2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试卷及答案
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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个考生都必须作答。第 22～23 题为选考题， 考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分。 （13）已知 a 1, b
n
2 ，且 a (a b) ，则向量 a 与向量 b 的夹角是
2 3 3
3
（B）
3 3
（C）
2 32 3
（D）
32 3
（12）已知函数 f x x （A） 0
2016 3 2 3 1 k x x , 则 f 的值为 2 4 8 2017 k 1
（B） 504
（C） 1008
（D） 2016
AB PB , sin APB sin BAP
请考生在第 22～23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22） （本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x 3 t, (t 为参数 ) . 在以坐标原点为极点, y 1 t,
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C : 2 2 cos . 4
(Ⅰ) 求 ACP ; (Ⅱ) 若△ APB 的面积是 （18） （本小题满分 12 分） 近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达 516 亿元人民币，与此同 时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对 其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 0.6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次.(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意 之间有关系”？
………………………………………………………………………9 分
2 2
在△ APB 中, AB AP PB 2 AP PB cos APB
2 2 32 2 2 3 cos120 19 ,
所以 AB 19 . ………………………………………………………………………10 分 在△ APB 中, 由正弦定理得 所以 sin BAP
3
.
（14） 3 x 的展开式中各项系数和为 64 ，则 x 的系数为
.（用数字填写答案） .
21 x , x 0, f x （15）已知函数 若 f a 2 , 则实数 a 的取值范围是 1 log 2 x, x 0,
（ 16 ） 设 S n 为 数 列 an 的 前 n 项 和 , 已 知 a1 2 , 对 任 意 p, q N
3 3 , 求 sin BAP . 2
对服务满意 对商品满意 对商品不满意 合计 80
对服务不满意
合计
200
(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满
3
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意的次数为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望 EX . 附： K
x2 y2 右焦点, 点 P 在 1 的一条渐近线方程为 2 x 3 y 0 , F1 , F2 分别是双曲线 C 的左， a2 4
双曲线 C 上, 且 PF1 7 , 则 PF2 等于 （A） 1 （B） 13 （C） 4 或 10
1
（D） 1 或 13
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第Ⅰ卷
一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）复数 1 i
2
2 的共轭复数是 1 i
（ B） 1 i （C） 1 i
2
（A） 1 i
（D） 1 i
（2）若集合 M x x 1 ， N y y x , x 1 ，则 （A） M N （B） M N （C） N M （ D） M N
x
（ B）
1 ,1 2
（C） 0,
2 2
x
（D） 0,
1 2
（9）已知 p : x 0, e ax 1 成立, q : 函数 f x a 1 是减函数, 则 p 是 q 的 （A）充分不必要条件 （C）充要条件 （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
(Ⅱ) 法 1: 由于 APB 是△ APC 的外角, 所以 APB 120 .
………………………7 分
6
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因为△ APB 的面积是 所以 PB 3 .
2
3 3 1 3 3 , 所以 AP PB sin APB .…………………8 分 2 2 2
（10） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角 形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P ABC 为鳖臑 , PA ⊥平面 ABC ,
PA AB 2 ， AC 4 , 三棱锥
P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上, 则球 O 的表 面积为
2 2 2
2
2
2
整理得 AP 4 AP 4 0 , ………………………2 分 解得 AP 2 . 所以 AC 2 . ………………………3 分 ………………………4 分
2
所以△ APC 是等边三角形. ………………………5 分 所以 ACP 60 .
………………………6 分
（3）已知等比数列 an 的各项都为正数, 且 a3 , a5 ,a4 成等差数列, 则
1 2
a3 a5 的值是 a4 a6
（A）
5 1 2 3 5 2
（ B）
5 1 2 3 5 2
（C）
（ D）
（4）阅读如图的程序框图. 若输入 n 5 , 则输出 k 的值为 （A） 2 （5） 已知双曲线 C : （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5
2
a b c d a c b d
PK 2 k k
0.15 2.072
n ad bc
2
（其中 n a b c d 为样本容量） 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635
（19） （本小题满分 12 分） 如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB ⊥ BC ， BD ⊥ DC , 点 E 是 BC 边的 中点, 将△ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD ⊥平面 BCD ，连接 AE , AC , DE , 得到如 图 2 所示的几何体. (Ⅰ) 求证： AB ⊥平面 ADC ； (Ⅱ) 若 AD 1 ，二面角 C AB D 的平面角的正切值为 6 ，求二面角 B AD E 的余弦值.
