《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题
第五章 5.6应用一元一次方程-追赶小明同步练习-2021-2022学年北师大版数学七年级上学期
初中数学北师大版七年级上学期第五章 5.6应用一元一次方程——追赶小明一、单选题1.一天，小明在家和学校之间行走，为了好奇，他测了一下在无风时的速度是50米/分，从家到学校用了15分钟，从原路返回用了18分钟20秒，设风的速度是x米/分，则所列方程为（）A. B.C. D.2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（）A. 96里B. 48里C. 24里D. 12里3.某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.则火车的长度为（）A. 180mB. 200mC. 240mD. 250m4.长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进.在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒.则往返共用的时间为（）A. 200sB. 205sC. 210sD. 215s5.小明和小亮两人在长为50m的直道AB（A、B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点……若小明跑步速度为5m/s，小亮跑步速度为4m/s，则起跑后60s内，两人相遇的次数为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.甲车与乙车同时从A地出发去往B地，如图所示，折线O-A-B-C和射线OC分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往C地，两车同时到达C地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达B地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米。
5.6 应用一元一次方程——追赶小明
发开往B地，每小时行驶72千米，甲车出发
25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时 行驶48千米，两车相遇后，各自按原速继续
行驶，那么相遇后两车相距100千米时，甲
车从出发开始共行驶多长时间？
练习3： 两地相距450千米，甲、乙两车分
别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲
车的速度为120千米每小时，乙车的速度为 80千米每小时，经过多少小时两车相距50千
2、甲乙两人赛跑，甲的速度是8 m/s ，乙的速度是5 m/s，如果甲从起跑点往后 退20 m，乙从起跑点向前进10 m，问甲经
过几秒钟追上乙？
解：设甲经过x秒追上乙
8x-5x=20+10，
x=10.
答：甲经过10秒追上乙.
解：（1）设爸爸追上小明用了x min，
80（x+5)=180x
x=4. 答：爸爸追上小明用了4min.
（3）设小明x秒后追上小彬，
6x=4（x+10）
2x=40 x=20 20+10=30（秒） 答：两人第一次相遇时，小明共跑了30秒。
追击问题：(2)同地不同时 快路程=慢路程
同时异地追及问题 乙的路程-甲的路程=甲乙之间的距离
T(
V 乙
- V甲 )=s
t
乙 甲
S
例2、小明每天早上要在7：50之前赶到距家
1 000 m的学校上学.一天,小明以80m/min的
速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了 带语文书.于是，爸爸立即以180m/min的速
度去追小明，并且在途中追上了他.
（1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？
同时同地同向在同一跑道进行比赛
应用一元一次方程—追赶小明
3、相遇问题的相等关系：
甲的行程+乙的行程=两地的距离。
作业布置：
完成练习册本课时的习题
3、相遇后，当联络员再次追上七（1）学生时，用了 多长时间？此时联络员或七（1）班学生及七（2）班学生 离学校又有多远？或两个班的学生相距有多远？
4、当七（2）班学生追上了七（1）班学生时，用了多 长时间？此时他们离学校有多远？
谈谈这节课你有什么收获？
1、借助线段图理解题意。 2、追及问题的相等关系：
分析：1、应用题的类型：行程问题。 2、计算公式：路程=速度×时间。 3、相等关系：A、B两地的路程=小亮的行程+小明的行程。
x 4、若设小亮的速度为 千米/小时，可
x 解：若设小亮的速度为 千米/小时，根据题意，得
+
x 解方程，得 = 19
= 72
19 — 2 = 17
所以，小亮的速度为19千米/小时，小明的速度 为17 千米/小时。
分析：1、这是一道关于行程问题的应用题，在七（1）班学生、 七（2）班学生、联络员这三个对象中，他们的 速度 是已知的，而 他们的 行程和时间 是未知的，所以在提问时应从 行程和时间 两 方面来提。
