m＞0，∴，解得，综上所述，a＜﹣或．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．8．（2022•房山区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，﹣3），其顶点为P．（1）求二次函数的解析式及P点坐标；（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数得出答案；（2）分①﹣2≤m＜﹣时，②当﹣≤m≤﹣1时，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A、C在二次函数的图象上，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P为（﹣1，﹣4）；（2）m≤x≤m+1时，y的最小值为﹣4，∴m≤﹣1≤m+1，即﹣2≤m≤﹣1，①﹣2≤m＜﹣时，y最大值＝m2+2m﹣3，由m2+2m﹣3＝2m，解得：m＝（舍去），m＝﹣，②当﹣≤m≤﹣1时，y最大值＝（m+1）2+2（m+1）﹣3，由（m+1）2+2（m+1）﹣3＝2m，解得：m＝0（舍去），m＝﹣2（舍去），综上：m的值为﹣．【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．9．（2022•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式农示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口向下可得抛物线顶点在直线y＝2与直线y＝0之间，从而列不等式求解．（3）由顶点在第四象限可得m的取值范围，由抛物线开口向下，y1＞y2，可得a与m之间的关系，进而求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2＝﹣（x﹣m）2+m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，m﹣2）．（2）∵抛物线开口向下，∴当抛物线与直线y＝0有两个交点且与直线y＝2无交点时满足题意，∵抛物线顶点坐标为（m，m﹣2），∴0＜m﹣2＜2，解得2＜m＜4．（3）∵抛物线顶点（m，m﹣2）在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵抛物线开口向下，∴x≥m时，y随x增大而减小，∴点A，B在对称轴右侧时，满足题意，即a≥m，当点A在对称轴左侧时，设点A（a，y1）关于对称轴对称点A'坐标为（2m﹣a，y1），∴点B在A'右侧时，满足题意，即2m﹣a＜a+2，解得a＞m﹣1，∴a＞m﹣1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．10．（2022•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．【分析】（1）将（2，0）代入解析式求解．（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（3）根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得y2＞0，y1＜0，将两点坐标代入解析式求解．【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝x2﹣2bx得0＝4﹣4b，解得b＝1，∴y＝x2﹣2x．（2）∵y＝x2﹣2bx，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝b．（3）∵y＝x2﹣2bx，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，∵b﹣（b﹣1）＜b+2﹣b，∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离，∴y2＞y1，∵y1•y2＜0，∴y2＞0，y1＜0，将（b﹣1，y1）代入y＝x2﹣2bx得y1＝（b﹣1）2﹣2b（b﹣1）＝﹣b2+1＜0，解得b＜﹣1或b＞1，将（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx得y2＝（b+2）2﹣2b（b+2）＝﹣b2+4＞0，∴﹣2＜b＜2，∴﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2满足题意．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．11．（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，﹣2）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．若0＜n＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．【分析】（1）将（2，﹣2）代入解析式可得a与b的关系，根据抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（2）由抛物线开口向下，可得与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，进而求解．【解答】解：（1）将（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2得﹣2＝4a+2b﹣2，∴b＝﹣2a，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1．（2）∵a＜0，∴抛物线开口向下，与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，∵0＜n＜1，∴n﹣2＜n﹣1＜1＜n+1，∵1﹣（n﹣2）＝3﹣n，1﹣（n﹣1）＝2﹣n，n+1﹣1＝n，0＜n＜1，∴3﹣n＞2﹣n＞n，∴y1＜y2＜y3．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．12．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+6．（1）若此二次函数图象的对称轴为x＝1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y＞5（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”）；（2）若a＜﹣2，当﹣2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．【分析】（1）①根据对称轴公式即可求得a＝1，从而求得二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+6；②根据二次函数的性质即可得到结论；（2）解析式化成顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，函数有最小值为﹣a2+6，根据题意﹣当﹣2≤x≤2时，原函数的函数值y随x的增大而增大，求得x＝﹣2时，y＝10十4a，则10+4a＞a，解得a＞﹣，即可得出a的取值范围是a≤﹣3．【解答】解：（1）①∵二次函数y＝x2﹣2ax+6，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∵对称轴为x＝1，∴a＝1，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+6；②∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴当x＝1时，函数有最小值5，∴当x≠1时，函数值y＞5，故答案为：＞；（2）∵y＝x2﹣2ax+6＝（x﹣a）2﹣a2+6，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，函数有最小值为﹣a2+6，∵a＜﹣2，∴当﹣2≤x≤2时，原函数的函数值y随x的增大而增大，∵x＝﹣2时，y＝4十4a+6＝10十4a，∴10+4a＞a，解得a＞﹣，∴a的取值范围为﹣＜a＜﹣2．【点评】本题考查了二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

2020年北京初三数学一模分类汇编：反比例函数和一次函数综合 (学生版);

2020年北京初三数学一模分类汇编：反比例函数和一次函数综合 (学生版);

反比例函数和一次函数综合【2020海淀一模23.】在平面直角坐标系xoy 中，直线x=3与直线112y x =+交于点A.·函数(0,0)k y k x x =f f 的图象与真线x=3,直线112y x =+分别交于点B,C. （1）求点A 的坐标（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数(0,0)ky k x x=f f 的图象在点B,C 之间的部分与线段AB,AC 围成的区域(不含边界)为W. ①当k=1时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数; ②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围.【2020西城一模25】.在平面直角坐标系xOy中，直线l: y=kx+2k(k>0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数myx=(x>0)的图象的交点P位于第一象限.(1)若点P的坐标为(1,6),①求m的值及点A的坐标;①PBPA=_________(2)直线h:y=2kx-2与y轴交于点C,与直线L1交于点Q,若点P的横坐标为1,①写出点P的坐标(用含k的式子表示);①当PQ≤PA时，求m的取值范围.【2020东城一模22】．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数myx=（m≠0，x＞0）的图象在第一象限交于点A,B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E．已知A（1，4），14 CDCE=．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）若点M为反比例函数图象在A,B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．【2020朝阳一模25】．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与一次函数y x m =-+的图象交于点P ，与反比例函数my x=的图象交于点Q ，点A （，）与点B 关于y 轴对称．（1）直接写出点B 的坐标；（2）求点P ，Q 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）若P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上，直接写出m 的取值范围．【2020石景山一模22】．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =+与函数 (0)k y x x=>的图象交于点(1,)A m ，与x 轴交于点B .（1）求m ，k 的值；（2）过动点(0,)(0)P n n >作平行于x 轴的直线，交函数 (0)k y x x=>的图象于点C ，交直线3y x =+于点D .①当2n =时，求线段CD 的长；①若CD OB ≥，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.xyB–1–2–3–41234567–11234567AO【2020延庆一模23】.在平面直角坐标系xOy 中，将点A （2，4）向下平移2个单位得到点C ，反比例函数xmy(m ≠0)的图象经过点C ，过点C 作CB ①x 轴于点B . (1)求m 的值；(2)一次函数y =kx+b (k <0)的图象经过点C ，交x 轴于点D ， 线段CD ，BD ，BC 围成的区域（不含边界）为G ； 若横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①b =3时，直接写出区域G 内的整点个数.①若区域G 内没有整点，结合函数图象，确定k 的取值范围.【2020房山一模21】. