高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.1.2
台上底面、截面和下底面的圆心， V 是圆锥的顶点，令 VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
49＋1 h＋h1 2 ＝ ， h 1 则 49 h＋h1＋h2 ＝ ， h 1
h1＝4h， 所以 即 h1∶h2＝2∶1. h2＝2h，
解答
类型三 复杂旋转体的结构分析 例3 直角梯形 ABCD 如图所示，以 DA 所在直线为轴旋转，试说明所得几
解析 答案
类型二 旋转体中的有关计算
例2 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，
求：(1)圆台的高； 解 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm，
所以高 AM＝ 122－5－22＝3 15(cm).
转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.
解 如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两
个圆锥后剩余部分而成的组合体.
解答
达标检测
②④ 1.下列说法正确的是________.( 填序号) ①圆锥的母线长等于底面圆的直径； ②圆柱的母线与轴平行； ③圆台的母线与轴平行； ④球的直径必过球心.
转面，封闭的旋转面围成的几何体称为 旋转体 .圆柱、圆锥、圆台和球
都是特殊的旋转体.
[思考辨析 判断正误]
1.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.( √ )
2.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.( × )
3.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( × )
题型探究
类型一 旋转体的基本概念
解析 圆锥的母线长与底面圆的直径无联系；
圆台的母线与轴不平行.
1
2
3
4
5
解析
答案
④ 2.可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为______.
(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底
面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误.
④ 填序号) 跟踪训练1 下列说法正确的是_____.( ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形 成的曲面围成的几何体是圆锥； ⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ⑥球面上任意三点可能在一条直线上.
第1章 1.1
空间几何体
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
学习目标
1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用
这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
圆柱、圆锥、圆台的概念
思考 数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？ 答案 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，
例1 判断下列各说法是否正确：
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
解 错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.
(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体 是圆台； 解 错.直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的
几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图
住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴 的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何 变量的方程组而得解.
跟踪训练2 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的 2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比. 解 将圆台还原为圆锥，如图所示 .O2 ， O1 ， O 分别是圆
解答
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 解 如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，
l－12 2 则由△SAO1∽△SBO，可得 l ＝5，解得 l＝20.
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
解答
反思与感悟
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓
转体叫做球体.
梳理 球的结构特征 球 定义 半圆绕着它的直径所在 相关概念 图形及表示
的直线旋转一周所形成
球 的曲面叫做球， 如图可记作：球O
直径 围成的几何体叫做球体， 直径：半圆的_____
知识点三
旋转面与旋转体
一条平面曲线绕它所在平面内的 一条定直线 旋转所形成的曲面叫做旋
垂直于底边的腰所在的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、 圆锥、圆台.
梳理 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的 一边 、 一直角边、 垂直于底边的腰 所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、 圆锥、圆台.如图所示：
圆柱OO′
圆锥SO
圆台OO′
知识点二
球
思考 球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？ 答案 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋
绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转
体一般是不同的.
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象
能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.
跟踪训练 3
如图所示，已知在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，且
AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋
所示.
解答
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆 台的轴截面是等腰梯形； 解 正确.
(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球. 解 错.应为球面.
解答
反思与感悟
(1) 圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边
(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.
何体的形状.
解
以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示.
解答
引申探究
若本例中直角梯形分别以 AB ， BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体
的形状.
解 以AB为轴旋转可得到一个圆台，如图①所示.
以BC为轴旋转可得一个圆柱和一个圆锥的组合体.如图②所示.
解答
反思与感悟
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.3 第3课时
第3课时直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直．知识点一直线与平面垂直的定义知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？★★答案★★不一定．思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？★★答案★★当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)类型一线面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．★★答案★★③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．故填③④.反思与感悟(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.★★答案★★②解析对于①，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于②，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l，m 异面；对于④，l，m还可能相交或异面．类型二线面垂直的判定定理的应用命题角度1证明线面垂直例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他条件不变，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明∵P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.反思与感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.证明 连结BD ，AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，B 1D 1，设正方体的棱长为a ，易证AE ＝CE .∵AO ＝OC ，∴OE ⊥AC .在正方体中易求出D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，∴D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，∴D 1O ⊥OE . ∵D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ，AC ⊂平面ACD 1，∴OE⊥平面ACD1.命题角度2证明线线垂直例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.反思与感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直．跟踪训练3如图所示，若MC⊥菱形ABCD所在的平面，求证：MA⊥BD.证明连结AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.1．若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号)①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．★★答案★★①③解析由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．2．给出下列命题，其中正确命题的序号是________．①垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面；②垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．★★答案★★①②③④解析由直线与平面垂直的定义知，①②正确；③④显然正确．3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.★★答案★★13解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝DE2＋CD2＝22＋32＝13.4．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状是________．★★答案★★菱形解析如图，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，则平行四边形ABCD是菱形．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在Rt△P AE和Rt△CDE中，P A＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.因为BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．一、填空题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是________．(填序号)①m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α；④m∥b，b⊥α.★★答案★★④解析由线线平行及线面垂直的判定知④正确．2．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图(2)所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，则下面结论成立的是________．(填序号)①SG⊥平面EFG; ②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF; ④GD⊥平面SEF.★★答案★★①解析在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF.又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.3．已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1; ②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1; ④AC1⊥BD1.★★答案★★①②③解析正方体中由BD∥B1D1，易知①正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即②正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故填①②③.4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．★★答案★★AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直线l，m，n与平面α，给出下列说法：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确的说法为________．(填序号)★★答案★★①③解析由l⊥α，得l与α相交，所以①正确；若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，因为m，n不一定相交，所以l不一定垂直于α，所以②不正确；由m⊥α，n⊥α，可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正确；由m∥n，n⊂α，得m∥α或m⊂α，所以④不正确．6.如图所示，P A⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．★★答案★★ 4 解析 ∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB ，△P AC ，△ABC ，△PBC ，共4个．7.