江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
南通市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题含解析
南通市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知复数z 满足()113i z i -=+，则复数z 在复平面内对应的点为 ( ) A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()2,1D ．()1,2--2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 A ．232B ．252C ．472D ．4843．从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是( ) A ．435B ．635C ．1235D ．363434．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则1z -=A ．3BC ．D ．5．将两枚骰子各掷一次，设事件A ={两个点数都不相同}，B ={至少出现一个3点}，则(|)P B A =（ ） A ．13B ．518C ．1011D ．126．设函数()2,21,2x a x f x ax x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．[3,)+∞C ．()3,+∞D ．(0,3]7．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。
就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。
著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为n c ，每扇形{}n c 的半径设为{},n n a a 满足()*12121,1,,,3n n n a a a a a n N n --===+∈≥，若将{}n c 的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的对应正方形格子的面积之和为n S ，则下列结论错误的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．1221n n a a a a +++⋯+=- C ．()2134n n n n a c c a π+++-=⋅D ．1352121n n a a a a a -+++⋯+=-8．利用数学归纳法证明“1+a+a 2+…+a n+1=，（a ≠1，n N ）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ） A ．1B ．1+aC ．1+a+a 2D ．1+a+a 2+a 39．已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．的是（ ） A ． cos cos a b a b +>+ B ．cos cos a b b a ->- C ．sin sin a b a b ->-D ．sin sin a b b a ->-10．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．2511．函数()ln 2x xf x x-=的图象在点()1,2-处的切线方程为( ) A ．240x y --=B ．20x y +=C ．30x y --=D ．10x y ++=12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若 2E F =，1 A E m =， D Q n =， D P p =（,,m n p 大于零），则四面体PEFQ 的体积A ．与,,m n p 都有关B ．与m 有关，与,n p 无关C ．与p 有关，与,m n 无关D ．与π有关，与,m p 无关二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若函数()y f x =的反函数为1()f x -，且11()3x f x -+=，则(1)f 的值为________14．半径为R 的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为______ 15．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=,32=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N≤,则有以下两个恒等式成立：①m n mn n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.16．设函数()f x 的导数为()f x '，且()sin cos 2f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭' ． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x 天使用云闪付支付的人次为y ，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y ＝a •b x 拟合y 与x 的关系 （1）求y 关于x 的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次． 附：①参考数据表中v i ＝lgy i ，7117==∑i v lgy i②参考公式：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2）…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β1221==-=-∑∑ni i i n i i u v nuv u nu，αβ=-v u ．18．已知函数()2(0)f x a lnx ax a =+->. （1）求()f x 的最大值()a ϕ； （2）若()0f x ≤恒成立，求a 的值；（3）在（2）的条件下,设[]()()x f x ax g x x a+=-在(,)a +∞上的最小值为,m 求证：11()10f m -<<-.19．（6分）设函数2()2ln f x x x =-，2()2g x x x a =-+++.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 与()g x 在区间(1,3)内恰有两个交点，求实数a 的取值范围. 20．（6分）等差数列{}n a 的前n 项和为46,62,75n S S S =-=-，求数列{||}n a 前n 项和.21．（6分）设函数()212f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x R ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．22．（8分）设实部为正数的复数z ，满足1+3i ）z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (I)求复数z(II)若复数z + m 2(1 +i)-2i 十2m -5为纯虚数，求实数m 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】利用复数除法运算，化简z 为i a b +的形式，由此求得z 对应的点的坐标. 【详解】 依题意()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，对应的点为()1,2-，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题. 2．C 【解析】试题分析：3张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜色或者两种颜色，如果是三种颜色，取法数为，如果是两种颜色，取法数为，所以取法总数为，故选C ．考点：分类加法原理与分步乘法原理．【名师点晴】（1）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．（2）当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． 3．C 【解析】分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.详解：由题得恰好是2个白球1个红球的概率为2134371235C C C =. 故答案为:C.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数n ；②求出事件A 所包含的基本事件数m ；③代公式()P A =A mn=包含的基本事件数总的基本事件个数.4．B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -. 故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 5．A 【解析】分析：利用条件概率求(|)P B A .详解：由题得2265()30,()3010,n A A n AB A ===-=所以(|)P B A =()101.()303n AB n A ==故答案为：A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A = , (|)P B A =()()n AB n A .6．B 【解析】很明显0a >，且应满足当2x =时，类指数函数的函数值不大于一次函数的函数值，即2221a a +≤⨯+，解得：3a ≥，即实数a 的取值范围是[)3,+∞. 本题选择B 选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 7．D 【解析】 【分析】根据定义求数列和，利用12n n n a a a --=+化简求解，利用特殊值否定结论. 【详解】由题意得1n S +为以1+2n n a a +，为长和宽矩形的面积，即21111112=(+)n n n n n n n n n S a a a a a a a a +++++++==+⋅；()2221212121344((44))n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ππππ+++++++++⎛⎫-=-=+⋅-=⋅ ⎪⎝⎭； 又32435412121))(((())()n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++---⋯+=++++⋯+--+2221n n a a a ++=-=-，故,,A B C 正确；因为121a a ≠-，所以D 错误,选D. 【点睛】本题考查数列求和以及利用递推关系化简，考查综合分析求解能力，属较难题. 8．C 【解析】考点：数学归纳法．分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a 1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案． 解：用数学归纳法证明：“1+a+a 1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a 1． 故选C ． 9．A 【解析】 【分析】设()cos f x x x =-，证明()f x 单调递增，得到a b >，构造函数根据单调性到BCD 正确，取1a =，1b =-，则cos cos a b a b +>+不成立，A 错误，得到答案. 【详解】设()cos f x x x =-，则()'1sin 0f x x =+≥恒成立，故()f x 单调递增，cos cos a b a b ->-，即cos cos a a b b ->-，即()()f a f b >，a b >. 取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误；设()cos g x x x =+，则()'1sin 0g x x =-≥恒成立，()g x 单调递增， 故()()g a g b >，就cos cos a b b a ->-，B 正确；同理可得：CD 正确. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 10．A 【解析】 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.11．C 【解析】 f′(x)＝21lnxx-，则f′(1)＝1， 故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. 故选C 12．C 【解析】 【分析】连接1AD 、1A D 交于点O ，作1//PM AD ，证明1AD ⊥平面11A B CD ，可得出PM ⊥平面EFQ ，于此得出三棱锥P EFQ -的高为2PM p =，再由四边形11A B CD 为矩形知，点Q 到EF 的距离为1A D =EFQ ∆的面积为PEFQ 的体积的表达式，于此可得出结论． 