（A） 8 （B） 12 （C） 20 （D） 24
（11） 若直线 y 1 与函数 f x 2sin 2 x 的图象相交于点 P x1 , y1 ，Q x2 , y2 ， 且 x1 x2 与函数 f x 的图象所围成的图形面积是 （A）
2 ， 则线段 PQ 3
图1
图2
（20） （本小题满分 12 分） 过点 P a, 2 作抛物线 C : x 4 y 的两条切线, 切点分别为 A x1 , y1 , B x2 , y2 .
2
(Ⅰ) 证明: x1 x2 y1 y2 为定值; (Ⅱ) 记△ PAB 的外接圆的圆心为点 M , 点 F 是抛物线 C 的焦点, 对任意实数 a , 试 判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F ? 并说明理由.
*
, 都 有 a p q a p aq ， 则
f n
S n 60 (n N * )的最小值为 n 1
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 如图, 在△ ABC 中, 点 P 在 BC 边上, PAC 60 , PC 2, AP AC 4 .
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2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影 响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错 误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 （1）B （7）C 二、填空题 （13） 三、解答题 (17) 解: (Ⅰ) 在△ APC 中, 因为 PAC 60 , PC 2, AP AC 4 ,
（2）C （8）A
（3）A （9）B
（4）B （10）C
（5）D （11）A
（6）D （12）B
4
（14） 540
（15） , 8, 2
1
（16）
29 2
由余弦定理得 PC AP AC 2 AP AC cos PAC , ………………………1 分 所以 2 AP 4 AP 2 AP 4 AP cos 60 ,
4
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2017年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或136．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（）A．0 B．504 C．1008 D．2016二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为（用数字填写答案）15．已知函数f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是．=a p+a q，16．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有a p+q则f（n）=（n∈N*）的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．20．过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i）2+=2i+=2i+1﹣i=1+i的共轭复数是1﹣i．故选：B．2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅【考点】集合的表示法．【分析】化简N，即可得出结论．【解答】解：由题意，N={y|y=x2，|x|≤1}={y|0≤y≤1}，∴N⊆M，故选C．3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，∵a3，成等差数列，∴，则，化简得，q2﹣q﹣1=0，解得q=，则q=，∴====，故选A．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或13【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得||PF2|﹣7|=6，∴|PF2|=1或13，故选C．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．【解答】解：五个人的编号为1，2，3，4，5．由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），（1，3），（1，4），（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，∴没有相邻的两个人站起来的概率为，故选：C．8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠F1PF2为钝角，得到•＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，又F1（﹣c，0），F2（c，0），又∠F1PF2为钝角，当且仅当•＜0有解，即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+y02＜0，即有c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．又y02=b2﹣x02，∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），即（x02+y02）min=b2．故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，∴＞，即e＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：A．9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用导数研究p的单调性可得a＞0．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．即可判断出结论．【解答】解：p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，则a，令f（x）=，则f′（x）=．令g（x）=e x x﹣e x+1，则 g（0）=0，g′（x）=xex＞0，∴g（x）＞0，∴f′（x）＞0，∴a＞0． q：函数 f（x）=﹣（a﹣1）x 是减函数，则 a﹣1＞1，解得 a＞2． 则 p 是 q 的必要不充分条件． 故选：B．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P﹣ABC 为鳖臑，PA⊥平面 ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A．8π B．12π C．20π D．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC 为球 O 的直径，求出 PC，可得球 O 的半径，即可求出球 O的表面积．【解答】解：由题意，PC 为球 O 的直径，PC==2 ，∴球 O 的半径为 ，∴球 O 的表面积为 4π•5=20π，故选 C．11．若直线 y=1 与函数 f（x）=2sin2x 的图象相交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 且|x1﹣x2|= ，则线段 PQ 与函数 f（x）的图象所围成的图形面积是（ ）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象． 