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 ★★答案★★ 2解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt △P AC 中，AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC＝2.8．在三棱锥P－ABC中，P A⊥PB，P A⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面上的投影是底面△ABC________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心★★答案★★垂解析设O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥P A，PB⊥PC，P A∩PC＝P，∴PB⊥平面P AC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______.★★答案★★90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★A1C1⊥B1C1(★★答案★★不唯一)解析如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝32AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．★★答案★★无数解析设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为3 2a.∵PM ⊥BC ， ∴PM ＝ ⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22 ＝22a . 连结PG 并延长与AD 相交于N 点， 则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a .∴PM 2＋PN 2＝MN 2， ∴PM ⊥PN .∵AD ∥BC ，∴PM ⊥AD ，又PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥平面P AD ， ∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直． 二、解答题12.如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3，在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC.又由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C.13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E，F分别是AB，PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明(1)因为P A⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG .因为底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，所以GF 綊12CD ， 所以GF 綊AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF .因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，由(1)知，CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .三、探究与拓展14．设三棱锥P —ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC .其中正确命题的序号是________．★★答案★★ ①②③解析 因为PH ⊥底面ABC ，所以PH ⊥BC ，又P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AH ，所以BC ⊥AH ，同理BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以①正确；由P A ，PB ，PC 两两互相垂直，易推出BC ⊥AH ，BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以②正确；由∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，得P A ，PB ，PC 在平面ABC 上的射影相等，所以P A ＝PB ＝PC ，所以③正确．15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连结NE ，AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC .又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD .又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD .∵AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，∴CD ⊥MN .又CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 圆柱、圆锥和圆台教案 苏教版必修2(2021年整理)
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2 圆柱、圆锥、圆台和球【教学目标】1. 了解旋转的定义和特点；2. 借助于旋转掌握圆柱、圆锥、圆台和球的概念,明确其各自相应的基本图形和性质； 3． 理解旋转体的概念。
【教学重点】理解圆柱、圆锥、圆台和球的概念的生成过程。
【教学难点】组合体的分割.【过程方法】利用实物模型、计算机软件观察空间图形、认识圆柱、圆锥、圆台、球、旋转体及其简单组合体的结构特征，并能找出它们之间的联系,确立正确的认识问题的世界观。
【教学过程】一、导入新课：下面的几何体与多面体不同，仔细观察这些几何体，他们有什么共同特点或生成规律？1．旋转旋转是指将一个图形上所有点绕着一个固定点或一条固定直线转过相同的角度.2．圆柱、圆锥、圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一条直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台，这条直线叫做轴(旋转轴）,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线。
3．圆柱、圆锥、圆台的结构特征（1）圆柱①圆柱的轴通过上、下底面的圆心，并且垂直于底面；②圆柱的母线长都相等，并且等于圆柱的高；③平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是与底面相等的圆;④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是全等的矩形.这样的截面称为圆柱轴截面.(2)圆锥①圆锥的轴过顶点和下底面的圆心，并且垂直于底面;②圆锥的母线长都相等，并且相交于一点；③平行于圆锥底面的平面截圆锥所得的截面是圆面；④经过圆锥的轴的平面截圆锥所得的截面是全等的等腰三角形.这样的截面称为圆锥轴截面.(3）圆台①圆台的轴通过上、下底面的圆心，并且垂直于底面;②圆台的所有母线长都相等；③平行于圆台底面的平面截圆台所得的截面是圆面；④经过圆台轴的平面截圆台所得的截面是全等的等腰梯形。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 滚动训练一
滚动训练一(1.2.1～1.2.4)一、填空题1．下列命题错误的是________．(填序号)①两两相交的三条直线可确定一个平面；②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行；③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行；④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线．考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案①②④解析对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；对于②，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误；对于③，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确；对于④，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故④错误．2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是________．①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案②③解析对于①，X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三条棱：对于②，X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质定理可知正确；对于③，Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线的两个平面平行可知正确；对于④，X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是________．(填序号)①若m ⊂α，α⊥β，则m ⊥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α；④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案④解析由m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知在①中，若m ⊂α，α⊥β，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故①错误；在②中，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故②错；在③中，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，故③错误；在④中，若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．4．正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为________．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案60°解析如图，过顶点作垂线，交底面于正方形对角线交点O ，连结OE ，∵正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，∴PO ＝22，AB ＝3，AC ＝6，PA ＝2，OB ＝62，∵OE 与PA 在同一平面，是△PAC 的中位线，∴OE ∥PA 且OE ＝12PA ，∴∠OEB 即为PA 与BE 所成的角，OE ＝22，由题意知，PO ⊥BO ，又BD ⊥OC ，PO ∩OC ＝0，∴BD⊥平面POC，∵OE⊂平面PDC，∴BO⊥OE.在Rt△OEB中，tan∠OEB＝OBOE＝3，∴∠OEB＝60°.5．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案4解析在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，∴BD∥平面CB1D1，故①正确；在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正确；在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，故AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确．6．已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝23，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的体积的最大值为________．考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案3解析根据题意三棱椎P －ABC 外接球半径为2，且AB ＝BC ＝CA ＝23，∴△ABC 是截面为大圆上的三角形，设圆心为O ，AB 的中点为N ，ON ＝22－3＝1，∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴三棱锥P －ABC 的体积最大时，PN ⊥AB ，PN ⊥平面ABC ，PN ＝22－1＝3，∴三棱锥P －ABC 的体积的最大值为13×34×(23)2×3＝3.7．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，E 是CD 上一点，若AE ⊥平面PBD ，则CE ED＝________.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案3解析∵PD ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥AE ，当AE ⊥BD 时，AE ⊥平面PBD ，此时△ABD ∽△DAE ，则AB AD ＝AD DE，∵AB ＝2BC ，∴DE ＝14AB ＝14DC ，∴CE ED＝3.8．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，且PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中正确的是________．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.考点线面平行、垂直的综合应用题点直线与平面所成的角答案④解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝PAAD＝2AB2AB＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.9．二面角α－l－β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________．考点空间角题点空间角的综合应用答案60°解析过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.10.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，那么下面所给结论：①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面．其中正确的序号是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案①②③解析∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连结MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连结AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN，CE异面错误；故答案为①②③.11．我们将一个四面体四个角中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体ABCD 中，AD⊥平面ABC，AC⊥BC，则四面体ABCD的直度为________．考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题答案4解析∵在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，∴AD⊥AB，AD⊥AC，AD⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AD＝A，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥CD，∴四面体ABCD的四个面均为直角三角形，∴四面体ABCD的直度为4.