高等半导体物理讲义
半导体物理总结-讲义(1)
半导体物理总结-讲义(1)《半导体物理总结-讲义》是一本关于半导体物理基础知识的讲解材料，其中包括半导体的基本特性、载流子运动、PN结、场效应管等内容。
以下为该书的重点内容概述：一、半导体材料特性1. 能带结构：半导体的能带结构高于导体、低于绝缘体，因此具有介于导体和绝缘体之间的导电和绝缘特性。
2. 晶格结构：半导体具有有序、周期性的晶体结构，能够有效控制电子在晶体内的运动。
3. 掺杂：通过掺杂材料改变半导体的电子浓度，从而使其具有p型或n型半导体的特性。
二、载流子运动1. 热激发：半导体中的电子可以受到能量的激励而被激发到导带中。
热能、光能、电场或磁场都可以起到激发的作用。
2. 离子化：在电场的作用下，半导体中的电子可能与晶格原子碰撞，失去能量而被离子化。
形成的正负离子对在电场作用下会向相反方向漂移。
3. 扩散：电子或空穴在半导体中由高浓度区域向低浓度区域扩散，使浓度逐渐平均，实现电流的流动。
扩散是在没有外电场的情况下发生的。
三、PN结1. 构成：PN结由p型半导体和n型半导体组成。
2. 特性：PN结具有一定的整流特性，能够阻止电流从n型半导体流向p型半导体，但允许反向电流。
3. 工作原理：在PN结中，载流子在电场的作用下发生扩散和漂移，形成电流。
四、场效应管1. 构成：场效应管由栅、漏极和源极三部分构成。
栅极位于n型半导体上，由于n型半导体中的电子易受到电场的影响，因此在栅极上加入电信号可以控制通道的导电性。
2. 工作原理：在没有控制电压的作用下，场效应管的通道是关闭的。
当加入一定电压时，栅极上的电场可以将通道打开，使得电流得以流动。
以上为《半导体物理总结-讲义》的重点内容概述，读者可根据需要深入学习相关内容。
高等半导体物理讲义
高等半导体物理课程内容(前置课程: 量子力学,固体物理)第一章能带理论,半导体中得电子态第二章半导体中得电输运第三章半导体中得光学性质第四章超晶格,量子阱前言:半导体理论与器件发展史1926 Bloch 定理1931 Wilson 固体能带论(里程碑)1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管,带来了现代电子技术得革命,同时也促进了半导体物理研究得蓬勃发展。
从那以后得几十年间,无论在半导体物理研究方面,还就是半导体器件应用方面都有了飞速得发展。
1954半导体有效质量理论得提出,这就是半导体理论得一个重大发展,它定量地描述了半导体导带与价带边附近细致得能带结构,给出了研究浅能级、激子、磁能级等得理论方法,促进了当时得回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。
1958 集成电路问世1959 赝势概念得提出,使得固体能带得计算大为简化。
利用价电子态与原子核心态正交得性质,用一个赝势代替真实得原子势,得到了一个固体中价电子态满足得方程。
用赝势方法得到了几乎所有半导体得比较精确得能带结构。
1962 半导体激光器发明1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产1970 * 超晶格概念提出,Esaki (江歧), Tsu (朱兆祥)* 超高真空表面能谱分析技术相继出现,开始了对半导体表面、界面物理得研究1971 第一个超晶格Al x Ga1x As/GaAs 制备,标志着半导体材料得发展开始进入人工设计得新时代。
1980 德国得V on Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻1982 崔崎等人在电子迁移率极高得Al x Ga1x As/GaAs异质结中发现了分数量子Hall 效应1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移得量子限制斯塔克效应,以及由激子吸收系数或折射率变化引起得激子光学非线性效应,为设计新一代光双稳器件提供了重要得依据。
半导体物理基础讲解
受主杂质的电离过程用能带图表示，如图2-9所示，空穴 得到能量ΔEA后，就从受主的束缚态跃迁到价带成为导电空 穴，被受主杂质束缚时的空穴的能量比价带顶EV低ΔEA，称 为受主能级，用EA表示，施主电离能ΔEA= EV -EA。
