奥数 比和比例

六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系）

比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.

这一讲分三个内容：

一、比和比的分配；

二、倍数的变化；

三、有比例关系的其他问题.

一、比和比的分配

最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.

例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.

解：设甲的周长是2.

甲与乙的面积之比是

答：甲与乙的面积之比是864∶875.

作为答数，求出的比最好都写成整数.

例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.

求上底AB与下底CD的长度之比.

解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.

三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.

答：AB∶CD=3∶14.

两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.

例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.

解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，

中杯与小杯容量之比是4∶3，

大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.

∶

=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）

=44∶75.

答：两者容量之比是44∶75.

把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.

甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，

3∶5=3×7∶5×7=21∶35，

7∶4=7×5∶4×5=35∶20，

甲∶乙∶丙=21∶35∶20.

花了多少钱？

解：根据比例与乘法的关系，

连比后是

甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2

=32∶48∶63.

答：甲、乙、丙三人共花了429元.

例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙

，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？

解：设甲的长度是6份.

∶x=5∶4.

乙与丙的长度之比是

而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.

甲∶乙∶丙=30∶25∶26.

答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.

于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.

例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？

解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是

答：这些糖果每千克平均价是27.5元.

上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：

事实上，有稍简捷的解题思路.

解二：先求出这三种糖果所买数量之比.

不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.

平均数是（15+11+10）÷3=12.

单价33元的可买10份，要买12份，单价是

下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.

例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此

例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？

解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.

三人工作效率之比是

他们分别需要完成的工作量是

所需时间是

700×3=2100分钟）=35小时.

答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.

这是三个数量按比例分配的典型例题.

例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：

甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，

那么丙有多少名男会员？

解：甲组的人数是100÷2=50（人）.

乙、丙两组男会员人数是56-24=32 （人）.

答：丙组有12名男会员.

上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔

例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？

解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.

上坡、平路、下坡的速度之比是

走完全程所用时间

答：小龙走完全程用了10小时25分.

上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.

解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时