2015年高考数学(文)一轮课件：5-5简单的三角恒等变换
通关训练3 π)，求2α－β的值．
1 1 已知tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，且α，β∈(0， 2 7
tanα－tanβ 1 1 解析：由tan(α－β)＝2知， ＝ . 1＋tanαtanβ 2 1 1 将tanβ＝－ 代入上式解得tanα＝ . 7 3 1 2× 3 2tanα 3 ∴tan2α＝ ＝ 1 ＝4， 1－tan2α 1－ 3 2 3 1 ＋ tan2α－tanβ 4 7 ∴tan(2α－β)＝ ＝ ＝1. 3 1 1＋tan2αtanβ 1＋4×－7
通关训练1
cos2α－sin2α (1) π π ＝__________. 2tan4－αcos24－α
1 1＋cos20° ＝__________. －tan5° (2) 2sin20° －sin10° tan5°
(3)tan25° ＋tan35° ＋ 3tan25° tan35° ＝__________.
2 2 7 2 2 sin α＋ 2 cosα＝－ 10 .
7 2 答案：－ 10
π 2 5．若tanα＋4＝ ，则tanα＝__________. 5
π tanα＋1 2 解析：tanα＋4＝ ＝ ， 1－tanα 5
即5tanα＋5＝2－2tanα. 3 则7tanα＝－3，故tanα＝－7.
π . 2sinα± 4
4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可化为f(α)＝ a2＋b2 sin(α＋φ)或f(α)＝ a2＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值 唯一确定．
答案：
●一点注意 三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范 围是防止增解的有效措施． ●两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β α＋β α－β α－β β α ＝ 2 － 2 ， 2 ＝α＋2－2＋β. (2)化简技巧：切化弦，“1”的代换等．
)
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝ 4 1 2× －1＝－ . 9 9
答案：B
π 4 4．若cosα＝－ ，α是第三象限角，则sinα＋4＝_________. 5
3 解析：由已知条件sin α＝－ 1－cos α＝－5，
2
π sinα＋4＝
4 3 又∵sinα＝ ，∴cosα＝ . 5 5 ∴cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 3 3 10 4 10 10 ＝5× 10 ＋5×－ ＝ 10 . 10
10 答案： 10
考点三
三角函数的给值求角
1 13 π 【例3】 已知cosα＝7，cos(α－β)＝14，且0＜β＜α＜2，求β. 思维启迪：拆分角：β＝α－(α－β)，求出β的正弦值或余弦 值，再由β的范围即可求出β.
cos10° ＝2sin10° －2cos10° cos10° －2sin20° ＝ 2sin10° cos10° －2sin30° －10° ＝ 2sin10° 3sin10° 3 ＝ 2sin10°＝ 2 .
(3)原式＝(1－tan25° tan35° )tan60° ＋ 3tan25° tan35° ＝ 3－ 3tan25° tan35° ＋ 3tan25° tan35° ＝ 3.
答案：D
2．sin68° sin67° －sin23° cos68° 的值为( 2 2 3 A．－ 2 B. 2 C. 2 D．1
)
解析：原式＝sin 68° cos23° －cos68° sin 23° ＝sin(68° － 2 23° )＝sin 45° ＝ . 2
答案：B
2 3．已知sin α＝ ，则cos(π－2α)等于( 3 5 A．－ 3 1 C. 9 1 B．－ 9 5 D. 3
π π 解析：∵0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ . 2 2 13 1 π 又∵cos(α－β)＝ ，cosα＝ ，0＜β＜α＜ ， 14 7 2 4 3 ∴sinα＝ 1－cos α＝ ， 7
2
Байду номын сангаас3 3 sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝ ， 14
2
∴cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ × ＝ . 7 14 7 14 2 π π ∵0＜β＜2，∴β＝3.
2α＋β
∴cos(α＋β)＝2cos
239 答案：－729
49×5 239 2 －1＝2× 729 －1＝－729.
