人教版高中数学必修三导学案 2.3变量间的相关关系

2．3 变量间的相关关系

1．问题导航

(1)相关关系分为哪两种？ (2)什么叫散点图？

(3)什么叫回归直线？求回归直线的方法及步骤是什么？ 2．例题导读

通过对例题的学习，(1)学会如何作散点图；(2)学会如何用散点图判断两个变量是否相关；(3)掌握求回归直线方程的方法；(4)熟悉回归直线方程的实际应用．

1．两个变量的线性相关

(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关

①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法

求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^

时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

b

^

=

∑

n

i=1

(x i－x

－

)( y i－y

－

)

∑

n

i=1

(x i－x

－

)2

=

∑

i＝1

n

x i y i -nx

-

y

-

∑

i＝1

n

x2i- n x

-2

a

^

=y

－

－b

^

x

－

其中，b

^

是回归方程的斜率，a

^

是回归方程在y轴上的截距．

1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)

(1)线性回归方程必经过点(x

-

，y

－

)；()

(2)对于方程y

^

＝b

^

x＋a

^

，x增加一个单位时，y平均增加b

^

个单位；()

(3)样本数据中x＝0时，可能有y＝a

^

；()

(4)样本数据中x＝0时，一定有y＝a

^

.()

解析：根据回归直线方程的意义知，(1)(2)都正确，而(3)(4)中，样本数据x＝0时，y的值可能为a

^

，也可能不是a

^

，故(3)正确．

答案：(1)√(2)√(3)√(4)×

2．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是()

解析：选C.A、B为函数关系，D无相关关系．

3．下列关系中，有相关关系的是________．

①正方形的边长与面积之间的关系；

②水稻产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系．

解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．答案：②

4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^

＝7.19x ＋73.93，那么这个孩子10岁时的身高是否一定是145.83 cm?

解：不一定，用回归模型y ^

＝7.19x ＋73.93只能预测，其结果不一定是个确定值．

1．两个变量之间的关系与其对应的散点图特征

(1)两个变量间的关系是函数关系时，数据点位于某曲线上． (2)两个变量间的关系是相关关系时，数据点位于某曲线附近． (3)两个变量间的关系是线性相关时，数据点位于某直线附近． 2．对回归直线与回归方程的理解

(1)回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．

(2)对于任意一组样本数据，利用最小二乘法公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．

相关关系的判断

(1)下列关系中，属于相关关系的是________． ①人的身高与视力的关系；

②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系； ③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

(2)下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？

年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.74 13.69 13.33 12.84 13.05 年降雨量(mm)

748

542

507

813

574

701

432

[解析](1)

题号判断原因分析

身高与视力无关，不具有函数关系，也不具有

①不是相关关系

相关关系

自由落体的物体的质量与落地时间无关，不具

②不是函数关系，也不是相关关系

有相关关系

降雪量越大，交通事故发生率越高，不确定性

③相关关系

的关系

[答案]③

(2)解：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图，如图所示：

因为图中各点并不在一条直线附近，所以两者不具有相关关系，求回归直线方程也是没有意义的．

方法归纳

(1)两个变量x和y相关关系的确定方法：

①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；

②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；

③经验法：借助积累的经验进行分析判断．

(2)判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．

1．(1)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()