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xky =的图象与一次函数1-2=x y 的图象交于A 、B 两点，已知A （m ，﹣3）． （1）求k 及点B 的坐标；（2）若点C 是y 轴上一点，且5=ΔABC S ，直接写出点 C 的坐标．xy–1–2–3–41234–1–2–3–4–512345Ox /cm y /cm 123456654321Oxy【2020平谷一模23】.在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky x x=>的图象G 与直线:24l y x =-交于点(3,)A a ． （1）求k 的值；（2）已知点(0,)(0)P n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，与图象G 交于点B ，与直线l 交于点C ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点，B 之间的部分与线段AC ，围成的区域（不含边界）为．①当5n =时，直接写出区域内的整点个数； ①若区域内的整点恰好为3个，结合函数图象， 直接写出n 的取值范围.【2020顺义一模25】. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，函数ny x=(n ≠ 0，x>0) 的图象过点A (3，2)，与直线l ：y kx b =+交于点C ，直线l 与y 轴交于点B (0,-1)． （1）求n 、b 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数n y x=(n ≠ 0，x>0) 的图象在点A ，C 之间的部分与线段BA ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当直线l 过点（2，0）时，直接写出区域W 内的整点个数，并写出区域W 内的整点的坐标； ①若区域W 内的整点不少于．．．5．个，结合函数图象，求k 的取值范围．xOy A BC W WW【2020密云一模22】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：的图象与反比例函数的图象交于点A （3，m ）. （1）求m 、k 的值；（2）点P （x p ，0）是x 轴上的一点，过点P 作x 轴的垂线，交直线l 于点M ，交反比例函数k y x =（0x >）的图象于点N . 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记ky x=（0x >）的图象在点A ，N 之间的部分与线段AM ，MN 围成的区域（不含边界）为W ． ① 当x p =5时，直接写出区域W 内的整点的坐标为 ； ① 若区域W 内恰有6个整点，结合函数图象，求出x p 的取值范围．【2020通州一模24】 已知：在平面直角坐标系xOy 中，对于任意实数a(a≠0),直线y=ax+a -2的图象都经过平面内一个定点A 。

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一次函数 练习题(解析版)

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一次函数 练习题(解析版)

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一次函数练习题一、单选题1．（2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．（2020·北京·中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系3．（2022·北京四中模拟预测）对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标(℃) ，少数国家使用华氏温标(°F)，两种温标间有如下对应关系：则摄氏温标(℃) 与华氏温标(°F)满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系4．（2022·北京密云·二模）一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶，下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量y （升）与行驶时间x （小时）之间的相关对应数据，则y 与x 满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．反比例函数关系D ．二次函数关系5．（2022·北京西城·二模）一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中t 表示时间，y 表示观光船与码头的距离．如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150m 时，所用时间为（ ） A ．25minB ．21minC ．13minD ．12min6．（2022·北京丰台·二模）如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022·北京东城·一模）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度(cm)h 与注水时间(s)t 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．8．（2022·北京师大附中模拟预测）若A、B两地的距离是120km，甲和乙沿相同的路线由A地到B地的行驶路程与时间的关系如图所示，根据图象判断以下结论正确的个数有（）①甲比乙晚两小时出发②甲的速度是30km/h，乙的速度是15km/h③乙出发4小时后，甲在乙的前面④甲行驶的路程y与时间x的函数关系是y＝15xA．1个B．2个C．3个D．4个9．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）为了缅怀先烈．继承遗志，某中学初二年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动．每个小组需要在点A出发，跑步到点B打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C点，……，最后到达终点（假设点A，点B，点C在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“函数组”最先出发．过了一段时间后，“方程组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C．若“方程组”出发的时间为x（单位：分钟），在点A与点C之间的行进过程中，“函数组”和“方程组”之间的距离为y（单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（）个．（1）当2x 时，“函数组”恰好到达B点；（2）“函数组”的速度为150米/分钟，“方程组”的速度为200米/分钟；（3）两个小组从A点出发的时间间隔为1分钟；（4）图中M点表示“方程组”在B点打卡结束，开始向C点出发；（5）出发点A到打卡点B的距离是600米，打卡点B到点C的距离是800米；A．1 B．2 C．3 D．410．（2022·北京昌平·模拟预测）如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（）A．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)B．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)C．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)D．以上都不对11．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表：例如，购买A 类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40250(0.910)940+⨯⨯⨯=元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）A ．购买A 类会员卡 B ．购买B 类会员卡 C ．购买C 类会员卡D ．不购买会员卡12．（2022·北京房山·二模）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(),x h 两车之间的距离为()y km ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）A ．甲乙两地相距1000kmB ．点B 表示此时两车相遇C ．慢车的速度为100/km hD ．折线B C D --表示慢车先加速后减速最后到达甲地二、填空题13．（2022·北京昌平·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (0，2)．将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，则点C 的坐标为_____．14．（2022·北京房山·二模）某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A ，B 两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表：已知生产的营养品当日全部售出．若A 包装的数量不少于B 包装的数量，则A 为__________包时，每日所获总售价最大，最大总售价为__________元．15．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()10y kx k =+≠的图象经过点()2,3，则k 的值为______．16．（2022·北京石景山·一模）如图，某建筑公司有A (1，3)，B (3，3)，C (5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a 吨，b 吨，c 吨．有M (1，5)，N (3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a +b +c )吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a +c )吨的运输车向A 和C 工地运送当日所需的水泥，且a >c ，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库（填“M ”或“N ”）装运；若公司计划从N 原料库安排一辆装有(a +b +c )吨的运输车向A ，B ，C 三个工地运送当日所需的水泥，且a :b :c =3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序______（按运送的先后顺序依次排列即可）．17．（2022·北京师大附中模拟预测）如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是（－2，1），阎村的坐标是（0，2），那么燕山的坐标是______________，窦店坐标是____________．18．（2022·北京市第七中学一模）在函数y+（x ﹣4）0中，自变量x 的取值范围是_____． 19．（2022·北京·东直门中学一模）为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中： ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥疗效作用； ②每间隔4小时服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用； ③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，不会发生药物中毒． 所有正确的说法是_____．20．（2022·北京昌平·模拟预测）函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是_____．三、解答题21．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(4,3)，(2,0)-，且与y 轴交于点A ．(1)求该函数的解析式及点A 的坐标；(2)当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．22．