湘教版九年级数学下册 垂径定理教案
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案
课题：垂径定理
教学内容：垂径定理的概念、内容及应用
教学目标：
1.了解垂径定理的概念和内容。
2.掌握垂径定理的应用方法和技巧。
3.通过课堂练习和课后作业，提高学生的解题能力和思维能力。
教学重点和难点：
教学过程：
1.导入（5分钟）
教师首先介绍垂径定理的概念和基本应用，引出本节课的主题，并说明课程的目标和
教学重点及难点。
2.讲解（20分钟）
教师以图像和问题出发，引导学生理解垂径定理的概念和原理，然后逐步讲解垂径定
理的一般结论、特殊结论及不等式定理的推导过程和相关练习和问题。
教师带领学生完成一组课堂练习，然后让学生自己在课本和课堂练习中解决相关问题。
课堂练习中要带领学生培养解题的思路和解题的步骤，提高解题的能力和积极性。
教师邀请学生上台分享课上或课后做的垂径定理相关问题的解答和思路，并指导学生
如何巩固和加强相关知识和应用。
教师引导学生自主学习、思考和实践垂径定理相关问题，鼓励学生自主发现问题点，
深入思考问题的解决方案，并及时对学生的提问进行解答和指导。
教学方法：
1.课堂讲解
2.演示分析
3.课堂练习
4.展示分享
教学工具：
1.黑板
2.笔
3.投影仪
4.计算器
5.纸笔
教学评价：
2.课堂参与
4.家庭作业
5.期末考试
教学反思：
本节课通过注重理论知识的讲解，课程的练习和展示，进一步加深了学生对垂径定理的理解和应用能力。
但是还需要在今后的教学中加强对知识点的理解和掌握以及对学生思维能力的培养和提升。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
2湘教版2020年春九年级数学下册：优秀教案.3 垂径定理
*2.3 垂径定理1．进一步认识圆是轴对称图形； 2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点)3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶． 它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究 探究点一：垂径定理【类型一】 利用垂径定理求边如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型二】 动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3cm ≤OP ≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．探究点二：垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为Rm ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R。
九年级数学下册2.3垂径定理学案湘教版
2.3 垂径定理1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算。
自学指导阅读课本P58~59，完成下列问题.知识探究1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,它也是中心对称图形，对称中心为圆心.2.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足:①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE=DE；④错误!=错误!;⑤错误!=错误!。
自学反馈1.已知:⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则AB的长为（ D )A． B．4cmC． D．8cm2.如图，⊙O的半径为4，弦AB⊥OC于C，且OC=3,则AB的长等于．活动1 小组讨论例1 如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E，DE=2cm,求⊙O的直径CD的长.解：连接OA.设OA=rcm ，则OE=r —2(cm ）. ∵CD ⊥AB ， 由垂径定理得AE=2AB=4（cm)。
在Rt △AEO 中，由勾股定理得 OA 2=OE 2+AE 2。
即r 2=（r —2）2+42. 解得r=5。
∴CD=2r=10（cm).例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 平行. 求证：弧AC=弧BD. 证明：作直径EF ⊥AB ， ∴弧AE=弧BE. 又∵AB ∥CD,EF ⊥AB ， ∴EF ⊥CD. ∴弧CE=弧DE 。
因此弧AE —弧CE=弧BE —弧DE ， 即弧AC=弧BD 。
活动2 跟踪训练2.图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为如（ C ）A．2 B．3 C．4 D．53。
如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧）,其跨度为24米，拱的半径为13米,则拱高为（ B ）A．5米B．8米C．7米D．5米5。
湘教版九年级下册数学《垂径定理》教案
湘教版九年级下册数学《垂径定理》教案教学目标1、探索并证明垂径定理。
2、运用垂径定理解决一些有关证明，计算问题。
教学重点、难点：垂径定理的证明以及运用。
教学过程一、预习导学学生自主学习教材P58,完成下列各题：1、把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次后，发现了什么？由此你得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称图形是任意一条过圆心的直线。
（设计意图：让学生动手实验、探索，并发现结论，激发学生的求知欲望）2、在图（1）的ΘＯ中，A、B是任一条方法，C、D是ΘＯ的直径且CD⊥AB，垂足为E。
（1）如图是轴对称图形吗？如果是其对称轴是什么？（2）将ΘＯ沿CD所在直线对折，你能发现图中有哪些等量关系？（3）你能证明你的结论吗？ECOA BD （图1）·设计意图：通过实验让学生探索、发现垂径定理，初步感知。
二、探究展示 （一）合作探究探究1：引导学生利用等腰三角形的性质证明垂径定理，得到定理后，还可进一步帮助学生分析定理中的题设和结论，并可将定理改述为：一条直线若满足:（1）过圆心，（2）垂直于弦，则可以推出；（1）平分弦，（2）平分弦所对的优（劣）弧。
探究2：如图（2），弦AB=8cm ，CD 是ΘＯ的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，CE=2cm ，求ΘＯ的直径CD 的长。
说明：把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径r 圆心EC ABD（图2）·O到弦的距离d ，弦长a 之间的关系式：r 2=d 2+（2a）2（设计意图：垂径定理的巧妙运用，初步感受“连半径”这一辅助线作法） 探究3：证明：圆的两条平行方法所夹的弧相等。
已知：如图（3）在ΘＯ中，弦AB 与弦CD 平行，求证：AC=BD设计意图：“连半径”或“作垂直”都可以解决问题，经一步发现垂径定理的好处。
（二）展示提升1、如图（4）,AB 是ΘＯ的直径，C 是ΘＯ上一点，AC=8cm ，AB=10cm,OD⊥BC 于点D,求BD 的长。
湘教版九年级数学下册2.3 垂径定理(优秀教学设计)
