什么是函数
函数的概念及符号表示
隆德县职业中学
复习回顾：
1、什么叫做命题?、什么叫充分条件？
对于两个命题p,q，如果命 题p成立，则命题q成立，就把 命题p叫做命题q的充分条件。
如果p q, 那么p是q的充分条件
2、什么是必要条件：
对于两个命题p,q，如 果命题p成立，则命题q 成立，就把命题q叫做命 题p的必要条件。
(2)f(2x+1)
练一练: 1、已知f(2x-1)=x2
求（1）f(x+1)
(2) f(3x+2)
例3：已知f(3x)=27x2+2 求：（1）f(x)
(2)f(2x-1)
例4:已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0,并且
f(x+1)=f(x)+x+1, 求f(x)的表达式
充要条件
如果p q, 那么q是p的必要条件
3、充要条件：
对于两个命题p,q，如果命题p成立，则 命题q成立；反之，如果q成立，则命题 p成立；就把命题p叫做命题p的充要条 件；同时把命题q叫做p的充要条件。
如果p q, 那么p与q
互为充要条件
例题讲授
例1：设甲：x＞2；乙： x＞1.则（ ）
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的 必要条件
石 占 虎
隆德县职业中学
例3：设x,y∈R,(x+1)2+(y-
2)2=0的充要条件是( )
（A）x=-1 (B)y=2
(C)x=-1或y=2 (D)x=-1且y=2
例4：“两个三角形两角
对应相等”是“两个三角 形全等”的（ ）
（A)充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
高中数学函数的定义定义域值域解析式求法
课题7：函数的概念（一）一、复习准备：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：（一）函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A=∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
显然，值域是集合B 的子集。
（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；（2）二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。
（二）区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。
高一数学函数的概念
?
? 阳光手印
早月蜕了壳，恐怕是夜游未归；那枚月壳子在清风中晃荡，早起的蝉是饿的，三
两口也就吃了。
几条晨光，像蚕丝捻的绳，自东方抛来，捆收纱帐般的雾，雾太活，收不拢；千棵松的短针勾了雾角，万只蝉的小嘴咬了雾幔，雄壮的山峦忽然翻个身，又压去了半匹。你看到阳
光一个大巴掌推倾山壁。把雾收清楚了。金黄的手印子留在山的脸上，半边醒半边
话打得她如梦大醒： ? “……他说你不想生孩子，有这件事？”婆婆问。 ? 她一时语塞，面色凝重，仿佛泰山崩于前。门外，公公故意来来回回地走着，无非也是要听，她觉得进退维谷，没有一个余地。 ? “你要信佛吃素，我们不反对，不传后代，这就不孝。我们老了，能活多久？娶媳妇
进门就是图个孙子抱抱，你要为两个老的想。”说完，一扭头回房去了。 ? 她看着时间，该去上班了，穿戴完毕，轻轻敲着婆婆的门，说：“妈，我去上班。”逛过客厅，公公正在看报，她巡一下午饭熟透了没？菜肴热着没？也向他说：“爸，我去上班。” ? 出门，她宛如得了天地，每一
见不到她。问父母，做母亲的说： “走了，谁知道去哪里？你这个媳妇未免太自由了吧！” 他打开她的橱，衣服一色色都挂得好好地，首饰存折都在，妆台上，梳子发夹一支也没少。他着实参不透，到底什么地方不需要这些？突然灵机一动，拨个电话到寺里，师父回说她的确在。他抓起
衣服就冲出去，迫切地想见她。 ? 师父见着他，称了个佛号，先要他坐下来喝茶，与他闲话南北，渐渐收住他那轻拢慢捻的心情，才破天荒地开口： ? “玉言出家了。” ? 他推开门进去，果然坐着一僧；法相庄严，黑衣衫如如不动。见了他，也不起身，只用眼神延请他入座，他在她对面的