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象向下平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．24．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于直线12y x =，且经过点(2,2)A ．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当2x <时，对于x 的每一个值，一次函数(0)y kx b k =+≠的值大于一次函数1(0)y mx m =-≠的值，直接写出m 的取值范围．25．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x ＞﹣2时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值小于一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的值，直接写出m 的取值范围．26．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111(,)P x y 与222(,)P x y 的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y --，则点P 1与点P 2的“非常距离”为12x x -；若1212x x y y -<-，则点P 1与点P 2的“非常距离”为12y y -．(1)已知点1(,0)2A -，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为4，直接写出点B 的坐标： ； ②求点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线122y x =+上的一个动点， ①若点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②若点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．27．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l y kx b =+与坐标轴分别交于(2,0)A ，(0,4)B 两点．将直线1l 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线2:(4)(0)l y m x m =-≠分别交于点C ，D ．(1)求k ，b 的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC ，CD ，DA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当m =1时，区域W 内有______个整点；②若区域W 内恰有3个整点，直接写出m 的取值范围．28．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象平移得到，且经过点()2,0-． (1)求这个一次函数的解析式；(2)当x >m 时，对于x 的每一个值，函数34y x =-的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．29．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线11:2l y x b =+与直线2:2l y x =交于点(),A m n ． (1)当2m =时，求n ，b 的值；(2)过动点(),0P t 且垂直于x 轴的直线与1l ，2l 的交点分别是C ，D ．当1t ≤时，点C 位于点D 上方，直接写出b 的取值范围．30．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝ax （a ≠0）过点A （﹣2，1），直线l 2：y ＝mx +n 过点B （﹣1，3）． (1)求直线l 的解析式； (2)用含m 的代数式表示n ；(3)当x ＜2时，对于x 的每一个值，函数y ＝ax 的值小于函数y ＝mx +n 的值，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】由图象可知：当y 最大时，x 为0，当x 最大时，y 为零，即y 随x 的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 随行驶时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故②可以利用该图象表示；③设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x -，则矩形的面积为：21122y L x x x Lx ⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⎝⎭，故③不可以利用该图象表示； 故可以利用该图象表示的有：①②， 故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 2．B【分析】设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，根据题意写出h 与t 的函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟， 则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系， 故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键． 3．B【分析】从表格可看出，摄氏温标每增加10°C ，华氏温标增加18°F ，即摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F )成一次函数关系．【详解】解：从表格可看出，摄氏温标每增加10°C ，华氏温标增加18°F ，即摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F )成一次函数关系． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了一次函数，根据已知得出y 与x 的函数关系式是解题的关键． 4．B【分析】根据题意，设y 与x 的关系式为y =kx +b ，从表格中任选两组值代入求解，求出关系式，再把其他值代入验证正确，即可得出答案．【详解】解：设y 与x 的关系式为y =kx +b ，把x =0，y =100，x =1，y =80代入，得10080b kx b =⎧⎨=+⎩，解得：20100k b =-⎧⎨=⎩， ∴y =-20x +100，把x =2代入，y =-20×2+100=60，把x =2.5代入，y =-20×2.5+100=50，符合题意，∴y 与x 满足的函数关系是一次函数关系，故选：B ．【点睛】本题考查函数关系，掌握列表法表示函数关系是解题的关键．5．B【分析】根据记录表由待定系数法就可以求出y 与x 的函数表达式．【详解】解：根据记录表知，每3 min 钟，观光船与码头的距离缩短75m ，∴y 与x 的函数表达式为一次函数关系，设y 与x 的函数表达式为y =kx +b ，由记录表得：6753600b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：25675k b =-⎧⎨=⎩． ∴y 与x 的函数表达式为y =-25x +675．当y =150时，150=-25x +675，解得x =21，∴从开始计时到观光船与码头的距离为150m 时，所用时间为21min ，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，在解答时利用待定系数法求出一次函数解析式是关键．6．C【分析】根据图象可知，物体的形状为首先大然后变小．故注水过程的水的高度是先慢后快．【详解】解：相比较而言，注满下面圆柱体，用时较多，高度增加较慢且是匀速增长；注满上面圆柱体，用时较少，高度增加较快，也是匀速增长，所以选项C 的图像符合此图．故选：C ．【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．B【分析】根据注水开始一段时间内，当大容器中书面高度小于h 时，小水杯中无水进入，此时小水杯水面的高度h 为0cm ；当大容器中书面高度大于h 时，小水杯先匀速进水，此时小水杯水面的高度不断增加，直到h ；然后小水杯水面的高度一直保持在h 不再发生变化，对各选项进行判断即可．【详解】解：由题意知，当大容器中书面高度小于h 时，小水杯水面的高度h 为0cm ；当大容器中书面高度大于h 时，小水杯先匀速进水，此时小水杯水面的高度不断增加，直到h ；然后小水杯水面的高度一直保持在h 不再发生变化；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数的图象．解题的关键在于理解题意，抽象出一次函数．8．C【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确．【详解】解：由图可知，甲比乙晚两小时出发，故①正确；甲的速度为：120÷（6－2）＝120÷4＝30km /h ，乙的速度为：120÷8＝15km /h ，故②正确；乙出发4小时后，甲在乙的前面，故③正确；设甲行驶的路程y 与x 的函数关系式为y ＝kx +b ，206120k b k b +=⎧⎨+=⎩，得3060k b =⎧⎨=-⎩， 即甲行驶的路程y 与x 的函数关系式为y ＝30x －60，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．9．B【分析】根据函数图像和已知条件逐个进行分析和探讨其是否正确．【详解】（1）由图像可看出，2x =以后的一分钟，两组距离在逐渐减小，说明“函数组”在2x =开始停下来进行一分钟打卡，所以当2x =时，“函数组”恰好到达B 点，故（1）正确，不符合题意；（2）在第2分钟到第3分钟这一分钟内，“函数组”打卡，“方程组”一分钟走了200米，所以“方程组”的速度为200米/分钟，在第3分钟到第4分钟这一分钟内，“方程组”打卡，“函数组”一分钟走了150米，所以“函数组”的速度为150米/分钟，故（2）正确，不符合题意；（3）、由图可看出，“方程组”开始出发时，相隔了300米，所以“函数组”走了300米，“方程组”才出发，所以间隔2分钟，故（3）不正确，符合题意；（4）、M点开始，距离在慢慢减小，说明“方程组”打卡结束，去追“函数组”，所以（4）正确，不符合题意；⨯=（米），“方程组”（5）“方程组”从开始出发，经过了3分钟到达了B点，所以AB距离为：3200600打开结束从M点开始到达C，也用了3分钟，所以BC距离为600米，故（5）不正确，符合题意．故只有（3）（5）不正确，所以有两个．故选B．【点睛】本题考查了一次函数的图像和意义，行程问题，结合题意理解函数图像的意义，以及理解图像上转折点的实际意义是解题的关键．10．A【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A．【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走，故选：A【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．11．C【分析】设一年内在该便利店买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：列出3类会员卡用含x的关系表示消费的费用y，再确定y的范围，进行比较即可解答．⨯⨯【详解】设一年内在该便利店买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：y A=40+0.9210⨯⨯x=80+16x，y C=130+15x⨯=130+15x，x=40+18x，y B=80+0.8210当75≤x≤85时,1390≤y A≤1570；1280≤y B≤1440；1255≤y C≤1405；由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围．12．D【分析】根据题意，AB段表示两车逐渐相遇，到点B处两车相遇，BC段表示两车相遇后各自继续向前运动，点C处快车到达乙处，CD段表示慢车继续向前行驶，点D处慢车到达甲处．