【分析】根据直线 y=1 与函数 f（x）=2sin2x 的图象相交于点 P（x1，y1），Q（x2， y2），求解 x1，x2 的值，利用定积分即可求解线段 PQ 与函数 f（x）的图象所围成 的图形面积． 【解答】解：函数 f（x）=2sin2x， 周期 T=π，令 2sin2x=1，解得：x=或，直线 y=1 与函数 （f x）=2sin2x 的图象相交于点从左向右依次是 ， ， …，∵|x1﹣x2|=令 x1= ，x2=，可得：线段 PQ 与函数 f（x）的图象所围成的图形面积S=﹣2﹣2=．故选 A12．已知函数 f（x）=x3﹣，则的值为（ ）A．0 B．504 C．1008 【考点】数列的求和．D．2016【分析】使用二项式定理化简得 （f x）═（x﹣ ）3+ ．根据与互为相反数便可得出答案．【解答】解：f（x）=x3﹣=x3﹣ x2+ x﹣ + =（x﹣ ）3+ ．∵+=0，k=1，2，…2016．∴（﹣ ）3+（）3=0，k=1，2，…2016．∴=故选：B．=504．二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分．13．已知| |=1，| |= ，且 ⊥（ ﹣ ），则向量 与向量 的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得 cosθ的值，可得向量 与向量 的夹角 θ 的值．【解答】解：设向量 与向量 的夹角是 θ，则由题意可得 •（ ﹣ ）= ﹣ =1 ﹣1× ×cosθ=0， 求得 cosθ= ，可得 θ= ， 故答案为： ．14．（3﹣x）n 的展开式中各项系数和为 64，则 x3 的系数为 ﹣540 （用数字填 写答案） 【考点】二项式系数的性质． 【分析】令 x=1，则 2n=64，解得 n=6．再利用通项公式即可得出． 【解答】解：令 x=1，则 2n=64，解得 n=6．（3﹣x）6 的通项公式为：Tr+1==（﹣1）r •36﹣r•xr，令 r=3，则 x3 的系数为﹣=﹣540．故答案为：﹣540．15．已知函数 f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数 a 的取值范围是．【考点】函数的值． 【分析】根据解析式对 a 分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性 质求出实数 a 的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）=，①当 a≤0 时，不等式|f（a）|≥2 为|21﹣a|≥2， 则 21﹣a≥2，即 1﹣a≥1，解得 a≤0；②当 a＞0 时，不等式|f（a）|≥2 为，则或，即或，解得 0＜a综上可得，实数 a 的取值范围是故答案为：．或 a≥8； ，16．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1=2，对任意 p、q∈N*，都有 ap+q=ap+aq，则 f（n）=（n∈N*）的最小值为．【考点】数列的求和． 【分析】对任意 p、q∈N*，都有 ap+q=ap+aq，令 p=n，q=1，可得 an+1=an+a1，则﹣an=2，利用等差数列的求和公式可得 Sn．f（n）===n+1+ ﹣1，令 g（x）=x+ （x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵对任意 p、q∈N*，都有 ap+q=ap+aq，令 p=n，q=1，可得 an+1=an+a1，则 ﹣an=2，∴数列{an}是等差数列，公差为 2．∴Sn=2n+=n+n2．则 f（n）===n+1+ ﹣1，令 g（x）=x+ （x≥1），则 g′（x）=1﹣ =，可得 x∈[1， 时，函数 g（x）单调递减；x∈时，函数 g（x）单调递增．又 f（7）=14+ ，f（8）=14+ ． ∴f（7）＜f（8）．∴f（n）=（n∈N*）的最小值为 ．故答案为： ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在△ABC 中，点 P 在 BC 边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4． （Ⅰ） 求∠ACP； （Ⅱ） 若△APB 的面积是 ，求 sin∠BAP．【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ） 在△APC 中，由余弦定理得 AP2﹣4AP+4=0，解得 AP=2，可得△ APC 是等边三角形，即可得解． （Ⅱ） 法 1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求 PB=3．进而利用余弦定理可求 AB，在△APB 中，由正弦定理可求 sin∠BAP=的值．法 2：作 AD⊥BC，垂足为 D，可求：，利用三角形面 积 公 式 可 求 PB ， 进 而 可 求 BD ， AB ， 利 用 三 角 函 数 的 定 义 可 求，．利用两角差的正弦函数公式可求 sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值． 【解答】（本题满分为 12 分） 解：（Ⅰ） 在△APC 中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4， 由余弦定理得 PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，… 所以 22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°， 整理得 AP2﹣4AP+4=0，… 解得 AP=2．… 所以 AC=2．… 所以△APC 是等边三角形．… 所以∠ACP=60°．… （Ⅱ） 法 1：由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB=120°．…因为△APB 的面积是 ，所以．…所以 PB=3．…在△APB 中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…在△APB 中，由正弦定理得，…所以 sin∠BAP==．…法 2：作 AD⊥BC，垂足为 D， 因为△APC 是边长为 2 的等边三角形，所以．…因为△APB 的面积是 ，所以．…所以 PB=3．… 所以 BD=4．在 Rt△ADB 中，，…所以，．所以 sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…==．…18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩 高达 516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和 服务的评价系统．从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次．（Ⅰ） 根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意 对服务不满 合计意对商品满意80对商品不满意合计200（Ⅱ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 EX．附：K2=（其中 n=a+b+c+d 为样本容量）P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用数据直接填写联列表即可，求出 X2，即可回答是否有 95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；（Ⅱ）由题意可得 X 的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望．．