【详解】如下图所示，连接1AD 、1A D 交于点O ，作1//PM AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11AA D D ，且1A D ⊂平面11AA D D ，1AD CD ∴⊥，又四边形11AA D D 为正方形，则11AD A D ⊥，且1CD A D D =，1AD ∴⊥平面11A B CD ，即1AD ⊥平面EFQ ，1//PM AD ，PM ∴⊥平面EFQ ，且12sin 2PM PD ADA p =⋅∠=， 易知四边形11A B CD 是矩形，且142AD =∴点Q 到直线EF 的距离为1AD ，EFQ ∴∆的面积为1112424222EFQ S EF AD ∆=⋅=⨯⨯= 所以，四面体PEFQ 的体积为112442333P EFQ EFQ pV S PM p -∆=⋅=⨯=， 因此，四面体PEFQ 的体积与p 有关，与m 、n 无关，故选C. 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，解题的关键在于寻找底面和高，要充分结合题中已知的线面垂直的条件，找三棱锥的高时，只需过点作垂线的平行线可得出高，考查逻辑推理能力，属于难题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1- 【解析】 【分析】根据反函数的解析式,求得函数()y f x =的解析式,代入即可求得()1f 的值. 【详解】因为函数()y f x =的反函数为1()f x -,且11()3x f x -+= 令13x y +=则13y x +=所以31log y x =-+即函数()31log f x x =-+(0x >)所以()311log 11f =-+=-故答案为: 1- 【点睛】本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题.14．327R 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，可得222r R h =-，构造关于圆锥体积V 的函数，可得3233V h R h ππ=-+，利用导数可求得最大值.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h 则222r h R +=，即222r R h =-∴圆锥的体积：()2223213333V r h R h h h R h ππππ=⋅=-=-+则223V h R ππ'=-+，令0V '=，解得：3h R =则0,3h R ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '>；,3h R R ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '<即V 在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,R R ⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减 323max 333327V R R R R ππ⎛⎫∴=-+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭3R 【点睛】本题考查圆锥体积最值的求解，关键是能够利用圆锥体积公式将所求体积构造为关于圆锥的高的函数，从而可利用导数求解得到函数的最值. 15．①，②.. 【解析】 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可.【详解】 当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======, 故①m n m n n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n n n n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知： 1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②.【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.16．2-【解析】试题分析：，而，所以，，故填：.考点：导数三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）y ＝100.2x+1.1；（2）预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次【解析】【分析】（1）先对y ＝a •b x 两边同取以10为底的对数，得到v ＝xlgb+lga ，再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到lgb 和lga ，从而得到,a b ，再写出y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）所得的线性回归方程，得到100.2x+1.1＞10000，解出x 的范围，得到答案.【详解】（1）由y ＝a •b x ，两边同时取以10为底的对数，得lgy ＝lga+xlgb ，即v ＝xlgb+lga ，由最小二乘法得：lgb 7172221771.4074 2.300.25140747i ii i i x v xv x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑． ∵v ＝xlgb+lga 过点（4，2.10），∴lga ＝2.10﹣0.2×4＝1.1．∴a ＝101.1，b ＝100.2．∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝101.1•100.2x ＝100.2x+1.1；（2）由100.2x+1.1＞10000，得0.2x+1.1＞4，解得x ＞10.3．又∵x ∈N*，∴预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．【点睛】本题考查最小二乘法求线性回归方程，以及根据线性回归方程进行估算，属于简单题.18．（1）()22ln 2ln2(0)a a a a ϕ=--+>；（2）2；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）()2'(0)ax f x a x-=>，判断函数的单调性即可求解最大值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln20a a a ϕ=--+≤，()2'a a aϕ-=，判断单调性求解()()min 20a ϕϕ==即可得解2a =；（3）()22ln 2x x x g x x +=-，得()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4u x x x =--判断其单调性进而求得()()20000000min 0022ln 2=22x x x x x g x g x x x x +-===--，得0m x =，再求()0f x 的范围进而得证 【详解】（1）()2'(0)ax f x a x-=>, 由()'0f x >得20x a <<；()'0f x <得2x a >；所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()max 222ln 2ln2f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭， 即()22ln 2ln2(0)a a a a ϕ=--+>；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln20a a a ϕ=--+≤.因为()2'a a aϕ-=，所以当02a <<时，()'0a ϕ<；当2a >时，()'0a ϕ>.所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.又()()min 20a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =.（3）由（2）知()22ln 2x x x g x x +=-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-. 令()2ln 4u x x x =--，则()2'0x u x x-=>，()u x 是()2,+∞上的增函数；又()()80,90u u ，所以存在()08,9x ∈满足()00u x =，即002ln 4x x =-，且当()02,x x ∈时，()()0,'0u x g x <<；当()0,x x ∈+∞，()()0,'0u x g x >>所以()g x 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增.所以()()20000000min 0022ln 2=22x x x x x g x g x x x x +-===--，即0m x =. 所以()()000022ln 2=21110f m f x x x x ==+---∈--（，），即()1110f m -<<-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，考查了零点存在定理和数学转化思想，在（3）的证明过程中，利用零点存在定理转化是难点属中档题．19． (1)(0,1];(2)(2ln35,2ln 24)--.【解析】分析：（1）求函数()f x 的导数，解()'0f x >便得增区间．（2）要使函数()f x 与()g x 在区间()1,3内恰有两个交点，也就是让函数()f x g x -（）在[1，3]() 1,3内有两个零点，令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---，下面要做的就是考查()h x 在区间()1,3内最值情况，若有最大值，则限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反． 详解：（1）()()221'x f x x -=，∵0x >，()0,1x ∈时，()'0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间是(]0,1.（2）令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---，则()2'x h x x -=， ∴()1,2x ∈时，()'0h x >，()2,3x ∈时，()'0h x <，∴()2h 是()h x 的极大值，也是()h x 在()1,3上的最大值.∵函数()f x 与()g x 在区间()1,3内恰有两个交点，∴函数()h x 在区间()1,3内有两个零点，则有()20h >，()10h <，()30h <.所以有2240302350ln a a ln a -->⎧⎪--<⎨⎪--<⎩. 解得2ln352ln24a -<<-，所以a 的取值范围是()2ln35,2ln24--.点睛：利用导数求函数的单调区间，这个不难掌握，注意做第二题()20h >，()10h <，()30h <.，这几个限制条件的得出，并掌握做这类题的方法．.20．2243,172343154,822n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出323n a n =-，且780,0a a <>，当17n ≤≤时，24332n n n n T S -=-=，当8n ≥时，234315422n T n n =-+。
2020年江苏省南通市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