多余电子脱离杂质原子成为导电电子的过程称为杂质电 离。使这个多余电子挣脱束缚成为导电电子所需要的能量称 为杂质电离能，用ΔED表示。
施主杂质的电离过程用能带图表示，电子得到能量ΔED 后，就从施主的束缚态跃迁到导带成为导电电子，被施主杂 质束缚时的电子的能量比导带底EC低ΔED，称为施主能级， 用ED表示，施主电离能ΔED=EC-ED。
价带与导带的关系
导体中的载流子是自由电子，半导体中的载流子则是带 负电的电子和带正电的空穴。对于不同的材料，禁带宽度不 同，导带中电子的数目也不同，从而有不同的导电性。
对于未掺杂的本征半导体，导带中的电子是由它下面的 一个能带（即价带）中的电子（价电子）跃迁上来而形成的， 这种产生电子（同时也产生空穴，空穴是半导体的另外一种 载流子）的过程，称为本征激发。
1.半导体中的杂质
半导体中的杂质主要有两方面的来源，一是制备半导体 的原材料纯度不够高以及单晶制备过程中及器件制造过程中 的沾污；二是为了半导体的性质而人为地掺入某种化学元素 的原子。
杂质存在半导体晶体中的填充方式有两种，一种是杂质 原子位于晶格原子间的间隙位置，叫做间隙式杂质填充；第 二种是杂质原子取代晶格原子而位于晶格格点处，叫做替位 式杂质填充。
受主杂质的电离能带图
4.杂质的补偿作用
在半导体材料中，同时存在着施主和受主杂质，应该比 较两者浓度的大小，由浓度大的杂质来决定半导体的导电类 型，从而判断半导体是N型还是P型。施主和受主杂质之间有 相互抵消的作用，称为杂质的补偿作用。
半导体物理学复习讲义 引论~第三章
1.3晶向和晶面
晶体各向异性 将布拉维格子看成互相平行等距的直线族 每一直线族定义一个方向，称为晶向 如沿晶向的最短格矢为
l1a1 l2a2 l3a3
该晶向可记为：
l1, l2 , l3
1.3晶向和晶面
将布拉维格子看成互相平行等距的平面族，也称为晶面 如某平面族将基矢分成
1. 恒量 2. V为正空间体积
考虑自旋，k空间态密度：
状态密度定义
单位能量间隔内的状态数目：
考虑自旋，k空间态密度：
E-k 关系
能量空间状态密度
能量变化 dE
k状态变化 dk
k空间体积变化 dΩ
状态数变化 dZ
球形等能面状态密度求解
导带E- k关系：
k k0
E E dE
k k dk
1.1半导体的晶格结构和结合性质 1.2半导体中的电子状态和能带 1.3半导体中电子的运动
有效质量 空穴
1.4本征半导体的导电机构
1.5回旋共振
1.6硅和锗的能带结构 1.10宽禁带半导体
1.1.1金刚石结构和共价键
特点：
每个原子和周围的4个最近邻原子形成一个正四面体
顶角原子和中心原子形成共价键
1.2半导体中的电子状态和能带
1.2.1原子的能级和晶体的能带
电子壳层：1s,2s,2p,3s,3p,3d,4s
……
电子的共有化运动
最外层电子的共有化运动最为显著
公有化运动导致简并能级出现分裂
由于原子数量巨大，分裂后能级之间差距微小，形
成能带，称为允带
S:非简并态， P:三重简并
1.2.1原子的能级和晶体的能带 几个名词：
三、原子结合类型
《半导体物理》讲义
晶体结构晶格§1晶格相关的基本概念1.晶体：原子周期排列，有周期性的物质。
2.晶体结构：原子排列的具体形式。
3.晶格：典型单元重复排列构成晶格。
4.晶胞：重复性的周期单元。
5.晶体学晶胞：反映晶格对称性质的最小单元。
6.晶格常数：晶体学晶胞各个边的实际长度。
7.简单晶格&复式晶格：原胞中包含一个原子的为简单晶格，两个或者两个以上的称为复式晶格。
8.布拉伐格子：体现晶体周期性的格子称为布拉伐格子。
（布拉伐格子的每个格点对应一个原胞，简单晶格的晶格本身和布拉伐格子完全相同；复式晶格每种等价原子都构成和布拉伐格子相同的格子。
）9.基失：以原胞共顶点三个边做成三个矢量，α1，α2，α3，并以其中一个格点为原点，则布拉伐格子的格点可以表示为αL=L1α1 +L2α2 +L3α3 。
把α1，α2，α3 称为基矢。
10.平移对称性：整个晶体按9中定义的矢量αL 平移，晶格与自身重合，这种特性称为平移对称性。
（在晶体中，一般的物理量都具有平移对称性）11.晶向&晶向指数：参考教材。
（要理解）12.晶面&晶面指数：参考教材。
（要理解）立方晶系中，若晶向指数和晶面指数相同则互相垂直。
