2013年全国初中数学竞赛
2013年全国初中数学联赛试题及详解
2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1•计算 4,3 2 ：2 41 24 2( )（A ） .2 1（ B ）1（ C ）2（ D ）2【答案】（B ）【解析】原式=42+1）2 3 ,（4 2 3）2 4（、.2 1） （4.2 3） 1，故选（B ）一 - m 2 m 22•满足等式 2 m 1的所有实数m 的和为（）（A ） 3（ B ）4（ C ）5（ D ）6【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：(1) 若 2m 1,即m1时，满足已知等式；21,即m 3时， m 2 m 2(2) 若 m2 m( 1）41满足已知等式；2 m 0一口 1(3) 若 2m1,即m1且m 3时，由已知，得2解得，mm m 2m 2 m 2故j 足等2 m 1的所'实数m 的和1 3（1）=3，故选（A ）.24•不定方程 3x 7xy 2x 5y 17CAB 15o ， ABC 的平分线交圆O 于点D ，若CD3，则 AB =() (A ) 2 (B ) 6 (C ) 2.2 (D ) 3 【答案】（A ）【解析】连接 OC ，过点0作ON CD 于点N ，贝V 3•已知AB 是圆O 的直径, C 为圆O 上一点, CN DN OA ,从而 OCA CAB 15o ,由AB 是圆O 的直径， ACB 90°,因 CD 平分 ACB ,故 ACD45°, OCN ACD OCA 30°,在 Rt ONC 中，••• cosOCNCN OC2OC 2,故选（A ）0的全部正整数解（x, y）的组数为（(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4(A) 33 【答案】(B ) 34 (B )因1既不是质数, (C ) 2013( D ) 2014设不超过n 的正整数中, n13 57911U 152 34 49G 6 b.(1 __Ii w2468【答案】(B )3x 2x 17【解析】由3x 2 7xy 2x 5y 170,得y —— -------- ，因x, y 为正整数，7x 5故 x 1,y 1,从而 7x 5 0,于是 3x 2 2x 17 7x 5 , 3x 2 5x 22 0 ,即卩 (x 2)(3x 11) 0,由 x 1，知 3x 11 0,故x 2 0, x 2，故 x 1 或 x 2 当x 1时，y 8 ；当x 2时，y 1.故原不定方程的全部正整数解 (x, y)有两组：(1,8)，(2,1),故选(B ). 5.矩形ABCD 的边长AD 3, AB 2 , E 为AB 的中点，F 在线段BC 1：2 , AF 分别与DE , DB 交于点M , N ,则MN =(―、3、、5 5 .59、、511,5(A ) (B )(C )( D )—714 28 28【答案】(C )BF 1【解析】因，故FC 2BF BF 11FN BF 1,BF - AD 1,因 BF // AD ，故 BNF s DNA ，故，故DA BC 33AN DA 31 FN -AN 1 3AF -AF . 延长DE,CB 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知3 34 4ADE 也 BGE ,故 BG AD 3 , FG BF BG1 3 4 ,因 FG // AD , 故AM AD 3 亠 33AMD s FMG ，故，故 AM FM AF ，于是FM FG 4 47上，BF : FC )考虑n 为奇数的情况)：质数的个数为 a n ,合数的个数为b n ,当n 15时，列表如下(只 也不是合数，故“好数”一定是奇MN AF AM FN AF 3AF 1AF —AF 9.AB2 BF29.57 4 28 28 28 故选(C).6•设n为正整数，若不超过那么，所有“好数”之和为( n的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称 )n为“好数”由上表可知，1,9,11,13都是“好数”因05印5 2，当n 16时，在n 15的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶 数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数， 故一定有b n a n 2,故当n 16时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为 1 9 11 13 34，故选(B ).二、填空题(本题满分 28分，每小题7分)1.已知实数 x,y,z 满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z _________________ .