2020年江苏省南通市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2．某校学生一次考试成绩X （单位：分）服从正态分布N （110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A ，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率P （B|A ）＝（ ）附：X 满足P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.68，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.95，P （μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1． A ．2795B ．3195C ．2799D ．31993． “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4．已知复数z 满足1iz i =-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知函数()2321f x x x =--+, ()g x =(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是( ) A ．(]0,2B ．(]2,3 C ．[]3,6D ．[)4,+∞ 6．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ） A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种8．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 9．已知集合{}|1,M x a x a a =<+∈Z …，{}23|log 2P x x =…，若图中的阴影部分为空集，则a 构成的集合为（ ）A ．{}2,1,1,2--B ．{}3,2,1,0,1,2---C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}3,2,1,1,2---10．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为 A ．23B ．43C ．63D ．8311．某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种12．在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（ ） A ．0.35B ．0.65C ．0.85D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设每门高射炮命中飞机的概率为0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它．14．已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>，使()f x 在[1,2]-上取得最大值3，最小值-29，则b 的值为__________．15．若复数z 满足()12i Z i +=（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数Z =__________．16．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 1．（结果保留圆周率π）17．选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x ax =-（1）若()2f x ≤的解集为[]3,1-，求实数a 的值；（2）若1a =，若存在x ∈R ，使得不等式()()21132f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围. 18．某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行统计，其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如图所示的两个频率分布直方图：（1）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表： 性别 成绩 优秀 不优秀 总计 男生 女生 总计（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()20P K k ≥0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．（6分）某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为()320x Q x x-=>，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，而当年产销量相等：（1）试将年利润y （万元）表示为年广告费x （万元）的函数；20．（6分）已知函数()()222ln 02a a f x a x x ax a +=-+≠.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在1x =处取得极大值，求a 的取值范围.21．（6分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：（1）计算x ，y 的值；（2）若规定考试成绩在[]120150,为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率； （3）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，由以上统计数据填写下面22⨯列联表，若按是否优秀来判断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.22．（8分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1： 年份x20112012 2013 2014 2015 储蓄存款y （千亿元） 567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y =-=-得到下表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z1235（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑） 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 2．A 【解析】 【分析】利用条件概率公式，即可得出结论. 【详解】由题意()0.475P A =，()()10.990.680.155P B =-=，()()10.950.680.1352P AB =-=， 所以()()()0.135270.47595P AB P B A P A ===， 故选A 项. 【点睛】本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题. 3．B 【解析】 【分析】 【详解】0a =时，直线210x ay +-=与直线220bx y +-=不平行，所以直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是2221b a -=≠-， 即4ab =且1(4)a b ≠≠，所以“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的必要不充分条件． 故选B ． 4．B 【解析】分析：先求出z ，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可. 详解：由题可知：11,1iz i z i i-==--=-+，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B. 点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题. 5．A 【解析】由题意得“对(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立”等价于“max max ()()f x a g x +≤”．∵()2321(23)(21)4f x x x x x =--+=≤--+=，当且仅当(23)(21)0x x -⋅+≥时等号成立． ∴max ()4f x =．在()g x =1070x x -≥⎧⎨-≤⎩，解得17x ≤≤．令43cos ,[0,]x θθπ=+∈，则()g x ==(sin)sin()6222θθθϕ==+≤，（其中tan ϕ=． ∴max ()6g x =．由46a +≤，解得2a ≤， 又0a >，故02a <≤，∴实数的a 取值范围是(0,2]．选A ． 点睛：（1）对于求y x a x b ＝－＋－或y x a x b ＝＋－－型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y x a x b ＝－＋－的函数只有最小值，形如y x a x b ＝＋－－的函数既有最大值又有最小值．（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解． 6．C 【解析】 【分析】根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3,4，5}的子集的个数． 【详解】解：{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆Q ，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共8个．故选C ． 【点睛】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个. 7．B 【解析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女．若是一男两女，则有123543C C A ⋅⋅种选派方案，若是两男一女，则有213543C C A ⋅⋅种选派方案．所以总共有123213543543420C C A C C A ⋅⋅+⋅⋅=种不同选派方案，8．B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 9．D 【解析】 【分析】先化简集合P ，注意0x ≠，由题意可知，M P ⊆，确定a 即可 【详解】Q {}{23|log 2|30P x x x x ≤==-≤<或}03x <≤，图中的阴影部分为空集，M P ∴⊆310a a ≥-⎧∴⎨+<⎩或013a a >⎧⎨+≤⎩，即30a -≤<或02a <≤又a Z ∈Q ，{}3,2,1,1,2a ∴∈---，故选D 【点睛】考查维恩图的识别、对数计算、列举法及集合的关系 10．C 【解析】 【分析】V S h =⋅计算结果.【详解】因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为12222⨯⨯⨯=6=．【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.根据题意，分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分3步进行分析：①语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有246C =种选法； ③在物理、历史两门科目中必选一门，有121C =种选法；则这名学生的不同选科组合有16212⨯⨯=种. 故选：B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．C 【解析】试题分析：线路能够了正常工作的概率=1(10.5)(10.7)10.150.85---=-=,故选C. 考点：独立事件，事件的关系与概率.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．75 【解析】 【分析】设需要n 门高射炮，由题意得出()110.060.99n--≥，解出n 的取值范围，可得出正整数n 的最小值. 【详解】设需要n 门高射炮，则命不中的概率为()10.06n -，由题意得出10.940.99n-≥，得0.940.01n≤，解得0.942log 0.01lg 0.94n ≥=-，而274.43lg 0.94-≈，因此，至少需要75门高射炮.故答案为：75. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计分析：求函数的导数，可判断()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数在闭区间上[]1,2-的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的()f x 的导数()()2'31234f x ax ax ax x =-=-，0a >Q ，∴由()'0f x <解得04x <<，此时函数单调递减.由()'0f x >，解得4x >或0x <，此时函数单调递增. 即函数在[]1,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，即函数在0x =处取得极大值同时也是最大值，则()03f b ==，故答案为3.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 15．2155i - 【解析】 【分析】先由复数的除法运算，求出复数Z ，进而可得出其共轭复数. 【详解】因为()12i Z i +=，所以(12)22112(12)(12)555i i i i Z i i i i -+====+++-， 因此其共轭复数为2155Z i =- 故答案为2155i - 【点睛】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型. 16．312288πcm结合球的表面积等于圆锥的表面积，建立等式，计算半径r ，利用体积计算公式2V r h π=⋅，即可。
2020年江苏省南通市数学高二下期末达标测试试题含解析
