整式与恒等变形-初中数学联赛题型解读系列(一)
整式恒等变形
第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
初中数学竞赛：恒等式的证明
初中数学竞赛：恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证ab=ac+bc，只要证c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．证由已知有①×②×③得x2y2z2=1．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．。
竞赛讲座(整式的恒等变形)
竞赛讲座(整式的恒等变形)一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：①(a+b) (a-b)=a2-b2②(a±b)2=a2±2ab+b2③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
5、余数定理多项式()x f除以 (x-a) 所得的余数等于()a f。
特别地:()a f=0时，多项式()x f能被(x-a) 整除二、例题精讲例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+ (1998)()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1,例2计算 (2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。
L15-S-整式与分的恒等变形
������ ± ������ = (������ ± ������)(������ ∓ ������������ + ������ ) ������ + ������ + ������ − 3������������������ = (������ + ������ + ������)(������ + ������ + ������ − ������������ − ������������ − ������������)
������ + ������ + ������ ± ������������ ± ������������ ± ������������ =
1 1 1 ������������ + ������������ + ������������ = [(������ + ������ + ������) − ������ − ������ − ������ ] = (������ + ������ + ������) − [(������ − ������) + (������ − ������) + (������ − ������) ] 2 3 6
解：(1)原式= ������ − 2 ∙ ������ ∙ 2 + 2 − 9 = (������ − 2) − 3 = (������ − 2 + 3)(������ − 2 − 3) = (������ + 1)(������ − 5) (2)原式= (������ − 4������ + 4) + (������ + 6������ + 9) + 5 = (������ − 2) + (������ + 3) + 5 ∴ 当������ = 2, ������ = −3 时，原式取最小值 5 (3)原式= ������ − 2(������ + 1)������ + (������ + 1) − (������ + 1) + 2������ − 4������ + 27 = (������ − ������ − 1) − ������ − 2������ − 1 + 2������ − 4������ + 27 = (������ − ������ − 1) + ������ − 6������ + 9 + 17 = (������ − ������ − 1) + (������ − 3) + 17 ∴当 ������ = 4 ������ − ������ − 1 = 0 即 时 ������ = 3 ������ − 3 = 0
整式的运算恒等变形竞赛课程
整式恒等变形【专题简介】把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，在数学求根作图方面有很广泛的应用．因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显．基本的分解方法有：①提公因式法②公式法③十字相乘常见分解技巧有：①主元法②换元法③拆添法④双十字相乘法高端分解方法有：①因式定理②待定系数③轮换对称【学习目标】学习换元法、因式定理、待定系数题型一消元与降次强化挑战【例1】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2【练1】已知x，y，z为有理数，(y－z)2＋(x－y)2＋(x－z)2＝(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2，求(yz＋1)(zx＋1)(xy＋1)的值．()z2＋1x2＋1()y2＋1()【例2】（第14届希望杯1试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值【练2】当x－y＝1，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值【例3】（第14届希望杯邀请赛试题）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝.【练3】（1990年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二因式分解基础夯实【例3】（1）已知a5＋a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3＝.(2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝.(3)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋bc ＋ac ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a 、b 、c 的值．【练4】（1）方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解（x ≤y ）为 .(2)若x 5＋x 4＋x ＝－1，则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝ .(3)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．【例5】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．【练5】矩形的周长为28cm ，它的两边长x cm ，y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．强化挑战【例6】（已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求2b ＝a ＋c .【练6】（1）在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b .(2)已知∆ABC 三边a ，b ，c 满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断∆ABC 的形状，并说明理由．