离散数学重点笔记
离散数学重点笔记
第一章，0命题逻辑素数 = 质数，合数有因子和或假必真同为真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而→r，（p→(r→q)等不是合式公式。
若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值第二章，命题逻辑等值演算（1）双重否定律⌝⌝⇔（2）等幂律 A∧⇔； A∨⇔（3）交换律 A∧⇔∧A ； A∨⇔∨A（4）结合律（A∧B）∧⇔∧（B∧C）；（A∨B）∨⇔∨（B∨C）（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B ；⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A（10）排中律 A∨⌝A⇔1（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0（12）蕴涵等值式 A→⇔⌝∨B（13）假言易位 A→⇔⌝→⌝A（14）等价等值式↔⇔（A→B）∧（B→A）（15）等价否定等值式↔⇔⌝↔⌝⇔⌝↔⌝（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A(1,2,…)为简单合取式，则1∨A2∨…∨为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p 1∧A2∧…∧为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式主范式【∧小真，∨大假】∧成真小写【例】(p→q)→(┐q→┐p)= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）= m2∨m0∨m1∨m1∨m3= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：┐p = ┐p∧(┐q∨q)= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q = (┐p∨p)∧q= (┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
离散数学笔记(特级教师精心整理)
离散数学笔记（特级教师精心整理）第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学复习考试重点笔记
推理●若公式A是一单个的命题变项，则称A为0层公式；●逻辑恒等和永真蕴含都是可传递的；●对偶：将∧，∨，T，F分别换以∨，∧，F，T；●对偶原理：若A<=>B，则A*<=>B*;若A=>B，则B*=>A*;●极小项包含简单合取式，极大项包含简单析取式；●极小项的编号i是使其为真的真值指派，极小项只有一个为真；●极大项的编号i是使其为假的真值指派，极大项只有一个为假；●矛盾式的主合取范式由全部的极大项组成，其主析取范式为0；●永真式的主析取范式由全部的极小项组成，其主合取范式为1；●对应全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴含式的前件加入；●对应存在量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为合取项加入；●无自由变元的公式称为闭式；●既要使用EI又要使用UI时，先EI后UI●如果一个变量是用规则EI消去量词，对该变量在添加量词时，则只能使用规则EG；●如使用规则UI消去量词，对该变量在添加量词时，则可使用规则EG和UG●在证明序列中，先引进带存在量词的前提；二元关系●A到B的二元关系为AxB的子集，|A|=m,|B|=n,则A到B的二元关系有2^mn个；●关系的闭包是关系的扩充；●偏序关系类似于<=关系，是反对称的；●拟序关系类似于<关系，是反自反和反对称的；●可比是用偏序判断的；●覆盖是用拟序关系判断的；●极小元不一定与所有元素都可比，没有比它更小的就是极小元；●极小元一定存在，最小元不一定存在；●最小元若存在，则它也是唯一的极小元；●集合B的上界/下界不一定是B中的元素；●上确界是上界中的最小元；●全序关系：任意两个元素可比，哈斯图为链；●良序关系：任意一个子集存在最小元；函数●函数f(A->B)的基数是|f| = |A|●A->B的函数有|B|^|A|个；●f:A->B,g:B->C;f·g = A->C; 若f·g为满射，则g满射，f·g单则f单，f·g双则f单g满；●只有双射函数的逆关系才是函数；代数结构●任何幺元恒有逆元；●判断a可约时，a不能是零元；●<S,*>的平凡子代数有<S,*>和<{e},*>●同态映射：f(a*b)=f(a) ο