点评：三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表 示：①已知角为两个时，待求角表示为已知角的和或差；②已知 角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互 补”关系．
通关训练2 1 ，求cosβ的值． 3
别求各角的正弦、余弦．
π 解析：∵0＜β＜ ＜α＜π， 2 π α π π β ∴－ ＜ －β＜ ， ＜α－ ＜π， 4 2 2 4 2
α ∴cos2－β＝ β sinα－2＝
1－sin 1－cos
2
2
α －β＝ 2
5 ， 3
β 4 5 α－ ＝ 2 9 ，
2 答案：(1) ；(2) 6. sinα
点评：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角， 二看名，三看式子结构与特征． (2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类 问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负 相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求 值．
2α 2α
α α 2 cosαcos 2＋sinαsin2 · α cosαcos 2
2cosα 2 ＝ sinα · α＝sinα. cosαcos2
α cos 2
cos10° ＋ 3sin10° (2)原式＝2sin50° ＋sin10° × · 2sin80° cos10°
1 3 cos10° ＋ sin10° 2 2 ＝ × 2cos10° 2sin50° ＋2sin10° × cos10° ＝2 2[sin50° · cos10° ＋sin10° · cos(60° －10° )] 3 ＝2 2sin(50° ＋10° )＝2 2× ＝ 6. 2
5 ________________； (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝□ 6 ________________. (6)T(α－β)：tan(α－β)＝□
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 7 ________________； (1)S2α：sin2α＝□ 8 ______________＝ □ 9 ______________＝ (2)C2α：cos2α＝ □ 10 ____________； □ 11 ____________. (3)T2α：tan2α＝□
●三种变化 (1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系． (2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、 “升幂与降幂”等． (3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次 数等．
sin2α 1．若tanα＝3，则cos2α的值等于( A．2 B．3 C．4
) D．6
sin2α 2sinαcosα 解析：cos2α＝ cos2α ＝2tanα＝2×3＝6.
α＋β β α ∴cos ＝cosα－2－2－β 2 β α ＝cosα－2cos2－β＋ β α sinα－2sin2－β 1 ＝－9×
5 4 5 2 7 5 3 ＋ 9 ×3＝ 27 ，
π 答案： 3
点评：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时， 遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余 弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
π 0， 2
，选正、余
弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为
π π － ， ，选正弦较好． 2 2
已知α，β∈
π 0， 2
4 ，sinα＝ ，tan(α－β)＝－ 5
π π 解析：∵α，β∈0，2，∴－ ＜α－β 2
π ＜ ， 2
1 π 又∵tan(α－β)＝－ ＜0，∴－ ＜α－β ＜0. 3 2 1 10 2 ∴ 2 ＝1＋tan (α－β)＝ 9 ， cos α－β 3 10 10 cos(α－β)＝ 10 ，sin(α－β)＝－ 10 .
3 答案：(1)1；(2) ；(3) 3. 2
考点二
三角函数的给值求值
α β π 1 【例2】 已知0＜β＜ ＜α＜π，且cos α－2 ＝－ ，sin 2－β 2 9
2 ＝ ，求cos(α＋β)的值． 3
α＋β β α 思维启迪：拆分角： 2 ＝ α－2 － 2－β ，利用平方关系分
第五章 三角函数、三角恒等变换、解三角形
第五节
简单的三角恒等变换
教材回归 自主学习
核心考点 引领通关
考题调研 成功体验
开卷速查 规范特训
【考点分析】
(1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式
进行三角变换；(2)利用三角变换讨论三角函数的图像和性质． 【复习指导】 (1)牢记和差公式、倍角公式，把握公式特
3 答案：－ 7
核心考点
引领通关
考点研析 变式通关
考点一
三角函数式的化简与求值
α 1 α α－tan2 ； 1 ＋ tan α · tan 【例1】 (1)化简： · 2 tan2 (2)求值：[2sin50° ＋sin10° (1＋ 3tan10° )]· 2sin280° . 思维启迪：切化弦；注意角之间的联系及转化．
高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0
2
,0
2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
2015年高考数学(文)一轮课件：5-1任意角、弧度制及任意角的三角函数
解析：(1)所有与角α有相同终边的角可表示为 β＝45° ＋k×360° (k∈Z)， 则令－720° ≤45° ＋k×360° ≤0° ， 得－765° ≤k×360° ≤－45° ， 765 45 解得－360≤k≤－360，从而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675° 或β＝－315° .