题型三乘法公式强化挑战【例7】若x ＋y ＝a ＋b ，且x 2＋y 2＝a 2＋b 2，求证：x 2014＋y 2014＝a 2014＋b 2014.【练7】已知a ＋b ＝c ＋d ，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a 2013＋b 2013＝c 2013＋d 2013.巅峰突破【例8】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013.【练8】（第6届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值【例9】已知a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0. 【练9】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝．【例10】（2009北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，（1）求ab＋bc＋ac的值（2）求a4＋b4＋c4的值【练10】若a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，a3＋b3＋c3＝83，求①abc的值；②a4＋b4＋c4的值题型四配方深入研究【例11】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y【练11】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y【例12】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y【练12】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y.【例13】已知实数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝7，ab ＋bc ＋b ＋c 2＋16＝0，则 b a的值等于 ．【练13】已知a －b ＝4，ab ＋c 2＋4＝0，则a ＋b ＝ ．【例14】当x 变化时，分式3x 2＋6x ＋512x 2＋x ＋1的最小值是 ．【练14】（2000年联赛）实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y＝ .第9讲7年级尖端班课后作业【习1】已知求x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值.【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072，则m（）A．是完全平方数还是奇数B.是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24则这样的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是三角形三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2b2的值（）A恒正B恒负C可正可负D非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋2b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值【习8】已知x是实数，并且x3＋2x2＋2x＋1＝0，求x2008＋x2011＋x2014的值【习9】（1999年北京初二数学竞赛）若3 x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．【习10】（第18届希望杯初一）有理数a、b、c满足a∶b∶c＝2∶3∶5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（2010北京市初二数学竞赛）x、y为实数，满足x＋y＝1，x4＋y4＝72，求x2＋y2的值．【习12】（十八届希望杯初二二试）已知a1、a2、a3……a2007是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋a3……＋a2006）（a2＋a3……＋a2007）N＝（a1＋a2＋a3……＋a2007）（a2＋a3……＋a2006）试比较M、N的大小【习13】（2013年联赛）已知实数x、y、z满足x＋y＝4，│z＋1│＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝．【习14】（2013年竞赛）已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0则abc的最大值为．【习15】（2001年联赛）求实数x、y的值，便得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
恒等证明-第十一讲恒等变形1简单的整式运算教师版
第十一讲 恒等变形（1）简单的整式运算一、 基础知识（一）整式的基本概念1. 整式是单项式和多项式的统称．2. 单项式：由数与字母的乘积所组成的代数式叫做单项式.单独的一个数字或字母也是单项式.单项式中的数字因数叫单项式的系数.单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．3. 多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中次数最高的项的次数就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数项．4. 同类项：在一个多项式中，所含字母相同且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．（二）整式的运算1. 整式的加减运算：整式的加减运算实际上就是合并同类项，结果仍是整式（不含同类项）.2. 整式的乘除运算：a m ·a n =a m+n ；(a m )n =a mn ；(ab)n =a n b n ；a m ÷a n =a m-n（三）乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，本讲介绍最常用几条的乘法公式：①) 222()2a b a ab b ±=±+ ②) 33223()33a b a a b ab b ±=±+± ③) 22()()a b a b a b +-=- ④) 2233()().a b aab b a b ±+=±注：本讲的重点是整式的运算，乘法公式只作简单介绍。
下一讲则会重点讲解乘法公式和配方法。