她现在一面理装一面想的是他出门在外的奔波样，哪还需要什么话别不话别的？他从后头揽脚抱了她，她未及想到他回来的模样。 ? “抱我做啥？”她反身问。 ? “还能做啥！”说完，为她宽了衣。 ? 灯都熄了，更象是巫山的黑夜，可以恣意的翻云覆雨。夫妻不就像天与地吗？若不经这番
如何理解函数？
如何理解函数？在初中阶段，我们会学习三种函数：⼀次函数、反⽐例函数、⼆次函数．最难的可能不是⼆次函数，更不是反⽐例，⽽是⼀次函数，因为在⼀次函数之前，得先明⽩什么是函数．1、什么是函数初中函数的定义是这样的：⼀般地，在⼀个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每⼀个值，y都有唯⼀确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，x是⾃变量，y是因变量．定义本⾝并不复杂，但由于字数较多，容易给⼈⼀种懵的感觉，啥？刚说啥了？啥是函数啊？⾸先第⼀个问题，函数研究的是什么？换个说法，在上述定义中，哪个词最能体现函数的本质？定义看似很长，但掐头去尾，只剩中间这么⼀句关键的话：对于x的每⼀个值，y都有唯⼀确定的值与其对应．哪个词最函数呢？我觉得是“对应”．第⼀个问题可以这么回答：函数研究的是两个变量之间的⼀种对应关系．在这⾥⼜有⼀个新名词：变量．这个不难解释，字⾯意思，举个例⼦，⼩明同学买西⽠，已知西⽠两块钱⼀⽄，记西⽠重量为x ⽄，价钱为y，则存在这样的关系：y=2x．在上述例⼦中，西⽠的重量是变量，价钱也是变量，与其相对的，单价两块钱⼀⽄的2，叫做常量，即保持不变的量．⽣活中处处皆变量，因为世界本⾝就是变化的，⽼话所说：数学源于⽣活却⼜⾼于⽣活．当然我觉得把此处的“数学”改成“物理”、“语⽂”、“⾳乐”等等也没什么违和感．继续，我们要在刚刚如此简陋的回答上继续详细化．第⼆个问题：函数研究的是两个变量之间的什么样的对应关系？换个说法，在函数定义中找第⼆关键词（第⼀是“对应”），谁可担当？这个不难想到，剩下的词中有点实际内容的也就剩下：唯⼀确定．所以什么是函数？函数就是两个变量之间任意⼀个x，都有唯⼀确定的y这样的⼀种对应关系．⽐如刚刚买的西⽠，y=2x描述的便是两个变量x和y之间的⼀种对应关系，1⽄西⽠2块钱，2⽄西⽠4块钱，3⽄西⽠6块钱……任意挑个西⽠，都有唯⼀确定的定价．我不曾探究过到底花了多少时间想出如此定价的⽅式，但毫⽆疑问，这⽐“⼤⽠10块，⼩⽠8块”要合理得多．思索这纷纷扰扰的世界中的⼀般规律，也是数学的⼀个愿景呐．在定义中需要再多说两句的是x和y⾝份也并不相同，虽都是变量，但x叫⾃变量，y叫因变量．其中“⾃”和“因”，字⾯意思，不难理解吧，这也正是汉字的博⼤精深之处．知乎上有这么⼀个问题：为什么我们教材上不把“勾股定理”换成“毕达哥拉斯定理”？其中⾼赞的回答⼤意是：汉字能简短的⼏个字便能表达出想表达的意思，但英⽂不⾏．不妨试试把勾股定理翻译成英⽂？算了可别难为翻译官了．同样，就好像我们很少听说“欧⼏⾥得定理”，但我们都知道“射影定理”．我们可能没听过“泰勒斯定理”，但圆周⾓定理都很熟悉．汉字，真⾹．理解了“⾃”和“因”，不乏有同学会这么说，哦函数就是y随着x的变化⽽变化呀！200年前柯西爷爷就这么说过，函数虽然研究的是变量，但更侧重在“对应”⽽⾮“变化”，常数函数y=2表⽰：兄弟我就是2，怎么滴？2、为什么取名“函数”函数在英⽂中叫“function”，最早由莱布尼茨提出，清朝数学家李善兰翻译为“函数”．其中“函”同“含”，意为“包含”，李⽼师如是说：凡此变数中含彼变数者，则此为彼之函数．翻译成现代⽂就是：但凡这个变量中含那个变量的，那么这个变量就是那个变量的函数．还是说说买西⽠那个事，不妨这么理解，在y=2x这个式⼦中，x是个变量，2x是包含x的，所以说2x是x的函数，当我们把2x记为y时，便说，y是x的函数．刚刚这段仅供理解“为什么取函数这么个名字”，并不代表函数的真是意义，函数跟包不包含并没有什么关系，函数说的是两个变量之间的⼀种对应关系呐．李⽼师之所以这么解释，个⼈揣测，是因为常见的函数都以函数解析式的形式出现．所谓函数解析式，就是表达函数关系的式⼦，⽐如买西⽠中的y=2x，这是函数关系的⼀种表达形式，但这并不是唯⼀的⼀种表达形式，甚⾄，有的函数并没有函数解析式．3、函数的表达形式常见的函数表达形式有3种：列表法、解析式法、图像法．都是字⾯意思．列表法虽然看似鸡肋但绝对不能缺，就像⼈⼝普查，⼯作量虽⼤但不能⽤抽样来代替．