【详解】由图形得，甲乙两地相距1000km，A正确慢车共行驶了10h，速度为100km/h，C正确根据分析，点B 处表示两车相遇，B 正确折线B-C-D 表示的是两车运动的状态，而非速度变化，D 错误故选：D【点睛】本题考查一次函数图像与行程问题，解题关键是将函数图像中每一条线段与实际情况的一一匹配上．13．(3，1)【分析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．证明△AOB ≌△CHA (AAS )，推出OA ＝CH ＝1，OB ＝AH ＝2，可得结论．【详解】解：过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．∵A (1，0)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2，∵∠AOB ＝∠AHC ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAO +∠CAH ＝90°，∠CAH +∠ACH ＝90°，∴∠BAO ＝∠ACH ，在△AOB 和∠CHA 中，AOB CHA BAO ACH AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△CHA (AAS )，∴OA ＝CH ＝1，OB ＝AH ＝2，∴OH ＝OA +AH ＝1+2＝3，∴C (3，1)，故答案为：(3，1)．【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．14． 400 22800【分析】设A 包装的数量为x 包，B 包装数量为y 包，总售价为W 元，根据题意列出y 与x 的关系和W与x 的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．【详解】解：设A 包装的数量为x 包，B 包装数量为y 包，总售价为W 元，根据题意，得：0.25500x y x y +=⎧⎨≥⎩， ∴y =-4x +2000，由x ≥-4x +2000得：x ≥400，∴W =45x +12y =45x +12（-4x +2000）=-3x +24000，∵-3＜0，∴W 随x 的增大而减小，∴当x =400时，W 最大，最大为-3×400+24000=22800（元），故答案为：400，22800．【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题．15．1【分析】把()2,3代入函数解析式()10y kx k =+≠，得到关于k 的一元一次方程，求解即可．【详解】解：把()2,3代入函数解析式()10y kx k =+≠，可得321k =+，解得1k =，故答案为：1．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点都会满足其解析式．16． M N -B -A -C【分析】根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可．【详解】解：∵MA +AC <NA +AC ，∴若公司安排一辆装有(a +c )吨的运输车向A 和C 工地运送当日所需的水泥，且a >c ，为使总的“吨千米数”最小，则应从M 料库装运；∵N (3，1)，A (1，3)，B (3，3)，C (5，3)，∴NA =NC NB =AB =BC =2，∵a :b :c =3:2:1，∴a =3c ，b =2c ，当按N -A -B -C 运输时：×6c +2×3c +2c c ≈24.97c ；按N-B-A-C运输时：2×6c +2×4c+(2+2)c=24c；按N-B-C-A运输时：2×6c +2×4c+(2+2) ×3c=32c；∵24c<24.97c<32c，∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小，故答案为：M；N-B-A-C．【点睛】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17．（－2，3）（0，0）【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．【详解】解：如图所示：燕山的坐标是（-2，3），窦店坐标是（0，0）．故答案为：（-2，3），（0，0）．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．18．x＞3且x≠4．【分析】结合二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不能为零，零的零次幂没有意义等知识点求解自变量取值范围．（x﹣4）0有意义，【详解】解：要使函数y则x﹣3＞0且x﹣4≠0，解得x＞3且x≠4，故答案为：x＞3且x≠4．【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．19．①②【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，通过观察图象的变化情况即可判断① ②正确，③ 错误．【详解】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，∴观察图象的变化情况可知：① 首次服用该药物1单位约10分钟后，达到最低有效浓度，药物开始发挥疗效作用，所以① 正确；② 每间隔4小时服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，所以② 正确；③ 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，会发生药物中毒，所以③ 错误．故答案为：① ②．【点睛】本题考查了函数图象的应用，解决本题的关键是利用数形结合思想．20．2x ≠【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,分式有意义的条件是:分母不等于0.【详解】解：根据题意得x +2≠0，解得x ≠-2，故答案为x ≠-221．(1)112y x =+，()0,1A (2)1n ≥【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出y 即可求解．（2）根据题意112x n x +>+结合0x >解出不等式即可求解． （1）解：将(4,3)，(2,0)-代入函数解析式得， 3=402k b k b +⎧⎨=-+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴函数的解析式为：112y x =+， 当0x =时，得1y =，∴点A 的坐标为(0,1)．（2）由题意得，112x n x +>+，即22x n >-， 又由0x >，得220n -≤，解得1n ≥，∴n 的取值范围为1n ≥．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．22．（1）112y x =-；（2）112m ≤≤ 【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点横坐标为2-，则由（1）可得：1m =，然后结合函数图象可进行求解．【详解】解：（1）由一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为112y x =-； （2）由题意可先假设函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点横坐标为2-，则由（1）可得：()12212m -=⨯--，解得：1m =， 函数图象如图所示：∴当2x >-时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值时，根据一次函数的k 表示直线的倾斜程度可得当12m =时，符合题意，当12m <时，则函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点在第一象限，此时就不符合题意， 综上所述：112m ≤≤． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 23．（1）1y x =+；（2）2m ≥【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到，∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =，∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠的函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =，∴m 的取值范围为2m ≥．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． 24．(1)112y x =+(2)1322m ≤≤ 【分析】（1）根据一次函数图象平移时k 不变可知12k =，再把点A （2，2）代入求出b 的值，进而可得出结论． （2）由函数解析式1(0)y mx m =-≠可知其经过点（0，-1），由题意可得临界值为当2x =，两条直线都过点A （2，2），将点A （2，2）代入到一次函数1(0)y mx m =-≠，可求出m 的值，结合函数图象的性质即可得出m 的取值范围．（1）解：∵一次函数y kx b =+(0)k ≠ 的图象与函数12y x =的图象平行， ∴12k =， ∵一次函数12y x b =+的图象过点A （2，2）， ∴1222b =⨯+， ∴1b =，∴这个一次函数的表达式为112y x =+； （2）对于一次函数1(0)y mx m =-≠，当0x =时，有1y =-，可知其经过点（0，-1）．当2x <时，对于x 的每一个值，一次函数(0)y kx b k =+≠的值大于一次函数1(0)y mx m =-≠的值，即一次函数(0)y kx b k =+≠图象在函数1(0)y mx m =-≠的图像上方，由下图可知：临界值为当2x =时，两条直线都过点A （2，2），将点A （2，2）代入到函数1y mx =-中，可得 221m =-，解得32m =，。

2022年九年级数学中考专题训练—一次函数的综合附解析

2022年九年级数学中考专题训练—一次函数的综合附解析

中考专题训练—一次函数的综合附解析1．已知，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为4y mx =-，它与y 轴交于点B ．(1)若点(),0m 在直线l 上，求出直线l 的解析式；(2)当22x -≤≤时，函数值y 的最大值为m ，求m 的值；(3)若B 点关于x 轴的对称点为A ，过A 作AH l ⊥于点H ，令直线AH 与y 轴的夹角为α，当3045α︒≤≤︒时，直接写出m 的取值范围．2．已知一次函数y ＝kx +b 图像经过点A （2，0）、B （0，2），回答下列问题：(1)求一次函数解析式．(2)在函数y ＝kx +b 图像上有两个点（a ，2）、（b ，3），请说明a 与b 的大小关系．(3)以AB 为直角边作等腰直角△ABC ，点C 不与点O 重合，过点C 的反比例函数的解析式为y ＝kx，请直接写出点C 的坐标以及过点C 的反比例函数的解析式．(4)是否在x 轴上找一点C ，使S △ABC ＝2S △ABO ，若存在，写出点C 坐标若不存在，请说明理由．3．一次函数11y ax a =-+（a 为常数，且a ≠0）．(1)若点（﹣1，3）在一次函数11y ax a =-+的图像上，求a 的值；(2)若0a >，当12x -≤≤时，函数有最大值5，求出此时一次函数1y 的表达式；(3)对于一次函数224y kx k =+-（0k ≠），若对任意实数x ，12y y >都成立，求k 的取值范围．4．随着信息技术的飞速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已成为我们日常学习的一种常用方式．现有某教学网站策划了A ，B 两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x 小时，方案A ，B 的收费金额分别为A y ，B y ．收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/（元/min ）A 7250.01Bm n0.01(1)如图是B y 与x 之间函数关系的图像，请根据图像填空：m =___________，n =___________；(2)分别求出A y ，B y 与x 之间的函数关系式；(3)选择哪种方式上网学习合算，请说明理由？5．已知一次函数1y kx b =+的图像与反比例函数2my x=的图像交于第一、三象限内的A 、B 两点，其中点(1,4)A ，(2,)B n -．