2、在行程过程中，联络员先是追 七（1）班学生 ，后是与 七（2）学生 相遇，然后又去追 七（1）班学生 ，而七（2）班 学生一直都是在追 七（1）班学生 。
x 解方程，得 = 4
因此，爸爸追上小明用了4min。
（2）180×4=720（m）
1000 —720=280（m） 所以，追上小明时，距离学校还有280（m）。
小亮骑自行车
小亮骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到 A地，两人均匀速前进，2小时后，他们相遇。已知A、B 两地相距72千米，小亮的速度比小明的速度每小时快2千 米，求两人的速度。
北师大版七年级上册5.6 应用一元一次方程追赶小明同步测试(含答案)
5.6 应用一元一次方程——追赶小明(含答案)一．选择题：〔四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内〕1．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，甲先跑6米，乙才开场跑，设乙开场跑后x 秒上甲，依题意可列方程〔 〕A ．546x x =-B ．546x x =+C ．546x x -=D ．546x =-2．甲、乙两人从同一地点去某地，假设甲先走2小时，乙从后面追赶，那么当乙追上甲时， 以下说法正确的选项是〔 〕A ．甲、乙两人走的路程相等B ．乙比甲多走2小时C ．乙走的路程比甲多D ．以上答案都不对3．在某公路上有相距90千米的两个车站A ，B ，某日8点整，甲、乙两车分别从A ，B 两站同时出发，相向而行；甲车的速度是70千米/小时，乙车的速度是80千米/小时，那么两车相遇的时刻是〔 〕A ．8点20分B ．8点36分C ．8点50分D ．9点整4．父子两人早上去公园晨练，父亲从家跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，假如父亲比儿子早出发5分钟，那么儿子追上父亲需〔 〕A ．8分钟B ．9分钟C ．10分钟D ．11分钟5．甲、乙两同学从A 地出发到B 地去，甲每小时走6千米，乙每小时走8千米，甲先出发1小时，结果乙还比甲早到1.5小时；假设设A 地与B 地的间隔 为x 千米，那么以下方程正确的选项是〔 〕A ． 1.5 1.568xx +=- B ． 1.568x x =- C ． 1.5 1.568x x -=+ D ．6 1.58 1.5x x -=+ 6．小明同学骑车从学校到家，每分钟行120米，某天回家时，速度进步到每分钟150米，结果提早5分钟到家，设原来从学校到家骑x 分钟，那么列方程为〔 〕A ．120x=150〔x +5〕B ．120x=150〔x -5〕C ．120〔x +5〕=150xD ．120〔x -5〕=150x7．某江的水流速度为4千米/时，某轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用4小时，假设船速为30千米/时，那么A 港和B 港相距〔 〕千米A ．440B ．442C ．450D ．4608．在400米的环形跑道上有两人练习长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同向出发，〔 〕秒后，两人第一次相遇A ．10B ．15C ．20D ．309．我国古代名著?九章算术?中有一题：“今有起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。
《应用一元一次方程——追赶小明》练习题
90 米/分． 速度是____
航行问题
6．(4 分)一轮船在甲、乙两码头间航行，顺流需 4 小时，已知甲、 乙间的路程是 80 千米，水流速度是 2 千米/时，则轮船在静水中的速
18 千米/时． 度为_____
7．(4 分)一艘轮船航行在甲、乙两个码头之间，已知水流速度是 3 千米/时，轮船顺水航行需用 5 小时，逆水航行需用 7 小时，甲、乙
x x 解得 x＝286， 所以从甲到乙用了 ＝11 小时， 从乙到甲用了 ＝13 小 26 22 时，甲、乙两地的距离是 286 千米．
解答题(共 60 分) 9．(8 分)从 A 地到 B 地，先下坡然后走平路，某人骑自行车以每 小时 12 千米的速度下坡，然后以每小时 9 千米的速度通过平路，到达 B 地共用 55 分钟．回来时以每小时 8 千米的速度通过平路，而以每小 时 4 千米的速度上坡，回到 A 地共用 1.5 小时．从 A 地到 B 地有多少 千米？
105 千米． 两地的距离为______
8．(8 分)已知船在静水中的速度是 24 千米/时，水流速度是 2 千 米/时，该船在甲、乙两地间行驶一个来回共用了 24 小时，求从甲到 乙(顺水)及从乙到甲(逆水)航行各用了多少时间？甲、 乙两地的距离是 多少？ x x 解：设甲、乙两地距离是 x 千米，由题意得 ＋ ＝24， 24＋2 24－2
55 x 3 x 解：设平路长为 x 千米，由题意，得 12( － )＝4( － )．解得 x 60 9 2 8
3 x ＝6.x＋4( － )＝6＋3＝9(千米)．答：从 A 地到 B 地有 9 千米． 2 8
10．(8 分)已知环形跑道长 400 米，乙的速度为 80 米/分，甲的速 5 度是乙的4倍，且甲在乙前 100 米，多少分钟后，两人第一次相遇？