π 解析：(1)终边在直线y＝ 3x上的角的集合为{α|α＝kπ＋ ，k 3 ∈Z}． 6 6 (2)所有与 7 π角终边相同的角的集合是{θ|θ＝ 7 π＋2kπ，k∈ Z}， θ θ 2 2 ∴所有与3角终边相同的角可表示为3＝7π＋3kπ，k∈Z. θ 2 20 34 ∴在[0,2π)内终边与 角终边相同的角有 π， π， π. 3 7 21 21
3 4 3 或sinα＝ ，cosα＝－ ，tanα＝－ . 5 5 4
考点三
三角函数线、三角函数值的符号
sincosθ 【例3】 (1)若θ是第二象限角，试判断 的符号； cossin2θ 1 (2)已知cosα≤－ ，求角α的集合． 2 思维启迪：由θ所在象限，可以确定sinθ、cosθ的符号；解三角 不等式，可以利用三角函数线．
y －3t 3 当t<0时，r＝－5t，sinα＝r ＝ ＝5， －5t x 4t 4 y －3t 3 cosα＝ r ＝ ＝－5，tanα＝x＝ 4t ＝－4. －5t 3 4 3 综上可知，sinα＝－5，cosα＝5，tanα＝－4 3 4 3 或sinα＝ ，cosα＝－ ，tanα＝－ . 5 5 4 3 4 3 答案：sinα＝－ ，cosα＝ ，tanα＝－ 5 5 4
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45° ，k∈Z}表示的是终边落在四 个象限的平分线上的角的集合； 而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45° ，k∈Z}表示终边落在坐标轴或 四个象限平分线上的角的集合，从而M N.
2015届高三数学一轮课件：第3章 第6节 简单的三角恒等变换
2．用 sin α，cos α 表示 tan
α 2
tan
α2＝1＋sincoαs
α＝1－sincoαs
α .
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应用二倍角公式的变形求值的注意问题
(1)已知 sin α，cos α 的值求 tanα2时，应优先采用 tanα2＝
(2)f(x)＝12sin
2x＋
3 2 cos
2x＝sin2x＋π3，所以最小正周期为
T
＝22π＝π，振幅 A＝1.
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(3)由于 y＝ 3cos x＋sin x＝2cosx－π6，向左平移 m(m>0)个 单位长度后得到函数 y＝2cosx＋m－π6的图象．由于该图象关于 y 轴对称，所以 m－π6＝kπ(k∈Z，m>0)，于是 m＝kπ＋π6(k∈Z， m>0)，故当 k＝0 时，m 取得最小值π6.
(k
∈
Z)
，
即
x
＝
kπ
＋
5π 12
(k
∈
Z)
，
所
以
所
求
x
的集合为
xx＝kπ＋51π2，k∈Z
.
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规律方法 2 1.三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可 能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同 化思想的体现；
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)
第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
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第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
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第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
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第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数名师授课课件(第5课时简单的三角恒等变换)
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x.
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x
23
＝2ssiinn2x2x
2α＝右边，
∴原式成立．
21
三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它 们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直 到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
＝cos x2x＝
2cos22x x
x＝1＋sincoxs
x＝右边．
sin2 2sin2cos2
所以原等式成立．
24
恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12. [思路点拨] 化为fx＝Asinωx＋φ＋b → 由T＝|2ωπ|求周期 →
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－ 1－2 a.]
(2)[解] 原式＝
2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsαα22－＋cos2α2s2inα2.
12
∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＜0，sinα2＞0，
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋
2015届高三数学第一轮总复习课件：第21讲 简单的三角恒等变换
右边＝1－2sicnos2α2α＝4si2nsαin·c2αos α＝tan2 α，
所以ta1nα2－tanα2＝1－2sicnos2α2α.
8 第八页，编辑于星期五：八点 五十二分。五十二分。
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理数
一 三角函数式的化简与证明
【例1】已知f(x)＝22tacnos4π4x－－x2scions22xx＋＋12π4. (1)化简f(x)； (2)若f(x)＝25，且x∈(0，π2)，求证：3tan x＝1.
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理数
＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
12 第十二页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
(2)证明：由(1)知f(x)＝12cos2x＝25，所以cos2x＝45. 又x∈(0，π2)，所以2x∈(0，π)，从而sin2x＝53. 所以tan x＝csoins xx＝2si2nsixnc2oxs x＝1－sicno2sx2x
＝13× 33＋232× 36＝593.