二、解答题12.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)取AB的中点M，连结FM，MC.∵F，M分别是BE，BA的中点，∴FM∥EA，FM＝12EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC.∵FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵AE⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴CM⊥AE，又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面EAB，∴CM⊥平面EAB，又AF⊂平面EAB，∵CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，FD，BE⊂平面EDB，∴AF⊥平面EDB.13．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)已知点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，DC ＝CE ＝12BC ＝3，求三棱锥A －BCF 的体积．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明∵ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC .∵平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面BCE .∵CE ⊂平面BCE ，∴CE ⊥AB .∵CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，∴CE ⊥平面ABE .∵CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABE .(2)解如图所示，连结BD 交AC 于点O ，连结OF .∵DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，∴DE ∥OF .又∵矩形ABCD 中，O 为BD 中点，∴F 为BE 中点，即BF ＝FE .在Rt △BEC 中，∵BC ＝6，EC ＝3，∴BE ＝62－32＝3 3.∴S △BFC ＝12×12×33×3＝934.又AB ＝DC ＝3，∴V A －BCF ＝13×934×3＝934.三、探究与拓展14．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________．考点空间角题点空间角的综合运用答案π3解析如图所示，作PO ⊥平面ABC ，则O 为△ABC 的中心，连结AP ，AO .S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，PA ＝1，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．(1)求证：BE ∥平面PDF ；(2)求直线BE 与平面PAD 所成角的正弦值．考点空间角题点空间角的综合运用(1)证明如图所示，取PD 的中点为M ，连结ME ，MF .∵E 是PC 的中点，∴ME 是△PCD 的中位线，∴ME ∥CD 且ME ＝12CD .∵F 是AB 的中点且ABCD 是菱形，∴AB ∥CD 且AB ＝CD ，∴ME ∥AB 且ME ＝12AB .∴ME ∥FB 且ME ＝FB .∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF .又BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，∴BE ∥平面PDF .(2)解由(1)得BE ∥MF ，∴直线BE 与平面PAD 所成角就是直线MF 与平面PAD 所成角．取AD 的中点G ，连结BD ，BG .∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG ⊥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊥AD ，BG ⊂平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD ，过F 作FH ∥BG ，交AD 于H ，则FH ⊥平面PAD ，连结MH ，则∠FMH 就是MF 与平面PAD 所成的角．又F 是AB 的中点，∴H 是AG 的中点．连结MG ，又M 是PD 的中点，∴MG ∥PA 且MG ＝12PA .在Rt △MGH 中，MG ＝12PA ＝12，GH ＝14AD ＝12，∴MH＝2 2 .在正三角形ABD中，BG＝3，∴FH＝12BG＝32.在Rt△MHF中，MF＝5 2，∴sin∠FMH＝FHFM＝3252＝155，∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为15 5 .。
高中数学 第一章 立体几何第学案 苏教版必修2 学案
第20课时立体几何体复习一、【学习导航】知识网络2. 会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价1.空间几何体(柱锥台球,三视图) 的概念：2.平面的基本性质(3个公理与3个推论) ：.3.空间两直线的位置关系(3种关系)：4. 直线和平面的位置关系(3种关系)：5.平面和平面的位置关系(2种关系) ：6.空间几何体的表面积和体积公式.7.三种角与六种距离的简单计算方法：8.物体按正投影向投影面投射所得到的图【精典范例】例1：已知平面外两平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条直线也平行于这个平面．略证．先写已知，求证，再进行证明．突出使用线面平行的性质与判定定理．例2：已知直线AC,DF被三个平行平面α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求证：AB DEBC EF证明：连ＡＦ交β于Ｋ．连ＢＫ，ＫＥ，ＣＦ，ＡＤ．由β∥γ得ＢＫ∥ＣＦ．因α∥β得ＡＤ∥ＫＥ．所以ＡＢ／ＢＣ＝ＡＫ／ＫＦ．听课随笔ＡＫ／ＫＦ＝ＤＥ／ＥＦ所以 ＡＢ／ＢＣ＝ＤＥ／ＥＦ．例3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 和BD 的交点，G 为CC 1中点，求证：A 1O⊥面GBD ． 略证：连ＯＧ．易证：BD O A ⊥1． 又易证OG A 1∆为直角三角形． 所以 OG O A ⊥1所以⊥O A 1面GBD ．例4.四面体ABCD 中， AB ，BC ，BD 两两垂直，且AB ＝BC ＝2， E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE求四面体ABCD 的体积．思路：用作证求角法或建空间直角坐标系的方法可求出ＢＤ＝４，所以四面体ABCD 的体积＝384231=⨯⨯．例5.设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四点, PA 、PB 、PC 两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则球的体积为π23, 球的表面积为π3 .例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证： （１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ （２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角． 略证：（１）易证略 （２）作ＣＨ⊥ＤＢ于Ｈ，作ＣE ⊥ＤA 于E ，连ＨＥ，可证得∠ＣＥＨ为所求二面角的平面角．在直角三角形ＣＥＨ中可求得sin ∠ＣＥＨ=23,所以∠ＣＥＨ＝ 60 所以所求二面角的大小为 60. 追踪训练 1.已知a//b,且c 与a,b 都相交，求证：a,b,c 共面． 易证略 2.空间四边形ABCD 中, AB=CD , 且AB 与CD 成60°角, E 、F 分别为AC 、BD 的中点, 则EF 与AB 所成角的度数为 6030或. 3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2,则=++c b a 111 ( A ) A 411 B 114 C 211 D 112 4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为听课随笔5:2:8,体积为14, 则棱台的高为( B )A 3B 2C 5D 45. 一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( A )A 3πB 4πC 5πD 6π。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.4 第2课时
第2课时两平面垂直的判定学习目标1.了解二面角及其平面角的概念，能确定二面角的平面角.2.初步掌握面面垂直的定义及两个平面垂直的判定定理．知识点一二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？★★答案★★二面角．思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？★★答案★★二面角的平面角．梳理(1)二面角的概念①定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形．②相关概念：(ⅰ)这条直线叫做二面角的棱；(ⅱ)每个半平面叫做二面角的面．③画法：④记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(2)二面角的平面角①定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．②表示方法：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA⊂α，OB⊂β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？★★答案★★都是垂直．梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直①定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一面面垂直的判定例1如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明 如图，连结AC ，与BD 交于点F ，连结EF . 因为F 为平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，所以F 为AC 的中点．又E 为SA 的中点，所以EF 为△SAC 的中位线，所以EF ∥SC . 又SC ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面EBD ， 所以平面EBD ⊥平面ABCD .反思与感悟 (1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．(2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法，只需要证明两个平面构成的二面角为直二面角．跟踪训练1 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.类型二与面面垂直有关的探索性问题例2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.在CD上确定一点E，使得平面PBE⊥平面P AB.解取CD的中点E，连结PE，BE，BD.由底面ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，所以BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.所以当E为CD的中点时，平面PBE⊥平面P AB.反思与感悟存在性问题是将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明，变成开放性和探究性问题．需要先找到相应的点、线、面之间平行与垂直关系再进行证明，但也可能不存在对应的点、线、面平行与垂直关系．跟踪训练2如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．(1)证明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)证明取AB的中点H，连结GH，FH，由已知得ABCE 为矩形，且G ，F 分别为AD ，EC 的中点， ∴GH ∥BD ，FH ∥BC .∵GH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴GH ∥平面BCD . 同理，FH ∥平面BCD ， 又GH ∩FH ＝H ， ∴平面FHG ∥平面BCD ， ∵GF ⊂平面FHG ， ∴GF ∥平面BCD .(3)解 取线段AE 的中点R ， DC 的中点M ，DB 的中点S ， 连结MS ，RS ，BR ，DR ，EM . 则MS ∥12BC ，MS ＝12BC ，又RE ∥12BC ，RE ＝12BC ，∴MS ∥RE ，MS ＝RE ， ∴四边形MERS 是平行四边形， ∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点， ∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ， ∴BC ⊥平面CDE .∵EM ⊂平面CDE ，∴EM ⊥BC .∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS⊂平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.★★答案★★③解析①中，α与β还可能平行或相交且不垂直，所以①不正确；因为由平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，得α⊥β，所以②④不正确，③正确．2．已知P A⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有________对．★★答案★★5解析∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB.又AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD.∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．3.如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．(填序号)①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.★★答案★★③解析由AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点知，AC⊥DE，AC⊥BE.又DE∩BE＝E，从而AC⊥平面BDE，故③正确．4.点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A—D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．★★答案★★①②④解析连结BD交AC于点O，连结DC1交D1C于点O1，连结OO1，则OO 1∥BC 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以三棱锥P —AD 1C 的体积不变．又因为1P AD C V -三棱锥＝1A D PC V -三棱锥，所以①正确； 因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ， 所以A 1P ∥平面ACD 1，②正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故③不正确； 由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， 所以DB 1⊥平面AD 1C .又因为DB 1⊂平面PDB 1， 所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确．5．