表⽰每⼀段函数关系都有解析式和图像，但⼀定可以列表．其普适性决定了列表法虽然并不好⽤，但始终都在．解析式法当然是最常见、也是最简洁的⼀种形式了，通常函数⼤题的第⼀问都是：请求出函数的解析式．但解析式法有2个问题：其⼀，缺乏整体直观的描述，不能体现变量的变化趋势；其⼆、有些函数真的没有解析式．黎曼猜想算半个例⼦吧，万⼀被证明了呢，我们看这样⼀个函数：x12345678……y14159265……取π的⼩数部分，以序数作为⾃变量x，其对应的⼩数的值作为因变量y，解析式当如何？当然像这样的函数我们平时也不会遇到，知道它静静地存在，就不⽤去打扰它了．⾄于图像法，完美地解决解析式法的第⼀个问题，⽽它的缺点——画图⿇烦、不精确，正是解析式法的优点，解析式与图像，不仅仅是函数的代数形式与⼏何形式，两者本⾝便是相辅相成，共同演绎函数．那有没有函数画不出其图像呢？当然有啊，⽐如狄利克雷函数：真实存在却画不出来，甚⾄都难以想象．函数以解析式或图像呈现对应关系，但函数却⼜不仅仅是解析式和图像．所以函数是什么？函数就是函数啊，函数的函，函数的数．。
函数是什么
1.函数不是数，是一组对应关系我们知道在行程问题中，路程s 等于速度《与时间*的乘积，记作在小学里学习乘法时做过这样的题目：一辆汽车i 小时行驶40千米,3个小时 行驶多少千米？则有40x 3=120(千米）.高速火车1小时行驶250千米，2个半小时行驶多少千米？则有 250x 2.5=625 (千米）.在学习除法时又做过这样的题目：甲、乙两城之间路程为240千米，一辆汽车 平均每小时行驶60千米，从甲城到乙城需要多少小时？在小学的学习过程中，主要是已知路程、速度、时间三个量之中的两个,利用乘 或除的关系求另一个量.在初一学习方程问题时，我们又做过这样的题目：从甲地到乙地，长途汽车原 需行驶7个小时，开通高速公路后，路程缩短了 30千米，车速平均每小时增加了 30 千米，结果只需4个小时即可到达，求甲、乙两地之间高速公路的路程.分析:设甲、乙两地之间高速公路的路程为*千米,则原来公路的路程为G c +30) 千米，由此可得解得320，即甲、乙两地之间高速公路的路程为320千米.这个问题比小学学习的路程、速度、时间的关系复杂一些，但问题的实质仍是 在这三者的关系中有一个是未知的，利用代数式表示出另外的量，利用方程求得 解，如果把问题再深入一步：一辆汽车每小时行驶60千米，它行驶的时间与路程有什么关系呢？显然则有24(H 60=4(小时）.% + 30^7^在这里每行驶一定的时间t,就能求出行驶的路程S了.如果甲、乙两地间的路程为300千米，它行驶的速度与时间有什么关系呢？则300=时，即V这里，只要确定一个行驶速度就能得到确定的行驶时间.在这里我们看到了 t与S，〃与*两个字母的对应关系，这种对应关系就是函数关系.2.常量与变量在一个问题中保持不变的量就是常量，可变化，可以取不同的值的量就称为变量•如s=60*中，60是常量，是两个变量.再如:汽车油箱内有50升油，1小时耗时2升，行驶t小时后，油箱里还有0升 油，这里50、2是常量和(?是一对变量.在第一个问题中，s是随t的变化而变化的，我们把t称为自变量^称为因变量，在第二个问题中，*为自变量，为因变量.如果有一个关系式y=-|%+4,那么其中的常量为-|，4,变量为*、y.3. 函数像上面的问题那样，有两个变量z、y,当其中一个变量x取一个值时，y有唯一 确定的值与之对应，我们就把x称为自变量,y就是x的函数.这里的要点是:（1)描 述两个变量的对应关系.（2)自变量在某个范围内取一个确定的值,这个范围也叫 做定义域.（3)—定对应唯---个因变量的值，因变量的值所在的范围也叫做值域.例如，一个矩形，宽为5,长为a:，则面积y为y=5a:(a:>0).这里当a:在大于0的范围内任意取一个值时，都有唯一确定的；T的值.因此两个变量的这种对应关系就是函数，y叫做％的函数.再如，一个半径为r的圆面积s有这样的关系这里77■是常量是一对变量，当r(r>0)取一个确定的值时，s有唯一确定的值与之对应，因此s是？■的函数.又如，一辆汽车从车站开出，如果不知道它的速度是多少，在的关系中无法确定t与s的关系，因此在这里s与*不是函数关系.4.自变量的取值范围在一个函数中如果自变量在一个整式中，那么这个自变量可以取任意实数.如果自变量在分母上,需注意自变量的取值范围应使分母不为零.如果自变 量在二次根式内，被开方式应大于或等于0.垂下的头颅只是为了让思想扬起，你若有一个不屈的灵魂，脚下就会有一片坚实的土地。