【答案】 4【解析】由x y 4,得x 4 y ，代入z 1 xy 2y 9，得 z 12(4 y)y 2y 9 y 6y 92 2(y 3)0,故(y 3)20，又(y 3)20,故(y 3)20,故 y 3,z 1,x 1，于是 x 2y 3z 42•将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3(n 2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= _____ .【答案】8、 2【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为 6(n 2)个，任何面都不是红色的 小正方体的总数为(n 2)3个，依题意有6(n2)23.在 ABC 中， A 60o , C 75o , AB 10， D,E,F 分别在 AB, BC,CA 上，则DEF 的周长最小值为 _______ .【答案】5.6【解析】分别作点 E 关于AB, AC 的对称的P,Q . 则 DE PD,EF FQ .连接 AE, AP, AQ, DP,FQ,PQ , 则 PAQ 120°,且 AP AE AQ ,从而 APQ 30°， AH AB sinB 10 sin 45° 5、、2，于是 DEF 的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ 、、3AP 、3AE 3AH 5、6(n 2)3，解得 n 8( n 2舍去).APcos30°， PQ-3AP ，过点A 作AH BC 于点H ,则当且仅当点 E 与点H 重合，且P,D,F,Q 四点共线时取得等号，即DEF 的周长1 min5 6・2 2 2 ,__,4•若实数 x, y,z 满足 x y z xy yz zx 8，用 A 表示 x y,y z,z x 的最大值，贝U A 的最大值为 ______ .4苗【答案】——3【解析】由已知，得(x y)2 (y z)2 (z x)2 16 ,不妨设A |x y ，贝UA 2 x y 2 (y x)2 (y z) (z x) 22 (y z)2 (z x)2 2 16 (x y)22(16 A 2)解得A 还.当且仅当x y也，y z z x时取等号.333故A 的最大值力.3第二试(A )、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2求a 2 b 2 c 2 d 2的值.又因为6.即 a 2 b 2 c 2 d 2由①,②可得mnmn a 2 b 2b 2c 2ac 2bd ad 2bc故 mn ad2bcac bd 0(1)2a 2 2b 2 3c 23d 2(2) ab a由（1）得一令—2a 2 3c 2 2b 23d 26(3)d cd(ad bc)2 6(4)注：符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，应满足2ad bc 6,解：设m a 2 b 2, n2 2c d ，贝U 2m 3n(2a 22 23c ) (2 b3d 2)12.因 2m 3n 22m 23n 24mn 24mn ,即12224mn ，故 mn因为OA OC ,所以 OCA OAC ,因为 COB所以 2 POB 2 OAC ,所以 POB OAC ,所以 OP // AC连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故 ACB OBP 90°_22解：因为t 是一元二次方程X x 1 0的一个根，显然t 是无理数，且t a dt,b Ct ,代入（2）得t .6于是 a —d,b 2 討a 于d ,bC ，代入（3）或（4）,得 c 2 d 22 , 故符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，如 a 1,c 迈,d3 又如a f,b T ,c 1,d 1也是一组，当然还有很多组二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B,C 9PB作圆O 的切线，交于点 P ，连接AC ，若OP 9AC ，求—— 的值.2 AC解：连接OC ，因为PC,PB 为圆O 的切线，所以 POC POB二就是3 组.OCA OAC ,又 POBOAC ，所以 BAC s POB ，所以AC OBAB OP9又OP AC , AB 2r ,OB r （ r 为圆O 的半径），代入，得OP23r, AC在Rt POB 中，由勾股定理，得PB 、.OP 2 OB 22為,所以空碧3门.AC 2r3、（本题满分25分）已知t 是一兀二次方程x 2 X 10的一个根，若正整数a,b, m使得等式 at m bt m31m 成立，求ab 的值.1 t .