【解答】解：（Ⅰ） 2×2 列联表：对服务满意 对服务不满意 合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200…，…因为 11.111＞6.635，所以能有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．…（Ⅱ） 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3．…；；．…X 的分布列为：X0123P…所以．…19．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点 E 是 BC 边的 中点，将△ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如 图 2 所示的几何体． （Ⅰ） 求证：AB⊥平面 ADC； （Ⅱ） 若 AD=1，二面角 C﹣AB﹣D 的平面角的正切值为 ，求二面角 B﹣AD ﹣E 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）证明 DC⊥AB．AD⊥AB 即可得 AB⊥平面 ADC． （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 AB⊥平面 ADC，即二面角 C﹣AB﹣D 的平面角为∠CAD 二面 角 C﹣AB﹣D 的平面角的正切值为 ，解得 AB，如图所示，建立空间直角坐标系 D﹣xyz，求出平面 BAD 的法向量，平面 ADE 的法向量，即可得二面角 B﹣AD﹣E 的余弦值 【解答】解：（Ⅰ） 因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD=BD， 又 BD⊥DC，所以 DC⊥平面 ABD．… 因为 AB⊂ 平面 ABD，所以 DC⊥AB．… 又因为折叠前后均有 AD⊥AB，DC∩AD=D，… 所以 AB⊥平面 ADC．… （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 AB⊥平面 ADC，所以二面角 C﹣AB﹣D 的平面角为∠CAD．… 又 DC⊥平面 ABD，AD⊂ 平面 ABD，所以 DC⊥AD．依题意．…因为 AD=1，所以．设 AB=x（x＞0），则．依题意△ABD～△BDC，所以，即．…解得 ，故．…如图所示，建立空间直角坐标系 D﹣xyz，则 D（0，0，0），，，，，所以，．由（Ⅰ）知平面 BAD 的法向量．…设平面 ADE 的法向量由得令 ，得 所以 所以， ．…．…由图可知二面角 B﹣AD﹣E 的平面角为锐角， 所以二面角 B﹣AD﹣E 的余弦值为 ．…20．过点 P（a，﹣2）作抛物线 C：x2=4y 的两条切线，切点分别为 A（x1，y1）， B（x2，y2）． （Ⅰ） 证明：x1x2+y1y2 为定值； （Ⅱ） 记△PAB 的外接圆的圆心为点 M，点 F 是抛物线 C 的焦点，对任意实数 a，试判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F？并说明理由． 【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析（】Ⅰ）求导，求得直线 PA 的方程，将 P 代入直线方程，求得，同理可知．则 x1，x2 是方程 x2﹣2ax﹣8=0 的两个根，则由韦达定理求得 x1x2，y1y2 的值，即可求证 x1x2+y1y2 为定值；设切线方程，代入抛物线方 程，由△=0，则 k1k2=﹣2，分别求得切线方程，代入即可求证 x1x2+y1y2 为定值；（Ⅱ） 直线 PA 的垂直平分线方程为，同理求得直线PB 的垂直平分线方程，求得 M 坐标，抛物线 C 的焦点为 F（0，1），则，则．则以 PM 为直径的圆恒过点 F．【解答】解：（Ⅰ）证明：法 1：由 x2=4y，得，所以．所以直线PA 的斜率为 ．因为点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）在抛物线 C 上，所以，．所以直线PA的方程为．…因为点P（a，﹣2）在直线PA上，所以，即．…同理，．…所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根．所以x1x2=﹣8．…又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x﹣a），…，消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0，由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化简得k2﹣ak﹣2=0．…所以k1k2=﹣2．…由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．所以，即x1x2=﹣8．…又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（Ⅱ）法1：直线PA的垂直平分线方程为，…由于，，所以直线PA的垂直平分线方程为．①…同理直线PB的垂直平分线方程为．②…由①②解得，，所以点．…抛物线C的焦点为F（0，1），则．由于，…所以．所以以PM为直径的圆恒过点F．…另法：以PM为直径的圆的方程为．…把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．所以以PM为直径的圆恒过点F．…法2：设点M的坐标为（m，n），则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，．两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）=0，①…由（Ⅰ）知，代入上式得，…当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an=0，②假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）=0，得ma﹣3（n﹣1）=0，③…由②③解得，…所以点．…当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）．所以以PM为直径的圆恒过点F．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当a≥时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…所以，即．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2017年3月25日。
年广州市一模理科数学试题及标准答案
201７年广州市普通高中毕业班综合测试(一）理科数学注意事项:１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