什么是函数函数有几种表示方法
什么是函数函数有几种表示方法
函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出
之间的映射关系。
在数学中，函数被用来描述不同数值之间的关系，也被广泛应用在计算机科学、物理学、经济学等各个领域。
一个函数通常表示为f(x)，其中x是输入，f(x)是输出。
函数有多种表示方法，包括解析式、图像、表格和公式等。
下面将逐一介绍这些表示方法：
解析式表示
解析式是最常见的函数表示方法。
通过解析式，我们可以
直接得到函数的表达式，从而方便计算。
例如，一个线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
图像表示
函数的图像表示了函数的输入和输出之间的关系。
图像通
常用坐标系表示，其中横轴表示输入，纵轴表示输出。
通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质，如增减性、奇偶性等。
表格表示
函数的表格表示了函数输入和输出的对应关系。
通过表格，我们可以直观地看出不同输入对应的输出是什么，从而更好地理解函数的性质。
公式表示
函数还可以通过数学公式表示。
数学公式是用数学符号和
运算符描述函数的关系，是一种抽象和形式化的表示方法。
通过以上几种表示方法，我们可以更加全面地了解函数的
概念和性质。
函数是数学中一个非常重要的概念，也是解决各
种问题的基本工具之一。
不同的表示方法可以帮助我们更好地理解和运用函数。
高一数学函数的概念1
1.[引例1](P15)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击 中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h （单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是 2 h 130t 5t （﹡） 提出以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高？ (2) 炮弹何时距离地面最高? (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和 集合B表示出来。 (4) 对于集合A中的任ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个时间t,按照对应关系 ,在集合B中是否都有唯 一确定的高度h和它对应?
2
(三)关于求定义域及函数的值:
1 例1、已知函数 f ( x) x 3 x2 (1)求函数的定义域
2 (2)求 f ( 3), f ( ) 的值 3
(3)当a>0时，求f(a), f(a-1)的值。
例2、求下列函数的定义域。
1 （1） f ( x) (1 2 x)( x 1)
1.2.1
函数的概念(1)
一、复习引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？ 初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说 x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合 叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫 做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用 变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数等。
h 130t 5t
2
2.[引例2]P15 问题如下: (1) 1983、1985、1997年的臭氧空洞面积大约 分别是多少? 哪一年的臭氧空洞面积最大?最大 达到多少? (2) 哪些年的臭氧空洞面积大约是15 (3) 分别写出时间t和臭氧空洞面积S的变化范围, 并分别用集合A、B表示出来。 (4) 对于集合A中的每一个t值按照图象所示是否在B 中都有唯一的S值与它对应?