由 at m bt m31m ，得 abt 2m a b t2 2m 31m0，将 t1 t 代入，得ab 1 t ma b t m 31m 0，即 卩 ma b因为a,b,m 是正整数，t 是无理数，所以m a bab 0a b 31 mab m 2于是可得31m m 231m 0ab因此a, b 是关于x 的一元二次方程 x 2m 31 x 31m m ab tab m 31m 0.20的两个正整数根，该方程第二试（B）立，求ab的值.解：因为t 、 2 1，所以t2 3 2.2.由at m bt m 17m，得abt2m a b t m217m 20 ,将t 3 2 2代入，得ab 3 2.2m a b ,2 1 m217m 0 ,整理得m a b 2ab 2 3ab m a b m217m 0a 于是可得ab b 2 17 m17m m2因为a,b,m是正整数，.2是无理数, 所以m(a3abb)m(a2abb)m217m 0因此a,b是关于x的一元二次方程x22(m 17)x 17m m20的两个正整数根,该方程的判别式24 m 17 4 17m4 17 m 17 2m 0.又因为a, b,m是正整数，所以a b 2 17 又因为判别式是一个完全平方数，验证可知,17m 0,从而可得0 m -2m 8符合要求.只有把m 8代入，得ab 17m m272.二、（本题满分25分）在ABC的外心和内心，且满足（1）OI // BC;ABC 中,AB ACAB2OIAC，,求证:0、I分别是(2) S AOC S AOB2S AOI证明：（1）过点O作OM BC于M ，过点I作IN的判别式 2 2m 31 4 31m m 31 m 31 5m 0.又因为a,b是正整数，所以a b31 m 0，从而可得又因为判别式是一个完全平方数, 验证可知，只有m c 310 m -5 6符合要求.把m 6代入，得ab31m m2150.、（本题满分20分）已知t ,2 1，若正整数a,b,m，使at m bt m 17m 成则OM //IN,设BC a,AC b, AB c,由0、I分别是ABC的外心和内心，得1 1 1 CM -a,CN -（a b c ），所以 MN CM CN - （c b ） 01 ,又MN 恰好是两条平行线 0M ,IN 之间的垂线段，所以01也是两条平行线 OM ,IN 之间的 垂线段，所以01 // MN ，所以01 // BC . 半径），则 S A0C SAOB S AOI S COI S AIC 2S A0I S BOI S COI S AIC S AIB 2S AOI 2S A0I r OI +(b c) 2S AOI r ^(c 22 （2）由（1 ）知0MNI 是矩形，连接BI ,CI ，设0M b 2 2 三、（本题满分25分）若正数a,b,c 满足 一- S AIB S A OI S BOI 1 OI r 1 OI r 1 AC r 1 -AB r 2 2 22 b) 1 (b c) 2S AOI -2 2 2 2 . 2 22 .2 2 2 a c a b a b c3 2ca 2ab 3 IN r （即为 ABC 的内切圆 的值.求代数式 b 2 c 2a 2 c 2 a 2b 2 a 2 2bc 2cab 2c 22ab解：由于a,b,c 具有轮换对称性，不妨设0 a b c.(1) b ，则c 0, c bb 2c 2 2bc 2bc 1,$2ca c a $ b 22ca1,2 . 2 2 a b c 2ab b $ c 2 这与已知条件矛盾 (2)若 c b c 2 2bc 2 2b c 2ab.2 2故3-2bc2ab1,故b 2c 22bcc 2 a 2 b 2 2caa 2b 2c 2 2ab3,b,0从而，得2bc 1,02a 2cab 2 b 2 2ca1,b $c 2 2ab1,02 2 2a b c 2ab2ab1,2 2c a 2cab 222 . 2 2a b c2ab这与已知条件矛盾.综合（1）（ 2）可知，一定有cab..2 2 2.2 2 2 于是可得bc ab —(a b) abc2b(a b)2 2 2 2 2 2 同理可得E —a ―L 1, ―b —L 2ca 12ab,2 2 2 2 2,2 2,2 2.,b c a cababc*故1.2bc2ca2ab2b 2 2b 2 ab i, 2ab。
2013年全国初中数学竞赛预赛试题答案及详解