33 第三十三页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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理数
3.(2013·重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝( C )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D．2 2－1
34 第三十四页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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解析：4cos
50°－tan
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【拓展演练2】计算：sin 123°ta4nco1s22°1－2°3－2＝
.
21 第二十一页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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解析：原式＝ 2cos
高考数学一轮单元复习：简单的三角恒等变换PPT共36页
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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2015年高考数学一轮复习课时训练第5节 三角恒等变换
第5节三角恒等变换课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.计算sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( B )(A)-(B)(C)(D)1解析:sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23°=sin(68°-23°)=sin 45°=.故选B.2.(2013惠州模拟)函数f(x)=1-2sin2x是( D )(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数解析:f(x)=1-2sin2x=cos 2x,∴f(x)是最小正周期为π的偶函数,故选D.3.(2013淄博模拟)已知cos(α-)=,则sin 2α等于( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:法一∵cos(α-)=,∴cos α+sin α=,∴cos α+sin α=,∴1+sin 2α=,∴sin 2α=-.故选D.法二sin 2α=cos(2α-)=2cos2(α-)-1=2×()2-1=-.故选D.4.化简等于( C )(A)-2 (B)-(C)-1 (D)1解析:===-1.故选C.5.当-≤x≤时,函数f(x)=sin x+cos x的( D )(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-(C)最大值是2,最小值是-2(D)最大值是2,最小值是-1解析:f(x)=2sin(x+),∵-≤x≤,∴-≤x+≤,∴-1≤2sin(x+)≤2.故选D.二、填空题6.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sin θ+cos θ= .解析:因为θ为第二象限角,所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,因此π+2kπ<θ+<π+2kπ,k∈Z,又tan(θ+)=,从而sin(θ+)<0.所以sin(θ+)=-,所以sin θ+cos θ=sin(θ+)=-.答案:-7.sin α=,cos β=,其中α、β∈(0,),则α+β= . 解析:∵sin α=,cos β=,α,β∈(0,),∴cos α=,sin β=,∴cos(α+β)=×-×=0.又∵α+β∈(0,π),∴α+β=.答案:8.设tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,0<α<,π<β<,则α+β= .解析:∵tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,∴tan α+tan β=,tan αtan β=,∴tan (α+β)==1.∵0<α<,π<β<,∴π<α+β<2π,∴α+β=.答案:9.已知角α、β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,α、β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是-,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cos α= .解析:依题设得,cos β=-,∵0<β<π,∴<β<π,sin β=,又∵sin(α+β)=>0,0<α<π,∴<α+β<π,cos(α+β)=-.∴cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-×+×=.答案:三、解答题10.(2012洛阳模拟)已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<.(1)求tan 2α的值;(2)求β.解:(1)由cos α=,0<α<,得sin α===.∴tan α==×=4,于是tan 2α===-.(2)由0<β<α<,得0<α-β<,∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)===.由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,所以β=.11.(2013广东深圳第一次调研)已知函数f(x)=2sin(+) (0≤x≤5),点A、B分别是函数y=f(x)图象上的最高点和最低点.(1)求点A、B的坐标以及·的值;(2)设点A、B分别在角α、β的终边上,求tan(α-2β)的值.解:(1)∵0≤x≤5,∴≤+≤,∴-≤sin(+)≤1.当+=,即x=1时,Sin(+)=1,f(x)取得最大值2;当+=,即x=5时,Sin(+)=-,f(x)取得最小值-1.因此,点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5,-1).∴·=1×5+2×(-1)=3.(2)∵点A(1,2)、B(5,-1)分别在角α、β的终边上,∴tan α=2,tan β=-.∵tan 2β==-,∴tan(α-2β)==.12.(2013惠州市高三第一次调研)已知函数f(x)=sin (ωx+ϕ) (ω>0,0≤ϕ≤π)为偶函数,周期为2π.(1)求f(x)的解析式;(2)若α∈(-,),f(α+)=,求sin(2α+)的值.解:(1)∵T=2π,则ω==1.∴f(x)=sin (x+ϕ).∵f(x)是偶函数,∴ϕ=kπ+(k∈Z),又0≤ϕ≤π,∴ϕ=.则f(x)=cos x.(2)f(α+)=cos(α+)=,∵α∈(-,),∴α+∈(0,).则sin(α+)=.∴sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=.B组13.若cos α=-,α是第三象限的角,则等于( A )(A)-(B)(C)2 (D)-2解析:因为α是第三象限的角,且cos α=-,所以sin α=-.====-.故选A.14.(2013赣州模拟)已知sin(α+)+cos α=,则cos(-α)的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:∵sin(α+)+cos α=,∴sin α+cos α+cos α=,即×(sin α+cos α)=,∴sin(α+)=,∴cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(α+)=,故选A.15.设函数f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则= .解析:f′(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f′(x)得sin x+cos x=2cos x-2sin x,∴cos x=3sin x,于是===-.答案:-。
三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和差及倍角公式讲义理-高考数学一轮复习资料