《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题
《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题例1 某校新生列队去学校实习基地锻炼，他们以每小时4千米的速度行进，走了41小时时，一学生回校取东西，他以每小时5千米的速度返回学校，取东西后又以同样速度追赶队伍，结果在距学校实习基地1500米的地方追上队伍，求学校到实习基地的路程．例2 某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，__________？”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列出方程．例3 甲骑自行车从A 地出发，以每小时12千米的速度驶向B 地，经15分钟后乙骑自行车从B 地出发，以每小时14千米的速度驶向A 地，两人相遇时，乙已超过中点1.5千米，求A 、B 两地的距离．参考答案例1 分析 该题可以有如下相等关系：一学生从学校追上队伍走的路程＝队伍走过的路程如果设当学生追上队伍时，队伍走了x 小时，则队伍走过的路程可以表示为4x ，学生离开队伍到追上队伍共走了41-x 小时，所以学生从学校追上队伍走过的路程可以表示为441)41(5⨯--x ，所以可得方程.4441)41(5x x =⨯-- 解 设从队伍出发到学生追上队伍所用的时间是x 小时，根据题意，得x x 4441)41(5=⨯-- 解这个方程，得 412=x ，所以学校到实习基地的路程是： 5.105.14124=+⨯ 答：学校到实习基地的路程是10.5千米．说明：该题也可以直接设学校到实习基地的路程是x 千米，有兴趣的读者可以自己试一试．例2 分析 可以进行不同的构思．比如：相遇问题、追及问题等．解法一 补充：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇？ 解答：设经x 小时两车相遇，根据题意，得 .403545++x x解法二 补充：如果两车同时从甲地出发，当摩托车到达乙地时，运货汽车距乙地还有多远？解答：设运货汽车距乙地还有x 千米，依题意得 .45403540=-x 解法三 补充：两车同时从甲地出发，摩托车到达乙地后立即返回，两车在距甲地多少千米处相遇？解答：设两车在距甲地x 千米处相遇，依题意得 .4540235x x -⨯= 请和你的同学一起研究，争取写出更多的补充部分，列出更多的方程． 说明： 这里是条件开放，探究需要补充什么条件求解．例3 分析 （1）首先我们可以从行驶时间和行驶路程两个角度寻找相等关系．1）从行驶时间角度考虑，有下列相等关系：①乙从出发到相遇所行时间＝甲从出发到相遇所行时间－甲提前经过的时间；②乙从出发到相遇所行时间＋甲提前经过的时间＝甲从出发到相遇所行时间；③从整体考虑，乙出发到相遇所行时间二甲、乙两人以速度和行驶全程（两地距离）与甲提前15分钟行驶路程的差所用时间．2）从行驶路程角度考虑，有下列等量关系：①甲行驶的路程＝全程一半－1.5千米；②乙行驶的路程＝全程一半＋1.5千米．（2）本题也可以通过间接设元法来找到答案．甲、乙两人的速度已知，行驶时间未知，我们可以从行程中找到等量关系．根据本题特点，A 、B 两地的半程、全程、甲行程、乙行程都存在相应的数量关系，我们利用这些等量关系，也可以顺利解出本题．解法一 设A 、B 两地距离为2x 千米，依时间关系①，得6015125.1145.1--=+x x ， 即4124322832--=+x x ， 两边乘以4，得1632732--=+x x ，去分母，得42)32(7)32(6--=+x x ，解这个方程，得.812=x答：A 、B 两地的距离为81千米．为节省篇幅，对以下不同解法，只给出方程，不再给出求解的过程．解法二 设A 、B 两地的距离为2x 千米，依时间关系②，得.125.16015145.1-=++x x解法三 设A 、B 两地的距离为2x 千米，依时间关系③.14126015122145.1+⨯-=+x x 解法四 设乙出发x 小时后与甲相遇，则A 、B 两地相距)5.114(2-x 千米，依路程关系①，得 .5.1145.1601512-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 解这个方程，得.3=x81)5.1314(2)5.114(2=-⨯⨯=-x ，答：A 、B 两地相距81千米．解法五 设甲出发x 小时后与乙相遇，则A 、B 两地相距)5.112(2+x 千米，依路程关系②，得5.1125.1601514+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯x x 解这个方程，得25.3=x ，.81)5.125.312(2)5.112(2=+⨯=+x说明： 这里介绍五种解法，目的启发同学创新意识，并运用创新意识求解应用问题，其他解法不一一列举，均大同小异．。
微课5.6 应用一元一次方程——追赶小明
枣庄十五中 周荣奎
“线段图”的基本应 用
1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从
而建立方程解决实际问题，提高分析问题、解决问
题的能力，进一步体会方程模型的作用.