6 74 51 2 3第2题图1. 解：因为a 、b都是有理数，且(1))0a a b ++=，所以10a +=,且0a b +=，得1,1a b =-=，所以1ab =-．故选A.2. 解：若将图中标有1的面去掉，则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B ．3. 解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAE=111222DAC ACB β∠=∠=，∴①正确；（2）∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴AD AOCB CO=，∴②正确； （3）∠AEB =∠DAE +∠ADB =∠DAE +∠CBD =1()2αβ+，∴③正确；（4）∵∠BAC =180()αβ︒-+，只有当AB ∥DC 时，∠ACD =180()αβ︒-+才能成立．∴④不正确. 综上，应选B.4. 解：由图象可知当12y y >时，3<x ， 当01>y 时，1>x ，所以当012>>y y 时，13x <<. 故应选C ．5. 解：如右图，解：由33ax a x +>+，得(1)(3)0a x -+>，由不等式的解集为3x <-，知30x +<，所以10a -<，得1a <．故应选B ．6. 解：从点A 出发，每次向上或向右走一步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如： 到达点P 、Q 的最短路径条数分别为2和3. 以此类推， 到达点B 的最短路径条数为35条. 选D.7. 解：原式1 8. 解：由图象可知1k 为负数，2k 、3k 为正数，不妨取x =1，代入解析式，显然点2(1,)A k 在点3(1,)B k 的正下方，所以320k k >>，又1k 为负数，所以123k k k >>．9. 解：摸出的2个球都是黑球的概率是2116515⨯=，所以摸出的球颜色一样的概率是113155⨯=.10. 解：在Rt △ADC 中，∠A =30°，得AC DC 21=，同理BC EC 21=,所以4212121==+=+AB BC AC EC DC ( cm)．11. 解：由题意得2272m m m +=-+，解得120,8m m ==，当10m =时，原方程无实数根，当28m =时，原方程有两个不相等的实数根，所以4==. 12解：令1111456670a +++⋅⋅⋅+=，则原式=1671a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭13a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭113671a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭×a =211132013671a a a +++2113671a a a ---=12013.13.【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y 人，6人、5人、4人一列分别可以整排a 、b 、c 列，则62524y a b c =-=+=．（a 、b 、c 是正整数）∴ 6252,624.a b a c-=+⎧⎨-=⎩①②································································4分由②，得 62312(1).422a a a a c --+-=== 因为c 为正整数，可令12,a m -= 所以21,a m =+（m 是正整数） ③ 将③代入①，得6(21)25 2.m b +-=+ ∴ 122102(1).55m m m b +++==··································································7分 因为b 为正整数，可令15,m n += 所以51,m n =-（n 是正整数） ④ 将④代入③，得 2(51)110 1.a n n =-+=- ················································ 11分∴ 626(101)260y a n n =-=--=- （n 是正整数）. 当n =1时，y 有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. ···········14分 14.【答案】（1）∵ E 、B 、C 、H 、F 在同 一圆上，且∠EBC =90°，∴ ∠EHC =90°，∠EFC =90°． ·································································2分又 ∠FBC =∠HBC =45°，∴ CF = CH ． ···················································4分 ∵ ∠HBF +∠HCF =180°，∴∠HCF =90°． ·········································6分 ∴ 四边形EFCH 是正方形． ···································································8分 （2）∵ ∠GHB +∠GCB =180°，图③E∴ ∠GHB =90°，由（1）知∠CHE =90°， ∴ ∠CHG +∠CHB =∠EHB+∠CHB ． ∴ ∠CHG =∠EHB ．