*2.3垂径定理1．进一步认识圆是轴对称图形；2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点)3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求边如图，点A、B是⊙O上两点，AB ＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP 于E，OF⊥PB于F，求EF的长．解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝12AB＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型二】动点问题如图，⊙O的直径为10cm，弦AB ＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．解析：当点P处于弦AB的端点时，OP 最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝12AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD ＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．探究点二：垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R m ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用．（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
湘教版九年级数学下册垂径定理教案新版湘教版
*2.3 垂径定理教学目标：【知识与技能】1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证．2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算．【过程与方法】在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力．【情感态度】通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．【教学重点】垂径定理及运用．【教学难点】用垂径定理解决实际问题．教学过程：一、情境导入，初步认识教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下：（1）圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？（2）如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB 于点M ，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）学生回答或展示：【教学说明】（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD ．（2）AM=BM ，AC BC AD BD ==，． 二、思考探究，获取新知探究1 垂径定理及其推论的证明．1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程．已知：直径CD ，弦AB ，且CD ⊥AB ，垂足为点M ．求证：AM=BM ， AC BC AD BD ==，【教学说明】连接OA=OB ，又CD ⊥AB 于点M ，由等腰三角形三线合一可知AM=BM ，再由⊙O 关于直线CD 对称，可得AC BC AD BD ==，．学生尝试用语言叙述这个命题． 2.得出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．还可以得出结论(垂径定理推论)：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．3.学生讨论写出已知、求证，并说明．学生回答：【教学说明】已知：AB 为⊙O 的弦(AB 不过圆心O)，CD 为⊙O 的直径，AB 交CD 于点M ，MA=MB ．求证：CD ⊥AB ， AC BC AD BD ==，． 证明：在△OAB 中，∵OA=OB ，MA=MB ，∴CD ⊥AB ．又CD 为⊙O 的直径，∴AC BC AD BD ==，． 4.同学讨论回答，如果条件中，AB 为任意一条弦，上面的结论还成立吗?学生回答：【教学说明】当AB 为⊙O 的直径时，直径CD 与直径AB 一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直．探究2 垂径定理在计算方面的应用．例1讲教材例1例2已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 与CD 间的距离．解：(1)当AB 、CD 在O 点同侧时，如图①所示，过O 作OM ⊥AB 于M ，交CD 于N ，连OA 、OC ．∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD 于N ．在Rt △AOM 中，AM=5cm ，22OA AM -．在Rt △OCN 中，CN=12cm ，22OC CN -．∵MN=OM-ON ，∴MN=7cm ．(2)当AB 、CD 在O 点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM= 12cm ，ON=5cm ，MN=OM+ON ，∴MN=17cm ．∴AB 与CD 间的距离是7cm 或17cm ．【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去．2.AB 、CD 与点O 的位置关系没有说明，应分两种情况：AB 、CD 在O 点的同侧和AB 、CD 在O 点的两侧．探究3与垂径定理有关的证明．例3讲教材例2【教学说明】1.作直径EF ⊥AB ，∴AE BE =．又AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ．∴CE DE =．∴AE CE BE DE -=-，即AC BD =．2.说明直接用垂径定理即可．三、运用新知，深化理解1.如右图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．202.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4)，N(0，-10)， 函数k y x=(x ＜0)的图象过点P ，则k=______．3.如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证：四边形ADOE 为正方形．【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解．2.求k值关键是求出P点坐标．3.利用垂径定理，由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形．【答案】1．D 2．283．解：由OE⊥CA，OD⊥AB，AC⊥AB，∴四边形ADOE为矩形．再由垂径定理;AE=12 AC，AD=12AB，且AB=AC，∴AE=AD，∴矩形EADO为正方形．四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答基础上．3.教师强调：①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况．课堂作业：教材习题2.3第1、2题．教学反思：本节课由折叠圆形入手，让学生猜想垂径定理并进一步推导论证，在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力，加深了对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
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《垂径定理》教案
教学目标
知识与技能
1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证.