C语言函数的定义
C语言函数的定义C语言函数的定义引导语：函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素。
以下是店铺分享给大家的C语言函数的定义，欢迎参考学习!一、函数的定义一个函数包括函数头和语句体两部分。
函数头由下列三不分组成：函数返回值类型函数名参数表一个完整的函数应该是这样的：函数返回值类型函数名(参数表){语句体;}函数返回值类型可以是前面说到的某个数据类型、或者是某个数据类型的指针、指向结构的指针、指向数组的指针。
指针概念到以后再介绍。
函数名在程序中必须是唯一的，它也遵循标识符命名规则。
参数表可以没有也可以有多个，在函数调用的时候，实际参数将被拷贝到这些变量中。
语句体包括局部变量的声明和可执行代码。
我们在前面其实已经接触过函数了，如abs(),sqrt()，我们并不知道它的内部是什么，我们只要会使用它即可。
这一节主要讲解无参数无返回值的函数调用。
二、函数的声明和调用为了调用一个函数，必须事先声明该函数的返回值类型和参数类型，这和使用变量的道理是一样的(有一种可以例外，就是函数的定义在调用之前，下面再讲述)。
看一个简单的例子：void a(); /*函数声明*/main(){a(); /*函数调用*/}void a() /*函数定义*/{int num;scanf(%d,&num);printf(%d ,num);}在main()的前面声明了一个函数，函数类型是void型，函数名为a，无参数。
然后在main()函数里面调用这个函数，该函数的作用很简单，就是输入一个整数然后再显示它。
在调用函数之前声明了该函数其实它和下面这个程序的功能是一样的：main(){int num;scanf(%d,&num);printf(%d ,num);}可以看出，实际上就是把a()函数里面的所有内容直接搬到main()函数里面(注意，这句话不是绝对的。
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1.什么是函数(function)？
函数是预先定义的功能块（由代码组成）。
我们编写函数的目的通常是为了反复调用它（提高代码的复用性）。
一个函数的定义通常包含下列部分：
a)函数名
函数名通常由代表函数功能的字母（或词）组成。
一定要清晰地用函数名来表示函数的功能.
b)函数参数
要由函数进行处理的一项或多项数据。
c)返回值类型
2.什么是main函数？
main函数是C语言中特殊的一个函数：
a)一个C语言程序只能有一个main函数。
b)程序被编译后，将从main函数开始执行。
3.main函数可以有参数吗？
可以。
4.main函数怎么带参数？
现在不讲。
5.main函数可以有返回值吗？它的返回值应该是什么类型？
当然可以。
通常情况下，main函数的返回值类型为int型。
6.C语言有哪些数据类型？
int, long, float, double, char
上述数据类型的大小和表达范围在16位编译器中有效（Turbo C
2.0）.
7.如何声明一个变量并定义它的类型？
数据类型变量名;
比如：
int i;
int i=0; /* 这是在声明变量时同时赋初值的方法*/
8.如何给变量赋值？
赋值运算符=
9.如何显示这个变量的值。
printf函数。
10.为什么在最后要加getch()?
因为，在Windows下，一个DOS程序如果执行完毕，则操作系统会自动关闭其窗口。
11.注意：
在C语言中，声明一个变量但同时未给它赋初值时，变量的值是随机的。
因为变量所使用的内存空间没有被清0。
12．sizeof运算符
sizeof运算符用来计算一个数据项所占用的字节数。
它的使用方法貌似一个函数，但事实上它是一个运算符。
13．&运算符
也叫取地址运算符。
它的作用是取出变量所在的地址。
14. scanf函数
scanf函数用来从键盘得到一个或者多个的输入，并将输入的值存入制定的地址中。
scanf接受两个参数：
a)要输入值的数据类型
b)输入的值存入的地址。
15. printf函数的具体用法
printf(“格式化字符串”,变量1,变量2，变量3.....)
%d 整形值
%f 浮点型
%c 字符型。