2.应用一元一次方程解决行程问题.
【例题】小明和小彬每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑
4 m，小明每秒跑6 m. （1）如果他们站在100 m跑道的两端同时相向起跑，那 么几秒后两人相遇？ （2）如果小明站在100 m跑道的起跑处，小彬站在他前
面10 m处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？
趣味图解：
(1)如果他们站在100 m跑道的两端同时相向起跑，那么几
秒后两人相遇？ 100 m
小明所跑的路程 小明所跑的路程 +
小彬所跑的路程 小彬所跑的路程 =100
小 明
相 遇
小 彬
【解析】（1）设x s后两人相遇，由题意得
4x+6x=100, 10x=100, x=10, 答：10 s后两人相遇.
趣味图解：
（2）如果小明站在100 m跑道的起跑处，小彬站在他前面
10 m处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？
小彬 小明 若设ｘ s后小明能追上小彬. 10 小明 小彬 6x 4x
追及点
追由题意得 6x-4x=10 2x=10 x=5 答：5 s后小明追上小彬.
行程问题常见类型及公式有哪些？ （1）相遇问题：相遇时间×速度和=路程和. （2）追及问题：追及时间×速度差=被追及的路程. 在套用公式时应具体问题具体分析，理论联系实际.
线段图是有几条线段组合在一起,用来表示应用题中的 数量关系,帮助人们分析题意,解答问题的一种平面图 形。特点:从抽象的文字到直观的再创造、再演示的过 程。线段图，以其形象、直观的特点，在数学教学中 广泛应用。在数学教学中，注重让学生运用线段图来 解决实际问题，有效地提高了学生的自我学习能力和 创新能力，使学生学会学习。
应用一元一次方程--追赶小明
那么他的速度为 200 米/分。
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校 上学．一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明 的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180米/分 的速度去追小明。
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
相遇问题：
A走的路程
相遇处
B走的路程
A
B
A与B之间相隔的路程
等量关系：
A走的路程＋B走的路程＝A与B之间相隔的路程
小 结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2、谈谈你的收获？
作业：P192 习题5.10 问题解决1
85×0.4
85x
110x
南京
北京
1170
解：设两车行驶了x小时相遇，
根据题意，得
85×0.4＋85x＋110x＝1170
解得
x≈5.83
答：轿车行驶了约5.83小时两车相遇。
追及问题：
B
A与B之间相隔的路程 A
A后走的路程
B追A追到地方
B所走的路程
等量关系： A与B之间相隔的路程＋A后走的路程＝B所走的路程
根据题意，得 85x＋110x＝1170
化简
195x＝1170
x＝6
答：两车行驶了6小时相遇。
轿车方向
南京到北京的路程为1170公里。客车从南京开出，每小时
行驶85公里，轿车从北京开出，每小时行驶110公里，
（2）客车先开出24分钟，两车相向而行，轿车行驶了多少
小时两车相遇？ (结果精确到0.01）
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
(2)追上小明时，距离学校还有多远？
80×5
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《应用一元一次方程追赶小明》典型例题
例1某校新生列队去学校实习基地锻炼，他们以每小时4千米的速度行进, 走了1小
时时，一学生回校取东西，他以每小时5千米的速度返回学校，取东4
西后又以同样速度追赶队伍，结果在距学校实习基地1500米的地方追上队伍，求学校到实习基地的路程.
例2某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如
下字样：甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速
度为35千米/时，
? ”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将
这道作业题补充完整，并列出方程.
例3甲骑自行车从A地出发，以每小时12千米的速度驶向B地，经15 分钟后乙骑自行车从B地出发，以每小时14千米的速度驶向A地，两人相遇时，乙已超过中点1.5千米，求A、B两地的距离.