(1)求反比例函数和一次函数的解析式，画出一次函数与反比例函数的图像；并写出一次函数1y kx b =+的一条性质：；(2)过A 作AC x ⊥轴于点C ，连接BC ，求三角形ABC 的面积；(3)当12y y ≥时，请直接写出x 的取值范围．6．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．(1)当21x -≤≤时，下列函数有界的是______（只要填序号）；①21y x =-；②2y x=-；③2y x 2x 3=-++．(2)当2m x m ≤≤+时，一次函数()12y k x =+-的界值不大于2，求k 的取值范围；(3)当2a x a ≤≤+时，二次函数223y x ax =+-的界值为94，求a 的值．7．已知函数12y x m =+，2y mx m =-+（m 为常数，0m ≠）．(1)若点()1,1-在1y 的图象上，①求m 的值．②求函数1y 与2y 的交点坐标．(2)当0m >，且210y y <<时，求自变量x 的取值范围．8．2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用y （元）与购买洗手液的数量x （瓶）之间的函数图象如图所示．（1）根据图象可知，洗手液的单价为元/瓶，请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）请求出a 的值；（3）如果该高校共有m 名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y kx b =+交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，3OA OB ==．（1）求直线AB 的解析式；（2）如图，点C 在OA 的延长线上，点D 在x 轴的负半轴上，连接CD 交直线AB 于点E ，点E 为线段CD 的中点，设点D 的横坐标为t ，点C 的纵坐标为d ，求d 与t 的函数解析式；（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，点G 在OB 的延长线上，点M 为EB 的中点，连接MG 并延长交线段EF 于点H ，点N 在AB 的延长线上，连接NG 、DN 、CM ，MNG ∠为钝角，若,,2FG d ACM GDN MG NG =∠=∠=，求点G 的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y=mx(m≠0)与直线l 2：y=ax+b(a≠0)相交于点A （1，2），直线l 2与x 轴交于点B （3，0）．（1）分别求直线l 1和l 2的表达式；（2）过动点P （0，n ）且平行于x 轴的直线与l 1，l 2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 左方时，写出n 的取值范围．11．某工厂每天工作15个小时，生产线上生产出来的产品数量y （件）与时间x （小时）之间满足210180(09)810(915)x x x y x ⎧-+<≤=⎨<≤⎩；同时，2个包装小组对生产出来的产品进行装箱．(1)生产线生产4小时后，共有____件产品；(2)若每个包装小组每小时装箱20件，求等待装箱的产品最多时有多少件？(3)全部产品完成装箱需要多长时间？若要在15小时内完成产品全部装箱，那么从一开始就应该至少增加几个装箱小组？12．问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数y =-2|x |+5的图象和性质进行了探究．下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：(1)如图，嘉嘉同学在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象：若A （m ，n ），B （6，n ）为该函数图象上不同的两点，则m =；(2)观察函数y =-2|x |+5的图象，写出该图象的两条性质；(3)直接写出，当0＜-2|x |+5≤3时，自变量x 的取值范围．13．随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y （万元/台）与签约后的月份数x （1≤x ≤12且为整数）满足关系式：0.050.40.2x y -+⎧=⎨⎩14412x x ≤<⎫⎬≤≤⎭．估计这一年实际每月的销售量p （台）与月份x 之间存在如图所示的变化趋势．(1)求实际每月的销售量p （台）与签约后的月份数x 之间的函数表达式；(2)求前4个月中，第几个月的利润为6万元？(3)请估计这一年中签约后的第几个月实际销售利润W 最高，最高为多少万元？14．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果y ′＝(0)(0)y x y x ≥⎧⎨-<⎩，那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（-5，6）的“关联点”为点（-5，-6）．(1)在点E （0，0），F （2，5），G （-1，-1），H （-3，5）中，的“关联点”在函数y ＝2x +1的图象上；(2)如果一次函数y ＝x +3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2），求点M 的坐标；(3)如果点P 在函数y ＝-x 2+4（-2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是-4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．15．问题：探究函数|2|1y x +=-的图象和性质小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整：x …-5-4-3-2-10123…y…21mn-2-112…表格中m 的值为，n 的值为.(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；(提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图)(3)进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论：①当自变量x 时，函数y 随x 的增大而增大；②当自变量x 的值为时，y =3；③解不等式|1|20x +-<的结果为16．问题：探究函数y ＝|x +1|﹣2的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y ＝|x +1|﹣2的图象与性质进行了研究．下面是小明的研究过程，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x …﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…21﹣1m﹣1n2…其中，m ＝，n ＝；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，并写出该函数的两条性质；（3）在同一坐标系中直接画出函数y ＝|x |的图像，并说明它是由函数y ＝|x +1|﹣2如何平移得到的．17．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数1(3)2(3)x x y x -<⎧=⎨≥⎩的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有．①函数图象关于y 轴对称；②此函数无最小值；③当x ＜3时，y 随x 的增大而增大；当x ≥3时，y 的值不变．（3）若直线y ＝12x +b 与函数y ＝1(3)2(3)x x x -<⎧⎨≥⎩的图象只有一个交点，则b ＝．18．问题：探究函数y＝|x﹣1|+1的图象与性质．小东根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1的图象与性质进行了探究：（1）在函数y＝|x﹣1|+1中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值．x……﹣4﹣3﹣2﹣10n234……y……65432123m……①表格中n的值为，m的值为；②在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）结合函数图象，写出该函数的两条性质．19．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数．（1）下表是y与x的几组对应值：x…﹣3﹣2﹣10123…y…10m﹣2﹣10n…m＝_____，n＝_____；在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据函数图象可得：①当x＝_____时，y有最小值为_____；②请写出该函数的一条性质；③如果y ＝|x |﹣2的图象与直线y ＝k 有两个交点，则k 的取值范围是_____．20．某同学对函数11||2y x =，21||22y x =-，31||12y x =+的图象和性质进行探究：无论x 为何值时，函数均有意义，所得自变量与函数的对应值如表．x …﹣3﹣2﹣10123…y 1… 1.510.500.51 1.5…y 2…﹣0.5﹣1m ﹣2﹣1.5﹣1﹣0.5…y 3…2.5n1.511.522.5…（1）表中m ＝，n ＝；（2）根据表中数据，补画函数图象位于y 轴左边的部分．（3）归纳函数1||2y x b =+的性质：①函数1||2y x b =+与y 轴交点坐标是；②当x时，y 随x 的增大而增大；当x时，y 随x 的增大而减小．（4）类比上述探究函数的图象与性质的过程，探究并写出函数||(0)y k x b k =+<的性质；①；②；．（5）对于函数1||62y x =-+，若函数值1y >，请直接写出自变量x 的取值范围：．参考答案：1．(1)直线的解析式为：y=2x-4或y=-2x-4；(2)43m=-或4m=；13m≤≤或13m-≤≤-【分析】（1）将点(m，0)代入y=mx-4，求出m的值，即可得直线l的解析式；（2）分三种情况：①当m<0时，②当m=0时，③当m>0时，根据一次函数的性质即可求解；（3）由y=mx-4可得它与：x轴交点C(m，0)，分三种情况：①当m=0时，②当m>0时，③当m<0时，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．（1）∵点(m，0)在直线l上，代入解析式y=mx-4，得：240m-=，∴m=±2，∴直线的解析式为y=2x-4或y=-2x-4；（2）m＜0时，y随着x的增大而减小，∴x=-2时，函数值y的值最大，最大值为m，∴m=-2m-4，∴43 m=-；m=0时，直线的解析式为y=-4，∴此种情况不存在；m>0时，随着x的增大而增大，∴x=2时，函数值y的值最大，最大值为m，∴m=2m-4，∴4m=综上，43m=-或4m=；（3）由题意可得，直线l 与y 轴交于点B (0，-4)，∵点A 为B 点关于x 轴的对称点，∴A (0，4)，设直线l 与x 轴交于点C ，当y =0时，mx -4=0，∴4x m =，∴4(,0)C m，m =0时，直线l 为y =-4，与x 轴平行，AH 即为y 轴，不满足题目条件的3045α︒≤≤︒，故0m ≠；0m >时，若30α=︒，则30BAH ∠=︒，∴60ABH ∠=︒，∴30OCB ∠=︒，∴OC =∴4m=解得3m =，若45α=︒，则45BAH ∠=︒，∴45ABH ∠=︒，∴4OC OB ==，∴44m=，解得1m =，∴当3045α︒≤≤︒1m ≤≤；0m <时，若30α=︒，则30BAH ∠=︒，∴60ABH ∠=︒，∴30OCB ∠=︒，∴OC =∴4m=-解得m =若45α=︒，则45BAH ∠=︒，∴45ABH ∠=︒，∴4OC OB ==，∴44m-=，解得1m =-，∴当3045α︒≤≤︒时，1m -≤≤-综上，当3045α︒≤≤︒时，m 1m ≤≤或1m -≤≤【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．(1)y ＝−x ＋2；(2)a ＞b ；(3)点C 的坐标为（2，4）或（4，2），过点C 的反比例函数的解析式为：y ＝8x；(4)存在，点C 坐标为（−2，0）或（6，0）．【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据一次函数的增减性判断即可；（3）画出图形，根据等腰直角三角形的性质求出符合题意的点C 的坐标，再利用待定系数法求出过点C 的反比例函数解析式；（4）根据2ABC ABO S S = 可知BC ＝2OB ＝4，然后分情况求解即可．