2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算.
过程与方法
在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力.
情感态度
通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点
垂径定理及运用.
教学难点
用垂径定理解决实际问题.
教学过程
一、情境导入，初步认识
教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下:
①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？
(在纸片上对折操作)
【教学说明】
(1)是轴对称图形，对称轴是直线CD.
(2)AM=BM，AC BC AD BD
，.
==
二、思考探究，获取新知
探究1垂径定理及其推论的证明.
1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程.
已知:直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M.
求证:AM=BM，AC BC AD BD
，
==
【教学说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由⊙O关于直线CD对称，可得AC BC AD BD
，.
==
2.得出垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.学生讨论写出已知、求证，并说明.
学生回答:
【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O)，CD为⊙O的直径，AB交CD
于点M，MA=MB.
示证:CD⊥AB，AC BC AD BD
，.
==
证明:在△OAB中，∵OA=OB，MA=MB，∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径，∴
==
，.
AC BC AD BD
4.同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗？
学生回答:
【教学说明】当AB为⊙O的直径时，直径CD与直径AB一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直.
探究2垂径定理在计算方面的应用.
例1如课本图，弦AB=8cm，CD是圆O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求圆O的直径CD的长.
例2已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB与CD间的距离.
解:(1)当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、OC.∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm，OM22
OA AM
-12cm.在Rt△OCN中，CN=12cm，ON22
-5cm.∵MN=OM-ON，∴MN=7cm.
OC CN
(2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由(1)可知OM= 12cm，ON=5cm，MN=OM+ ON，∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm.
【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去.
2.AB、CD与点O的位置关系没有说明，应分两种情况:AB、CD在O点的同侧和AB、CD 在O点的两侧.
探究3与垂径定理有关的证明.
例3证明：圆的两条平行线所夹的弧相等.已知：如课本图，在圆O中，弦AB与弦CD平行.证明：弧AC等于弧BD.
【教学说明】1.作直径EF⊥AB，∴AE BE
=.
又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.
∴CE DE
=.
∴AE CE BE DE
-=-，即AC BD
=.
2.说明直接用垂径定理即可.
练习题：如课本图，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，AC=8cm，AB=10cm，OD⊥B C于点D，求BD的长.
三、运用新知，深化理解
1.(湖北黄冈中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，
则⊙O的直径为()
A.8
B.10
C.16
D.20
2.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，-4)，N(0，-10)，函数
k
y
x
= (x
＜0)的图象过点P，则k=______.
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE
⊥AC于E，求证：四边形ADOE为正方形.
【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线(弦心距)，然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解.
2.求k值关键是求出P点坐标.
3.利用垂径定理，由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形.
【答案】1.D2.28
3.解:由OE⊥CA，OD⊥AB，AC⊥AB，∴四边形ADOE为矩形.再由垂径定理；AE=1 2 A
C，AD=1
2
AB，且AB=AC，∴AE=AD，∴矩形EADO为正方形.
课堂小结
圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；垂径定理及推论中注意“平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；注意计算中的两种情况.
课后作业
1.教材习题
2.
3.
2.完成同步练习册中本课时的练习.。