f(b)●同构映射：f为双射；●f的同态像为f(s)，则<f(s),o>为<T,o>的子代数；●当f为满同态时，<S,*>和<T,o>在结合律，交换律，幺元，零元，逆元，可约，幂等性等性质上是一致的（仅对同态像f(S)有效）；●同态f的核K(f):{x|x属于S，且f(x)=e`(e`是T的幺元)}●<K(f),*>为<S,*>的子代数群●半群是满足结合律的二元代数系统●有限集合的半群必含有幂等元；●含幺半群称为独异点；●有限独异点中不会有任意两行或者两列元素相同；●群：每个元素都存在逆元的独异点●群G中除幺元e外无其它幂等元●有限群G的每个元素都有有限阶，且其阶数不超过群G的阶数|G|●G中阶大于2的元素个数一定是偶数；●若群G的阶是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数；●交换群又称为阿贝尔群；●子群的充要条件：含幺，封闭，可逆；●群G的中心C：C是与G中所有元素都可交换的元素构成的集合；●设G为群，H，K是G的子群，则H与K的交集是G的子群，则H与K的并集是G的子群的条件是H包含K或者K包含H●H是G的子群，g属于G，则陪集的性质：⏹|gH|=|H|⏹当g属于H时，gH=H●设<H,*>为<G,*>的子群，任意两陪集aH和bH，或相同或不相交；●H在G中的指数记为[G:H]，是指H在G中陪集数；●拉格朗日定理：G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|·[G:H]；●质数阶的群没有非平凡子群；●任何群<G,·>有两个平凡的子群<G,·>和<e,·>●设<H,*>为<G,*>的子群，如果对任意g属于G，有gH=Hg，则称H是G的正规子群;●商群：由正规子群H在G上所有陪集G/H和二元运算o构成；●群<G,*>与它的每个商群<G/H,ο>同态；●无限循环群G=<a>有两个生成元a和a^-1;●若G是n阶循环群，则G含有k个生成元，k是小于等于n且与n互素的正整数r的个数，即a^r为生成元。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点第一章 集 合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。
[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。
2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。
[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。
解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。
解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章 二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
离散数学复习总结知识点
复习知识点：第1章1． 命题、真命题、假命题 2． 命题符号化（连接词）设P ：天下大雨，Q ：他在室内运动，命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为（ D ）A ．Q P ∧⌝B ．Q P →⌝C ．Q P ⌝→⌝D ．Q P ⌝→设P ：只有你通过了大学英语六级考试，Q ：你是英语专业的学生，R ：你可以选修这门课程。
命题“只有你通过了大学英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以选修这门课程”( B )A ．R Q)(P →∧B ．R Q)(P →⌝∧C ．R Q)(P ↔⌝∧D ．R Q)(P ↔∧3． 什么是命题公式 4． 命题公式的等价式5． 利用逻辑等价关系证明下面的等价关系 Q P Q)(P P))(Q Q)((P ∨⇔∧→→∧→证明：6． 用真值表法求命题公式的主析取范式和主合取范式 7． 符号化以下语句，并推证结论的有效性。
有些学生相信所有的老师，任何一个学生都不相信骗子，所以老师都不是骗子。
解：设论述域为全总个体域，S(x)：x 是学生，T(x)：x 是老师，P(x)：x 是骗子，L(x,y)：x 相信y 。
将前提和结论符号化为P(x))x(T(x)y)))L(x,y(P(y)x(S (x)y))),L(x,y(T(y)x(S (x)⌝→∀⇒⌝→∀→∀→∀∧∃（1）y)))L(x,y(T(y)x(S (x)→∀∧∃ PQ)(P TQ)(P Q)Q (Q)(P Q Q)(P T)(Q Q)(P P))P ((Q Q)(P Q)(P P)(Q Q)(P Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))Q (Q)P ((Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))(Q Q)((P ∨⇔∧∨⇔∨⌝∧∨⇔∨⌝∧⇔∧∨⌝∧⇔∨⌝∧∨⌝∧⇔∧∨⌝∧∨⌝∧⇔∧∨∨⌝⌝∨∨⌝⌝⇔∧∨∨⌝∧∨⌝⌝⇔∧→∨⌝∧∨⌝⇔∧→→∧→（2）y))L(a,y(T(y)S (a)→∀∧ T1，ES （3）S(a)T2，I （4）y))L(a,y(T(y)→∀ T2，I （5）b)L(a,T(b)→T4，US （6）y)))L(x,y(P(y)x(S (x)⌝→∀→∀ P （7）y))L(a,y(P(y)S (a)⌝→∀→ T6，US （8）y))L(a,y(P(y)⌝→∀ T3,7，I （9）b)L(a,P(b)⌝→ T8，US （10）P(b)b)L(a,⌝→ T9，E （11）P(b)T(b)⌝→T5,10，I （12）P(x))x(T(x)⌝→∀T11，UG侦查员在调查了某珠宝店的珠宝失窃案现场以及询问了认证之后，得到以下事实： （1） 是营业员甲或营业员乙作案。