2020年江苏省南通市数学高二下期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种 B ．108种 C ．72种 D ．36种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C 42种取法， ②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A 42种情况，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况， 则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C 42A 42×1＝72种， 故选：C ．点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（ ） A ．90种 B ．120种 C ．180种 D ．240种【答案】A 【解析】 【分析】从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，共26C 种方法；再将剩余4张票平均分给丙丁2人，共有2242C C 种方法；根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有26C 种分法；再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有2242C C 种分法， 由分步原理得，共有222642C C C 90=种分法． 故选：A 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理与组合的综合问题.3．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10 B ．15 C ．30 D ．60【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的值1．详解：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知()()()()()()()62345601234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得22615.a C ==故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6rr a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两曲线的一个公共点，且1260F PF ︒∠=，若椭圆离心率1e =则双曲线2C 的离心率2e =（ ）A ．2B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值． 【详解】设1||PF s =，2||PF t =，P 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在三角形12F PF 中，1260F PF ∠=︒，可得22222222242cos6022()c s t st a m am a m am a m =+-︒=++++---， 即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即为2212134e e +=，由1e =2e =，故选B ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①()(0)xf x e x =>②2()3(01)f x x x =+≤≤③12()(14)f x x x =≤≤④22()21x xf x +=+.其中为“三角形函数”的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形条件，可知函数需满足max min min ()()()f x f x f x -<，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立. 【详解】根据题意，对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足max min min ()()()f x f x f x -<：对于①，()(0)xf x e x =>，如当1,1,10a b c ===时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；对于②，2()3(01)f x x x =+≤≤，则[]()3,4f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以②是“三角形函数”；对于③，12()(14)f x x x =≤≤，则[]()1,2f x ∈，当1,1,2a b c ===时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；对于④，221()12121x x xf x +==+++，由指数函数性质可得()()1,2f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以④是“三角形函数”；综上可知，为“三角形函数”的有②④， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题. 6．已知3,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：由()a ab ⊥-推导出()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，从而3cos ,2a b =，由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.详解：3,2a b ==，且()a ab ⊥-，()2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=，3cos ,2a b ∴=，∴向量a 在向量b 方向上的投影为3cos ,32a ab =⨯=，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.7．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．20D ．40【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题． 8．已知1yx i i=+-，其中x 、y 是实数，i 是虚数单位，则复数x yi +的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 由1yx i i=+-得()11y x x i =++-，根据复数相等求出x y ，的值，从而可得复数x yi +的共轭复数，得到答案. 【详解】 由1yx i i=+-有()()()111y i x i x x i =-+=++-，其中x 、y 是实数. 所以110x y x +=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以1+2x yi i +=则复数x yi +的共轭复数为12i -，则12i -在复平面内对应的点为()12-，. 所以复数x yi +的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D 【点睛】本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.9．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ） A ．αβγ== B ．αβγ<< C ．αβγ>> D ．前三个答案都不对【答案】C 【解析】 【分析】通过作出图形，分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角，通过计算余弦值比较大小即可知道角度大小关系. 【详解】如图，正三棱锥P ABC -，正四棱锥P ABCD -，正五棱锥P ABCDE -，设各棱长都为2，在正三棱锥中，取AC 中点D ，连接PD,BD ，可知PDB ∠即为侧面与底面所成角，可知，==3PD BD ，由余弦定理得1cos 3α=；同理3cos β=，11cos 12γ=，于是cos cos cos αβγ<<，而由于αβγ，，为锐角，所以αβγ>>，故选C.【点睛】本题主要考查面面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力，难度中等. 10．设()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，当()0,x ∈+∞时，()()20xf x f x -'>，则不等式()()()242019201920f x x f +-+-<的解集为（ ）A ．(),2021-∞-B ．()()2021,20192019,2017----C ．()2021,2017--D ．()(),20192019,2017-∞---【答案】B 【解析】 【分析】 设()()2f x F x x=，计算()0F x '>，变换得到()()20192F x F +<-，根据函数()F x 的单调性和奇偶性得到20192x +<，解得答案. 【详解】由题意()()()200xf x f x x '->>，得()()220x f x xf x '->，进而得到()()2420x f x xf x x'->，令()()2f x F x x =， 则()()()2420x f x xf x F x x'-'=>，()()224f F --=，()()()2201920192019f x F x x ++=+. 由()()()242019201920f x x f +-+-<，得()()()22019242019f x f x +-<+， 即()()20192F x F +<-.当()0,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x ∴在()0,∞+上是增函数. 函数()f x 是偶函数，()()2f x F x x∴=也是偶函数，且()F x 在(),0-∞上是减函数， 20192x ∴+<，解得20212017x -<<-，又20190x +≠，即2019x ≠-，()()2021,20192019,2017x ∴∈----.故选：B . 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数()()2f x F x x =，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.11．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了 B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了【答案】B分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.12．在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球6个、白球4个、黄球2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ） A ．13B ．14C ．16D ．18【答案】C 【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为111,,236， 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红， 2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，∴下的颜色中有红有黄但没有白的概率为1111111332266626P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用. 二、填空题：本题共4小题 13．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 【答案】200 【解析】 【分析】根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152r r rr T C x -+=，令2,3r r ==，求出对应1r T +的根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152r r rr T C x -+=，当2r时，可得232235280T C x x ==，当3r =时，可得323345240T C x x ==，所以多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项为232128040200x x x x⨯+⋅=， 故多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数为200. 故答案为：200 【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.14．已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断. 【详解】,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β；当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定定理可知：,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理. 15．正方体中异面直线与所成角的大小为______.【答案】【解析】 【分析】由正方体的性质可以知道：,根据异面直线所成角的定义,可以知道就是异面直线与所成角,根据正方体的性质可以求出的大小.【详解】如图所示：连接,因为,所以就是异面直线与所成角,而是正方体面的对角线,它们相等,故三角形是等边三角形,所以,因此异面直线与所成角的大小为.故答案为【点睛】本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.16．计算233398log3(2)27-⎛⎫+-⎪⎝⎭______.【答案】1 2【解析】【分析】利用指数运算、对数运算的性质即可得出．【详解】原式2332lg3 ()23⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=-9112442 =+-=．故答案为：12．【点睛】本题考查了指数运算性质，对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年南通市名校数学高二下期末综合测试试题含解析