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AC ，BD 交于点E ，F 是PB 的中点．求证： (1)EF ∥平面PCD ； (2)平面PBD ⊥平面P AC .考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．又F是PB的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵P A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．一、填空题1．在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列判断正确的是________．(填序号)①平面ABC⊥平面ADC; ②平面ABC⊥平面ADB；③平面ABC⊥平面DBC; ④平面ADC⊥平面DBC.★★答案★★④解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是________．(填序号)★★答案★★②④解析①不符合二面角定义；③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．3.如图所示，已知P A垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中互相垂直的平面共有______对．★★答案★★3解析∵P A⊥平面ABC，P A⊂平面P AC，P A⊂平面P AB，∴平面P AC⊥平面ABC，平面P AB⊥平面ABC.又BC⊥AC，P A⊥BC，∴BC⊥平面P AC.又BC⊂平面PCB，∴平面PCB⊥平面P AC.∴共3对．4.如图，已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中正确的是________．(填序号)①BC∥平面PDF；②DF⊥平面P AE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面P AE⊥平面ABC.★★答案★★①②④解析∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴①正确．∵BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE.∴DF⊥平面P AE，∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)．∴②④正确．5．以下所给角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有________个．★★答案★★1解析异面直线所成角的范围为(0°，90°]，直线和平面所成角的范围为[0°，90°]，二面角的平面角的范围为[0°，180°]，只有二面角的平面角可能为钝角．6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．★★答案★★平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理知，平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．7．已知α，β是两个不同的平面，m，n分别是平面α与平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)★★答案★★①③④⇒②(或②③④⇒①)解析当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n⊂α.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m⊂β.∴当n⊥β时，m⊥n，即②③④⇒①.8．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED＝________.考点二面角题点求二面角的大小★★答案★★90°解析如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连结AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.9．如图，在三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．(填序号)①CC1与B1E是异面直线；②直线AC⊥平面ABB1A1；③直线A1C1与平面AB1E不相交；④∠B1EB是二面角B1—AE—B的平面角．★★答案★★④解析CC1与B1E都在平面BB1C1C内，即①不正确；若AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥AB，与△ABC是正三角形矛盾，即②不正确；若直线A1C1与平面AB1E不相交，则A1C1∥平面AB1E，取B1C1的中点E1，则A1E1∥平面AB1E，又A1C1∩A1E1＝A1，于是平面A1B1C1∥平面AB1E，这与平面A1B1C1和平面AB1E都过点B1矛盾，所以③不正确；由已知可得AE⊥平面BCC1B1，所以∠B1EB是二面角B1—AE—B的平面角，即④正确．10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)★★答案★★DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析连结AC.∵底面各边都相等，∴AC⊥BD.又P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BD.又AC∩P A＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.二、解答题11.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A ＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .12.如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，BC ⊥BD ，∠BAD ＝60°，SD ＝AD ＝AB ，E 是SB 的中点．求证：(1)BC⊥DE；(2)平面SBC⊥平面ADE.证明(1)∵SD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SD.又∵BC⊥BD，SD∩BD＝D，∴BC⊥平面SBD，∵DE⊂平面SBD，∴BC⊥DE.(2)∵SD＝AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴SD＝BD，∵E为SB的中点，∴DE⊥SB，又∵BC⊥DE，SB∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC，又DE⊂平面ADE，∴平面SBC⊥平面ADE.13.如图所示，在三棱台DEF—ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.三、探究与拓展14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为________．考点二面角题点求二面角的大小★★答案★★2解析如图所示，连结AC交BD于点O，连结A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.15.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面P AD；(2)平面EFG⊥平面EMN.证明 (1)如图，取P A 的中点H ，连结EH ，DH .因为E 为PB 的中点，H 为P A 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A .又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF .同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC . 又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时
1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理．知识点一直线与平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．梳理直线与平面的位置关系直线a在平面α外位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点二直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案平行．思考2如图，平面α外的直线a 平行于平面α内的直线b .这两条直线共面吗？直线a 与平面α相交吗？答案由于直线a ∥b ，所以两条直线共面，直线a 与平面α不相交．梳理1．若直线a 与平面α内的所有直线都不平行，则a 不平行于平面α.(√)2．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(×)类型一直线与平面的位置关系例1下列说法中正确的是________．(填序号)①如果a ，b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a ，b 满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b ；④如果平面α的同侧有两点A ，B 到平面α的距离相等，那么AB ∥α.答案④解析如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AA ′∥BB ′，但AA ′在过BB ′的平面AB ′内，故①不正确；AA ′∥平面B ′C ，BC ⊂平面B ′C ，但AA ′不平行于BC ，故②不正确；AA ′∥平面B ′C ，A ′D ′∥平面B ′C ，但AA ′与A ′D ′相交，所以③不正确；④显然正确．反思与感悟(1)此类题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．(2)判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．跟踪训练1若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是________．(填序号)①α内的所有直线都与直线a 异面；②α内不存在与a 平行的直线；③α内的直线都与a 相交；④直线a 与平面α有公共点．答案④解析直线a 不平行于平面α，则a 与平面α相交或a ⊂α，故④正确．类型二线面平行的判定定理及应用命题角度1以锥体为背景证明线面平行例2如图，M ，N 分别是底面为矩形的四棱锥P —ABCD 的棱AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD .证明如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE ，∵N 是PC 的中点，∴EN ∥DC ，EN ＝12DC .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，NE ＝AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE .又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .反思与感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．跟踪训练2如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD .考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明如图，取PD 的中点G ，连结GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点，∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点，∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，AM ＝GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG .又∵MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .命题角度2以柱体为背景证明线面平行例3如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，A 1C 1的中点，求证：EF ∥平面A 1CD .证明∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为A 1C 1的中点，∴A 1F 綊12AC ，∵D，E分别是棱AB，BC的中点，∴DE綊12 AC，∴A1F綊DE，则四边形A1DEF为平行四边形，∴EF∥A1D.又EF⊄平面A1CD且A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法．跟踪训练3如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.证明(1)∵BC1∥AD1，BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点．又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.1．下列命题中正确命题的个数是________．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．答案0解析①中，当l∩α＝A时，除A点以外所有的点均不在α内；②中，当l∥α时，α中有无数条直线与l异面；③中，另一条直线可能在平面内．2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.3．如图(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是________．答案平行解析∵BF∥DE，DE⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个面中与直线EF平行的平面有________________．答案平面C1CDD1和平面A1B1BA解析如图，连结A1C1，C1D，在△A1C1D中，EF为中位线，∴EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，C1D⊂平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点．求证：B1O∥平面A1C1D.证明如图，连结B1D1，交A1C1于点O1，连结DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四边形O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D.∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1．直线与平面的位置关系，其分类方式有两种：一类是按直线与平面是否有公共点，另一类是按直线是否在平面内．2．直线与平面平行的关键是在已知平面内找出一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．一、填空题1．下列命题正确的是________．(填序号)①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.答案①③解析因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确．2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______．(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点．答案④解析①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确．3．若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________．答案平行或相交解析当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交．