mit离散数学笔记
以下是MIT离散数学的一些主要内容和笔记要点：
集合论：
集合论是离散数学的基础，它研究集合及其性质和运算。
集合是由元素组成的，元素之间通过集合运算进行组合。
常见的集合运算包括并集、交集、差集等。
命题逻辑：
命题逻辑是研究命题及其推理的逻辑系统。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题逻辑中的基本概念包括原子命题、合取、析取、否定等。
图论：
图论是研究图的结构和性质的数学分支。
图是由顶点和边组成的，顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学：
组合数学是研究计数问题的数学分支。
计数问题包括排列、组合、分割等问题。
组合数学中的基本概念包括加法原理、乘法原理等。
离散概率论：
离散概率论是研究离散随机事件的概率的数学分支。
离散随机事件是指可以列举出来的事件，如掷骰子、抽扑克牌等。
离散概率论中的基本概念包括概率空间、随机变量、期望等。
抽象代数：
抽象代数是研究代数结构的数学分支。
代数结构包括群、环、域等。
抽象代数中的基本概念包括群的定义、群的性质、环的运算等。
离散数学的其他分支：
离散数学还包括其他分支，如数理逻辑、集合论与泛函分析的交叉学科等。
数理逻辑是研究推理规则和推理系统的数学分支。
集合论与泛函分析的交叉学科是研究集合论和泛函分析之间的联系和应用的数学分支。
以上是MIT离散数学的主要内容和笔记要点，希望能对你有所帮助。
离散数学要求知识点
离散数学要求知识点：第一章1、幂集的计算；2、二维笛卡尔积的计算。
第二章1、关系的三种表示法；2、关系的重要性质；3、关系的三种闭包运算；4、几种特殊关系的概念；5、偏序关系的哈斯图，最元和极元的计算。
第三、四章（不要求）第五章1、代数系统的常见性质；2、验证运算满足规律（如交换律，结合律），同态和同构只作了解。
第六、七章1、群的定义和性质；2、特殊群的单位元；3、置换的定义及其运算；4、n元对称群S n的结论；5、循环群的定义，常见循环群的生成元；6、子群的阶与群的阶的关系，有限子群的判定；7、环的定义；8、特殊环的零元和单位元；9、域的概念；常见的有限域。
（格与布尔代数不要求）第八章1、图的表示法：集合法，图法，矩阵表示法（重点），会求邻接矩阵；2、完全图中结点n和边数m的关系；3、基本通路和基本回路长度定理；4、欧拉图和哈密顿图不要求。
第九章1、树的定义；2、树的性质；3、外向树的定义；4、二元树的定义及其应用：用二元树表示表达式；5、生成树的定义；6、生成树的边数与图的边数的关系；7、求最小生成树。
第十章1、命题的概念及判定；2、五个联结词的真值表；3、命题的符号化；4、公式的分类；5、简单的基本等式；6、构造真值表，求成真赋值，成假赋值，判定公式的类型；求主范式；7、命题推理。
十一章1、个体、谓词和量词的概念；2、命题的符号化；3、约束变元和自由变元的判定；4、有限个体域上量词的消去规则；。
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第一章，0命题逻辑
素数 = 质数，合数有因子
和或假必真同为真
(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。
若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式
(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式
【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(┐p∧q)→┐r
公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值
第二章，命题逻辑等值演算
（1）双重否定律⌝⌝A⇔A
（2）等幂律 A∧A⇔A ； A∨A⇔A
（3）交换律 A∧B⇔B∧A ； A∨B⇔B∨A
（4）结合律（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）；（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）
（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）
（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B ；⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B
（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A
（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0
（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A
（10）排中律 A∨⌝A⇔1
（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0