二、名校真题回放例1．（首师大附中2005～2006初一期中测试）()()5333223a b 2a b 6a b -÷-=__________ 解：311a b ab 23-+例2．（首师大附中2005～2006初一期中测试）()()()()2x 13x 26x 44x 2+÷-⨯-÷+= 解：1例3．（首师大附中2005～2006初一期中测试）(x+y-a)(x-_________)=x 2-(y-a)2 解：y+a例4．（首师大附中2005～2006初一期中测试）试求()()()()()()24816322121212121211+++++++的个位数字.解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)÷(2-1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)…(232+1)÷1+1 =(232-1)(232+1)+1=264，则个位数为6.三、活题巧解（一）整式的加减运算例1．已知a 、b 、c 满足(1)()253220a b ++-=； (2)2113a b cx y-++是7次单项式； 求多项式()22222234a b a b abc a c a b a c abc ⎡⎤------⎣⎦的值．解：由()253220a b ++-=，非负数的性质得30,20a b +=-=，则3,2a b =-=.代入（2）中，2(3)1213cx y--++为7次单项式，∴()2312c --+++=7，∴1c =-，当3,2,1a b c =-==-时， 原式22222234a b a b abc a c a b a c abc =-+--+-2233abc a c a b =+-()()()()()2232133133275=-⨯⨯-+⨯-⨯--⨯-⨯=-例2．(第13届“希望杯”数学竞赛试题)如果2001()a b +=-1，2001()a b -=l ，则20032003a b +的值是( )．A ．2B ．1C ．0D ．-1 解：根据题设，可得：11a b a b +=-⎧⎨-=⎩或11a b a b +=-⎧⎨-=-⎩ ∴0a 11b 0a b ⎧==-⎧⎨⎨=-=⎩⎩或 ∴20032003a b +=-1 ∴ 原式的值为-1，选D ．例3．(北京“迎春杯”竞赛题)当x 的取值范围为 _____时，式子447134x x x -+---+的值恒为一个常数，这个值是_________.解：欲使式子的值为常数，则x 的系数之和为零，须使4-7x ≤0，且13x -≤0，得x ≥47.这个值是1.例4．(第16届“希望杯”初一年级培训题)已知,,,x y a b 都是正整数，且,13x y a b xy ab +=+-=，则x y -=_________.解： 因为x y a b +=+，所以b x y a =+-，于是()()()13xy ab xy a x y a x a y a -=-+-=--=，因为13是质数 所以 当1x a -=-时13y a -= 或 当1y a ==时13x a -= 或 当1x a -=-时，13y a -=-，或 当1y a -=-时13x a -=-，又因为()()x y x a y a -=---所以12x y -=或12-例5．（第十一届希望杯培训题)已知关于x 的二次多项式()()3223325a x x x b x x x -++++-，当2x = 的值为-17，则当2x =-时，这个多项式的值为_________. 解：整理原多项式得()()()331235a xb a x b a x ++-++-，因其为二次多项式，故10,1a a +==-，又由题意知()()222123517b b ⨯++⨯--=-，得1,b =-∴2x =-时，原式()()()()222121354851=-⨯-++-⨯---=-+-=-（二）整式的乘除运算例6．（1993年河南省安阳市初中数学竞赛题）求证：1532842.....1)1)(1)(1)(1(x x x x x x x x +++++=++++ 证明： 当x=1时，左边=16，右边=16，恒等式成立。
第13讲 整式恒等变形
第十三讲整式恒等变形知识模块一、降次与消元知识梳理：通过已知等式变形后代入需求的代数式中，可以将所求表达式进行降次或消元使复杂代数式得到化简，例如：已知x2−x−1=0，可将等式变形为x2=x+1，将其代入所有x的次数不低于二次的项中，从而达到降次目的。
例1．（1）若3x3−x=1，求9x4+12x3−3x2−7x+2013的值；（2）已知a3+2a=−2，求3a6+12a4−a3+12a2−2a−4的值；（3）已知x2+x−1=0，求x8−7x4+11的值。
例2．已知a、b、c都是正整数，并且a+b+c=55，a−bc=−8，求abc的最大值及最小值。
知识模块二、配方法知识梳理：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
重要性质：平方式的非负性常可通过配方法，得到非负的完全平方式求解不定方程、做差比较大小、求解代数式的最值。
例3．（1）若m2+n2+6n−4m+13=0，则(m+n)2017= ；（2）已知a2b2+a2+b2+10ab+16=0，求a2+b2的值；（3）已知14(b−c)2=(a−b)(c−a)且a≠0，求b ca+的值。
例4．（1）若A=x2+4xy+y2−4，B=4x+4xy−6y−25，试比较A、B的大小关系。
（2）若x≠y，则x4+y4x3y+xy3(填“>”或“<”)例5．阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2−2a+5的最小值。
方法如下：a2−2a+5=a2−2a+1+4=(a−1)2+4，由(a−1)2≥0，得(a−1)2+4≥4，代数式a2−2a+5的最小值是4。
（1）仿照上述方法求代数式x2+6x−5的最小值；（2）代数式−a2−4a+10有最大值还是最小值?请用配方法求出这个最值。
例6．（1）求代数式(a+2b)2+(a−1)2+(b−1)2−7的最小值；（2）已知实数a、b满足a2+b2=1，试求a4+a2b2+b4的最大值和最小值。
七年级数学上册2.1整式恒等变形素材新人教版
恒等变形恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．如：a+b＝b+a；2x+5x＝7x都是恒等式．而t2+6＝5t，x+7＝4都不是恒等式．以前学过的运算律都是恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法．1．如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的．如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个．反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项)．2．通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的．如：如果ax2+bx+c＝px2+qx+r是恒等式，那么必有：a＝p，b＝q，c＝r.例：求b、c的值，使下面的恒等成立．x2+3x+2＝(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x＝1，代入①，得12+3.再设x＝2，代×1+2＝(1-1)2+b(1-1)+c,c＝6入①，由于已得c＝6，故有22+3×2+2＝(2-1)2+b(2-1)+6,b＝5.∴x2+3x+2＝(x-1)2+5(x-1)+6.解二：将右边展开x2+3x+2＝(x-1)2+b(x-1)+c,＝x2-2x+1+bx-b+c,＝x2+(b-2)x+(1-b+c).比较两边同次项的系数，得由②得b＝5,将b＝5代入③得,1-5+c＝2,c＝6.∴x2+3x+2＝(x-1)2+5(x-1)+6.这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值．。
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（5） 和（差）的立方： a b a3 b3 3ab a b ; a b a3 b3 3ab a b ；
（6） 立方和（差）： a3 b3 a b a2 ab b2 ; a3 b3 a b a 2 ab b2 ； （7） （8） 2.