４．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本小题共12题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （Ａ）1i + （B)1i - (C ）1i -+ （Ｄ)1i -- (2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤,则(Ａ)M N = (B)M N ⊆ (C ）N M ⊆ (D ）M N =∅（3)已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列，则3546a a a a ++的值是(51- （B 51+ (C)35- （35+ (4)阅读如图的程序框图． 若输入5n =, 则输出k 的值为(A)2 （B ）3 （Ｃ)4 (D ）5（5)已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左,右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 （A)1 (Ｂ)13 （C ）4或10 (D)1或13（6)如图, 网格纸上小正方形的边长为１， 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为83,则该几何体的俯视图可以是（7)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(A)12(B）1532（C）1132（D)516（8)已知1F,2F分别是椭圆C()2222:10x ya ba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C上存在点P使12F PF∠为钝角, 则椭圆C的离心率的取值范围是(A)22⎛⎫⎪⎪⎝⎭(B）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C）20,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭（D)10,2⎛⎫⎪⎝⎭(9)已知:0,1xp x e ax∃>-<成立, :q函数()()1xf x a=--是减函数, 则p是q的（A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(10)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC，2PA AB==，4AC=，三棱锥-P ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(A）8π(B)12π（Ｃ）20π(D)24π（11)若直线1y=与函数()2sin2f x x=的图象相交于点()11,P x y,()22,Q x y,且12x x-=23π,则线段PQ与函数()f x的图象所围成的图形面积是（A）233π（B)33π+（C）2323π+(D)323π+（1２)已知函数()32331248f x x x x=-++, 则201612017kkf=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为(A)0(B）504(C)1008（Ｄ）2016P CBA第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科)一、选择题：本小题共12题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．若集合M=｛x||x｜≤1}，N={y|y=x2，|x｜≤1｝，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅3．已知等比数列{a n｝的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5,则输出k的值为()A．2 B．3 C．4 D．55．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1，F2分别是双曲线C的左,右焦点，点P在双曲线C上,且｜PF1|=7，则｜PF2｜等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或136．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(）A．B．C．D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来; 若硬币正面朝下,则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1,F2分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1) B．（，1）C．(0，）D．（0，）9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立,q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（)A．8πB．12πC．20πD．24π11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P(x1，y1）,Q（x2，y2）,且｜x1﹣x2|=,则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是(）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（）A．0 B．504 C．1008 D．2016二、填空题：本小题共4题,每小题5分．13．已知|｜=1，｜|=，且⊥（﹣)，则向量与向量的夹角是．14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为（用数字填写答案)15．已知函数f（x）=，若｜f（a）｜≥2，则实数a的取值范围是．=a p+a q，16．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N＊，都有a p+q则f（n)=（n∈N*）的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．18．近年来，我国电子商务蓬勃发展。
2017年广东省广州市高考一模数学理
y0 c x0， y0 c x0 c x0 y0 ＜0 ， 即 c x0，
2
即有 c2＞x02+y02 有解，即 c2＞(x02+y02)min. 又 y0 b
2 2
b2 2 x0 ， a2
∴ x0 y0 b
答案：B. 2.若集合 M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则( A.M=N B. M N C. N M D. M N 解析：由题意，N={y|y=x2，|x|≤1}={y|0≤y≤1}， ∴N M ， 答案：C. )
3.已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，
该几何体的俯视图为 D. 答案：D.
7.五个人围坐在一张圆桌旁， 每个人面前放着完全相同的硬币， 所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么，没有相邻 的两个人站起来的概率为( )
1 2 15 B. 32 11 C. 32 5 D. 16
A. 解析：五个人的编号为 1，2，3，4，5. 由题意，所有事件，共有 25=32 种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有(1)，(2)，(3)， (4)，(5)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，(2，5)，(3，5)，再加上没有人站起来的可能有 1 种，共 11 种情况， ∴没有相邻的两个人站起来的概率为 答案：C.
由双曲线的定义可得||PF2|-7|=6，∴|PF2|=1 或 13. 答案：D. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形) 和侧视图，且该几何体的体积为
8 ，则该几何体的俯视图可以是( 3
)
A.
B.
