第一章-集合与函数概念教案典型例题

集合与函数概念

知识点1：集合的含义

1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

典例分析

…

题型1：判断是否形成集合

例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；

（3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解；

（5）某校2011级新生；（6）血压很高的人；

（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点

…

能组成集合的是___________________。

例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。

①身材高大的人②所有的一元二次方程

③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体

⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体

⑦所有的小正数⑧所有的数学难题

:

知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系

1》集合的元素特征：

①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

，

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}

2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集

①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N *

或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ；

^

典例分析

题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a

,

a

2

, -

5

a

5

为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。

例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c

c

b b a a y ++=

所有的值构成的集合中元素分别为______________。

#

例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a

b

a }，也可表示为{0,,2

b a a +}，则=+20142013b a _________。

例4：集合{2,1,12

--x x }中的x 不能取得值有_______个。

例5：由4,2,2

a a

-组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）

A 、1

B 、-2

C 、6

D 、2

￥

例6：以实数a ２

，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 .

题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“

?”符号填空：

（1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4；

（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

…

例2：给出下面四个关系:

3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( )

例3：下面有四个命题:

①若N a N a ∈?-则, ②若b a N b N a +∈∈则,,的最小值是2 ③集合N 中最小元素是1 ④ x x

442

=+的解集可表示为{2,2}

其中正确命题的是________________。

！

例4：给出下列关系：

（1）

R ∈2

1

（2;Q （3）3;N +-? （4）.Q 其中正确的个数为（

）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

题型3：根据元素互异性确定参数的值: 例1：已知A={ 33,)1(,222

+++-a a a a }，若1∈A ，则实数a 的值为_________.

例2：设集合A={3,2,322

-+a a

}，集合B={3,2+a }，已知B A ?∈5,5，则a 的值为__________。

—

例3：已知集合P 的元素为2

1,,3m m m --, 若2∈P 且-1?P ，求实数m 的值。

：

例4：若t

1t

1+-∈{t},求t 的值.

'

例5：已知集合M 是由0，23,2

+-m m m 三个元素组成的集合，且M ∈2，试求实数m 的值。

`

例6：已知集合A ＝｛b a b a 2,12,+-｝，B=｛0301123

=+-x x x x ｝

，若A=B ，求b a ,的值。

·

知识点3：集合的表示方法

①列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“

{}”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x 2

，

3x+2，5y 3

-x ，x 2

+y 2

}，…；

^(*￣(oo)￣)^ 注：（1）书写时，元素与元素之间用逗号分开；

（2）集合中的元素可以为数，点，代数式等； （3）列举法可表示有限集，也可以表示无限集。

#

②描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：

{}()x A p x ∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2

+1}，{x|直角三角形}，…； ^(*￣(oo)￣)^注：描述法表示集合应注意集合的代表元素，

点集与数集的区别：如点集：{(x,y)|y= x 2

+3x+2} 数集: {y|y= x 2

+3x+2}

③自然语言表示法：例：{不是直角三角形的三角形}

：

题型1：选择合适的方法表示集合 例1：用列举法表示下列集合： （1）小于5的正奇数组成的集合；

（2）能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

！

（3）从51到100的所有整数的集合； （4）小于10的所有自然数组成的集合； （5）方程2

x

x =的所有实数根组成的集合；

（6）1到20以内的所有质数组成的集合。

例2：用描述法表示下列集合：

[

（1）由适合022

>--x x 的所有解组成的集合;

（2）到定点距离等于定长的点的集合; （3）方程2

20x -=的所有实数根组成的集合

】

例3：试选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程2

90x

-=的所有实数根组成的集合；

（2）由小于8的所有素数组成的集合； （3）一次函数

3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；

（4）不等式453x -<的解集．

、

题型2：根据要求求集合中的元素 6

（2）已知集合C=｛Z y ∈x

y +=

16

，x ∈N ｝，则集合C=____________________。

例2：已知集合A ＝{

Z

x x x ∈<<-,33}，B ＝{

A x x y y x ∈+=,1),(2}，则集合

B 用列举法表示为

______________________________________。

、

例3：方程的解集为

{}

2

2320,x R x

x ∈--=用列举法表示为__________________。

例4：用列举法表示不等式组()27211,32

5312

x x x x x -?