1 1 a 2 4a b2 b (a 2 b2 ) ，即 3a2 8a (b 1) 2 ≤4 a 2 ，所以 a ≥ 8 或 a ≤ 0 ，因此 2 2 只能有 a 0 ，和第一种情况是同一个解．
2、不定方程 这类问题通常是考虑整数解的问题，经常使用到因式分解，配方或者放缩。 【例2】 (2007 年竞赛)方程 x3 6 x2 5x y3 y 2 的整数解 x, y 的个数是（ ）． A.0 B.1 C.3 D.无穷多 【解析】 选 A.原方程可变形为：x x 1 x 2 3x x 1 y y 1 y 2 2 ，左边是 6 的 倍数，而右边不是 6 的倍数．
2 2 2
3 x y 3 0 5 5 5 1 当 时，上式取得最小值，此时 x ， y ，最小值为 ． 2 6 6 x 5 0 6
（2） 乘法公式与最值 【例8】 （2012 年联赛）已知实数 a、b 满足 a2 b2 1 ，则 a4 ab b4 的最小值为（ A． 【解析】 B.
5、乘法公式的运用 （1） 乘法公式的直接使用 这类问题结构特征与常见的基本乘法公式明显一致， 直接使用即可， 当然我们需要 注意一些限制条件，比如分母，取等条件等等。 【例9】 （2004 年联赛） 已知 abc 0 ， 且abc 0， 则代数式 A．3 B．2 C．1 D．0
a 2 b2 c 2 的值是 （ bc ca ab
2
（3） 三元完全平方： a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca ；
2
（4）
1 2 2 2 a 2 b2 c2 ab bc ca a b b c c a ； 2
3 3
3、整体降次 结合整体和降次的思想， 利用大除法等工具,近些年来这类题目更多的会结合根式和 分式的形式出现，这类题目我们会在分式和根式中再次介绍，目的是希望大家牢固的掌 握。 【例3】 （1998 年联赛）已知 x2 x 1 0 ，那么代数式 x3 2 x 1 的值是_________．
故 0 (ab )
2
1 4
9 1 2 9 9 9 4 4 ，因此 0 2(ab ) ，即 0 a ab b . 16 4 8 8 8
因此 a 4 ab b4 的最小值为 0，当 a
2 2 2 2 或a 取得. ,b ,b 2 2 2 2
3 2 【解析】 2 。 x 2 x 1 x 1 x x 1 2 2 .
