2021-2022年高考数学复习：幂函数高考数学专题辅导
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
专题09 对数函数、幂函数、对勾函数与双刀函数——2021年高考数学专项复习训练含真题及解析
B.10
C.20
D.100
10.(高考母题)证明： log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8 3 。
推广： log2 3 log3 4 log4 5logn n 1 log2 n 1 。当前一个对数的真数是后一个对数的底数
连续相乘时，结果是以第一个对数的底数为底数，最后一个对数的真数为真数的对数。在对数相乘时，尽
A. 1,10
B. 5, 6
C. 10,12
D. 20, 24
3.(高考题)已知 a
5 1
，函数
f x a x ，若实数 m 、 n 满足
f (m)
f (n) ,则 m 、 n 的大小关系为
。
2
4.(高考题)设
a
1 ，函数
f
(x)
loga
x
在区间[a, 2a]
上的最大值与最小值之差为
1 2
8 27
2 3
+log9
7 2
log9
2 7
________。
21.(2020 年新课标全国卷 III4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公
K 布数据建立了某地区肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： I (t)=1 e0.23(t53) ，
b a
。
③传递性质： loga b logb c loga c 。 1.(高考题) lg 5 lg 20 的值是_______。
2.(高考题) 2 log5 10 log5 0.25 等于 (
)
A.0
B.1
C.2
D.4
高考数学一轮复习知识点：幂函数
高考数学一轮复习知识点：幂函数把握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，查字典数学网整理了2021-2021高考数学一轮复习知识点，关心宽敞高中学生学习数学知识!定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情形如下：假如a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;假如a为负数，则x确信不能为0，只是这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即假如同时q 为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情形如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：关于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情形来讨论各自的特性：第一我们明白假如a=p/q，q和p差不多上整数，则x^(p/q)=q次根号(x 的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，明显x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此能够看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就能够明白：家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。
排除了为0与负数两种可能，即关于x>0，则a能够是任意实数;家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
2021届新高考数学一轮专题复习(新高考版)第07讲 幂函数与二次函数(讲义版)
第07讲-幂函数与二次函数一、考情分析1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．二、知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.三、 经典例题考点一 幂函数的图象和性质【例1-1】（2019·河北省沧州市一中高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,)m 和(9,3)，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．22【答案】D 【解析】设()a f x x ，依题意可得93α=，所以12α=.所以12()f x x =.故所求实数12(8)822m f ===.【例1-2】（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】43y x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 考点二 二次函数的解析式【例2-1】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【解析】 法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【例2-2】（2020·四川省泸县第一中学高一期中）已知函数()()220f x ax ax b a =-+>在区间[]1,3-上的最大值为5，最小值为1.（1）求a 、b 的值及()f x 的解析式； （2）设()()f x g x x=，若不等式()330x xg t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解，求实数t 的取值范围. 【解析】()22f x ax ax b =-+对称轴方程为1x =, 因为()f x 在区间[]1,3-上的最大值为5，0a >, 故1x =时,()f x 取得最小值为1,即顶点为(1,1)，1x =-或3x =，()f x 取得最大值5. ()11(1)35f a b f a b ⎧=-+=⎨-=+=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩, 21,2,()22a b f x x x ∴===-+.（2）()()222,(3)323x x x f x g x x g x x ==+-=+-, ()23332303x x x x x g t t -⋅=+--⋅≥, 即2221(3)3x x t ≤+-在[]0,2x ∈上有解, 令[]11,0,2,[,1]39x m x m =∈∈ 22111()2212(),[,1]229h m m m m m =-+=-+∈max ()1t h m ≤=时，不等式()330x x g t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解. ∴实数t 的取值范围1t ≤.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考点三 二次函数的图象及应用【例3-1】（2020·全国高一专题练习）函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b(ab≠0)的图象只可能是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()()()2,0f x ax bx g x ax b ab ==≠＋＋，()f x 的对称轴为2ba-。