参考答案
例1分析该题可以有如下相等关系:
一学生从学校追上队伍走的路程=队伍走过的路程 1
4咒 2一+1.5 =10.5
4
答：学校到实习基地的路程是10.5千米. 说明：该题也可以直接设学校到实习基地的路程是 x 千米，有兴趣的读者可以 自
己试一试.
例2 分析 可以进行不同的构思.比如：相遇问题、追及问题等.
解法一 补充：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇? 解答：设经x 小时两车相遇，根据题意，得
45X + 35X + 40.
解法二 补充：如果两车同时从甲地出发，当摩托车到达乙地时，运货汽车 距乙地还有多远?
解答：设运货汽车距乙地还有 x 千米，依题意得
40
—x 40
解法三 补充：两车同时从甲地出发，摩托车到达乙地后立即返回，两车在 距甲地多少千米处相遇?
解答：设两车在距甲地x 千米处相遇，依题意得
35
45
请和你的同学一起研究，争取写出更多的补充部分，列出更多的方程. 说明： 这里是条件开放，探究需要补充什么条件求解.
如果设当学生追上队伍时，队伍走了 x 小时,
则队伍走过的路程可以表示
为4x ,学生离开队伍到追上队伍共走了 x-1
小时, 4
所以学生从学校追上队伍走
1 1
过的路程可以表示为5&-丄）-丄咒4，所以可得方程
4
4
解 设从队伍出发到学生追上队伍所用的时间是
1 1
5（x - —）一-x 4 = 4x.
4 4
x 小时，根据题意，得
5(x -1) -1x4 =4x
4 4
解这个方程，得
x=2丄，所以学校到实习基地的路程是:
4
35
45
x 2X40-x
例3 分析（1）首先我们可以从行驶时间和行驶路程两个角度寻找相等关系.
1)从行驶时间角度考虑，有下列相等关系:
①乙从出发到相遇所行时间=甲从出发到相遇所行时间一甲提前经过的时
设乙出发x 小时后与甲相遇，贝U A 、B 两地相距2(14x-1.5)千米,
间; ②乙从出发到相遇所行时间+甲提前经过的时间=甲从出发到相遇所行时
间;
③从整体考虑，乙出发到相遇所行时间二甲、乙两人以速度和行驶全程(两 地距离)与甲提前15分钟行驶路程的差所用时间.
2)从行驶路程角度考虑，有下列等量关系: ①甲行驶的路程=全程一半一1.5千米; ②乙行驶的路程=全程一半+ 1.5千米. (2)本题也可以通过间接设元法来找到答案.
甲、乙两人的速度已知，行驶时间未知，我们可以从行程中找到等量关系.根 据本题特点，A 、B 两地的半程、全程、甲行程、乙行程都存在相应的数量关系, 我们利用这些等量关系，也可以顺利解出本题.
解法一 设A 、B 两地距离为2x 千米，依时间关系①，得
X-1.5 _15
14 12 60 ‘ 前 2x +3 2x-3 1
艮卩 --- = ------ ，
28
24
4
两边乘以4,得3
7
x+1.5 6 -1
，
去分母，得 6(2x +3)=7(2x-3)-42，
解这个方程，得2x=81.
答：A 、B 两地的距离为81千米.
为节省篇幅，对以下不同解法，只给出方程，不再给出求解的过程. 解法二 设A 、B 两地的距离为2x 千米，依时间关系②，得
x+1.5 丄 15 X —1.5 ----- 十 --- = ------- 14
60 12 解法三 x +1.5
设A 、B 两地的距离为2x 千米，依时间关系③
14 2x-12X —
= ________ 60 12 + 14
解法四
依路程关系①，得12”計「―.
解这个方程，得x=3.
2(14x-1.5) =2咒(14x3-1.5) =81 ,
答：A、B两地相距81千米.
解法五设甲出发x小时后与乙相遇，则A、B两地相距2(12x + 1.5)千米,
依路程关系②，得
14』x』L.5=12x+1.5
I 60丿
解这个方程，得x=3.25，
2(12x +1.5) =2(12X3.25 +1.5) =81.
说明：这里介绍五种解法，目的启发同学创新意识，并运用创新意识求解应用问题，其他解法不一一列举，均大同小异.。