年广东省广州市高考数学一模试卷理科解析版
2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或136．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（）A．0 B．504 C．1008 D．2016二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为（用数字填写答案）15．已知函数f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是．16．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有a p=a p+a q，+q则f（n）=（n∈N*）的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满合计意对商品满意80对商品不满意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D 的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．20．过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．21．已知函数f（x）=lnx +．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i）2+=2i+=2i+1﹣i=1+i的共轭复数是1﹣i．故选：B．2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅【考点】集合的表示法．【分析】化简N，即可得出结论．【解答】解：由题意，N={y|y=x2，|x|≤1}={y|0≤y≤1}，∴N⊆M，故选C．3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，∵a3，成等差数列，∴，则，化简得，q2﹣q﹣1=0，解得q=，则q=，∴====，故选A．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或13【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得||PF2|﹣7|=6，∴|PF2|=1或13，故选C．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．【解答】解：五个人的编号为1，2，3，4，5．由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），（1，3），（1，4），（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，∴没有相邻的两个人站起来的概率为，故选：C．8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠F1PF2为钝角，得到•＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，又F1（﹣c，0），F2（c，0），又∠F1PF2为钝角，当且仅当•＜0有解，即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+y02＜0，即有c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．又y02=b2﹣x02，∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），即（x02+y02）min=b2．故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，∴＞，即e＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：A．9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用导数研究p的单调性可得a＞0．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．即可判断出结论．【解答】解：p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，则a，令f（x）=，则f′（x）=．令g（x）=e x x﹣e x+1，则g（0）=0，g′（x）=xe x＞0，∴g（x）＞0，∴f′（x）＞0，∴a＞0．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．则p是q的必要不充分条件．故选：B．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），求解x1，x2的值，利用定积分即可求解线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积．【解答】解：函数f（x）=2sin2x，周期T=π，令2sin2x=1，解得：x=或，直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点从左向右依次是，，…，∵|x1﹣x2|=令x1=，x2=，可得：线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积S=﹣2﹣2=．故选A12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（）A．0 B．504 C．1008 D．2016【考点】数列的求和．【分析】使用二项式定理化简得f（x）═（x﹣）3+．根据与互为相反数便可得出答案．【解答】解：f（x）=x3﹣=x3﹣x2+x﹣+=（x﹣）3+．∵+=0，k=1，2，…2016．∴（﹣）3+（）3=0，k=1，2，…2016．∴==504．故选：B．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（﹣）=﹣=1﹣1××cosθ=0，求得cosθ=，可得θ=，故答案为：．14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为﹣540（用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质．【分析】令x=1，则2n=64，解得n=6．再利用通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则2n=64，解得n=6．==（﹣1）r•36﹣r•x r，（3﹣x）6的通项公式为：T r+1令r=3，则x3的系数为﹣=﹣540．故答案为：﹣540．15．已知函数f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是．【考点】函数的值．【分析】根据解析式对a分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）=，①当a≤0时，不等式|f（a）|≥2为|21﹣a|≥2，则21﹣a≥2，即1﹣a≥1，解得a≤0；②当a＞0时，不等式|f（a）|≥2为，则或，即或，解得0＜a或a≥8；综上可得，实数a的取值范围是，故答案为：．16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，则f （n ）=（n ∈N *）的最小值为．【考点】数列的求和．【分析】对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，令p=n ，q=1，可得a n +1=a n +a 1，则﹣a n =2，利用等差数列的求和公式可得S n ．f （n ）===n +1+﹣1，令g （x ）=x +（x ≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，令p=n ，q=1，可得a n +1=a n +a 1，则﹣a n =2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2． ∴S n =2n +=n +n 2．则f （n ）===n +1+﹣1，令g （x ）=x +（x ≥1），则g′（x ）=1﹣=，可得x ∈[1，时，函数g （x ）单调递减；x ∈时，函数g （x ）单调递增．又f （7）=14+，f （8）=14+． ∴f （7）＜f （8）． ∴f （n ）=（n ∈N *）的最小值为．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC=60°，PC=2，AP +AC=4． （Ⅰ） 求∠ACP ； （Ⅱ） 若△APB 的面积是，求sin ∠BAP ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．（Ⅱ）法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，．利用两角差的正弦函数公式可求sin ∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…解得AP=2．…所以AC=2．…所以△APC是等边三角形．…所以∠ACP=60°．…（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…因为△APB的面积是，所以．…所以PB=3．…在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…在△APB中，由正弦定理得，…所以sin∠BAP==．…法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．…因为△APB 的面积是，所以．…所以PB=3．…所以BD=4．在Rt△ADB 中，，…所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…==．…18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满合计意对商品满意80对商品不满意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用数据直接填写联列表即可，求出X2，即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；（Ⅱ）由题意可得X的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望．．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表：对服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200…，…因为11.111＞6.635，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．