2021届高考数学二轮复习函数与导数专题练之幂函数
2021届高考数学二轮复习函数与导数专题练之幂函数1.已知幂函数()()21m f x m m x =--在(0,)+∞上单调递减，则实数m =( ) A.1-B.2C.1-或2D.122.已知幂函数()y f x =的图象过22,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列求解正确的是（ ）A ．()12f x x =B ．()2f x x =C ．()32f x x =D ．()12f x x -=3.若幂函数()f x 的图像过点(16,8)，则2()()f x f x <的解集为( ) A. (,0)(1,)-∞⋃+∞B. (0,1)C. (,0)-∞D. (1,)+∞4.函数()1a f x x =+，若()f x 在区间[],(0)a b a b <<内的值域为[]3,6，则()f x 在[],b a --内的最大值与最小值之和为( ) A.-9B.-7C.-5D.9或-55.已知幂函数()y f x =的图像过点()3,3，则()4log 2f 的值为( ) A ． 2B ．14-C ．14D ．2-6.在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=-的图像可能是图中的( ) A.B.C.D.7.幂函数()223()1m m f x m m x +-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为( )A. 2或-1B. -1C. 2D. -2或18.设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭,,,，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A.1，3 B.1-，1 C.1-，3 D.1-，1，39.若幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =_________.10.已知幂函数223()mm f x x -++= (Z m ∈)为偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增，则函数()f x 的解析式为 ___________.11.已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点122⎛ ⎝⎭，则k α+=____________12.若幂函数2223(33)mm y m m x +-=++的图像不过原点，且关于原点对称，则m =___________.答案以及解析1.答案：A解析：由于函数()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，舍去；当1m =-时，1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减.故选A. 2.答案：D解析：设幂函数的解析式为a y x =，∵幂函数()y f x =的图象过点222a =， 解得12a =-，∴12()f x x -=，故选D.3.答案：D解析：设幂函数()a f x x =， 图像过点()16,8，所以168a =，即4322a =，所以43a =，解得34a =.所以()3344f x x x =()0,+∞，且()f x 为增函数.由()()2f x f x <得20{ x x x ><，解得1x >.故选D4.答案：D解析：当21(Z)k k α=-∈时，函数()a g x x =是奇函数，()a g x x =在[],a b 上的值域是[]2,5，则()a g x x =在[],b a --上的值域是[]5,2--，所以()f x 在[],b a --上的值域是[]4,1--，()f x 在[],b a --上的最大值与最小值之和等于-5；当2(Z)k k α=∈时，函数()f x 是偶函数，则()f x 在[],b a --上的值域是[]3,6，()f x 在[],b a --上的最大值与最小值之和等于9，故选D. 5.答案：C解析：设幂函数()y f x x α==，图像过点(3，33α=∴，12α=∴， ()12()0f x xx =≥∴，()1224441111log 2log 2log 2224f ===⨯=∴.故选C 6.答案：C解析：当0a <时，函数1y ax a =-是减函数，当0x =时，10y a =->，即函数1y ax a=-的图像与y 轴的交点在正半轴上，a y x =在(0,)+∞上是减函数，所以A ，D 均错误.对于B ，C ，若0a >，则1y ax a=-是增函数，故B 错误，C 正确. 7.答案：B解析：由于幂函数()223()1mm f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-，故选B ．8.答案：A解析：由于定义域为R ，排除1-和12，函数3y x y x ==,是奇函数且定义域为R. 9.答案：19解析：设幂函数()y x R αα=∈其函数图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭124α=∴解得2α=-2()y f x x -==∴ 1(3)9f =∴故答案为：1910.答案：4()f x x = 解析：因为幂函数223()m m f x x -++= (Z m ∈)为偶函 数，所以223m m -++为偶数.又()f x 在区间()0,+∞上单调递增，所以2230m m -++>，所以13m -<<. 又Z m ∈，223m m -++ 为偶数，所以1m =，所以4()f x x =.11.答案：32解析：由幂函数的定义得1k =，再将点122⎛ ⎝⎭212α⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12α=，故32k α+=. 故答案为：32. 12.答案：-2解析：根据幂函数的定义得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，所以41y x =或31y x=.又因为函数图像关于原点对称，所以2m =-.。
高考数学幂函数复习指导
高考数学幂函数复习指导
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同状况如下：假设a为恣意实数，那么函数的定义域为大于0的一实在数;假设a为正数，那么x一定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根[据q的奇偶性来确定，即假设同时q为偶数，那么x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的一实在数;假设同时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0的一实在数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同状况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，那么只要同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只要a为正数，0才进入函数的值域