（1）解：∵一次函数y ＝kx ＋b 图像经过点A （2，0）、B （0，2），∴202k b b +=⎧⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为y ＝−x ＋2；（2）∵一次函数y ＝−x ＋2中k ＝−1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵2＜3，∴a ＞b ；（3）∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，如图，△CAB ，C AB ' ，C AB '' ，C AB ''' 都是以AB 为直角边的等腰直角三角形，∵△AOB 为等腰直角三角形，∴AOC '' ，BOC ''' 为等腰直角三角形，∴点C ''的坐标为（−2，0），点C '''的坐标为（0，−2），∵这两个点在坐标轴上，∴不符合题意；过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，在△AOB 和△CDB 中，9045AOB CDB ABO CBD AB CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△CDB （AAS ），∴BD ＝OB ＝2，CD ＝OA ＝2，∴点C 的坐标为：（4，2），设过点C 的反比例函数的解析式为：y ＝k x ，则k ＝4×2＝8，则过点C 的反比例函数的解析式为：y ＝8x ，同理可得：点C '的坐标为：（2，4），过点C '的反比例函数的解析式为：y ＝8x，综上所述：点C 的坐标为（2，4）或（4，2），过点C 的反比例函数的解析式为：y ＝8x ；（4）存在，∵点C 在x 轴上，2ABC ABO S S = ，∴BC ＝2OB ＝4，∴当点C 在点B 的左侧时，点C 的坐标为（−2，0），当点C 在点B 的右侧时，点C 的坐标为（6，0），综上所述：点C 坐标为（−2，0）或（6，0）．【点评】本题考查的是反比例函数、一次函数的综合运用、等腰直角三角形的性质、待定系数法、坐标与图形性质等知识，灵活运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键．3．(1)1a =-(2)143y x =-(3)53k <且0k ≠【分析】（1）将点（﹣1，3）代入一次函数解析式，转化为关于a 的一元一次方程并求解即可；（2）由0a >时，y 随x 的增大而增大，可确定当2x =时，函数有最大值，然后代入函数解析式求解即可；（3）由题意可知，两直线应该平行，即有k a =，再根据12y y >列出不等式并求解即可．（1）解：将点（﹣1，3）代入一次函数11y ax a =-+，可得31a a =--+，解得1a =-；（2）∵0a >时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，函数有最大值，即1=215y a a -+=最大，解得4a =，∴此时一次函数1y 的表达式为143y x =-；（3）由题意可知，0k a =≠，∴11y kx k =-+，∵对任意实数x ，12y y >都成立，∴124k k -+>-，解得53k <，∴k 的取值范围为53k <且0k ≠．【点评】本题主要考查了一次函数解析式与点的关系、一次函数的图像与性质、一次函数与不等式的综合应用等知识，熟练掌握一次函数的性质，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．4．(1)10；50(2)()()70250.6825A x y x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩；()()100500.62050B x y x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩(3)当030x ≤<时，A B y y <，选择A 方式上网学习合算；当30x =时，A B y y =，选择两种方式上网学习一样；当30x >时，A B y y >，选择B 方式上网学习合算．理由见解析【分析】（1）观察函数图像，即可找出m 、n 的值；（2）分025x ≤≤和25x >两段来考虑A y 与x 之间的函数关系式，合并在一起即可得出结论；分050x ≤≤和50x >两段来考虑B y 与x 之间的函数关系式；（3）令10A y =求出x 的值，再结合710<、810->-，即可得出结论．（1）解：当0x =时，10y =，∴10m =，∵当50x =时，折线拐弯，∴50n =．故答案为：10；50．（2）解：当025x ≤≤时，7A y =，当25x >时，()725600.010.68A y x x =+-⨯⨯=-，∴A y 与x 之间的函数关系式为：()()70250.6825A x y x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩；当050x ≤≤时，10B y =．当50x >时，()1050600.010.620B y x x =+-⨯⨯=-，∴B y 与x 之间的函数关系式为：()()100500.62050B x y x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩．（3）解：当025x ≤≤时，7A y =，10B y =，∵710<∴A B y y <，∴选择A 方式上网学习合算，当2550x <≤时，A B y y =，即0.6810x -=，解得：30x =，∴当2530x <<时，A B y y <，选择A 方式上网学习合算，当30x =时，A B y y =，选择两种方式上网学习一样，当3050x <≤是，A B y y >，选择B 方式上网学习合算当50x >时，∵0.68A y x =-，0.620B y x =-，820->-∴A B y y >，∴选择B 方式上网学习合算．综上所述：当030x ≤<时，A B y y <，选择A 方式上网学习合算，当30x =时，A B y y =，选择两种方式上网学习一样，当30x >时，A B y y >，选择B 方式上网学习合算．【点评】本题考查一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．5．(1)4y x=；y ＝2x ＋2；y 随x 的增大而增大(2)6(3)−2≤x ＜0或x ≥1【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用三角形面积公式求得即可；（3）根据图像即可求得．（1）∵反比例函数2m y x=的图像过点(1,4)A ，(2,)B n -，∴m ＝1×4＝−2n ，∴m ＝4，n ＝−2，∴反比例函数为4y x =，B （−2，−2），把点A （1，4），B （−2，−2）代入1y kx b =+得422k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋2，画出一次函数与反比例函数的图像，如图所示，一次函数y ＝2x ＋2的图像中，y 随x 的增大而增大，故答案为：y 随x 的增大而增大；（2）∵AC ⊥x 轴于点C ，A （1，4），B （−2，−2），∴AC ＝4，∴S △ABC ＝12×4×(1＋2)＝6；（3）由函数图像可得，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是−2≤x ＜0或x ≥1．【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式以及三角形面积，正确利用数形结合分析是解题关键．6．(1)①③(2)21k -≤<-或10k -≤<，函数2y x =-(3)34-或14-【分析】（1）利用函数有意义时自变量x 的取值范围结合有界函数的定义判定；（2）分情况讨论，①k ＞0时；②k ＜0时，然后求出x =m 和x =m +2时的函数值，再结合有界函数与界高的定义列出方程求得k 的取值，最后得到一次函数的解析式；（3）先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，从而求得a ≤x ≤a +2时的最大值与最小值，再结合界值为94求得a 的值．（1）解：函数21y x =-，∵2＞0，∴y 随x 的增大而增大，；∵21x -≤≤，∴()min max 2215,2111y y =⨯--=-=⨯-=，∴①有界；函数2y x =-，-2＜0，∴函数的图像在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，212y ∴≥-=-或221y ≤-=∴②无界如图，函数2y x 2x 3=-++的称轴为()2121x =-=⨯-，∵-1＜0，∴当1x ≤时，y 随x 增大而增大，21x -≤≤ ()()22min max 22235,12136y y ∴=--+⨯-+=-=+⨯+=，如图，∴③有界；故答案为：①③．（2）解：当x m =时，()12y k m =+-；当1x m =+时，()()112y k m =++-．①当10k +>时，即1k >-时，y 随x 的增大而增大，由题意得()()()122122k m k m ++--+-≤⎡⎤⎣⎦，解得，0k ≤．∴10k -≤<．②当10+<k 时，即1k <-时，y 随x 的增大而减小，由题意得()()()121222k m k m +--++-≤⎡⎤⎣⎦，解得，2k ≥-．∴21k -≤<-．∴k 的取值范围为21k -≤<-或10k -≤<．（3）解：∵()222233y x ax x a a =+-=+--，∴该抛物线开口向上，对称轴为22a x a =-=-．∴当x a >-时，y 随x 的增大而增大；当x a <-时，y 随x 的增大而减小．令x a =，得233y a =-；令2x a =+，得2381y a a =++；令x a =-，得23y a =--．①当a a -<，即0a >时，由题意得，()229381334a a a ++--=，解得732a =-（舍去）；②当1a a a ≤-<+，即102-<≤a 时，由题意得，()22938134a a a ++---=，解得114a =-，274a =-（舍去）；③当12a a a +≤-<+，即112a -<≤-时，由题意得，()2293334a a ----=，解得134a =-，234a =（舍去）；④当2a a -≥+，即1a ≤-时，由题意得，()229333814a a a --++=，解得2532a =-（舍去）．综上所述，a 的值为34-或14-．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．7．(1)①3m =；②()0,3；(2)01x <<【分析】（1）①将点()1,1-代入12y x m =+求解即可；②令1y =2y ，即2333x x +=-+，求解即可；（2）根据210y y <<，建立不等式组，求解即可．(1)①将点()1,1-代入12y x m =+得，12m=-+解得3m =所以，m 的值为3；②3m = ∴123y x =+，233y x =-+令1y =2y ，即2333x x +=-+解得0x =3y ∴=∴函数1y 与2y 的交点坐标为()0,3；(2)210y y << 02mx m x m∴<-+<+ 0m >解得01x <<所以，自变量x 的取值范围为01x <<．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象的交点坐标及函数图象上的点的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．8．（1）4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩．（2）720a =元；（3）当100m <时选活动一：一律打9折合算；当100m =时选活动一：活动二均可，当100m >时选活动二合算．【分析】（1）利用购买100瓶费用400元，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，根据单价×件数=费用均可列出函数均可；（2）利用两函数值相等联立方程组 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩，解方程组均可；（3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶分类三种情况两函数作差比较均可．