2020年南通市名校数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种 A ．222B ．253C ．276D ．2842．某快递公司共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人送货，每人至少送货2天，其不同的排法共有（ ）种. A ．1060B ．5040C ．630D ．2103．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．4．函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数'()y f x =可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域（ ）A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞U6．已知{}2|230A x x x =--<，{}|B x x a =<，若A 包含于B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．(],3-∞7．在掷一枚图钉的随机试验中，令1,0,X ⎧=⎨⎩针尖向上针尖向下，若随机变量X 的分布列如下：X0 1P0.3p则EX =（） A ．0.21B ．0.3C ．0.5D ．0.78．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(C ︒) 10 13 18 －1 用电量(度)38342464由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量度数约为（ ） A ．64 B ．65C ．68D ．709．圆的圆心到直线的距离为A ．B ．C ．2D ．10．已知函数3()32sin f x x x x =--+，设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则 A ．()()()f b f a f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f a f b f c <<11．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( ) A ．335B ．338C ．217D ．以上都不正确12．已知函数1()()(,)2x xx f x e e a e e aex b a b R =⋅+--+∈在1x =时取得极大值，则a 的取值范围是( ) A ．[0,)+∞B ．(,0)e -C ．(,0)-∞D ．(,)e -∞-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，4AB =，3AD =，2CD =，2AM MD =u u u u v u u u u v ，如果3AC BM ⋅=-u u u v u u u u v，则AB AD ⋅=u u u v u u u v________.14．已知函数()211f x x x =+--． （1）解不等式()2f x <；（2）若不等式()1123a f x x x -≥+-+-的解集非空，求实数a 的取值范围．15．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，满足()()10f x f x ++=，且当01x <<时，()13x f x +=，则()()3log 184f f +=__________．16．在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知直线的参数方程：1cos sin x t y t ，，θθ=+⎧⎨=⎩（为参数），曲线的参数方程：2cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（为参数），且直线交曲线于A ，B 两点．（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度； （2）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．18．已知曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM θα=：(0)2πα<<与曲线1C 交点为O 、M 两点，射线4：ON =+πθα与曲线2C 交于点N ，求1OM ON+的最大值． 19．（6分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()2,0P ，直线122:3x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求11PA PB+的值. 20．（6分）某医药开发公司实验室有()*n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +. (1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率； (2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii)若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=21．（6分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.22．（8分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 1A上一年度未发生有责任道路交通事故下浮10%2A上两年度未发生有责任道路交通事故下浮20%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a=，记x为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求x的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有223253C=种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为223253C =种，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再对场馆分配，共有1103131C +=种，所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有25331222-=种， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除. 2．C 【解析】分析：把7天分成2,2,3天3组，然后3人各选一组值班即可. 详解：7天分成2天，2天，3天3组，3人各选一组值班，共有22375322630C C A A =种，故选C. 点睛：本题主要考查分组与分配问题问题，着重考查分步乘法计数原理，意在考查综合运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 3．C 【解析】 【分析】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为【点睛】本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力. 4．D 【解析】 【分析】根据函数()f x 的单调性判断出导函数()'f x 函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】由图象可知，函数()y f x =在0x <时是增函数，因此其导函数在0x <时，有()'0f x >（即函数()'f x 的图象在x 轴上方），因此排除A 、C ． 从原函数图象上可以看出在区间()10,x 上原函数是增函数，所以()'0f x >，在区间()12,x x 上原函数是减函数，所以()'0f x <；在区间()2,x +∞上原函数是增函数，所以()'0f x >． 所以可排除C ． 故选D ． 【点睛】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x 轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状． 5．A 【解析】 【分析】解不等式010xx x ⎧>⎪+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域.【详解】由题得010,0100xx x x x x x ⎧><->⎧⎪∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或 所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，根据A 是B 的子集列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】由()()223310x x x x --=-+<解得13x -<<，所以()13A ,=-，由于{}|B x x a =<且A 包含于B ，所以3a ≥，故a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】先由概率和为1，求出p ，然后即可算出EX 【详解】因为0.31p +=，所以0.7p = 所以00.310.70.7EX =⨯+⨯= 故选：D 【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单. 8．C 【解析】 【分析】先求解出气温和用电量的平均数,x y ，然后将样本点中心(),x y 代入回归直线方程，求解出$a的值，即可预测气温为4C -︒时的用电量. 【详解】 因为()10131813834246410,4044x y +++-+++====，所以样本点中心()10,40，所以$40210a =-⨯+，所以60a =$，所以回归直线方程为：ˆ260yx =-+，当4x =-时，68y =. 故选：C. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解以及利用回归直线方程估计数值，难度较易.注意回归直线方程过样本点的中心(),x y . 9．C 【解析】 【分析】先把圆和直线的极坐标方程化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】 由得，所以圆的圆心坐标为（0，4），直线的直角坐标方程为， 所以圆心到直线的距离为.故选：C 【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导，得出函数()y f x =在R 上单调递减，利用中间值法比较a 、b 、c 的大小关系，利用函数()y f x =的单调性得出()f a 、()f b 、()f c 三个数的大小关系．【详解】()332sin f x x x x =--+Q ，()222332cos 332310f x x x x x '∴=--+≤--+=--<，所以，函数()y f x =在R 上单调递减，0.30221a =>=Q ，2000.30.3<<，即01b <<，22log 0.3log 10c =<=，则a b c >>， Q 函数()y f x =在R 上单调递减，因此，()()()f a f b f c <<，故选D.【点睛】本题考查函数值的大小比较，这类问题需要结合函数的单调性以及自变量的大小，其中单调性可以利用导数来考查，本题中自变量的结构不相同，可以利用中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题． 11．A 【解析】设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率即P(A|B).又()()()211244164222020,C C C C P AB P A P B C C +===， 由公式()()()24211441663|641635P AB C P A B P B C C C ====++⨯. 本题选择A 选项.点睛：条件概率的求解方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则()()(|)n AB P B A n A =.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得()()(|)n AB P B A n A =.12．D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，可得当a≥0时，f （x ）在x ＝1取得极小值，不符合；当a ＜0时，令f′（x ）＝0，得x ＝1或ln （﹣a ），为使f （x ）在x ＝1取得极大值，则有ln （﹣a ）＞1，由此求得a 的范围得答案． 