所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交．4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．答案2解析由题意知，EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．5.如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．答案平面A1C1与平面AD1平面AD1CD解析观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD. 7．若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________．答案平行解析这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．答案平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.9．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．答案12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．10．如图，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案①③解析①如图(1)，Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如图(2)，过M作MC∥AB，∵MC⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．二、解答题11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是PA的中点．求证：PC∥平面BDQ.证明连结AC，交BD于O，连结OQ，因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点．又因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC，又因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC 的中点．求证：OG∥平面EFCD.证明∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，∴点O 是BD 的中点．又点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD .又OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴OG ∥平面EFCD .13.如图，四边形ABCD 为正方形，△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，P 是线段CD 的中点，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE .若存在，指出点M 的位置，并证明你的结论．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解如图，存在点M ，当点M 是线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .取BE 的中点N ，连结CN ，MN ，MN ∥AB 且MN ＝12AB ，又PC ∥AB 且PC ＝12AB ，所以四边形MNCP 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为PM ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ，所以PM ∥平面BCE .三、探究与拓展14．如图，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平面ABC，平面ABD解析连结BN，AM，并延长交CD于点E.由题意易得MN∥AB，MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.15．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．解SG∥平面DEF.证明如下：连结CG交DE于点H，如图，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。
2018-2019数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.3 第4课时 Word版含答案
第4课时直线与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面垂直的性质定理.2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用．知识点直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行．梳理1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一线面垂直的性质定理及应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.证明因为ADD1A1为正方形，所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC . 又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1. 引申探究若本例的条件不变，求证：M 是AB 的中点． 证明 连结ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ， ∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．反思与感悟 证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直．跟踪训练1 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.证明连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.类型二线面垂直的综合应用命题角度1线面垂直中的探索性问题例2如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.(1)证明连结AD1，BC1，由正方体的性质可知， DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ， 又AB ∩AD 1＝A ， ∴DA 1⊥平面ABC 1D 1. 又AE ⊂平面ABC 1D 1， ∴DA 1⊥AE .(2)解 所求G 点即为A 1点，证明如下：由(1)可知AE ⊥DA 1，取CD 的中点H ，连结AH ，EH ， 由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ， 可证DF ⊥平面AHE ，∵AE ⊂平面AHE ，∴DF ⊥AE .又DF ∩A 1D ＝D ， ∴AE ⊥平面DF A 1，即AE ⊥平面DFG .反思与感悟 探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件．二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”．跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝5，M 是棱CC 1上一点，是否存在这样的点M ，使得BM ⊥平面A 1B 1M ？若存在，求出C 1M 的长；若不存在，请说明理由．解 假设存在点M 使得BM ⊥平面A 1B 1M ，并设C 1M ＝x ， 则有Rt △B 1C 1M ∽Rt △BMB 1. ∴C 1M B 1M ＝B 1MBB 1，∴4＋x 2＝5x ， ∴x ＝4或x ＝1.当C1M＝1或4时，使得BM⊥平面A1B1M.命题角度2线线、线面垂直的相互转化例3如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC，又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.又AF⊂平面AEF，∴SC⊥AF.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SA⊥CD.又四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD.又SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴CD⊥AG.由(1)可知，SC⊥平面AEF，∵AG⊂平面AEF，∴AG⊥SC，又SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SCD，又SD⊂平面SCD，∴AG⊥SD.反思与感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可．(2)证明的转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直．跟踪训练3如图所示，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC.∵P A⊂平面P AC，∴DF⊥P A.同理可证DG⊥P A.∵DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，BH，AE⊂平面ABE，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB.∵P A∩PC＝P，∴AB⊥平面P AC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________．答案平行2．线段a和b在正方体ABCD—A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．答案①②③解析由直线与平面垂直的性质知，①能使a∥b成立；由正方体的性质知，②能使a∥b成立；由公理4知，③能使a∥b成立；④中条件不能保证a∥b，a与b有可能相交或异面．3.如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案平行解析∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.4.如图所示，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.求证：EF⊥PC.证明∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥P A.又BC⊥AB，AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB.又∵AE⊂平面P AB，∴AE⊥BC.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC.又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF，∴EF⊥PC.1．空间线面垂直与线线垂直经常相互转化．判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化．2．垂直关系与平行关系也可以相互转化．(1)线面平行的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α；(需要利用线面垂直的定义证明)(3)a⊥α，b∥α⇒a⊥b；(需要证明)(4)a⊥α，a⊥b，b⊄α⇒b∥α.(需要证明)一、填空题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，l，m为两条不重合的直线，则直线l，m的位置关系是________．答案平行解析∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.2.如图，P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是_____．(填序号)①PB⊥BC；②PD⊥CD；③PO⊥BD；④P A⊥BD.答案③解析∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面P AB，∴PB⊥BC，故①正确；同理得PD⊥CD，故②正确；由P A⊥平面ABCD，得P A⊥BD，故④正确；而只有当AD＝AB时，PO⊥BD才成立．故③不正确．3．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．答案 4解析∵AC⊥α，BD⊥α，∴AC ∥BD .连结CD ，设AB 的中点为E ，CD 的中点为F . 则EF 为梯形ABDC 的中位线， ∴EF ⊥α，则EF ＝12×(3＋5)＝4.即AB 的中点到α的距离为4.4．圆O 的半径为4，PO 垂直圆O 所在的平面，且PO ＝3，那么点P 到圆上各点的距离是________． 答案 5解析 设A 为圆上任意一点，连结OA ，P A .∵PO 垂直于圆O 所在的平面，OA ⊂圆O 所在的平面，OA ＝4，PO ＝3， ∴在△POA 中，PO ⊥OA ， ∴P A ＝PO 2＋OA 2＝42＋32＝5.5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得________．(填序号) ①a ⊂α，b ⊂α；②a ⊂α，b ∥α； ③a ⊥α，b ⊥α；④a ⊂α，b ⊥α. 答案 ②解析 对于①，当a 与b 是异面直线时，①错误； 对于②，若a ，b 不相交，则a 与b 平行或异面， 都存在α，使a ⊂α，b ∥α，②正确；对于③，a ⊥α，b ⊥α，一定有a ∥b ，故③错误； 对于④，a ⊂α，b ⊥α，一定有a ⊥b ，④错误．6．若a ，b 表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________．(填序号)答案①④解析a⊥α，b∥α，由线面垂直的性质得a⊥b，∴①正确；由a⊥α，a⊥b，可得b∥α或b⊂α，∴②不正确；由a∥α，a⊥b，得b⊂α或b⊥α或b∥α，∴③不正确；④显然成立．7.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC 垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________．(填写正确结论的序号)①直线DE∥平面ABC；②直线DE⊥平面VBC；③DE⊥VB；④DE⊥AB.答案①②③解析∵D，E分别是VA，VC的中点，∴DE∥AC，又DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴直线DE∥平面ABC，∴①正确；∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，又AC⊥BC，VC∩BC＝C，∴AC⊥平面VBC，又DE∥AC，∴DE⊥平面VBC，∴②正确；∵VB⊂平面VBC，∴DE⊥VB，∴③正确．④DE⊥AB，显然不正确．8．设a，b是异面直线，下列命题：①过不在a，b上的一点P一定可作一条直线和a，b都相交；②过不在a，b上的一点P一定可作一个平面和a，b都垂直；③过a一定可作一个平面与b垂直；④过a一定可作一个平面与b平行．其中正确的是________．(填序号)答案④解析①不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在．②不正确，若a，b都垂直于同一个平面，则a∥b.③不正确，只有a，b垂直时才能作出满足条件的平面．9.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中，不正确的是________．(填序号)①EF⊥BB1；②EF∥平面ACC1A1；③EF⊥BD；④EF⊥平面BCC1B1.答案④解析由正方体的性质，得EF∥平面A1B1C1D1，BB1⊥平面A1B1C1D1，∴EF⊥BB1，故①正确；由正方体的性质，得EF∥AC，又EF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴EF∥平面ACC1A1，故②正确；由正方体的性质，得AC⊥BD，又EF∥AC，∴EF⊥BD，故③正确；由正方体的性质，得AC与平面BCC1B1不垂直，又EF∥AC，∴EF与平面BCC1B1不垂直，故④不对．