∴ CG =BE =x ， ∴DG =1DC CG x -=-． ·········································12分∴ △CGH 中，CG 边上是高为11(1).22DG x =-∴ 211111(1).224216y x x x ⎛⎫=⋅-=--+ ⎪⎝⎭ ·················································15分当x =12时，y 有最大值116． ··································································16分 15.【答案】（1）当∠ACB 为直角时，△ABC 为直角三角形，b =0，AD=AC=BD =a ． ································································································2分（2）当∠ACB 为锐角时，如图③，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．则△CEF 和△ADE 都是等腰直角三角形.设AD DE x ==，CF EF m==. 则AE=. ∴AF m =-. ···4分 ∵ ∠F AC +∠CAD =45°，∠DAB +∠CAD =45°， ∴ ∠F AC =∠DAB .又 ∵∠AFC =∠ADB =90°，∴△F AC ∽△DAB . ……………………6分∴.FA FC DA DB =即.m mx a-=解得m =∴2axCE x a===+.·····························8分 ∵CE CD DE AD +==, ∴2axb x x a+=+. ·····································10分 整理得 2()0x a b x ab -+-=.解得1x=2x =（舍去）. ····················································································································12分（3）当∠ACB 为钝角时，如图④，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．与（1）中的求法类似，可设AD DE x ==，CF EF m==，则A F =-.同（1）中的理由，得△F AC ∽△DAB ，2axCE x a=+.∵AD DE CE CD ==-, ∴2axx b x a =-+. ··········································16分 整理，得 2()0x a b x a b --+=，解得2a b x -±=…17分综上，AD 的长为a 或2a b ++或2a b -或． ···················································································18分。
2013年全国初中数学竞赛试题(附详细答案)
2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++．2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
关于公布2013年全国初中数学竞赛福建赛区获奖名单的通知
简泽宇
南靖实验中学
柯香玲
林沂菲
秀屿区实验中学
陈建华
林钧涛
泉州实验中学
陈大兵
陈博文
泉州实验中学
陈灿良
邹泽斌
华安一中
邹志忠
阮悦颖
建阳二中
蒋剑虹
林方宇
南平三中
陈家旺
张俊凯
龙岩雁石中学
黄益华
江荣鑫
永定二中
江嫦英
罗文腾
明溪一中
林碧镗
陈璘
明溪一中
杨发宁
陈杰旻
福州一中
林晓
二等奖（66名）
姓名
学校
指导教师
林成
李子谦
三等奖（127名）
姓名
学校
指导教师
杨晓芸
泉州惠南中学
张雪娥
黄霄凡
泉州惠南中学
张雪娥
黄诗晗
永春华侨中学
曾进丁
黄钰鸿
仙游私立一中
薛庆健
罗东阳
漳州立人学校
涂开能
卓嵘霖
晋江二中
缪妹玉
林勋杰
南靖实验中学
柯香玲
赖丽超
南靖实验中学
柯香玲
李鸿城
安溪慈山学校
陈扬福
林歆玥
泉州实验中学
杨伟纯
余佳怡
仙游金石中学
谢元贵
林挺
福鼎金桥中学
赖百奇
陈宇凡
晋江季延初级中学
黄晓英
卓立典
福州三牧中学
郭培标
陈智昊
泉州实验中学
王联福
陈林川
泉州实验中学
吕海斌
姚翼帆
仙游金石中学
谢元贵
程昱景
泉州现代中学
邱杰芬
2013年全国初中数学竞赛试题