（12）蕴涵等值式 A→B⇔⌝A∨B
（13）假言易位 A→B⇔⌝B→⌝A
（14）等价等值式 A↔B⇔（A→B）∧（B→A）
（15）等价否定等值式 A↔B⇔⌝A↔⌝B⇔⌝B↔⌝A
（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A
A i(i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
主范式【∧小真，∨大假】
∧成真小写
【例】(p→q)→(┐q→┐p)
= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)
= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)
= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）
= m2∨m0∨m1∨m1∨m3
= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)
(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：
┐p = ┐p∧(┐q∨q)
= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)
q = (┐p∨p)∧q
= (┐p∧q)∨(p∧q)
熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
该公式中含n=2个命题变项，它的主析取范式中含了22=4个极小项，故它为重言式，
00，01，10，11全为成真赋值。
【例】(p→q)∧┐p
= (┐p∨q)∧┐p (消去→)
= ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式
= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)
= m0∨m1
【例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)
= (p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)
= (p∨q)∧┐(p∧q)
重言蕴涵式
【例】用附加前提证明法证明下面推理。
前提：P→（Q→R），⌝S∨P，Q 结论：S→R
证明：（1）⌝S∨P 前提引入规则
（2）S 附加前提引入规则
（3）P （1）（2）析取三段论规则
（4）P→（Q→R）前提引入规则
（5）Q→R （3）（4）假言推理规则
（6）Q 前提引入规则
（7）R （5）（6）假言推理规则
【例】用归缪法证明。
前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R
证明（1）⌝（S∨R）附加前提引入规则（2）⌝S∧⌝R （1）置换规则
（3）⌝S （2）化简规则
（4）⌝R （2）化简规则
（5）Q→S 前提引入规则
（6）⌝Q∨S （5）置换规则
（7）⌝Q （3）（6）析取三段论
（8）P∨Q 前提引入规则
（9）P （7）（8）析取三段论规则（10）P→R 前提引入规则
（11）⌝P∨R （10）置换规则
（12）R （9）（11）析取三段论规则
（13）⌝R∧R （4）（12）合取引入规则
全称量词"∀"对"∨"无分配律。
同样的，存在量词"∃"对"∧"无分配律
(3)x yF(x,y)
x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))
(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))
谓词逻辑的等价公式
定理1设A（x）是谓词公式，有关量词否定的两个等价公式：
（1）﹁∀x A（x）⇔∃x﹁A（x）
（2）﹁∃x A（x）⇔∀x﹁A（x）
定理2 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是不含x出现的公式，则有（1）∀x（A（x）∨B）⇔∀x A（x）∨B
（2）∀x（A（x）∧B）⇔∀x A（x）∧B
（3）∀x（A（x）→ B）⇔∃x A（x）→ B
（4）∀x（B→A（x））⇔B→∀x A（x）
（5）∃x（A（x）∨B）⇔∃x A（x）∨B
（6）∃x（A（x）∧B）⇔∃x A（x）∧B
（7）∃x（A（x）→ B）⇔∀x A（x）→ B
（8）∃x（B→A（x））⇔B→∃x A（x）
定理3 设A（x）、B（x）是任意包含自由出现个体变元x的公式,则有：
（1）∀x（A（x）∧B（x））⇔∀x A（x）∧∀x B（x）
（2）∃x（A（x）∨B（x））⇔∃x A（x）∨∃x B（x）
定理4 下列蕴涵式成立
（1）∀x A（x）∨∀x B（x）⇒∀x（A（x）∨B（x））
（2）∃x（A（x）∧B（x））⇒∃x A（x）∧∃x B（x）
（3）∀x（A（x）→ B（x））⇒∀x A（x）→∀x B（x）
（4）∀x（A（x）→ B（x））⇒∃x A（x）→∃x B（x）
（5）∃x A（x）→∀x B（x）⇒∀x（A（x）→ B（x））
【例】【例】
【例】
【例】。