10.如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G，G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，则GG′与α的关系是________．答案垂直解析取AB的中点M，A′B′的中点M′，则MM′∥BB′，连结CM，C′M′，可知G，G′分别为CM，C′M′的靠近中点M，M′的三等分点，∴GG′∥MM′，∴GG′∥BB′.∵BB′⊥α，∴GG′⊥α.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.则BC1与AB1的关系是______．答案垂直解析因为棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.二、解答题12.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D为FG的中点，AF＝AG，EF ＝EG.求证：BC∥FG.证明∵AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC.又∵AE⊥BC，AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ADE，在△AFG中，D是FG的中点，由AF＝AG，得AD⊥FG，在△EFG中，D是FG的中点，由EF＝EG，得ED⊥FG，∴FG⊥平面ADE.又BC⊥平面ADE，∴BC∥FG.13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解假设D1E⊥平面AB1F.∵AF⊂平面AB1F，∴D1E⊥AF.∵D1D⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴D1D⊥AF.∵D1D∩D1E＝D1，∴AF⊥平面D1DE.∵DE⊂平面D1DE，∴AF⊥DE.∴∠F AD＋∠ADE＝90°.∵∠CDE＋∠ADE＝90°，∴∠F AD＝∠CDE，∴Rt△F AD≌Rt△EDC，∴FD＝EC.∵E是BC的中点，∴F是CD的中点．即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.三、探究与拓展14．如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确．15.如图所示，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.(1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ，然后证明这个结论． (1)证明 连结A 1C 1，AC ，AC 与BD 交于点O ，连结C 1O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，BC ＝CD .又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，C 1C 为公共边，所以△C 1BC ≌△C 1DC ，所以C 1B ＝C 1D .又DO ＝OB ，所以C 1O ⊥BD .又AC ⊥BD ，AC ∩C 1O ＝O ，所以BD ⊥平面AC 1.又C1C⊂平面AC1，所以C1C⊥BD.(2)解当CDCC1＝1时，能使A1C⊥平面C1BD.证明如下：由(1)可知BD⊥平面AC1.又因为A1C⊂平面AC1，所以BD⊥A1C.当CDCC1＝1时，四棱柱的六个面全都是菱形，同BD⊥A1C的证法类似可以证得BC1⊥A1C. 又因为BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面C1BD.。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.4 第3课时
第3课时两平面垂直的性质学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．知识点平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直．梳理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β图形语言1．若平面α⊥平面β，任取直线l ⊂α，则必有l ⊥β.(×)2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．(×)类型一平面与平面垂直的性质定理例1如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.反思与感悟当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系．因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线．跟踪训练1如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.类型二立体几何中的折叠问题例2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D—ABCE.求证：BE⊥平面ADE.证明在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.反思与感悟(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变．(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性．跟踪训练2如图①所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图②所示．求证：平面ABD⊥平面BCD.证明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，过B作BO⊥AC，垂足为O，由AB＝BC知，O为AC的中点，作OE⊥AC交AD于点E，则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.类型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF ，所以CD ⊥EF .又EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF .又CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .反思与感悟(1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：(2)在运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．跟踪训练3如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．求证：(1)EF ⊥CD ；(2)平面SCD ⊥平面SCE .证明(1)连结AC ，AF ，BF .∵SA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥AC .∴AF 为Rt △SAC 的斜边SC 上的中线，∴AF ＝12SC .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB .而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA .又SA ∩AB ＝A .∴CB ⊥平面SAB .∵SB ⊂平面SAB ，∴CB ⊥SB ，∴BF 为Rt △SBC 的斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC .∴△AFB 为等腰三角形，∵E 为AB 的中点，∴EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝EC ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵EF ⊥CD ，且SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .1．给出下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中正确的是________．(填序号)答案②④解析①中若两直线平行，则结论错误；②正确；在空间中③错误；④正确．2．已知平面α⊥平面β，直线a ∥α，则直线a 与β的位置关系可能是________．(填序号)①a ⊥β；②a ∥β；③a 与β相交．答案①②③3．若将边长为2的正方形ABCD 沿AC 折叠成直二面角，则B ，D 两点间的距离为________．答案24.如图，在三棱锥P —ABC 内，侧面PAC ⊥底面ABC ，且∠PAC ＝90°，PA ＝1，AB ＝2，则PB ＝________.答案5解析∵侧面PAC ⊥底面ABC ，交线为AC ，∠PAC ＝90°(即PA ⊥AC )，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因为BC⊂平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、填空题1．下列命题中错误的是________．(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.答案④解析如果平面α⊥平面β，平面α内的直线有的与平面β平行，有的与平面β相交，故④错误．2．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________．答案平行解析∵α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，∴n ⊥α.又∵m ⊥α，∴m ∥n .3．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，D 为垂足，以AD 为折痕，将△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD ⊥CD ；②BD ⊥AC ；③AD ⊥平面BCD ；④△ABC 是等边三角形．其中正确结论的个数为________．答案4解析①正确，因为∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，由题意知∠BDC ＝90°，所以BD ⊥CD ；②正确，易知BD ⊥平面ACD ，所以BD ⊥AC ；③正确，因为折叠后仍有AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，易知AD ⊥平面BCD ；④正确，因为AD ＝BD ＝DC ，且以D 为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知AB ＝BC ＝AC ，即△ABC 为等边三角形．4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.答案a 解析取BC 的中点M ，连结AM ，DM ，则AM ⊥BC ，由题意得AM ⊥平面BDC ，∴△AMD 为直角三角形，且AM ＝MD ＝22a ，∴AD ＝a .5．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的是________．(填序号)①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．答案③解析由题意知，当a∥l，l∥b时，a∥b.故①④错；若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，由面面垂直的性质定理得AB⊥α.∵a⊂α，∴AB⊥a.又a⊥b，AB∩b＝A，∴a⊥β⇒a⊥l.这和a与l不垂直相矛盾．∴不可能a⊥b.故②错，故填③.6．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在α，β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，则CD＝________.答案61解析作AE∥BD，使得AE＝BD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形且AE⊥AB，DE⊥CE，在Rt△ACE中，CE＝AC2＋AE2＝45，在Rt△CED中，CD＝CE2＋DE2＝61.7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________.答案5∶2解析由题意，得两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cosα＝525＋4＝529，cosβ＝2529，所以cosα∶cosβ＝5∶2.8.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在直线________上．答案AB解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，BC1∩AB＝B，BC1，AB⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在交线AB上．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列说法正确的是________．(填序号)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.答案④解析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.10．在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是________三角形．答案直角解析如图所示，连结BD ，作AE ⊥BD 于点E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，易知AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以BC ⊥AE .又因为AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥AD .又AE ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面ABD .而AB ⊂平面ABD ，则BC ⊥AB ，所以△ABC 为直角三角形．二、解答题11.如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .求证：AD ⊥CE .证明如图所示，作AO ⊥BC ，垂足为O ，连结OD .由于AO ⊥BC 且平面ABC ⊥平面BCDE ，所以AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点，由OC CD ＝CD DE ＝12知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ，从而∠ODC ＝∠CED ，于是CE ⊥OD .又∵CE ⊥AO ，AO ∩OD ＝O ，∴CE ⊥平面AOD .∵AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥CE .12.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)．(1)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ABC?(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?解(1)∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .又∵AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .∵EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值，恒有平面BEF ⊥平面ABC .(2)由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .13.如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .