随机过程试题
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
(完整word版)随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1．为it(e-1)e λ。
2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．(n)nP P =。
随机过程试题与答案
随机过程试题与答案《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分） 1、φX t =E e jtX2、acos ωt +π3 ,acos ωt ?π4 . (任意两条即可)3、N t 为参数λ的poison 过程，{X n }是独立同分布的随机变量序列，且与N t相互独立，则称Y t = X n N tn=1为复合poison 过程。
4、二重积分 R X s,t dsdt ba b a 存在且有限。
二、（本题10分）解：（1）P N 12 ?N 8 =0 =e ?12. (5分)（2）f T t =3e ?3t t >00t ≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。
（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P 1= 0.60.40.40.6 ，P 2= 0.60.40.20.8 (6分)记z 1 =(z 1 1,z 2 1)，z 2 =(z 1 2,z 2 2)，求解方程组z 1 =z 1 P 1， z 1 1 +z 2 1=1z 2 =z 2 P 2, z 1 2 +z 2 2=1得z 1 = 12,12 , z 2 = 13,23 。
则平稳分布为（10分）π= λ1,λ2,0,λ1,2λ2(12分)四、（本题13分）解：（1）Q = ?λλμ?(λ+μ) 0 0λ 00 μ0 0 ?(λ+μ)λμ?μ （4分）前进方程dP(t)dt =P(t)Q （6分）后退方程dP(t)dt=QP(t) （8分）（2）由πQ =0，π=1, π=(π0,π1,π2,π3) 解得平稳分布为π0=1?λμ1? λμ4,π1=λμ 1?λμ1? λμ4,π2=λμ2 1?λμ1? λμ4,π3=λμ3 1?λμ1? λμ4(13分) 五、（本题13分）解：（1）对任意的t 1,t 2,?,t n ∈R ，Z t 1 Z t 2 ?Z t n = t 12t 22?t n2 2t 12t 2?2t n X Y + ?2?2?2?2因X,Y 是相互独立的正态分布，所以 XY 是正态分布，又线性变换的性质可知Z t 1 ,Z t 2 ,?,Z t n T 服从多元正态分布，故Z t 是正态过程。
随机过程习题
一．填空题〔每空2分，共20分〕2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t2t,;e,e ⎫⎬⎭。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，假设ii f1<，称状态i 为非常返的。
9．非周期的正常返状态称为遍历态。
三．计算题〔每题10分，共50分〕1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H X(t)=t Tπ⎧⎨⎩ ,t (-,+)∈∞∞，设1p(H)=p(T)=2，求〔1〕{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；〔2〕一维分布函数F(x;0),F(x;1)。
解：〔1〕样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； 〔2〕当t=0时，{}{}1P X(0)=0P X(0)=12==， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0x<-11F(x;1)=1x<12x 11⎧⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪⎩2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
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一、填空题（每小题3分，共15分）
1、设随机变量X 的特征函数为 ()(1)it
n
X t p pe ϕ=-+，则EX = 。
2、设{((),()),}X t Y t t T ∈为二维实值随机过程，则它们的互协方差函数为
12(,)XY C t t = 。
3、设{()X n ，1,2,n = }是独立同分布的随机变量序列，{}()1P X n p ==，
{}()01P X n p ==-，则对m n ≠，X 的自相关函数(),X R m n = 。
4、全期望公式为 ()E E Y X ⎡⎤⎣⎦= 。
5、非齐次泊松过程{(),0}N t t ≥，其中强度函数为()sin (0)t t at a λ=+≠，则
[()]E N t =。
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、下面的随机过程中不一定是二阶矩过程的是（ ）
（A ）严平稳过程 （B ）宽平稳过程 （C ）正态过程 （D ）泊松过程
2、关于齐次马氏链的遍历性与平稳分布，下面说法正确的是（ ） （A ）平稳分布即为稳态概率
（B ）平稳分布存在，则齐次马氏链具有遍历性 （C ）马氏链不具有遍历性时，其平稳分布也可能存在 （D ）平稳分布是唯一的
3、已知标准正态分布随机变量的特征函数为2
2
()e υ
ϕυ-
=，则2(2,)X N μσ 的特征
函数为 ()X ϕυ=（ ） （A ）{}2
2
2
exp i συ
μυ-+
（B ）{}2
22
exp i συ
μυ-
（C ）{}2
2
2
exp i συ
μυ-2+
（D ）{}2
2
2
exp i συ
μυ-
2
4、下面的随机过程中不一定是马尔可夫过程的是（ ） （A ）宽平稳过程 （B ）非齐次泊松过程 （C ）维纳过程 （D ）泊松过程
5、设()
1
()()N t n Y t X n ==
∑
是复合泊松过程，2(|()|),1,2,E X n n <+∞= ，则下面说法错误
的是（ ）
（A ）()((1))Y m t tE X λ= （B ）()((1))Y D t tD X λ= （C ）()(())Y m t tE X n λ= （D ）2()(())Y D t tE X n λ= 三、计算题
1、（20分）设齐次马氏链{(),1,2,3}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移概率矩阵
1102212033230
5
5P ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（1） 画出概率转移图； （2）讨论其遍历性，并求平稳分布； （3）求概率{(4)3|(1)1,(2)2}P X X X ===； （4）若已知(1)X 的分布律如下表所示:
分别计算{(1)1,(2)2,(3)3}P X X X ===以及(3)X 的分布律。
2、（15分） 如果顾客按平均率为每分钟2个的泊松过程到达，
（1）求[1,3)和[3,5)两个时间区域内各有3个顾客来到的概率； （2）求[1,3)和[3,5)两个时间区域内共有3个顾客来到的概率； （3）求相邻两个顾客到达时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率。
3、(9分) 若从0t =开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程
cos(), t ()2 t t X t t π⎧=⎨⎩
时刻抛得正面，
，时刻抛得反面，
(1) 试画出()X t 的两条样本曲线;
（2）分别求出1 12
t t =
=和时的一维分布函数；
4、（18分） 设()cos sin ,X t A t B t t λλ=+-∞<<+∞， 其中,A B 是非单点分布的实
随机变量且相互独立，()()0E A E B ==，2()()D A D B σ==，λ是常数。
试判断：（1）()X t 是否为宽平稳过程？ （2）()X t 是否具有遍历性？
四、证明题（8分）
设{}n X 为独立同分布的实随机变量序列，2
,n n EX D X μσ==，令1
1n
n i
i Y X n
==
∑
，
试证明 l.i.m n n Y μ→∞
=。