§2金刚石结构，类金刚石结构（闪锌矿结构）金刚石结构：金刚石结构是一种由相同原子构成的复式晶格，它是由两个面心立方晶格沿立方对称晶胞的体对角线错开1/4长度套构而成。
常见的半导体中Ge，Si，α-Sn（灰锡）都属于这种晶格。
金刚石结构的特点：每个原子都有四个最邻近原子，它们总是处在一个正四面体的顶点上。
（每个原子所具有的最邻近原子的数目称为配位数）每两个邻近原子都沿一个<1,1,1,>方向，处于四面体顶点的两个原子连线沿一个<1,1,0>方向，四面体不共顶点两个棱中点连线沿一个<1,0,0,>方向。
金刚石结构的密排面：{1，1，1} 晶面的原子都按六方形的方式排列。
半导体物理实验讲义
霍尔系数测量中的几种负效应
a
等位面
M
N
I b
图3 不等势面电位差
（1）由于a、b电极处在不同的等位面，所以a、b之间存在 欧姆压降和霍耳电压；
（2）由于电极a、b和样品是不同材料，形成热电偶，因而 产生电流磁效应和热磁效应。
几种负效应
（1）爱廷豪森效应——电流磁效应
I、B方向如图1，将在y方向产生温度差Ta-Tb∝IB,从而在电极和
E EF EiS EF (Ei qVS )
qVB Ei EF ( p type) qVB Ei EF (n type)
E
qVS
qVB
qVS
k0T
ln
NA ni
E
qVS
qVB
qVS
k0T
ln
NA ni
( p type) (n type)
NSS(VS)转换成NSS(E) 读出C-V特性曲线上电容的最大值，根据：
三、实验方法
为了消除不等势电压降和各种负效应的影响，在测量 时，要顺次改变工作电流和磁场的方向，才能最终得 到霍尔电压
U UH1 UH2 UH3 UH4 4
实验二 高频光电导衰减法测量Si单晶少子寿命
少子寿命是少数载流子的平均生存时间。也表示
非平衡载流子衰减到原来的1/e所经历的时间。
11
1
(1)
CQ Cox CS CSS
1 11
(2)
CH Cox CS
CSS
Cox
Cox
1 CQ 1 Cox
1 CH 1
(3)
根据电容的定义，有：
CSS
dQSS dVS
（4）
令NSS为单位表面积、单位能量间隔内的界面态数（cm-2. eV-1）
半导体物理讲义-8
三、非平衡载流子的扩散在金属导体和一般半导体的导电中，载流子都是依靠电场的作用而形成电流。
这就是我们前面讨论过的漂移电流。
半导体中的非平衡载流子同样可以在电场作用下形成漂移电流。
例如，在半导体光敏电阻中，利用光照产生非平衡载流子来增加电导率，这就是说，非平衡载流子的作用和原来的载流子一样，都是在外加电压下产生漂移电流。
但是，非平衡载流子还可以形成另一种形式的电流，叫做扩散电流。
在很多情况下，扩散电流是非平衡载流子电流的主要形式。
扩散电流不是由于电场的推动而产生的。
扩散电流的产生是因载流子浓度不均匀而造成的扩散运动。
发生扩散的根本原因是在浓度不均匀的条件下由无规则的热运动引起的。
1、非平衡载流子的扩散定律如图所示，如果用适当波长的光均匀照射这块材料的一面，并且假定在半导体表面薄层内，光大部分被吸收。
那么在表面簿层内将产生非平衡载流子，而内部非平衡载流子却很少，即半导体表面非平衡载流子浓度比内部高，这必然会引起非平衡载流子自表面向内部扩散。
下面具体分析注入的非平衡载流子的扩散运动。
图 非平衡载流子的扩散实验发现：扩散流密度与非平衡载流子浓梯度成正比。
考虑一维情况，设非平衡载流子浓度只随x 变化，写成N(x) ，则在x 方向有浓度梯度 =dx dN 扩散流密度 dxdN D S -= 扩散流密度是指单位时间，由于扩散运动通过单位横截面积的载流子的数目(再乘以载流子电荷就可得到扩散电流密度)。
比例系数D 是描述载流子扩散能力强弱不同的一个常数，称为载流子的扩散系数，单位是厘米2／秒。
上式中的负号实际上是表明，扩散总是从高浓度向着低浓度进行的，或者说，扩散是沿浓度下降的方向进行的。
注意：电子和空穴的扩散系数在不同材料中是不同的。
而且和迁移率一样，扩散系数还随温度和材料的掺杂浓度而变化。
在载流子的扩散系数和迁移率之间存在着下列确定的比例关系（称为爱因斯坦关系）：μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q kT D （ 电子扩散：n n q kT D μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ，空穴扩散：p p q kT D μ⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ）2、非平衡载流子的稳态扩散方程表面有恒定注入时，半导体内部各点的非平衡载流子浓度将形成稳定分布而不随时间改变，这种情况称稳定扩散。