【详解】 由()()212xx f x e a e e aex b =+--+，得 f′（x ）＝e 2x +（a ﹣e ）e x ﹣ae ＝（e x +a ）（e x ﹣e ）．当a≥0时，e x +a ＞0，由f′（x ）＞0，得x ＞1，由f′（x ）＜0，得x ＜1． ∴f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数， 则f （x ）在x ＝1取得极小值，不符合；当a ＜0时，令f′（x ）＝0，得x ＝1或ln （﹣a ），为使f （x ）在x ＝1取得极大值，则有ln （﹣a ）＞1，∴a ＜﹣e ． ∴a 的取值范围是a ＜﹣e ． 故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以3.2AB AD ⋅=u u u r u u u r考点：向量数量积 14．（1）24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(,3][5,)-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】（1）讨论x 范围去掉绝对值符号，再解不等式.（2）将函数代入不等式化简，再利用绝对值三角不等式得到不等式右边的最小值，转化为存在问题求得答案. 【详解】解：（1）()12,212113,122,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，∴1222x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或11232x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩剟或1{22x x >+<， 解得：142x -<<-或1223x -<„或无解，综上，不等式的解集是（4-，23）．（2）()()123212321234f x x x x x x x +-+-=++-+--=…（当1322x -剟时等号成立）， 因为不等式()1123a f x x x -+-+-…解集非空， ∴()1123mina f x x x ⎡⎤-+-+-⎣⎦…，∴14a -…， ∴14a --„或14a -…，即3a -„或5a …， ∴实数a 的取值范围是(,3][5,)-∞-⋃+∞ ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，存在问题，题型比较综合，意在考查学生的计算能力. 15．6 【解析】∵f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R,满足f(x+1)+f(x)=0， ∴f(x+1)=−f(x)， 则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：()()()()()()()()3log 2133333log 18log 18log 9log 236,44400,log 184 6.f f f f f f f f +=-====-==∴+=16．1 【解析】试题分析：在极坐标系中，点（2，）对应直角坐标系中坐标（，1），直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1． 考点：极坐标化直角坐标三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． (1)2212x y +=423，(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分析：（1）联立直线和椭圆方程得到2340x x -=，∴1240,3x x ==，由点点距离公式得到AB 的长度；（2）联立直线和椭圆得到t 的二次方程，根据韦达定理得到1222211cos 2sin 1sin PA PB t t θθθ⋅=-⋅==++，进而得到范围. 详解：（1）曲线C 的参数方程：2x cos y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线C 的普通方程为2212xy +=．当4πθ=时，直线AB 的方程为1y x =-，代入2212x y +=，可得2340x x -=，∴1240,3x x ==.∴44110233AB =+-= （2）直线参数方程代入2212x y +=，得()222cos 2sin 2cos 10t t θθθ++⋅-=． 设,A B 对应的参数为12,t t ， ∴12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t θθθ⎡⎤⋅=-⋅==∈⎢⎥++⎣⎦． 点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用更广泛一些. 18．（1）2cos ρθ=，0x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程，将曲线2C 的极坐标利用两角差的正弦公式展开，由cos xsin yρθρθ=⎧⎨=⎩转化为直角坐标方程；（2）点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，21,4ρα⎛⎫+⎪⎝⎭，将点M 、N 的极坐标分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程，得出1ρ、2ρ的表达式，再利用辅助角公式计算出1=OM ON+121ρρ+的最大值。
2020年南通市数学高二下期末统考试题含解析
2020年南通市数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ） A ．7B ．6C ．5D ．42．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16B ．(10＋5)πC ．4＋(5＋5)πD ．6＋(5＋5)π3．函数()22ln f x x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(]0,1B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-，()0,1D ．[)1,0-，(]0,14．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ） A ．3B ．18C ．12D ．65．设函数()()12xf x e x =-，()g x ax a =-，1a >-若存在唯一的整数0x ，使()()0f x g x ->，则a 的取值范围是（ ）A ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．2,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2e ⎛⎤--⎥⎝⎦D ．21,32e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．7．数列中，则，则A ．B ．C ．D ．8．已知集合A ．B ．C ．D ．9．已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-210．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有 A ．6种B ．12种C ．36种D ．72种11．给出下列四个说法：①命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”；②已知0a b 、＞，a b >则a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，满足()()()23log 72,0233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()()()()123....2018f f f f ++++=（ ） A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．0二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去、、A B C 三个不同的新节目，且插进的三个新节目按、、A B C 顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法（用数字作答）．14．在ABC ∆中,D 为AB 的中点,24AC CD ==,ABC ∆的面积为6,BE CD ⊥且BE 交CD 于点E ,将BCD ∆沿CD 翻折,翻折过程中，AC 与BE 所成角的余弦值取值范围是__．15．函数()()1lg 4211xx f x +=-+的最小值是___．16．已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在如图所示的几何体中，DE AC P ，AC ⊥平面BCD ，24AC DE ==，2BC =，1DC =，60BCD ∠=︒.（1）证明：BD ⊥平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值.18．某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:（1）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表: 成绩性别 优秀不优秀合计男生 女生 总计（2）根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()20P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率. 19．（6分）已知2220122(12)nn n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+*()n N ∈.（1）求0242n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；（2）当5n =时，求(0,1,2,,2)k a k n =⋅⋅⋅的最大值.20．（6分）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题。
江苏省海安高级中学2019-2020 学年度高二年级第二学期数学试卷
14．记 Sn 为等比数列 {an}的前 n 项和，已知 a5＝- 2， S3＝a2 + 3a1，则 a1＝ ▲ ．
15．在△ABC 中，若 cos A + cos B＝sin C ， b2 + a2 - a2＝6 bc ，则 tan B＝ ▲ ．
a
b
c
5
16．已知抛物线 y2＝2 px （p＞0）的焦点为，过 F 作直线交抛物线于 M，N 两点，则 p＝
A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd B．若 ab＞0，bc－ad＞0，则 c - d ＞0 ab
C．若 a＞b，c＞d，则 a－d＞b－c D．若 a＞b，c＞d＞0，则 a ＞b dc !!!" !!!"
12．在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E 为 BC 边上一点，且 BC＝3EC ，
aman＝32a12 ，则
1 m
+
4 的最小值为 n
（）
A． 9 7
B． 5 3
C． 4 3
D． 13 10
8． 函数 f ( x)＝2x3 - ax2 + 1在 (0, +¥)内有且只有一个零点，则 a 的值为（ ）
江苏省海安高级中学高二数学试卷（201） 第 1 页 共 4 页
A．3 B．－3 C．2 D．－2
18．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，
3
sin
(
A
+
B
)＝4
sin
2
C 2
．
（1）求 cosC；
（2）若 b＝7，D 是 BC 边上的点，且△ACD 的面积为 6 3 ，求 sin∠ADB．
2020年南通市数学高二第二学期期末统考试题含解析
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为： 落在内切圆内的概率为 ，故落在圆外的概率为
又由 得 ，所以②不正确．
可得 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的极大值为 ，极小值为 ，
又 ，
∴ ，
∴ 的最大值与最小值之和等于零．所以③正确．
综上可得①③正确．
故选C．
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用以及函数的极值、最值的求法，考查运算能力和应用能力，属于综合问题，解答时需注意各类问题的解法，根据相应问题的解法求解即可．
本题选择D选项.
点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
所以不同的排法种数为 ，
故选C项.
【点睛】
本题考查排列问题，利用插空法解决不相邻问题，属于简单题.
10．已知函数 （ ， ）的图象如图所示，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
结合函数图像可得： ， ，
结合周期公式有： ，
且当 时， ，
令 可得： ，
据此可得函数的解析式为： .