【详解】解：（1）400元购买100瓶，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，19410y x =⨯⋅，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩，故答案为4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩．（2）联立 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩，解得720{200a x ==，∴720a =；（3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶，当2200m <时，即100m <时选活动一：一律打9折合算；∵12 3.6242 1.6050y y m m m m -=⨯-⨯=-<≤，；()12 3.62 3.22800.880050100y y m m m m -=⨯-⨯-=-<<≤；当100m =时选活动一：活动二均可，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=-==；当100m >时选活动二合算，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=->>．【点评】本题考查列一次函数关系，利用一次函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计，掌握列一次函数关系的方法，利用函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计．9．（1）y=-x+3；（2）d=-t+6；（3）（6，0）【解析】（1）由题意可得A 、B 坐标，再利用待定系数法可得直线AB 的解析式；（2）由题意可得E 点坐标为（0.5t ，0.5d ）,再根据E 在直线AB 上可得d 与t 的函数解析式；（3）由题意可得△ACM ∽△NDG ，再根据已知条件可得OG=2OB ，从而得到G 点坐标．【详解】解：（1）∵直线y=kx+b 交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，OA=OB=3．∴A （0，3）、B （3，0），将A 、B 两点坐标代入y=kx+b 得：b=3，3k+b=0，∴k=-1，∴直线AB 的解析式为：y=-x+3；（2）由题意得：D （t,0）、C （0，d ）,∵E 是CD 中点，∴E 为（,22t d ），又E 在直线AB 上，∴322d t =-+，整理得：d=-t+6，∴d 与t 的函数解析式：d=-t+6；（3）由已知得F 为（,02t ），∵点M 为EB 中点，∴M 点坐标为（6,44t d +）,∵FG=d ，设G （x,0），∴x-0.5t=d ，∴x=0.5t+d ，又∵∠MNG 为钝角，∠ACM=∠GDN,MG=2NG∴△ACM ∽△NDG ，∴OG=2OB ，∴G 点坐标为（6，0）．【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和解析式的求法是解题关键．10．（1）直线l 1的表达式为y=2x ；（2）直线l 2的表达式为y=-x+3；（2）n 的取值范围是n<2．【分析】（1）利用待定系数法求直线l 1，l 2的表达式；（2）直线在点A 的下方时符合条件，根据图象写出结果．【详解】解：（1）∵点A （1，2）在l 1：y=mx 上，∴m=2，∴直线l 1的表达式为：y=2x ；∵点A （1，2）和B （3，0）在直线l 2：y=ax+b 上，∴a 230b a b +=⎧⎨+=⎩解得：a 13b =-⎧⎨=⎩，∴直线l 2的表达式为：y=-x+3；（2）由图象得：当点C 位于点D 左方时，n 的取值范围是：n ＜2．【点评】本题考查用待定系数法求解函数解析式、两直线平行和相交的问题，明确待定系数法只需把所给的点的坐标代入函数表达式列方程或方程组解出即可，同时利用数形结合的思想求n 的取值．11．(1)560(2)490件(3)20.25小时，至少增加1个包装小组【分析】（1）把4x =代入210180,y x x =-+从而可得答案；（2）设第x 小时后等待装箱的产品为W 件，可得40,W y x =-再建立函数关系式为()()21014009=81040915x x x W x x ì-+<£ïíï-<£î，再利用函数的性质可得到最大值；（3）由810400,x -=可得全部产品完成装箱需要20.25小时，设从开始就至少增加m 个包装小组，再列不等式()15202810,m ´+³从而可得答案．(1)解：当4x =时，2101801016720560y x x =-+=-´+=，所以生产线生产4小时后，共有560件产品；(2)解：设第x 小时后等待装箱的产品为W 件，则40,W y x =-()()21014009=81040915x x x W x x ì-+<£ï\íï-<£î当09x <≤时，()2210140107490,W x x x =-+=--+所以当7x =时，函数最大值为490，当915x <≤时，81040,W x =-40,k =-Q W 随x 的增大而减小，210450,W \£<所以等待装箱的产品最多时有490件(3)解：由810400,x -=解得：20.25x =，所以全部产品完成装箱需要20.25小时，设从开始就至少增加m 个包装小组，则()15202810,m ´+³解得：0.7m ³m 为整数，1m ∴=答：从开始就至少增加1个包装小组．【点评】本题考查的是一次函数与二次函数的综合应用，二次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，列出函数关系式与不等式是解本题的关键．12．(1)图见解析，6-(2)该图象的两条性质：1、函数25y x =-+的图象关于y 轴对称；2、当0x ≤时，y 随x 的增大而增大；当0x >时，y 随x 的增大而减小(3) 2.51x -<≤-或1 2.5x ≤<【分析】（1）将各点连接起来，画出该函数的图象；将点(6,)B n 代入函数的解析式求出n 的值，再将点(,)A m n 代入函数的解析式即可得；（2）分析函数的对称性和增减性即可得；（3）先求出0y =和3y =时，x 的值，再结合函数图象即可得．(1)解：将各点连接起来，画出该函数的图象如下：(,),(6,)A m n B n Q 为该函数图象上不同的两点，6m ∴≠，将点(6,)B n 代入25y x =-+得：6257n =-⨯+=-，将点(,7)A m -代入25y x =-+得：257m -+=-，解得6m =-或6m =（舍去），故答案为：6-．(2)解：该图象的两条性质：1、函数25y x =-+的图象关于y 轴对称；2、当0x ≤时，y 随x 的增大而增大；当0x >时，y 随x 的增大而减小．(3)解：对于函数25y x =-+，当0y =时，250x -+=，解得 2.5x =或 2.5x =-，当3y =时，253x -+=，解得1x =或1x =-，结合图象可知，当0253x <-+≤时， 2.51x -<≤-或1 2.5x ≤<．【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与不等式组，熟练掌握函数的图象与性质是解题关键．13．(1)()()540142124x 12x x p x ⎧-+≤⎪=⎨+≤≤⎪⎩＜(2)第2月获利6万元(3)这一年中签约后的第1个月实际销售利润W 最高，最高为8.75万元【分析】（1）分段利用待定系数法求一次函数解析式当1≤x ＜4，p kx b =+，过点(0，40)，（4，20）代入得40420b k b =⎧⎨+=⎩，当4≤x ≤12，p k x b 11=+，过点（4，20），（12，36），代入得11114201236k b k b +=⎧⎨+=⎩解方程组即可；（2）设利润用w 表示，根据每台利润（售价-进价）×销售台数列出w =（-0.05x +0.4-0.1）（-5x +40），然后求函数值即可；（3）根据销售利润=每台利润（售价-进价）×销售台数，得出销售利润w =()()()()()()0.050.40.1540140.2-0.12x 12412x x x x ⎧-+--+≤⎪⎨+≤≤⎪⎩＜，分段确定函数的最值，再比较即可．(1)解：当1≤x ＜4，p kx b =+，过点(0，40)，（4，20）代入得：40420b k b =⎧⎨+=⎩，解得：405b k =⎧⎨=-⎩，∴p x 540=-+，当4≤x ≤12，p k x b 11=+，过点（4，20），（12，36），代入得：11114201236k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：11212k b =⎧⎨=⎩，p x 212=+，∴()()540142124x 12x x p x ⎧-+≤⎪=⎨+≤≤⎪⎩＜，(2)解：设利润用w 表示，w =（-0.05x +0.4-0.1）（-5x +40）当x =1，w =（-0.05+0.4-0.1）（-5+40）=8.75，当x =2，w =（-0.05×2+0.4-0.1）（-5×2+40）=6，当x =3，w =（-0.05×3+0.4-0.1）（-5×3+40）=3.75，当x =4，w =（-0.05×4+0.4-0.1）（-5×4+40）=2，第2月获利5万元(3)解：销售利润w =()()()()()()0.050.40.1540140.2-0.12x 12412x x x x ⎧-+--+≤⎪⎨+≤≤⎪⎩＜，当x ≥4时，w =0.2x +1.2，k =0.2＞0，w 随x 的增大而增大，当x =12时，w =3.6（万元），∵3.6＜8.75，∴这一年中签约后的第1个月实际销售利润W 最高，最高为8.75万元，【点评】本题考查分段函数的解析式求法，函数图像获取信息与处理信息，待定系数法求函数解析式，销售利润=每台利润×台数，求函数值，函数的性质，掌握分段函数的解析式求法，函数图像获取信息与处理信息，待定系数法求函数解析式，销售利润=每台利润×台数，求函数值，函数的性质是解题的关键．14．(1)F、H(2)点M(-5，-2)(3)2≤<a【分析】(1)点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，看是否在函数图象上，即可求解；(2)当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3；当m＜0时，点M(m，-2)，则﹣2＝m+3，解方程即可求解；(3)如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y＝4)与最小值(直线y＝-4)直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝-4有交点结束．都符合要求-4＜y'≤4，只要求出关键点即可求解．(1)解：由题意新定义知：点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，得到：F(2，5)和H(-3，-5)在函数y＝2x+1图象上；(2)解：当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3，解得：m＝-1(舍去)；当m＜0时，点M(m，-2)，-2＝m+3，解得：m＝-5，∴点M(-5，-2)；(3)解：如下图所示为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y＝4)与最小值(直线y＝-4)直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝-4有交点结束，都符合要求，∴-4＝-a2+4，解得：a=舍去负值)，观察图象可知满足条件的a的取值范围为：2≤<a【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，读懂题意是解决本类题的关键．15．(1)0，-1(2)见解析(3)①＞-1，②4或-6，③-3＜x＜1【分析】（1）把x=-3，-2分别代入y=|x+1|-2即可得到答案；（2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线；（3）根据函数图象和性质解决．(1)解：当x=-3时，y=|-3+1|-2=0，则m=0，当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则n=-1．故答案为：0，-1．(2)函数图象如图所示．(3)①当自变量x ＞-1时，函数y 随x 的增大而增大；②当自变量x 的值为4或-6时，y =3；③解不等式|x +1|-2＜0的结果为-3＜x ＜1．故答案为：＞-1，4或-6，-3＜x ＜1．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键．16．（1）2-，1；（2）图见解析；当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x =-时，函数有最小值2-；（3）图见解析，y x ＝是由函数|2|1y x +=-向左平移1个单位，再向下平移2个单位平移得到的【分析】（1）将x ＝﹣1，x ＝2分别代入函数y ＝|x +1|﹣2即可求m 、n 的值；（2）根据表中的数据，描点连线即可，观察函数图像，写出函数图像的两条性质即可；（3）描点法画出函数y ＝|x |的图像，然后观察图像求解即可．【详解】解：（1）1x =-时，1122m =--+=-，2x =时，1122n =+-=，故答案为2-，1；（2）函数图像如下图：。