…（Ⅱ）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．…；；．…X的分布列为：X0123P…所以．…19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明DC⊥AB．AD⊥AB即可得AB⊥平面ADC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，即二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，解得AB，如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面BAD的法向量，平面ADE的法向量，即可得二面角B﹣AD﹣E的余弦值【解答】解：（Ⅰ）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD．…因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB．…又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，…所以AB⊥平面ADC．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．…又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD．依题意．…因为AD=1，所以．设AB=x（x＞0），则．依题意△ABD～△BDC，所以，即．…解得，故．…如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，所以，．由（Ⅰ）知平面BAD的法向量．…设平面ADE的法向量由得令，得，所以．…所以．…由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为．…20．过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k1k2=﹣2，分别求得切线方程，代入即可求证x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）直线PA的垂直平分线方程为，同理求得直线PB 的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F（0，1），则，则．则以PM为直径的圆恒过点F．【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为．因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．所以直线PA的方程为．…因为点P（a，﹣2）在直线PA上，所以，即．…同理，．…所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根．所以x1x2=﹣8．…又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x﹣a），…，消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0，由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化简得k2﹣ak﹣2=0．…所以k1k2=﹣2．…由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．所以，即x1x2=﹣8．…又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（Ⅱ）法1：直线PA的垂直平分线方程为，…由于，，所以直线PA的垂直平分线方程为．①…同理直线PB的垂直平分线方程为．②…由①②解得，，所以点．…抛物线C的焦点为F（0，1），则．由于，…所以．所以以PM为直径的圆恒过点F．…另法：以PM为直径的圆的方程为．…把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．所以以PM为直径的圆恒过点F．…法2：设点M的坐标为（m，n），则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，．两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）=0，①…由（Ⅰ）知，代入上式得，…当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an=0，②假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）=0，得ma﹣3（n﹣1）=0，③…由②③解得，…所以点．…当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）．所以以PM为直径的圆恒过点F．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当a≥时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…所以，即．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2017年3月25日。
2017学年广州市调研考试题及参考答案(理科数学)
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学2016.12 本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则AB =(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C （D （3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 2（4）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6（5）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 （A ）8π （B ）4π（C ）38π （D ）34π（6）GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期，C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有OyOxO （A ）140种 （B ）420种 （C ）840种 （D ）1680种（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是(A) (B) (C) (D)（8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7 （10）已知抛物线:C y 交于M ，N (Ａ)221 （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()e x f =(A) (],1-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一) 理科数学一模试题及答案
的余弦值.
A
D
A
B
E
图1
D
C
B
图E2
C
（20）（本小题满分 12 分）
过点 P (a, −2) 作抛物线 C : x2 = 4 y 的两条切线, 切点分别为 A( x1, y1 ) , B ( x2, y2 ) .
.（用数字填写答案）
（15）已知函数
f
(x)
=
21−x ,
x 0, 若 f (a) 2 , 则实数 a 的取值范围是
.
1− log2 x, x 0,
（16）设 Sn 为数列an 的前 n 项和, 已知 a1 = 2 , 对任意 p, q N * , 都有 ap+q = ap + aq ，
（3）已知等比数列an 的各项都为正数,
且
a3
,
1 2
a5
,a4
成等差数列,
则 a3 + a5 的值是 a4 + a6
（A） 5 −1 2
（B） 5 +1 2
（C） 3 − 5 2
（D） 3 +入 n = 5 , 则输出 k 的值为
（A） 2
（B） 3
（C） 4
则球 O 的表面积为
（A） 8
（B）12
（C） 20
（D） 24
（11）若直线 y = 1 与函数 f ( x) = 2sin 2x 的图象相交于点 P ( x1, y1 ) ， Q ( x2, y2 ) ，且
x1 − x2
=
2 ，则线段 PQ 与函数 3
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试-理数
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学2016.12 本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则AB =(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C （D （3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 2（4）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6（5）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 （A ）8π （B ）4π（C ）38π （D ）34π（6）GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期，C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 （A ）140种 （B ）420种 （C ）840种 （D ）1680种OyOxO （7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是(A) (B) (C) (D)（8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7 （10）已知抛物线:C y 交于M ，N (Ａ)221 （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()e x f =(A) (],1-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017届广东省广州市高三3月综合测试(一)数学理试卷(带解析)
, 都有������������+������ = ������������ + �����������+60 (������ ∈N ������+1
∗
)的最小值为__________.
评卷人
得分 三、解答题
17．如图, 在△ ������������������中, 点������在������������边上, ∠ ������������������ = 60°, ������������ = 2, ������������ + ������������ = 4.
n 150 ?