2019-2020学年江苏省海安高级中学高二下学期期末考试数学试题 (有答案)
海安高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题一、单项选择题1．已知()312i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A BC ．2D 2．已知全集U R =，集合{}22A x x x =>，则 UA =（ ）A ．[]0,2B ．()0,2C ．(],2-∞D ．(),2-∞3．在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是45，则这人3次射击中恰有1次击中气球的概率为（ ） A ．1625B ．48125C ．12125D ．4254．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ）A ．y =B ．2y x =±C ．2y x =±D ．y =5．已知a =，1b =，且()()22a b a b -⊥+，则向量a 与b 的夹角余弦值是（ ）A ．2B ．3C ．12-D ．2-6．()()621x x ++展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．55B ．40C ．35D ．157．已知()log m f x x =，其中m =，已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 2a f θθ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f=，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b ≤≤ B ．b c a ≤≤C ．c b a ≤≤D ．a b c ≤≤8．在三棱锥P ABC -中，2AB =，AC BC ⊥，D 为AB 中点，2PD =，若该三棱锥的体积的最大值为23，则其外接球表面积为（ ）A ．5πB ．4912πC ．649πD ．254π二、多项选择题9．下列说法中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为210．关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是0,2⎡⎤⎣⎦C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．直线BM平面11ADD AB ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为60︒ D ．1MB MD +512．已知函数()f x 对任意x R ∈都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 的周期4T=C ．()20220f =D ．()f x 在()4,2--单调递减三、填空题13．某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______.（结果用数值表示） 14．已知sin sin sin sin 122ππαβαβ⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2αβ-=______.15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()2*324n n n a a S n N +=+∈，则5a =______.16．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,1A ，()1,0B ，过平面上一点(),P x y 作直线AB 的垂线，垂足为Q ，且满足：3OQ AB ⋅=，则实数,x y 满足的关系式是______，若点P 又在动圆()()2228x a y a -+++=()*a N ∈上，则正整数a 的取值集合是______. 四、解答题17．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()tan 2tan b A c b B =-. （1）求A 的大小；（2）若213a =，且ABC △的 面积为3b c +的值.18．在①2a ，3a ，44a -成等差数列；②1S ，22S +，3S 成等差数列；③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且______.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的通项公式111n n n n b a a +=-+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．一副标准的三角板如图1中，ABC ∠为直角，60A ∠=︒，DEF ∠为直角，DE EF =，且BC DF =，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥，如图2.设M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面EMN ；（2）在图2中，若4AC =，二面角E BC A --为直二面角，求直线EM 与平面ABE 所成角的正弦值.20．一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：接种成功 接种不成功总计（人）0.5ml/次剂量组 28 8 36 1ml/次剂量组 33 3 36 总计（人）611172（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X 表示这2人中接种成功的人数，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++附表：()20P K k ≥0.40 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 0k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82821．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点M 作x 轴的垂线交其“伴随圆”于点N （M 、N 在同一象限内），称点N 为点M 的“伴随点”.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>上的点33,⎛⎫⎪ ⎪⎭的“伴随点”为()3,1.（1）求椭圆E 及其“伴随圆”的方程；（2）求OMN △面积的最大值，并深圳市此时“伴随点”N 的坐标；（3）已知直线:0l x my t --=与椭圆E 交于不同的,A B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 是平行四边形.求直线l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的22m t +的值.22．已知函数()2ln f x x x ax =+-，()221xg x xex =+-.（1）求曲线()y g x =在()()0,0g 处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调区间；（3）若不等式()()f x g x ≤对任意0x >成立，求实数a 的取值范围.2020年期末数学学科测试试卷高二数学参考答案1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．CD 10．ACD 11．ACD 12．ABC 13．120 14．1 15．11216．30x y --=；{}1,217．解：（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：()2sin sin sin sin sin cos cos C B B B A A B -⋅= 在ABC △中，0B π<<，0C π<< ∴sin 0B ≠，sin 0C ≠∴()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=- 即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A += ∴()sin 2sin cos A B C A += 即sin 2sin cos C C A = 又sin 0C ≠ ∴1cos 2A =又0A π<< ∴3A π=（2）∵13sin 324ABC S bc A bc ===△∴48bc =由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+- ∴()222523b c bc b c bc =+-=+- ∴()234852196b c +=⨯+= ∴14b c +=18．解：设等比数列的公比为()0q q >， （1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32424a a a =+-，所以234224q q q =+-，又0q >解得2q =，所以2nn a =.选②：因为1S ，22S +，3S 成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即234a a +=，所以2242q q +=，又0q >，解得2q =，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=，则212a q a ==，所以2n n a =. （2）因为2nn a =，()()111122121212121212121nn n n nn nn n nb ++++--==-+--+----11122121212122nn n n n n n+++--==---则12...n n S b b b =+++((2132121212121...2121n n +=--+--++--1211n +=-19．解：（1）证明：设BC 中点为N ，连结MN ，EN . ∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， ∴MNAB ，∵AB BC ⊥， ∴MN BC ⊥，∵BE EC ⊥，BE EC =，N 是BC 的中点，∴EN BC ⊥， 又MN BC ⊥，MN EN N =，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴BC ⊥平面EMN .（2）由（1）可知：EN BC ⊥，MN BC ⊥， ∴ENM ∠为二面角E BC C --的平面角 又二面角E BC C --为直二面角 ∴90ENM ∠=︒以NM ，NC ，NE 分别为x ，y ，z ，如图建立空间直角坐标系N xyz -. ∵4AC =，则2AB =，23BC =3NE =由(3E ，()1,0,0M ，则(1,0,3EM =-又()0,3,0B -，()2,3,0A -，(3E ，则(3,3BE =，()2,0,0BA =设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，则m BE m BA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即0,0m BE m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,330,x y z =⎧⎪=令1y =，则1z =- ∴()0,1,1m =-为平面的一个法向量设直线EM 与平面ABE 所成的角为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭36sin cos ,422m EM m EM m EMθ⋅==== 所以直线EM 与平面ABE 620．解：（1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功的概率为287369= 1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为33113612= ∵117129> ∴1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好 由22⨯列联表得()2272283833 2.68 3.261113636k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.