第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝□01cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝□02sin αcos β±cos αsin β. (3)T (α±β)：tan(α±β)＝□03tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. (2)C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.公式的常用变形(1)tan α±tan β＝□01tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝□021＋cos2α2， sin 2α＝□031－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.(4)a sin α＋b cos α其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，tan φ＝ba(a ≠0)．1.概念辨析(1)公式C (α±β)，S (α±β)，S 2α，C 2α中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)对任意角α都有1＋sin α3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α6＋cos α62.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.小题热身(1)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B ．sin α C.cos(α＋2β) D ．cos α答案 D解析 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (3)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( )A.－14B.14 C ．－18 D.18答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.(4)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A.0B.3034C.916D.158答案 D解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35， 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158，故选D.题型 一 两角和、差及倍角公式的直接应用1.已知角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎪⎫223，13，则sin(α－β)＝________. 答案 －429解析 因为角α的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，13， 所以sin α＝13，cos α＝223.因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13，所以sin β＝13，cos β＝－223，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－223×13＝－429. 2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32.3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值为________． 答案 －4＋3310解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A.－429 B ．－229 C.229 D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，又∵π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2.(2018·上饶三模)由射线y ＝43x (x ≥0)按逆时针方向旋转到射线y ＝－512x (x ≤0)的位置所成的角为θ，则cos θ＝( )A.－1665 B ．±1665 C ．－5665 D ．±5665答案 A解析 设y ＝43x (x ≥0)的倾斜角为α，则sin α＝45，cos α＝35，射线y ＝－512x (x ≤0)的倾斜角为β，sin β＝513，cos β＝－1213，∴cos θ＝cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.3.若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β等于( )A.5 B ．－1 C ．6 D.16答案 A解析 由题意可得sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5.题型 二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73° ＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17° ＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C.2 D ．2(tan18°＋tan27°)答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2. 3.已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝________. 答案 78解析 由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.条件探究1 将举例说明3的条件改为“sin α－cos α＝43”，求cos4α.解 因为sin α－cos α＝43，所以1－2sin αcos α＝169，所以sin2α＝2sin αcos α＝－79，所以cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－792＝－1781.条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23，α∈(π，2π)”，求sin α＋cos α.解 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝23.所以sin2α＝13>0，又因为α∈(π，2π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以sin α＋cos α<0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋13＝43，所以sin α＋cos α＝－233.1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)． (2)倍角公式变形降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.1.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 由已知得，cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝cos x ＝0.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2.2.(2019·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，则tan x ＝( )A.12 B ．－2 C.22 D. 2 答案 D解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，所以32cos x －12sin x ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22，3cos x －sin x ＝1－sin x ，解得cos x ＝33， 因为x ∈(0，π)，所以sin x ＝1－cos 2x ＝63，所以tan x ＝sin xcos x ＝6333＝ 2.3.化简：－α1－tan 2－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝－2α－2α·12sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12sin2αcos2α＝12. 题型 三 两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1 角的变换1.(2018·南开区模拟)已知0<α＜π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解 (1)sin2β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×13＋45×223＝82－315.角度2 函数名称的变换2.求值：(1)sin10°1－3tan10°＝________；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°＝________.答案 (1)14 (2)32解析 (1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°－＝14. (2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－－2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 2.(2018·吉林第三次调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝________.答案 23解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α2＝1＋132＝23.3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan2α－α＋β1＋tan2αα＋β＝－211.思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1] (2018·石嘴山一模)已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－12 B.12 C ．－14 D.14答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. [典例2] 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________. 答案 17解析 因为tan α＝13，tan(α＋β)＝12， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17. 方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.。