+->-???-?-≤-??的整数解集合为_____________________。

当堂测试

1、方程组 0

2

22=-=+

y x y x 的解用列举法表示为_____________________。

2、"

3、

集合A=

}{Z x x x y y ∈≤-=,2,12

，用列举法表示为______________。

4、集合B=}{0122

=+-x x

x ，用列举法表示为______________。

5、集合C=

{}Z x x x

y y x ∈≤-=,2,1),(2

，用列举法表示为_______________。

6、集合A ＝{x|4

3

x -∈Z ，x ∈N}，则它的元素是 。

知识点4：子集概念以及集合间的基本关系

1》子集概念：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，称集合A 是集合B 的子集。 （

记作：()A B B A ?

?或 读作：A 包含于B ，或B 包含A

当集合A 不包含于集合B 时，记作A ?B(或B ?A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：

{

2》集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若

A B B A ??且，则A B =。

∈∈表示：A B ?

3》真子集定义：若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A

B （或B

A ） 读作：A 真包含于

B （或B 真包含A ）

^(*￣(oo)￣)^注意： [

（1）空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：φ

（2）几个重要的结论：

①空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ?A 。

②空集是任何非空集合的真子集； ③任何一个集合是它本身的子集； ④对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。

典例分析

：

题型1：根据子集定义确定两个集合之间的关系 例1：判断下列集合之间的关系

(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; (5) A={x|(x-1)2

=0}_____B={y|y 2

-3y+2=0}; (6) A={1,3}______B={x|x 2

-3x+2=0}; (7) A={-1,1}______B={x|x 2-1=0};

（8）A={x|x 是两条边相等的三角形}_____B={x|x 是等腰三角形}。

\

例2：判断下列集合的关系.判断下列两个集合之间的关系 （1）A=

}{3,2,1，B=}{数的约是12x x ； （2）A={}0,1，B=}{N y y x x ∈=+,122；

（3）A=}{21<<-x x ，B=}{22<<-x x ； （4）A=}{0),(y x y x

￥

例3：用适当的符号填空：

（2）2_________N ； {2}________N ；

φ A;

（3）已知集合A ＝{x|x 2

－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则

A B ； A C ； {2} C ； 2 C

；

例4：已知集合M=}???∈+

=Z m m x x ,61，N=}???∈-=Z n n x x ,312，P=}?

??

∈+=Z p p x x ,612，确定试M,N,P 之间的关系。

题型2：根据集合间的关系求参数的值

；

例1：设集合A=｛2，8，a ｝，B=｛2,a 2

-3a+4｝且B A ，求a 的值。

例2：已知A={01)1(=+-x m x }，B={0322

=--x x x }，如果A ?B ，求m 的值。

%

例3：设集合A=

}{R x x x

x ∈=+,042

，B=}{

R x a x a x x ∈=-+++,01)1(222，若,A B ?求实数a 的值。

)

$

例4：已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ?，求实数m 的取值范围。

!

—

例5：已知集合}5|{<<=x a x A

，x x B |{=≥}2，且满足B A ?，求实数a 的取值范围。

—

例6：已知集合A=}{21<

例7：已知集合A={52≤≤

-x x }，B={121-≤≤+m x m x }，

（1）若B ?A ，求实数m 的取值范围。 （2）"

（3）

当x R ∈,没有元素x 使x ,A ∈与B x ∈，同时成立，求实数m 的取值范围。

（

知识点5：集合中子集个数

1》若集合A 中有n 个元素，那么集合A 的子集个数为n

2 **集合A 的非空子集个数为n

2-1；

集合A 的真子集个数为n

2-1； 集合A 的非空真子集的个数为n

2-2；

2》若集合A={m a a a a ,......,,321}?B ?},.......,,,{321n a a a a ，且m

/

典例分析： 题型1：求子集个数

例1：集合A 中元素个数为6个，则集合A 的非空真子集个数为__________。 例2：已知{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；若B M A ??，则集合M 的个数为____________________。

例3：满足{0,1,2}

A ?{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数为___________。

、

例4：已知集合A=

}{R a a x ax

x ∈=++,022

，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值为____________。

例5：设集合A=}{6,5,4,3,2,1，B=}{8,7,6,5,4，若,A S ?且,B S ?则满足条件的S 的个数为_________。

知识点6：集合的基本运算

1》并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，即A 与B 的所有部分，

记作A ∪B ， 读作：A 并B 即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。 {

Venn 图表示：

2B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集， 记作：A ∩B 读作：A 交B 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}