【例4】 (2008 年联赛)设 a
2 2
a 5 a 4 2a 3 a 2 a 2 5 1 ___________。 ，则 a3 a 2
5 1 3 5 2 【解析】 2 。∵ a 2 2 1 a ，∴ a a 1 ，
a3 b3 c3 3abc a b c a 2 b2 c 2 ab bc ca
a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2 a2 a b c a b c b c a c a b
【例5】 （2011 年竞赛）设 x A．0 B．1
5 3 ，则代数式 x( x 1)( x 2)( x 3) 的值为（ ） 2
C．－1 D．2
【解析】 C。 x x 3
5 3 5 3 59 5 1 5 1 5 1 1 ， x 1 x 2 1 2 2 4 2 2 4
2
A.正数
D.整数
2
4 y 2 11 1 384 M 3x 2 8xy 9 y 2 4 x 6 y +13 3 x 0 y 3 3 11 33
【例7】 （2001 年联赛）求实数 x, y 的值，使得 ( y 1)2 ( x y 3)2 (2 x y 6)2 达到最小 值． 【解析】 y 1 x y 3 2 x y 6
4、配方与最值 配方法是我们初中阶段最重要的方法之一，某些题目里面需要我们把完全平方公式 理解和运用的比较熟练，同时在近些年中，利用乘法公式的一些变形以及函数的最值的 使用也渐渐融入进来，所以这类问题综合性在增加，需要我们平时多留心积累经验。 （1） 配方与最值 【例6】 （2005 年竞赛）若 M 3x2 8xy 9 y 2 4 x 6 y +13 ( x, y 是实数)，则 M 的值一定 是( 【解析】 选 A. ) B.负数 C.零
）
1 8
B．0
C．1
D．
9 8
1 9 a 4 ab b4 (a 2 b2 )2 2a 2b2 ab 1 2a 2b2 ab 2(ab ) 2 . 4 8
因为 2 | ab | a 2 b2 1 ，所以
1 1 3 1 1 ab ，从而 ab ， 2 2 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 4
2 2 2
5x2 6 xy 3 y 2 30 x 20 y 46
2 2
3 3 5x2 6 y 30 x 3 y 20 y 46 5 x y 3 5 y 3 3 y 2 20 y 46 5 5 3 3 5 1 6 6 5 x y 3 y2 2 y 1 5 x y 3 y 5 5 5 5 6 6
近15年"整式"考察分值 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 39 34 39 34 21 14 7 0 7 0 7 7 14 7 14
总结这几年来初中数学联赛对整式的考察， 整式一般会考察 2 道题左右， 考察的分值最 高达到 39 分（2 道一试题外加 1 道二试题），而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟 随几年的低峰，我们可以认为在接下来的一两年内，会在一试中进行 2 题左右的考察。
a b ________．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 1 .分情况讨论，可得 1 2a b 2a 1 b2 a2 或 (1 2a b) 2a 1 b2 a2 ．
如果是第一种， 则 b 2 b2 a 2 ， 消去 a 可得 2b2 b 3 0 ， 可得 b 1 或
）
3 3 3 2 2 2 【解析】 A。 a b c 3abc a b c a b c ab bc ca 0 ，
所以
a 2 b 2 c 2 a 3 b3 c 3 3. bc ca ab abc
二、整式中的知识与技巧
整式为后续分式和根式提供了方向，代数式是方程的基础，方程是函数的基础，而整式 恒等变形的技巧贯穿了整个代数，可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。 整式中的知识大体来说包含了：乘法公式，因式分解及恒等变形，三个部分，这里简单 的介绍前两个部分的基础知识。 1. 乘法公式 这里介绍常用的八个乘法公式： （1） 平方差： a2 b2 a b a b ； （2） 平方： a b a 2 2ab b2 ；
3 2 3 2 5 4 3 a 2 a 2 a a a 2a a a 2 ∴ a a 2a a3 a a a2 a
a 3 2a 3 1 2 1 a 3 1 a3 1 a a 2 (1 1) 2 ． a 1 a a a 2 1 a
x y y z z x
前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握， 后 2 种有兴趣有精力的学生可以选 择性的进行学习。 3. 恒等变形的常见技巧 （1） 因式分解； （2） 配方； （3） 消元、降次； （4） 轮换对称； （5） 配对.
三、联赛中整式的考察方式
1、结合绝对值 结合绝对值非负性以及整数的离散性。 【例1】 （2009 年联赛）如果实数 a, b 满足条件 a2 b2 1, 1 2a b 2a 1 b2 a 2 ，则
因式分解 简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午； （2） 公式法： x6 y 6 x3 y3 x3 y3 x y x y x 2 xy y 2 x 2 xy y 2 ； （3） 分组分解法： ax ay bx by a x y b x y a b x y ； （4） 十字相乘:二次三项式 abx2 ad bc x cd ax b cx d ； （5） 双十字相乘： 选定两个二次三项式进行十字相乘； 分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: a4 a2b2 b4 a4 2a2b2 b4 a 2b2 a2 ab b2 a 2 ab b2 ; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单； （8） 主元法：多字母的代数式，可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理：多项式 f x ，当 x a 的时候 f a 0 ，则 f x 有因式 x a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x、y、z 的轮换式有因式 x y ，则其有因式