性质：
关于a的取值为非零有理数，有必要分红几种状况来讨论各自的特性：
首先我们知道假设a=p/q，q和p都是整数，那么x^(p/q)=q 次根号(x的p次方)，假设q是奇数，函数的定义域是R，假设q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，那么x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域
是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所遭到的限制来源于两点，一是有能够作为分母而不能是0，一是有能够在偶数次的根号下而不能为正数，那么我们就可以知道：
扫除了为0与正数两种能够，即关于x0，那么a可以是恣意实数;
扫除了为0这种能够，即关于x0和x0的一实在数，q不能是偶数;
扫除了为正数这种能够，即关于x为大于且等于0的一实在数，a就不能是正数。
考点11 幂函数——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点11：幂函数【思维导图】【常见考法】考法一：幂函数定义辨析1．已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n += 。
2．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为 。
3．若幂函数()()223265m f x m m x-=-+没有零点，则()f x 满足 。
A ．在定义域上单调递减 B ．()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增 C ．关于y 轴对称 D ．()()0f x f x +-=4．已知幂函数y ＝（m 2﹣3m +3）x m +1是奇函数，则实数m 的值为 。
考法二：幂函数的性质1．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域 。
2．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是 。
3．已知幂函数y x α=的图象过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的单调递减区间为 。
4．若()14f x x =,则不等式816f x f x 的解集是 。
5．已知()()2233132a a --+<-，则a 的取值范围__________.6．已知函数()22k k f x x -++=，且()()23f f >，则实数k 的取值范围是______.7．已知，131344525,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 。
考法三：图像问题1．幂函数y =（m 2-m -5）x 241m m -+的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为______.2．上图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于曲线1C 、2C 、3C 、4C 的n 依次为（ ）3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）① ② ③ ④ A ．①13y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -= B ．①3y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -=C ．①2yx ，②3y x =3y x =，③1y x -=，④12y x =D ．①13y x =，②12y x =，③2y x ，④1y x -=4．已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.解析附后考点10：对数函数【思维导图】。
如何通过幂函数解决高考数学中的问题
如何通过幂函数解决高考数学中的问题高考数学是很多人认为最难以攻克的科目之一，而幂函数则是高考数学中的一种重要概念。
幂函数不仅是解决高考数学问题的关键，同时也是很多应用领域中得到广泛使用的数学工具。
本文将会介绍幂函数以及如何通过幂函数解决高考数学中的问题。
一、什么是幂函数？幂函数是数学中的一种基本函数类型，其数学表达式为f(x)=ax^n，其中a和n是常数，且a不等于0。
在这里，a表示函数的比例因子，而n则是幂指数。
幂函数的图像通常为从左下方到右上方的单调增函数，也可以是从左上方到右下方的单调减函数，形状类似于斜率为正或负的直线。
二、幂函数在高考数学中的应用1、计算函数极限在高考数学中，幂函数在求极限时经常被使用。
因为幂函数的极限很容易求解，只需要记住当n>0时，ax^n的极限为0，而当n<0时，ax^n的极限为无穷大或无穷小。
因此，在求解一些复杂的函数极限时，我们可以通过将函数化简为幂函数的形式，再通过极限的性质来求解。
2、解方程幂函数在高考数学中还常常用于解方程。
例如，当ax^n=b时，我们可以通过对幂函数进行对数变换，得到x=loga(b/n)，从而求解方程。
在解多项式方程时，幂函数的幂指数为方程度数的情况下也可以通过幂函数来进行求解。
3、求导与积分幂函数在高数中还常常用于求导和积分。
由于幂函数的导数公式极为简单，即幂函数的导数为nax^(n-1)，因此对幂函数求导时只需要对n和比例因子a进行简单的计算即可。
而对幂函数进行积分时，则可以通过求解幂函数的原函数来进行计算。
三、幂函数在日常生活中的应用除了在高考数学中外，幂函数也在很多实际应用中得到了广泛的应用。
例如，信号传输中的功率信号和电路电流的指数关系都可以用幂函数来进行描述。
在生物学和地学中，也常常用到幂函数来描述物种丰度和动态平衡等现象。
除此之外，幂函数还可以用来表示经济中的收入分配和物品销售数量的变化趋势。
四、总结本文介绍了幂函数在高考数学中的应用，幂函数的概念和特点以及如何通过幂函数解决高考数学中的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021-2022年高考数学复习：幂函数高考数学专题辅导
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域
性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无界。
$22163 5693 嚓A21270 5316 化23672 5C78 屸K22248 56E8 囨33772 83EC 菬a 33688 8398 莘25373 631D 挝20100 4E84 亄25542 63C6 揆34026 84EA 蓪。