C（第2题图）2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A ．41B ．31C ．21D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D . 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则yx的值等于（ ）A ．95 B ．59C ．52011-D ．2011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B . 7 C ．8 D ．95．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数22(2a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种（1） （2）（第5题图）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做）如图A中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ． 8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 m ．12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ． （1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？(第11题图)ABCD（第8题图A ）GFECBA（第8题图B ）D（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31？若存在，求出点T15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.2013年九年级试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1—6 C D B A D C 二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：516；B ：12； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12. )1,21(-)1,21(--. 三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0.即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得c b a ==.14. 解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分） ··· ………………………………3分（2）∵S △OMP =12×OM ×23t ， （备用图）(第14题图)。
2013年全国初中数学联赛四川赛区决赛
对称点 为 Ｆ ， Ｂ Ｆ Ｃ：
９ ０ 。 ． 求 Ａ Ｂ 的值
．
Ｄ
Ｃ
为Ｐ 、 Ｐ ２ 两点的直角距离 ， 记作 ｄ （ Ｐ 。 ， Ｐ ） ． 若Ｐ ０ （ 。 ， ） 是一定点 ， ｑ （ ｘ ， Ｙ ） 是直线 Ｙ＝ ＋ ｂ 上的动点 ， 称ｄ （ ｅ ｏ ， Ｑ ） 的最小值为点 Ｐ ０
ｎ的最小值
（ Ａ ） ３ （ Ｂ ） ÷ （ Ｃ ） ４ （ Ｄ ） ÷
２ ０ １ ３年第 ｌ １ 期
、
参 考 答 案
二 、 １ ． ２ ．
由题设 知 ｌ＜ ＜ ５
．
故整数 ＝ ２ ． ，
—
—
、
１． Ｄ．
由 条 件 知Ｐ （ １ ， ３ ） ３ ＝ 睾 ＝ ３ ．
则 ＝ 一
（ Ａ）一 ３ （ Ｂ ）一ｌ （ Ｃ ） ｌ （ ０ ） ３ ２ ． 方 程 一 ２ ０ １ ２Ｉ ｘ Ｉ ＋ ２ ０ １ ３＝ ０的所 有
２ ． 在等边 △ Ａ Ｂ Ｃ中 ， 已知 Ｄ、 Ｅ分别 是 边 Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ上 的点 ， 且 满足 Ａ Ｄ＝Ｃ Ｅ， Ｂ Ｅ与 Ｃ Ｄ 交 于点 则 Ｂ Ｆ Ｃ＝ 一 ３ ． 设实 数 ｘ ， ｙ 、 ｚ 满 足
＋ ＋ｚ 一 ｘ ｙ —ｙ ｚ一 ＝２ ７ ．
实数解 的和 为 （
（ Ａ ）一 ２ ０ １ ２
） ．
（ Ｂ ） ０
（ Ｃ ） ２ ０ １ ２ （ ０） ２ ０ １ ３ ３ ． 已知 正 方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的边 长 为 ｌ ， Ｅ、 Ｆ
则Ｉ ｙ — Ｉ 的最大值为一
Ｓ＝ １ ２＋ ２ ３＋ … ＋ ｌ ５ １ ．
分 别 为边 Ｂ Ｃ、 Ｃ Ｄ上的点， 且满足 Ｂ Ｅ＝Ｃ Ｆ ．
2013初中数学联赛获奖名单