没有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关. （2）X 得可能取值为0，1，2()2121091210854P X ==⨯==()71211291912912108P X ==⨯+⨯=()711772912108P X ==⨯=X 得分布均为X 012P15429108 77108()0125410810810836E X =⨯+⨯+⨯==21．解：因为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点33,⎭，伴随圆222x y a +=过点()3,1，所以222331431a b a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得：23b =，∴椭圆E 的方程为22143x y +=；伴随圆的方程为224x y +=. （2）设(),m M m y ，(),n N m y ，则22143m y m +=，224n m y +=； 2211343224OMN n m S m y y m m m =⋅-=--△ ()2222213232344442244m m m m m m --=--=-=-2222342342m m ⎛⎫-+--≤= ⎪⎝⎭当且仅当224m m =-，即2m =±时，等号成立.此时(2,2N ±±. （3）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y .联立22143x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2223463120my mty t +++-=，则()2248340m t =+->△.由韦达定理得：122634mty y m +=-+ ()12121228234tx x my t my t m y y t m +=+++=++=+ 因为四边形OAPB 是平行四边形， 所以()12122286,,3434t mt OP OA OB x x y y m m -⎛⎫=+=++=⎪++⎝⎭. 又点P 在椭圆E 上，所以()()222222264361434334t m t m m +=++，整理得22434t m =+.在直线l ：0x my t --=中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则0t ≠，0m ≠.令0x =，得ty m =-，令0y =，得x t =.所以三角形OAB 面积为21134141334328882OAB tm S t m m m m ⎛⎫+=⋅-==+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 当且仅当243m =，22t =时，等号成立，此时0>△.且有22103m t +=，故所求22m t +的值为103.22．解：（1）()01g =()2222x x g x e xe x '=++∴()01k g '==∴切线的方程为1y x =-（2）()21212x ax f x x a x x -+'=+-=①当280a -≤即2222a -≤2210x ax -+≥在()0,+∞恒成立， 即()0f x '≥在()0,+∞恒成立，则()f x 的增区间为()0,+∞②当280a ->且02a>即22a >令()0f x '>，得2804a a x --<<或284a a x +->令()0f x '<，得228844a a a a x --+-<<∴()f x 的增区间为28a a ⎛-- ⎝⎭，28a a ⎫+++∞⎪⎪⎝⎭； 减区间为228844a a a a ⎛-+- ⎪⎝⎭③当280a ->且02a<即22a <-时，2210x ax -+>在()0,+∞恒成立，即()0f x '>在()0,+∞恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递增 综上：当22a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当22a >()f x 的增区间为28a a ⎛-- ⎝⎭，28a a ⎫+++∞⎪⎪⎝⎭； 减区间为2288a a a a --+-⎝⎭（3）2ln max maxln 1ln 12x x x xe x e x a x x ⎛⎫⎛⎫+-+-+≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-当0x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；当0x =时，()F x 有极小值也是最小值()10F =∴()()10F x F ≥=，即1x e x ≥+∴ln 2ln 21x x e x x +≥++（令()ln 1F x x x =-+，则()111xF x x x -'=-=当01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当1x >时，()0F x '<，()F x 单调递减当1x =时，()F x 有极大值也是最大值()10F =∴()()10F x F ≤=，即ln 1x x ≤-∴ln 2ln 2ln 1x x x x e e ++≤-，即ln 2ln 21x x x x e ++≤-，即ln 2ln 21x x x x e +++≤） ∵()2ln 2ln 1ln 21ln 1ln 12x x xx x xx xe x e x x x ++-+++-+-=≤=-当且仅当ln 20x x +=取等号， ∴2maxln 12xx xe x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，a≥-∴2。
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【点睛】
本题考查求独立重复事件的概率公式，熟悉n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式是解题的关键，属于基础题.
4．A
【解析】
分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选A.
点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： .
7．已知 ，其中 ，已知 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）．
A． B． C． D．
8．在三棱锥 中， ， ， 为 中点， ，当该三棱锥的体积的最大值为 时，其外接球表面积为（）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的命题是（）．
A．已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
B．线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
已知椭圆 ： 上的点 的“伴随点”为 .
（1）求椭圆 及其“伴随圆”的方程；
（2）求 面积的最大值，并求此时“伴随点” 的坐标；
（3）已知直线 与椭圆 交于不同的 两点，若椭圆 上存在点 ，使得四边形 是平行四边形.求直线 与坐标轴围成的三角形面积最小时的 的值.
22．已知函数 ， .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 ，若 ， ， ，则
D．若样本数据 ， ，…， 的方差为8，则数据 ， ，…， 的方差为2
10．关于函数 ，如下结论中正确的是（）．
A．函数 的周期是
B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在 上递增
11．在棱长为1的正方体 中，点M在棱 上，则下列结论正确的是（）
5．B
【分析】
由两向量垂直数量积为0，对 化简，利用向量数量积公式计算，即可得出结果.
江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 （ 为虚数单位），则 （）．
A． B． C． D．
2．已知全集 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
（2）讨论 的单调区间；
（3）若不等式 对任意 成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
根据复数的运算和复数模的运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，复数 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算，准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
参考公式： ，其中
附表：
0.40
0.25
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
21．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点 作 轴的垂线交其“伴随圆”于点 （ 、 在同一象限内），称点 为点 的“伴随点”.
3．若某射手每次射击击中目标的概率是 ，则这名射手 次射击中恰有 次击中目标的概率为（）
A． B． C． D．
4．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A． B． ． D．
5．已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角余弦值是（）．
A． B． C． D．
6． 展开式中， 项的系数为（）．
A．55B．40C．35D．15
接种成功
接种不成功
总计（人）
0.5ml/次剂量组
28
8
36
1ml/次剂量组
33
3
36
总计（人）
61
11
72
（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？
（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以 表示这2人中接种成功的人数，求 的分布列和数学期望.
（2）数列 的通项公式 ， ，求数列 的前 项和 .
19．一副标准的三角板如图1中， 为直角， ， 为直角， ，且 ，把 与 重合，拼成一个三棱锥，如图2.设 是 的中点， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在图2中，若 ，二面角 为直二面角，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：
2．A
【分析】
解不等式确定集合 ，再由补集定义求解．
【详解】
∵ 或 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查集合的补集运算，掌握补集的定义是解题基础．
3．C
【分析】
利用n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式计算，即可求出结果.
【详解】
解：这名射手3次射击中恰有 次击中目标，则另外两次没有击中，
所以概率为 .
A．直线 与平面 平行
B．平面 截正方体所得的截面为三角形
C．异面直线 与 所成的角为
D． 的最小值为
12．已知函数 对任意 都有 ，若 的图象关于直线 对称，且对任意的 ， ，且 ，都有 ，则下列结论正确的是（）．
A． 是偶函数B． 的周期
C． D． 在 单调递减
三、填空题
13．某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______.（结果用数值表示）
五、解答题
17．在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值.
18．在① ， ， 成等差数列；② ， ， 成等差数列；③ 中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
在各项均为正数等比数列 中，前 项和为 ，已知 ，且______.
（1）求数列 的通项公式；
14．已知 ，则 ______.
15．已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 ，则 ______.
四、双空题
16．在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ， ，过平面上一点 作直线 的垂线，垂足为 ，且满足： ，则实数 满足的关系式是______，若点 又在动圆 上，则正整数 的取值集合是______.