(1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱AA 1于点M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；(3)如果截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，那么AM ＝MA 1吗？请你叙述判断理由．(1)证明∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC .∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，平面ABC ∩侧面BB 1C 1C ＝BC ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C .又CC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)证明如图，延长B 1A 1与BM 的延长线交于点N ，连结C 1N .∵AM ＝MA 1，MA 1∥BB 1，∴A 1M ＝12BB 1，NA 1＝A 1B 1.∵A 1B 1＝A 1C 1，∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1，∴C 1N ⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，平面NB 1C 1∩侧面BB 1C 1C ＝C 1B 1，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C .又∵C 1N ⊂平面MBC 1，∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .(3)解过点M作ME⊥BC1于点E，连结DE.∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，截面MBC1∩侧面BB1C1C＝BC1，∴ME⊥侧面BB1C1C.又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∵AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．∴AM＝DE＝12CC1＝12AA1，∴AM＝MA1.三、探究与拓展14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．答案6解析取CD的中点G，连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD.所以MG ⊥平面DCEF ，又NG ⊂平面DCEF ，可得MG ⊥NG ，所以MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.15.如图所示，在几何体ABC —A 1B 1C 1中，点A 1，B 1，C 1在平面ABC 内的射影分别为A ，B ，C ，且AB ⊥BC ，E 为AB 1的中点，AB ＝AA 1＝BB 1＝2CC 1.求证：(1)CE ∥平面A 1B 1C 1；(2)平面AB 1C 1⊥平面A 1BC .证明(1)由题意知AA 1⊥平面ABC ，BB 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面ABC ，∴AA 1∥BB 1∥CC 1，取A 1B 1的中点F ，连结EF ，FC 1.∵E 为AB 1的中点，∴EF ∥12A 1A ，EF ＝121A ，又AA 1＝2CC 1，∴CC 1∥12AA 1，CC 1＝12AA 1，∴EF ∥CC 1，EF ＝CC 1，∴四边形EFC 1C 为平行四边形，∴CE ∥C 1F .又CE ⊄平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1，∴CE ∥平面A 1B 1C 1.(2)∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥BC .又AB ⊥BC ，AB ∩BB 1＝B ，∴BC ⊥平面AA 1B 1B .∵AB1⊂平面AA1B1B，∴BC⊥AB1.∵AA1＝BB1＝AB，AA1∥BB1，∴四边形AA1B1B为正方形，∴AB1⊥A1B.∵A1B∩BC＝B，∴AB1⊥平面A1BC.∵AB1⊂平面AB1C1，∴平面AB1C1⊥平面A1BC.。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.1.2
1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念思考数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？答案将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．梳理将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．如图所示：知识点二球思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？答案以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．梳理球的结构特征球定义相关概念图形及表示球半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球球心：半圆的圆心，半径：半圆的半径，直径：半圆的直径如图可记作：球O知识点三旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．1．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(√)2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(×)3．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(×)类型一旋转体的基本概念例1判断下列各说法是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．解(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．反思与感悟(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误．跟踪训练1下列说法正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球面上任意三点可能在一条直线上．答案④解析①以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；球面上任意三点一定不共线，故⑥错误．类型二旋转体中的有关计算例2一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积分别为4πcm 2和25πcm 2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得O 1A ＝2cm ，OB ＝5cm.又由题意知腰长为12cm ，所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l＝25，解得l ＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪训练2圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解将圆台还原为圆锥，如图所示．O 2，O 1，O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2，1＝4h ，2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.类型三复杂旋转体的结构分析例3直角梯形ABCD 如图所示，以DA 所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．解以AD 为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．引申探究若本例中直角梯形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．解以AB 为轴旋转可得到一个圆台，如图①所示．以BC 为轴旋转可得一个圆柱和一个圆锥的组合体．如图②所示．反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．跟踪训练3如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．1．下列说法正确的是________．(填序号)①圆锥的母线长等于底面圆的直径；②圆柱的母线与轴平行；③圆台的母线与轴平行；④球的直径必过球心．答案②④解析圆锥的母线长与底面圆的直径无联系；圆台的母线与轴不平行．2．可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为________．答案④3．一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.答案103解析h＝20cos30°＝103(cm)．4．下列说法正确的有________个．①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．答案2解析①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．5．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？考点圆锥的结构特征题点圆锥的概念的应用解图(1)，(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、填空题1．下列说法正确的是________．(填序号)①一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成；②一个圆台可以由两个圆台拼合而成；③一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成；④一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成．答案①②④解析用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故②④的说法是正确的；若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故①的说法是正确的．2．下列说法中正确的是________．(填序号)①将正方形旋转不可能形成圆柱；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点，有无数条母线．答案③解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以①错误；②中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以②错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以④错误，故答案为③.3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，面积为3，则这个圆锥的母线长为________．答案2解析设母线长为x，则3＝34x2，故x＝2.4．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是________．(填序号)答案①②③解析当截面平行于正方体的一个侧面时可截得③，当截面过正方体对角面时可截得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角面时可截得①，但无论如何都不能得出④.5．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．答案两个圆锥解析连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．6．将边长为4cm 和8cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为____cm 2.答案32π解析当以4cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ，则2πr ＝8，∴2r ＝8π，∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ，则2πR ＝4,2R ＝4π，∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上，圆锥的轴截面的面积为32πcm 2.7．已知圆台两底面的半径分别是2cm 和5cm ，母线长是310cm ，则它的轴截面的面积是________cm 2.答案63解析如图所示，作出轴截面，过点A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S 梯形ABCD ＝12×(4＋10)×9＝63(cm 2)．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案3解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl 2，所以母线长为l ＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径为r ＝1，所以该圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.9．如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成；②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成；④由一个长方体与两个四棱台组合而成．其中说法正确的序号是________．考点简单组合体的结构特征题点与拼接、切割有关的组合体答案①②10．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________．答案①⑤解析由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.11．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是____cm.答案5π2＋42解析圆柱的侧面展开图如图所示，展开后E ′F ＝12·2π·52＝5π2(cm)，所以E ′G ＝E ′F 2＋GF 2＝5π2＋42(cm)．二、解答题12.如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，绕着CD 所在直线l 旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征．解如图①，过A ，B 分别作AO 1⊥CD ，BO 2⊥CD ，垂足分别为O 1，O 2，则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥，直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台，Rt △ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．综上，所得几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥(如图②所示)．13．圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm ，母线长AB ＝20cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，则θ·l ＝2π×5，θ·(l ＋20)＝2π×10，解得θ＝π2，l ＝20cm.∴OA ＝40cm ，OM ＝30cm.∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50(cm)．即绳子最短长度为50cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ为所求的最短距离．∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24cm.故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.三、探究与拓展14．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________．(填序号)①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．答案①②③⑤解析可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．15．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第5课时