Venn 图表示： :

常见的五种交集的情况：

A B A(B) A

B

B

A )

题型1：求并集和交集

例1：求并集

①A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;

②设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ;

）

③A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。

例2：求交集

①A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;

②A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。

例3：（1）设A={x|-1

#

（2）设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A ∩B 。

例4：已知集合A ＝｛y|y=x 2

-2x-3,x ∈R ｝,B=｛y|y=-x 2

+2x+13,x ∈R ｝求A ∩B 、A ∪B

（

例5：已知{}{}

2

246,,218,A y y x

x y N B y y x x y N A

B ==-+∈==--+∈,求．

!

题型2：并集、交集的应用（一） 例1：若集合A=

}{x ,3,1，B=}{2,1x ，}{x B A ,3,1= ，则满足条件实数x 有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

{

例2：设集合A ＝

}{5,3,1+a ,B={}1

2,2,1222

-+++a a a a

a ，当A ∩B={2，3}时，

（1）求a 的值 （2）求A ∪B

…

例3：{}{}

{}2

20,20,1,.A x x

px q B x x px q A

B A

B =

++==--==-且求

例4：已知集合{}{}{}

2

22430,10,10,A x x

x B x x ax a C x x mx =

-+==-+-==-+=

,,,A

B A A

C C a m ==且求的值或取值范围．

/

例5：集合A={x|x 2+px-2=0}，B={x|x 2-x+q=0}，若A B={-2，0，1}，求p 、q ；

》

例6：已知X={x|x 2+px+q=0，p 2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且,X A X B X φ?=?=，试

求p 、q ；

例7：已知A={2，3，a 2+4a+2}，B={0，7，a 2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B

^

5

(13){|42}{|13}{|0}

2______________,_____________;

A x x

B x x

C x x x A B C A B C =-≤≤=-≤≤=≤≥==集合，，或那么

{

1

(12){|}{|}______22

n m A n Z B m Z A B +=∈=∈=集合，，则

题型3：并集和交集的应用（二） 例1：设{}{}1,,A x x B x x a =>=>?且A B,则a 的取值范围为___________________．

例2：已知集合A ＝｛x|-1≤x ≤2｝,B=｛x|2a ＜x ＜a+3｝,且满足A ∩B ＝φ，则实数a 的取值范围是 。

例3：设集合S=}{32>-x x ，T=}{8+<

例4：已知集合A=}{52≤≤-x x ，集合B=}{121-≤≤+m x m x ，且A B A = ，试求实数m 的取值范围。

*

知识点7：集合的基本运算（二）

1》全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 [

2》补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集

合A 相对于全集U 的补集, 记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即{},U C A x x U x A =

∈?且

Venn 图表示：

中的补集）

典例分析 [

题型1：根据全集和补集定义求【题型1】求补集 例1：设全集{}{}{},1233456U

x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，，

求U C A ，U C B ．

$

例2：设全集{}{}{}4,23,33U

x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，

求：（1）U C A 和B C U

（2）)(B A C U 和)(B A C U

（3）)()(B C A C U U 和)()(B C A C U U

。

（结论：()()(),()

()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?）

例3：设全集U ＝｛x|-1≤x ≤3｝，A=｛x|-1＜x ＜3｝，B=｛x|x 2

-2x-3=0｝， 求U C A ，并且判断U C A 和集合B 的关系。

-

例4：已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求B=__________________。

例5：已知全集U=R,集合A={x|0

！

例6：已知全集为R ，集合P=｛x|x ＝a 2

+4a+1,a ∈R ｝,Q=｛y|y ＝-b 2

+2b+3,b ∈R ｝ 求P ∩Q 和P ∩R Q C 。

?

题型2：集合运算的应用

例1：若U={1，3，a 2

+2a+1}，A={1，3}，C U A={5}，则a= ；

,

例2：设全集U={2，3，m 2

+2m-3}，A={|m+1|，2}，C U A={5}，则m 的值为_________；

例3：已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x 2

-5x+m=0，x ∈U}，求C U A 、m ；

@

例4：设全集U 为R ，若{}

{}

22120,50A x x px B x x x q =++==-+=，若{}{}()2,()4U U C A B A C B ?=?=，

求A B ?。

：

知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念

设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域

|

②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.

2》区间和无穷大

①设a 、b 是两个实数，且a

③{x|a ≤x

④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则

{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.