2013年全国初中数学联赛北京赛区获奖名单一等奖（60名）姓名性别学校姓名性别学校李昀之男三帆中学赵文川男清华附中黄巍男北师大实验中学王宪盟男人大附中张梓航男北师大实验中学李靖阳男北京一零一中王雪莹女人大附中王与常男北京四中朱怡洁女北师大实验中学陈柯辛女北师大实验中学方景和女人大附中分校彭宇辰男北师大实验中学张家华男北京四中郭江濛女北京四中刘丹妮女北师大实验中学代家麟男北京四中段祺灏男人大附中胡丁丁男北师大实验中学黄京磊男北师大实验中学贾纪元男人大附中李岚晴女北师大实验中学孙景波男人大附中崔婧宜女北师大实验中学阙子烝男北京四中崔旭萌女人大附中曾翔钰男北京五中分校宁小芾女北京四中于雨辰女人大附中卢丹葳女北师大实验中学黄鹤扬男北师大实验中学钟岩青男人大附中赵浩宇男清华附中蒋易悰男北京四中包雨轩男人大附中徐中恕男北师大实验中学潘洪涛男北京一零一中周展平男人大附中夏晨曦男三帆中学赵宇瑄女北师大实验中学刘杨洁女北师大实验中学杨靖云男人大附中卢江天男人大附中易泽吉男北京四中那天行男北师大实验中学周天宇男北师大实验中学季北辰男人大附中舒惠泽男北师大实验中学王昊然男北师大实验中学彭彬男人大附中武建宇男北师大实验中学赵嘉熹男人大附中刘静远男北师大实验中学冯韫禛男人大附中王竞先男人大附中李书恒男北京一零一中付裕超男人大附中刘旻轩男北京四中蒋笑寒女人大附中谭嘉斌男北师大实验中学赵婧瑶女北师大实验中学姓名性别学校姓名性别学校王子杰男北师大实验中学林一衡男人大附中韩天翼男北师大实验中学王天洋男人大附中何章恺男三帆中学李屹康男人大附中王启涵男人大附中王嘉文男人大附中徐呈寅男人大附中冯曦林男北京八中邱厚德男人大附中孙殿咏男北京四中关艾女北京八中郑博晨男北京五中分校郭健庭男北京八中王昊男北师大实验中学文天琪女北京一零一中席翔男清华附中贾屿男北师大实验中学吴浛男清华附中程名锐男北师大实验中学章钊男人大附中徐浩天男北师大实验中学张峰玮男人大附中刘佳熙男北师大实验中学张璟华女人大附中王子涵男北京五中分校蒋励男人大附中张潞璐女人大附中余江晖男北京五中分校贺文迪男人大附中刘睿男北师大实验中学张远宁男人大附中吉哲男北师大实验中学张子禾男人大附中王若凡男北师大实验中学贾旺东男北京四中湛东辰男清华附中陈肇盟男北京一零一中王璐女人大附中王羽超男北师大实验中学王世因女北京五中分校王啸辰男清华附中陈忱女北师大实验中学贾泽宇男人大附中杨韫加男北师大实验中学程佳文男人大附中马逸婷女景山学校田佳懿女北京二中郜沁馨女三帆中学丁如仪女人大附中高昊阳男北达资源中学陈子威男人大附中王弋尘男北大附中王寅飞男三帆中学王嘉曦男北京十二中鲁子初男十一学校陈心怡女北京四中李冬煜男北大附中许鹤凡男北京四中马英浩男北京二中分校牛家赫女人大附中李瀚祎男北京四中陈淼男人大附中金泽宇女北师大实验中学王维曦男北师大实验中学顾子毅男清华附中邱言哲男人大附中黄宇昊男人大附中彭俊尧男人大附中陈炤桦男人大附中崔曼修男三帆中学姓名性别学校姓名性别学校王永骜男北京二中李维瑄女北师大实验中学魏雪晴女北京四中毕成男人大附中杨承霖男北师大实验中学严子昂男人大附中孙雨然女北师大实验中学张嘉宸男十一学校王润昕女人大附中张瑞轩男清华附中马思浩男北京八中王垂宇男北京二中崔若鹏男清华附中邓祺男北京四中周子褀男人大附中刘启航男北京五中分校刘嘉程男人大附中彭正阳男北京一零一中裴元男人大附中郝睿男北京一零一中宋东泽男人大附中朱敏佳女北京一零一中苏涵女北大附中张庭轩男北师大实验中学李桐男北京一零一中何青岩男北师大实验中学王烜男景山学校董舰桥男景山学校汪泓毅男人大附中曹旻男景山学校熊朝晖男人大附中谢易男清华附中汪子骐女人大附中李子俊男清华附中宫雨祺男人大附中王天冶男人大附中邢洺赫男三帆中学周英博男人大附中陆凝男十一学校王阳昇男三帆中学王序欣男北大附中肖子豪男十一学校王睿煊女北京一零一中王星瀚男北师大实验中学黄清扬女北师大实验中学冯济尘男北师大实验中学冯致铭男清华附中李冠达男清华附中齐典男人大附中汪一帆男人大附中彭蕴豪男人大附中张云柯男人大附中孟庆霖男北京一零一中马子麒女人大附中孙司宇男北师大实验中学李耀实男人大附中谭智泉男北师大实验中学薛竟一男十一学校崔浚鸥男北师大实验中学王德宸男北京二中杨育璋男北师大实验中学刘恺闻男北师大实验中学王小涵女北京八中于世兴男清华附中杜嘉涵男北京五中分校耿琮凯男人大附中阎涵女北师大实验中学何舒扬男人大附中。
2013年全国初中数学联赛北京赛区获奖名单及各学校情况统计表
学校
四中 实验 三帆 八中 景山 人大附 十一
2 14 2 2 3 21 4
0
清华附 北大附 101 五中分 二中 合计
7 2 6 2 3 68
2013 年全国初中数学联赛北京赛区获奖名单
三等奖（68 名）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 姓 名 王永骜 魏雪晴 杨承霖 孙雨然 王润昕 马思浩 崔若鹏 周子褀 刘嘉程 裴 元 宋东泽 苏 涵 李 桐 王 烜 汪泓毅 熊朝晖 汪子骐 宫雨祺 邢洺赫 陆 凝 王序欣 王睿煊 黄清扬 冯致铭 齐 典 彭蕴豪 孟庆霖 孙司宇 谭智泉 崔浚鸥 杨育璋 王小涵 杜嘉涵 阎 涵
学校