半导体物理讲义
半导体物理讲义一、硅的性质硅是一种呈灰色金属光泽的半金属。
所谓半金属是其一些物理，化学特性介于金属和非金属之间的元素。
硅无毒，无害，性脆，易碎。
元素符号为Si，属周期表中第三周期ⅣA族元素，比重为2.33，原子序数14，原子量为28.086。
在自然界中没有游离状态的硅、多呈氧化物状态存在。
在岩石圈（自表面深度为16公里内的地壳）中的丰度为27.6（重量）%，因而硅的资源极为丰富。
硅的资源虽然极为丰富，但由于其在自然界中呈氧化物状态存在，想要获得半导体级硅实为不是一件易事。
硅的主要原子价态是4价，其次是2价。
常温下化学性质稳定，不溶于强酸，易溶于碱。
在高温下性质活泼，易与多种物资发生化学反应。
硅在自然界的同位素及其所占的比例分别为：28Si 为92.23%, 29Si为4.67 %，30Si为3.10 %。
常压下硅的晶体结构为金刚石型，α=0.5431nm, 加压到15GPa时，改变为面心立方型，α=0.6636nm。
硅纯化到一定程度为良好半导体材料。
所谓半导体，是指其电阻率介于导体和绝缘体之间，其范围为10-3-1010Ω.cm的一种固体物质。
如载流子浓度为1×1018 cm-3的N型重掺硅单晶，其电阻率大约为5×10-2Ω.cm，而载流子浓度为1×1012 cm-3的N型高纯度硅单晶，其电阻率大约为5000Ω.cm。
载流子浓度是一个与杂质浓度有关的重要电学参数，杂质含量多少是影响电阻率大小的重要因素。
电流是带正电的空穴和带负电的电子定向传输实现的。
硅是一种神奇元素，通常的工业硅（99.0 - 99.9%）不具有半导体性能。
这种纯度水平的硅多用在制造硅钢片或与铝制成合金用在汽车工业上。
只有将硅提纯到很高纯度，即人们常说的89（99.999999 %）到99 （99.9999999 %）时就显示出其优异的半导体材料性能。
半导体硅材料包括：硅多晶，硅单晶，硅单晶片（切片，研磨片以及抛光片等）硅外延片，非晶硅和微晶硅，多孔硅以及以硅基材料（SOI和SiGe/Si材料等）。
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高等半导体物理课程内容（前置课程：量子力学，固体物理）第一章能带理论，半导体中的电子态第二章半导体中的电输运第三章半导体中的光学性质第四章超晶格，量子阱前言：半导体理论和器件发展史1926 Bloch 定理1931 Wilson 固体能带论（里程碑）1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管，带来了现代电子技术的革命，同时也促进了半导体物理研究的蓬勃发展。
从那以后的几十年间，无论在半导体物理研究方面，还是半导体器件应用方面都有了飞速的发展。
1954半导体有效质量理论的提出，这是半导体理论的一个重大发展，它定量地描述了半导体导带和价带边附近细致的能带结构，给出了研究浅能级、激子、磁能级等的理论方法，促进了当时的回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。
1958 集成电路问世1959 赝势概念的提出，使得固体能带的计算大为简化。
利用价电子态与原子核心态正交的性质，用一个赝势代替真实的原子势，得到了一个固体中价电子态满足的方程。
用赝势方法得到了几乎所有半导体的比较精确的能带结构。
1962 半导体激光器发明1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产1970 * 超晶格概念提出，Esaki (江歧), Tsu （朱兆祥）* 超高真空表面能谱分析技术相继出现，开始了对半导体表面、界面物理的研究1971 第一个超晶格Alx Ga1-xAs/GaAs 制备，标志着半导体材料的发展开始进入人工设计的新时代。