]

3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.

典例分析

题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ）

: A 、x y x f 21)(=

→ B 、x y x f 31

)(=→ C 、

x y x f 32

)(=→ D 、x y x f =→)(

例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：

①

}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；

③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方；

）

是函数的是_________________。

例3：下列式子中不能表示函数)(x f y =的是（ ）

A 、12+=y x

B 、122+=x y

C 、62=-y x

D 、y x =

/

题型2：区间的表示

例1：用区间表示下列集合 （1）

}{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤x x x 且=_____________。 （4）}{3-≤x x =______________。

题型3：求函数的定义域和值域 ；

例1：求函数的定义域 （1）32+=x y ； （2）322+-=x x y . （3)1

21

y x =

+-

@

(4)2

1-=

x y (5)y =

(6)

0)1(3

1

4++++

+=x x x y

，

(7)

62

++-=x x y (8)1

232-+-=

x x x y

例2：求下列函数的定义域与值域： 类型1：初级函数 } （1）

)11(23≤≤-+=x x y ； （2）1)1(2+-=x y (3)2

2y x x =-++.

(4)~

(5)1

4

5-+=x x y （5）

3254x y x +=-

、

类型3：换元法 （6）32+-=x x y （7）1+-=x x y

<

（8）x x y 422+--= （9）2

6

2+-=

x x y

#

类型4：判别式法

（10）123422--+-=x x x x y （11）3

27

422

2++-+=x x x x y

|

题型4：求抽象函数的定义域和值域 例1：如果函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)21(x f -的定义域为_________________。

例2：若函数)12(-x f 的定义域为[-1,1]，则函数)(x f 的定义域为_________________。

@

例3：若函数)3(+x f 的定义域为[-4,5]，则函数)32(-x f 的定义域为______________。

例4：若函数)12(-x f 的定义域为(-1,5]，则函数)52(x f -的定义域为______________。

例5：设函数)(x f 的定义域为[0,1],求 （1）函数)(2x f 的定义域

（2）函数

)2(-x f 的定义域

…

例6：设函数)(x f 的值域为[-2,4)，求函数)3(+x f 的值域

*

题型5：判断是否为相同的函数

例1：下列各组函数是同一函数的是______________。 ①x x x g x x f 2)(2)(3-=-=与

②2)()(x x g x x f ==与

! ③001)()(x

x g x x f =

=与 ④

12)(12)(22--=--=t t x g x x x f 与

例2：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

A 、()

4

4

x y x y =

=与 B 、x

x y x y 2

3

3

=

=与

】

C 、2

1)(1)(x x g x x f ==

与 D 、

x x x g x x x f +=+?=2)(1)(与

例3：下列各组中的两个函数是否为同一函数，下列结论正确的是（ ）

（1）

5,3

)

5)(3(21-=+-+=

x y x x x y

（2）)1)(1(,1121-+=-?+=x x y x x y

（3）2

)(,)(x x g x x f ==

/ （4）33341)(,)(-?=-=x x x F x x x f

（5）

52)(,

)52()(2-=-=x x g x x f

A 、（1）（2）

B 、（2）（3）

C 、（4）

D 、（3）（5） ·

知识点9：函数的表示法

1》函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图像法 2》求函数解析式的方法：

①待定系数法 ②换元法 ③代入法 ④配凑法 ⑤方程组法

典例分析

题型1：待定系数法求函数解析式

例1：已知二次函数)(x g 满足5)1(,1)1(=-=g g ，图像过原点，求函数)(x g 的解析式

例2：已知二次函数)(x g ，其图像的顶点是（-1,2），且经过原点，求函数)(x g 的解析式

,

例3：已知二次函数)(x h 与x 轴的两个交点为（-2,0），（3,0），且3)0(-=h ，求)(x h 的解析式

,

( 例4：

)(x f 是一次函数，且满足172)1(3+=+x x f ，求)(x f 的表达式

{

例5：已知

)(x f 为一次函数，如果14)]([-=x x f f ，求)(x f 的解析式

~

例6：设二次函数

)(x f 满足)2()2(x f x f -=+，且)(x f =0的两实根平方和为10，图像过点（0,3），求)(x f 的解析式。

`

题型2：代入法求解析式 例1：已知34)(2+-=x x x f ，求)1(+x f

例2：已知1)(2-=x x f ，求)(2x x f +