性别 男 女 男 女 女 男 男 男 男 男 男 女 男 男 男 男 女 男 男 男 男 女 女 男 男 男 男 男 男 男 男 女 男 女
获奖人数
学 校 北京二中 北京四中 北师大实验中学 北师大实验中学 人大附中 北京八中 清华附中 人大附中 人大附中 人大附中 人大附中 北大附中 北京一零一中 景山学校 人大附中 人大附中 人大附中 人大附中 三帆中学 十一学校 北大附中 北京一零一中 北师大实验中学 清华附中 人大附中 人大附中 北京一零一中 北师大实验中学 北师大实验中学 北师大实验中学 北师大实验中学 北京八中 北京五中分校 北师大实验中学
性别 女 男 男 男 男 男 男 男 男 男 女 男 男 男 女 男 男 男 男 男 男 男
获奖人数
学 校 北师大实验中学 人大附中 人大附中 十一学校 清华附中 北京二中 北京四中 北京五中分校 北京一零一中 北京一零一中 北京一零一中 北师大实验中学 北师大实验中学 景山学校 景山学校 清华附中 清华附中 人大附中 人大附中 三帆中学 十一学校 北师大实验中学 北师大实验中学 清华附中 人大附中 人大附中 人大附中 人大附中 十一学校 北京二中 北师大实验中学 清华附中 人大附中 人大附中
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2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
1
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222
ab bc ca
a b c ++++的值为（ ）． （A ）12- （B ）0 （C ）1
2
（D ）1
2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，
2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--=
（D ）2222(2)0c x b ac x a ---=
3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．
（A ）OD （B ）OE （C ）DE
（D ）AC
4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．
（A ）3 （B ）4 （C ）6
（D ）8
5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：
()()
322333
3345
1160
x y x y xy x y x y +++*=
+++-，
且()x y z x y z **=**，则2013201232**** 的值为（ ）．
（A ）
607
967
（B ）1821
967
（C ）
5463
967
（D ）
16389
967
二、填空题
6
．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．
（第3题）
（第4题）
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 2
7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3
，
4，5，则四边形AEFD 的面积是
．
8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，
则abc 的最大值为 ．
9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根
为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，
a b c d 为 ．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．
三、解答题
11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴
交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线1
13
y x =-+与y 轴交于点D ．
求∠DBC -∠CBE ．
12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，
，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．
13
．
设
a ，
b ，
c 是素数，记
x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,
2z y ==时，
a ，
b ，
c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．
（第7题）
（第11题）。