1980 德国的Von Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻1982 崔崎等人在电子迁移率极高的Alx Ga1-xAs/GaAs异质结中发现了分数量子Hall 效应1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移的量子限制斯塔克效应，以及由激子吸收系数或折射率变化引起的激子光学非线性效应，为设计新一代光双稳器件提供了重要的依据。
1990 英国的Canham首次在室温下观测到多孔硅的可见光光致发光，使人们看到了全硅光电子集成技术的新曙光。
近年来，各国科学家将选择生成超薄层外延技术和精细束加工技术密切结合起来，研制量子线与量子点及其光电器件，预期能发现一些新的物理现象和得到更好的器件性能。
在器件长度小于电子平均自由程的所谓介观系统中，电子输运不再遵循通常的欧姆定律，电子运动完全由它的波动性质决定。
人们发现电子输运的Aharonov-Bohm振荡，电子波的相干振荡以及量子点的库仑阻塞现象等。
以上这些新材料、新物理现象的发现产生新的器件设计思想，促进新一代半导体器件的发展。
半导体材料分类：➢元素半导体，Si, Ge IV 族金刚石结构Purity 10N9, Impurity concentration 10-12/cm3 ,Dislocation densities <103/cm3 Size 20 inches(50 cm) in diameterP V 族S, Te, Se VI 族➢二元化合物，1.III-V族化合物： GaAS系列，闪锌矿结构, 电荷转移GaAs, 1.47 eV InAs 0.36 eV GaP, 2.23 eVGaSb, 0.68 eV GaN, 3.3 eV BN 4.6 eVAlN 3.8 eV2.II-VI族化合物更强的电荷转移ZnSe 2.67 CdS Z nS CdTeHgTe 0.025 eV （远红外线探测器）3.III-VII族化合物 CuCl >3 eV4.IV-IV族化合物红外线探测器 PbS 0.37 eV, PbTe 0.29eV➢氧化物， CuO, CuO2 , ZnO高温超导体，La2CuO4, Mller, Bednorz➢有机半导体 (CH2)n无扩展态，分子能级间的输运，易修饰，电致发光LCD，响应时间短，无显示角问题，全色，能耗低，工艺简单➢磁性半导体➢非晶态半导体第一章能带理论，半导体中的电子态（主要参考：李名复《半导体物理学》）§ 1 基本知识回顾§ 2 正交平面波方法，赝势§ 3 紧束缚近似或原子轨道线性组合近似§ 4 p k⋅微扰§ 5 缺陷态，有效质量方程 § 1 基本知识回顾1-1正格子与倒格子 Ge, Si, GaAs 的晶体结构，结晶学原胞：面心立方，物理学原胞：正四面体Ge, Si , 金刚石结构 GaAS 系列，闪锌矿结构倒格子，能量空间 布里渊区：面心立方 → 体心立方 1-2 能带理论的基本假定1）绝热近似 （Born-Oppenheiner 近似）考虑到电子质量远小于原子核的质量，也即电子的速度远大于原子核的速度。
因此，在考虑电子的运动时，可认为原子核是不动的，而电子在固定不动的原子核产生的势场中运动。
这种把电子系统和原子核分开考虑的方法叫绝热近似。
2）平均场近似（单电子近似、Hartree-Φok 自洽场方法）如果一个电子所受到的库仑力不仅与自己的位置有关，而且还和其他电子的位置有关，并且该电子本身也影响其他电子的运动，即所有电子的运动是关联的。
这意味着需要联合求解多个薛定谔过程，问题变得异常复杂。
为简化问题，当研究某一个电子运动时，近似地把其他电子对这个电子的作用当作背景，即用一个平均场（自洽场）来代替价电子之间的相互作用，使每个电子的电子间相互作用势仅与该电子的位置有关，而其他电子的位置无关。
同理，可用一种平均场代替所有原子核对电子的作用。
这样，一个多电子体系的问题就被简化成单电子问题。
3）周期势场假定V(r) = Ve(r) + Ui(r), Ve(r)代表电子间相互作用势的平均场，是一个常数。
Ui(r)代表所有原子核对电子的作用的平均场，具有与晶格相同的周期性。
因此：V(r) = V(r+Rn), Rn 是晶格平移矢量。