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2017年北京中考数学一模 “一次函数和反比例函数”专题西城22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =-与y 轴交于点A ，与双曲线ky x=交于点B (m ，2) . (1)求点B 的坐标及k 的值；(2)将直线AB 平移，使它与x 轴交于点C ，与y 轴交与点D. 若△ABC 的面积为6，求直线CD 的表达式.东城21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与双曲线6y x=相交于点A （m ，3），B (-6，n )，与x 轴交于点C ．（1）求直线()0y kx b k =+≠的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且32ACP BOC S S =△△，求点P 的坐 标（直接写出结果）．yx-5-4512341234-1-2-3-4-5-1-3-25OyxE C B AO朝阳22.在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b =+与双曲线4y x=的一个交点为(,2)A m ，与y 轴分别交于点B . (1)求m 和b 的值；(2)若点C 在y 轴上，且△ABC 的面积是2，请直接写出点C 的坐标.房山23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与反比例函数xy 12=的图象交于A 、B 两点，点A 在第一象限，点B 的坐标为（-6，n ），直线AB 与x 轴交于点C ， E 为x 轴正半轴上一点，且tan ∠AOE =34.（1）求点A 的坐标；（2）求一次函数的表达式； （3）求△AOB 的面积．顺义21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:(0)l y mx m =≠与直线2:(0)l y ax b a =+≠相交于点A（1，2），直线2l 与x 轴交于点B （3，0）．（1）分别求直线1l 和2l 的表达式；（2）过动点P （0，n ）且平行于x 轴的直线与1l ，2l 的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 左方时，写出n 的取值范围．y x–1–2–31234–1–2–31234O平谷21．在平面直角坐标xOy 中，直线()10y kx k =+≠()0my m x=≠的一个交点为A （﹣2，3），与x 轴交于点B ． (1) 求m的值和点B 的坐标；(2) 点P 在y轴上，点P 到直线()10y kx k =+≠P 的坐标．门头沟21. 如图，在平面直角坐标系xOy 动点B （x , y ）. （1）求此函数表达式；（2）如果1y ＞，写出x 的取值范围； （3）直线AB 与坐标轴交于点P ，如果PB AB =直接写出点P 的坐标.海淀21．在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x b =+过A （0，3-），B （5，2），直线222:l y k x =+． （1）求直线1l 的表达式；（2）当4x ≥时，不等式122k x b k x +>+恒成立，请写出一个满足题意的2k 的值．丰台21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +-=3与双曲线xky =相交于点 A （m ，2）．（1）求双曲线xky =的表达式； （2）过动点P (n ，0)且垂直于x 轴的直线与直线m x y +-=3及双曲线xky =的交点分别为B 和C ，当点B 位于点C 下方时，求出n 的取值范围．石景山22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线 (0)m y m x=≠交于点(2,3)A -和点(,2)B n ．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P 是双曲线 (0)my m x =≠上的整点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线AB 于点Q ， 当点P 位于点Q 下方时，请直接写出整点P 的 坐标．通州20．在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的直线l 1与双曲线xy 2=的一个交点为A （1，m ）. （1）求直线l 1的表达式；（2）过动点P （n ，0）（n >0）且垂直于x 轴的直线与直线l 1和双曲线xy 2=的交点分别为B ，C ，当点B 位于点C 上方时，直接写出n 的取值范围.怀柔23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+b 与双曲线ky x=相交于A ，B 两点，已知A （1，3），B(-3,m). （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如果点P 是y 轴上一点，且ABP △的面积是4，求点P 的坐标．西城22．解：(1) ∵点B (m ，2) 在直线1y x =-，∴12m -=． 解得 3m =． ∴ 点B (3，2) ．又∵点B (3，2)在双曲线ky x=∴6k=． ···························(2) 设平移后的直线的表达式为y =则它与y 轴交于点D (0,)b ， ∵ AB ∥CD ， ∴ S △ABD =S △ABC ． ∴ S △ABD =B x AD •21=6． ∴ AD = 4 ．∴ b +1 = 4或 -1-b = 4． ∴ b = 3或 b = -5．∴ 平移后的直线的表达式为：y 东城21．解：（1）由题意可求：m =2，n =-1．将（2，3），B (-6，-1)带入y kx b =+，得32,16.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得 1,22.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴ 直线的解析式为122y x =+. …………3分 （2）（-2,0）或（-6,0）. …………5分 朝阳22．解：（1）∵点A （m ，2）在双曲线4y x =上，∴2m =．∵点A （2，2）直线12y x b =+上， ∴1b =． （2）（0，3），（0，-1）．房山23. 解：（1）过点A 作AH ⊥x 轴于点H ------1分 在△AOH 中，∵34tan ==∠OH AH AOE ，∴可设OH =3m ，AH =4m 即A （3m ，4m ） 其中m ＞0∵点A 在xy 12=的图象上 ∴解得m=1 （舍负） ∴点A 坐标为（3，4） ------2分（2）∵点B (-6，n )在xy 12=的图象上∴n =-2，即B (-6，-2) ------3分 ∵y=kx+b 的图象经过点A （3，4），B (-6，-2)∴⎩⎨⎧-=+-=+2643b k b k 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==232b k∴一次函数表达式为232+=x y ------4分 (3) 在232+=x y 中令y =0，则x =-3即C (-3，0) ∴BOC AOC AOB S S S ∆∆∆+=92121=⋅+⋅=B A y OC y OC------5分顺义21．解：（1）∵点A （1，2）在1:l y mx =上，∴2m =．∴直线1l 的表达式为2y x =． …………………………………… 1分 ∵点A （1，2）和B （3，0）在直线2:l y ax b =+上，∴2,30.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,3.a b =-⎧⎨=⎩∴直线2l 的表达式为3y x =-+． ……………………………… 3分 （2）n 的取值范围是 2n <． ……………………………………… 5分平谷21．解：（1）∵双曲线()0my m x=≠经过点，A （﹣2，3）， ∴6=-m ．···················································································· 1 ∵直线()10y kx k =+≠经过点A （﹣2，3），∴1=-k ． .................................................................................... 2 ∴此直线与x 轴交点B 的坐标为（1，0）. . (3)（2）(0，3)，(0，-1)．门头沟21.解（1）设反比例函数表达式为(0)ky k x=≠ ∵此函数过A (2，1) ∴12k=，解得2k = ∴此函数表达式为2y x=； …………2分 （2） 02x ＜＜ ； …………………………………3分 （3）P (0 ,3)或P (6 ,0) . ……………………………5分海淀21．解：（1）∵ 直线11l y k x b =+：过A （0，3-），B （5，2），∴135 2.b k b =-⎧⎨+=⎩， --------------------------------------------------------------------- 1分∴ 113.k b =⎧⎨=-⎩，------------------------------------------- 2分∴ 直线1l 的表达式为3y x =-． --------------------------------------- 3分 （2）答案不唯一，满足214k <-即可．--------------------------- 5分丰台21.解：（1）∵点A （m ，2）在直线m x y +-=3上，∴m m +-=32，m = -1．……………………………………………………1分∴A （-1，2）. ∵点A 在双曲线xky =上， ∴12-=k，k =-2. ∴xy 2-=.………………………………………………………………………2分（2）令x x 213-=--，得到11-=x ，322=x ．………………………………3分根据图形，点B 位于点C 下方，即反比例函数大于一次函数时， ∴01<<-n 或32>n .………………………………………………………5分石景山22．解：（1）∵双曲线 (0)m y m x=≠经过点(2,3)A -，∴6m =-．∴双曲线的表达式为6y x =-．……… 1分∵点(,2)B n 在双曲线6y x =-上，∴点B 的坐标为(3,2)B -．∵直线y kx b =+经过点(2,3)A -和点(3,2)B -∴23,32,k b k b +=--+=⎧⎨⎩解得1,1,k b =-=-⎧⎨⎩∴直线的表达式为1y x =--． ………………………………… 3分（2）(6,1)-或(1,6)-． ………………………………… 5分通州20．（1）①2=m ………………………………..(1分)②x y 2=………………………………..(3分) （2）1>n ………………………………..(5分)怀柔23.解：（1）把A （1，3）代入y=x+b 中，得3=1+b ，解得b=2 . ∴一次函数的表达式为2y x =+. ………………… 1分；把A （1，3）代入k y x =中，得31k=，解得k=3 .∴反比例函数的表达式为3y x=. ………………… 2分；（2）把B(-3,m)代入y=x+2，可得B （－3，－1）.设一次函数2y x =+的图象与y 轴的交点C 的坐标为（0，2）.∵S △ABP = 4， ∴1113422PC PC ⋅+⋅=.∴2PC =.……………………………4分∴点P 的坐标为（0，0），（0，4）．……………………5分。

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