第5课时线面垂直的综合应用学习目标 1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．知识点一直线与平面所成的角思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？答案平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线PA 斜足斜线与平面的交点，图中点A射影过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A 和垂足O 的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA 就是斜线段PA 在平面α内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠PAO ，规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°知识点二两种距离1．点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．2．直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．类型一与线面角有关的问题例1已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC 的平分线上．证明如图所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.PE⊥AB，PF⊥AC∠PAE＝∠PAFPA＝PA⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE＝AF.⇒AB⊥平面PEO⇒AB⊥OE.同理，AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO＝∠FAO，因此，点P在α内的射影O在∠BAC的平分线上．反思与感悟(1)求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．跟踪训练1如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影．证明连结AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H⊂平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴点H是C1在平面ABC上的射影．类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用例2如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.反思与感悟证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．跟踪训练2如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点．求证：(1)A1C1∥平面ACD；(2)直线A1D⊥平面ADC.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.又AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ADC，∴A1D⊥平面ADC.1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________．(填序号)答案①④解析②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．2．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．答案a2－b23．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为______．答案垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.4.若长方体ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________．答案3解析依题可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即为A1C1到底面ABCD的距离．由题意得A1A＝B1B＝3.5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．(1)求证：BC ⊥平面A 1AC ；(2)若D 为AC 的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC .证明(1)∵AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的任意一点，∴BC ⊥AC .又在圆柱OO 1中，AA 1⊥底面⊙O ，∴AA 1⊥BC ，又AA 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AC .(2)取BC 的中点E ，连结DE ，O 1E ，∵D 为AC 的中点，∴在△ABC 中，DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，又在圆柱OO 1中，A 1O 1∥AB ，且A 1O 1＝12AB ，∴DE ∥A 1O 1，DE ＝A 1O 1，∴四边形A 1DEO 1为平行四边形，∴A 1D ∥EO 1.而A 1D ⊄平面O 1BC ，EO 1⊂平面O 1BC ，∴A 1D ∥平面O 1BC .立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如：(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线．一、填空题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是____．答案8解析在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，∴AB ⊥PA ，PA ⊥DA ，PA ⊥AC .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴BP ＝CP ，可得PD ⊥BC ，∴图中直角三角形有△PAC ，△PAB ，△PAD ，△ABC ，△ABD ，△ADC ，△BPD ，△DPC ，共8个．2．下列命题：①a ⊥b ⊂a ⊥b;②a ⊥a ∥b ⊥α；③a ⊥b ∥a ⊥b;④a ⊥b ⊂a ⊥α；⑤a ∥a ⊥b ⊥α；⑥a ⊥b ⊥b ∥α或b ⊂α.其中正确的命题是________．(填序号)答案①②③⑥3．已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为________．答案332解析由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心．∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 斜边的中点D ，如图．∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝332.4．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号)答案①④解析设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，∵M，N分别为中点，∴MN∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC.∵BB′∩DB＝B，BB′⊂平面DBB′，DB⊂平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MN∥AC，∴DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，∵MF∩NF＝F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，∴DB′⊥平面MNF，即l垂直于平面MNP，故①正确；④中由①证明可知l⊥MP，∵MN∥AC，AC⊥l，∴l⊥MN，∴l⊥平面MNP.5.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论中正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条．答案①②解析由题图可知，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，由于BD∥B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1.同理可得B1C⊥AC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得AC1⊥平面CB1D1，故②正确；过点A1与直线AD成90°角的直线必和BC也垂直，过点A1与CB1成90°角的直线必和CB1垂直，则该直线必和平面B1C1CB垂直，满足条件的只有直线A1B1，故③不正确．6．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．答案3或1解析若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.7．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M 为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为________．(填序号)答案①②③解析∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，故①③正确．∵M是PB的中点，O是AB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.故②正确．8.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案6解析∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO⊂平面ABC，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．9.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)答案B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)解析由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件．10.如图是底面边长为a 的正三棱柱(侧棱与底面垂直且底面为正三角形的棱柱)，则AA 1到平面BB 1C 1C 的距离为________．答案32a 解析∵AA 1∥BB 1，∴AA 1∥平面BB 1C 1C ，∴AA 1到平面BB 1C 1C 的距离等于A 到平面BB 1C 1C 的距离．取BC 的中点D ，连结AD ，则AD ⊥BC .又AD ⊥BB 1.∴AD ⊥平面BB 1C 1C .又AD ＝AB ·sin 60°＝32a ，∴AA 1到平面BB 1C 1C 的距离为32a .11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP 与BD 1垂直，则动点P 的轨迹为________．答案线段CB 1解析如图，先找到一个平面总是保持与BD 1垂直，连结AC ，AB 1，B 1C ，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，易得BD 1⊥CB 1，BD 1⊥AC ，则BD 1⊥平面ACB 1，又点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，根据平面的基本性质，得点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.二、解答题12．在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.证明在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又A′E∩A′F＝A′，A′E，A′F⊂平面A′EF，∴A′D⊥平面A′EF，又EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.13.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝2，BB1＝2，求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.证明(1)连结A1B，交AB1于点O，连结OD，则点O是A1B的中点．又点D是BC的中点，所以A1C∥OD.又OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因为D为BC的中点，所以AD⊥BC.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC1.设B1D∩BC1＝F，在Rt△DBB1和Rt△BB1C1中，BD BB1＝12，BB1B1C1＝22，所以△DBB1∽△BB1C1，所以∠BDF＝∠C1BB1.又∠C1BB1＋∠FBD＝90°，所以∠BDF＋∠FBD＝90°，所以BC1⊥B1D.又BC1⊥AD，AD∩B1D＝D，AD⊂平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，所以BC1⊥平面AB1D.三、探究与拓展14.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离．(1)证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC ⊥平面PAC .(2)解如图，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，∵BC ⊥平面PAC ，AD ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AD ，∴AD ⊥平面PBC ，∴AD 即为点A 到平面PBC 的距离．∵∠PBA 为PB 与平面ABC 所成的角，即∠PBA ＝45°，∴PA ＝AB ＝2，AC ＝1，可得PC ＝ 5.∵AD ·PC ＝PA ·AC ，∴AD ＝2×15＝255，即点A 到平面PBC 的距离为255.15.如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，M 为A 1B 1的中点．(1)证明：MC ⊥AB ；(2)若AA 1＝26，侧棱CC 1上是否存在点P 使得MC ⊥平面ABP ？若存在，求出PC 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明取AB 的中点N ，连结MN ，CN ，则MN ⊥底面ABC ，MN ⊥AB .因为△ABC 是正三角形，所以NC ⊥AB ，由MN ∩NC ＝N ，MN ⊂平面MNC ，NC ⊂平面MNC ，可得AB ⊥平面MNC ，从而AB ⊥MC .(2)解由(1)知，MC ⊥AB ，若存在点P 使得MC ⊥平面ABP ，则必有MC ⊥BP .过M 作MQ ⊥B 1C 1，垂足为Q ，连结QC ，则QC 是MC 在平面BCC 1B 1内的射影，只需QC ⊥BP 即可，此时Rt △QC 1C 与Rt △PCB 相似，QC 1C 1C ＝PC CB，所以PC ＝QC 1·CB C 1C ＝3×426＝6，点P 恰好是CC 1的中点．。