1-3 Bloch 定理：两种等价的描述ijj i i b a a a a a a b a a a a a b a a a a a b i a πδπππ2)()(2 ,)()(2 ,)()(23 ,2 ,1,321213321132321321=⋅⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯==k k k k '='δBloch 定理描述之一：对于周期势场，即 其中Rn 取布喇菲格子的所有格矢，单电子薛定谔方程：的本征函数是按布喇菲格子周期性调幅的平面波，即且 对Rn 取布喇菲格子的所有格矢成立。
Bloch 定理描述之二：对上述的薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢k ， 使得 对属于布喇菲格子的所有格矢Rn 成立。
1-4 波函数与狄拉克表示狄拉克表示： | >， 刃矢，ket 。
| >表示波函数描述的状态。
|x >表示x 坐标的本征态（本征值x ），|p >表示动量的本征态（本征值p ）， |En >或 |n >表示能量的本征态与| >相应，刁矢< |表示共轭空间的一个抽象矢量，如< |是| >的共轭矢量。
平面波： 狄拉克符号 正交归一Bloch 波： 晶体中单电子薛定谔方程 )()()(2,,22r E r r V m k n k nψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-的解电子波函数满足Bloch 定理，其中k k n n k n k n ''=''δδ,, u nk (r)与晶格周期相同的周期函数。
量子数：k好量子数，反映电子的平面波运动共有化部分。
n 晶格周期相关的量子数，不同能带电子在原子上的运动。
1-5 薛定谔方程一般解晶体中电子波函数 k (r)可以一组正交完备的基函数 i (r)展开k (r)= i a i i (r) i = 1, 2, 3……kr k=)(ϕk PW r,)()(r V Rn r V =+)()()](2[)(ˆ22r r r V mr H εψψψ=+∇-= )()(r e R r nRik n ψψ⋅=+简单举例： k (r) = a 1 1(r) + a 2 2(r) + a 3 3(r)H k (r) = E k (r),H a 1 1(r) + H a 2 2(r) + Ha 3 3(r) = E[a 11(r) +a 22(r)+ a 33(r)]左乘1*(r), 实空间积分：1*(r) H a 1 1(r) dr + 1*(r)H a 2 2(r) dr + 1*(r) H a 33(r) dr= E[1*(r)a 11(r)+ 1*(r)a 2 2(r)+ 1*(r)a 3 3(r)] dr = Ea 1 (1)令 1*(r) H 1(r) dr = <1(r)H 1(r)> 方程(1)可写成<1(r)H 1(r)>a 1+<1(r)H 2(r)>a 2+<1(r)H 3(r)>a 3 = Ea 1 (2) <2(r)H 1(r)>a 1+<2(r)H 2(r)>a 2+<2(r)H 3(r)>a 3 = Ea 2 (3) <3(r)H 1(r)>a 1+<3(r)H 2(r)>a 2+<3(r)H 3(r)>a 3 = Ea 3 (4)一组线性联立齐次方程[<1(r)H 1(r)>-E]a 1+<1(r)H 2(r)>a 2+<1(r)H 3(r)>a 3= 0 <2(r)H 1(r)>a 1+[<2(r)H 2(r)>-E]a 2+<2(r)H 3(r)>a 3=0 <3(r)H 1(r)>a 1+<3(r)H 2(r)>a 2+[<3(r)H 3(r)>-E]a 3=0一般表示式： i,j [<iHj> E i,j ] a j = 0 i, j =1, 2, 3… 通过a j 系数行列式等于零求出能量本征值E ，再求出系数a j 。
晶体中电子波函数 k (r)= i a i i (r) 如何选择基函数、势场是计算中的关键。
计算方法： 近自由电子近似：基函数 赝势：势场 紧束缚近似： 基函数 微扰 有效质量方程： 势场pk1-6近自由电子近似（弱周期势近似）近自由电子近似是当晶格周期势场起伏很小电子的行为很接近自由电子时采用的近似处理。
对相当多的价电子为s 电子、p 电子的金属，是很好的近似。
电子感受到的弱周期势，不仅源自于满壳层电子对原子核的屏蔽，而且其他价电子对原子核周期势的再次屏蔽也使周期势场更弱。