是 输出 k ,n
A． 2 1
B． 3
C． 4
D． 5
结束
图
5．已知双曲线������:
������2 ������2
−
������2
4
= 1的一条渐近线方程为2������ + 3������ = 0,������1 ,������2 分别是双曲线������的
左，右焦点, 点������在双曲线������上, 且|������������1 | = 7, 则|������������2 |等于 A. 1 B. 13 C. 4或10 D. 1或13 6．如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图 （等腰直 角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为3, 则该几何体的俯视图可以是
2
1．复数(1 + ������ )2 + 1+������ 的共轭复数是 A. 1 + ������ B. 1 − ������ C. −1 + ������ D. −1 − ������ 2．若集合������= {������||������| ≤ 1}，������ = {������|������ = ������2 , |������| ≤ 1}，则 A. ������= ������ B. ������⊆ ������ C. ������ ⊆ ������ D. ������∩ ������ = ∅ 3．已知等比数列{������������}的各项都为正数, 且������3 , ������5 , ������4成等差数列, 则
2017广东高考理科数学真题及解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合，，则（）．A．B．C．D．2．若复数（是虚数单位），则（）．A．B．C．D．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）．A．B．C．D．4．袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为（）．A．B．C．D．5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）．A．或B．或C．或D．或6．若变量，满足约束条件，则的最小值为（）．A．B．C．D．7．已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（）．A．B．C．D．8．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（）．A．至多等于B．至多等于C．等于D．大于二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9．在的展开式中，的系数为__________．10．在等差数列中，若，则__________．11．设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则__________．12．某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__________条毕业留言．（用数字作答）13．已知随机变量服从二项分布，若，，则__________．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为__________．15．（几何证明选讲选做题）如图，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为，．过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若与的夹角为，求的值．17．（本小题满分分）某工厂名工人年龄数据如下表工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39（Ⅰ）用系统抽样法从名工人中抽取容量为的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值和方差；（Ⅲ）名工人中年龄在和之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18．（本小题满分分）如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，，点是的中点，点、分别在线段、上，且，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的正切值；（Ⅲ）求直线与直线所成角的余弦值．19．（本小题满分分）设，函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）证明在上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行，（是坐标原点），证明：．20．（本小题满分分）已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两个点、．（Ⅰ）求圆的圆心坐标；（Ⅱ）求线段的中点的轨迹的方程；（Ⅲ）是否存在实数，使得直线：与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．21．（本小题满分分）数列满足：，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）令，（），证明：数列的前项和满足．2017年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科)一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A D B A B C B二、填空题（满分30分）9．10．11．12．13．14．15．三、解答题（满分80分）16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得，则，，则，，．（Ⅱ）, ,, ,．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）,．（Ⅲ）, ,在上有23个，占．18．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在中且为中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面所以平面，又因为平面,所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面所以又因为且所以平面所以，所以为二面角的平面角．在中，所以（Ⅲ）连结，则在中，因为，所以所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角在中，由余弦定理得19．（本小题满分分）解：（1），所以对，恒成立，所以的单调递增区间为．（2）由题知，所以，由（1）知，在上单调递增，所以在有且只有一个零点．（3），设点，则，解的．所以，所以，令，则由得当时，当时，所以的最小值为所以所以，所以即所以，得证．20．（本小题满分分）解：（1）圆的标准方程为所以圆的圆心坐标为．（2）设动直线的方程为，联立得，则，所以，的取值范围为，设，两点坐标分别为，，则由韦达定理得，所以则线段中点轨迹的参数方程为：，所以，的方程为，．（Ⅲ）当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时圆心到直线的距离为．得．直线过定点则，所以．21．（本题满分14分）解：（），，，（）时，与原式想减得，也符合上式，所以（）所以（）时，故下面只需证明（）只需证明，不等式左边不等式右边，所以原式成立．2017年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科)选填解析一、选择题1．【答案】D【解析】,所以．故选D．2．【答案】A【解析】，所以．故选A．3．【答案】D【解析】为偶函数，为奇函数为偶函数，所以答案选D．故选D．4．【答案】B【解析】．故选B5．【答案】A【解析】与直线平行的直线可以设为，圆圆心坐标为半径为直线与圆相切所以圆心到直线的距离等于半径即：所以求的．故选A．6．【答案】B【解析】由图知过点时取得最小值．故答案为B．7．【答案】C【解析】因为离心率又所以，即得，所以即．故答案选C．8．【答案】B二、填空题9．【答案】【解析】，所以，系数为．故答案为．10．【答案】【解析】，则，所以．故答案为．11．【答案】【解析】因为，则或，因为，所以，则．由正弦定理得，．故答案为．12．【答案】【解析】因为人两两之间要互写留言，所以每人要写条，一共有条留言．故答案为13．【答案】【解析】，，解得．故答案为14．【答案】【解析】，，由点到直线距离公式得．故答案为15．【答案】【解析】连结，由题得，，，则．故答案为。