北京市西城区2013届高三上学期期中考试(数学理)无答案
北京2013西城高三数学一模理科试题及答案
北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科） 2013.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U=R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð（A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|1x2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y ==θ（A ）π6 （B ）π6- （C ）π3 （D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种 （B ）72种 （C ）84种 （D ）96种 5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A ）6 （B ）12（C ）12+ （D ）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（A ）1(0,]4 （B ）1[,)4+∞ （C ）1(0,]8 （D ）1[,)8+∞ 8．如图，正方体1111ABCD ABC D -中，P 为底面ABCD上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（A ）线段 （B ）圆弧 （C ）椭圆的一部分 （D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为 ．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =， 则圆O 的半径长为______；BP =______．13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称． 点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c a t b c a b =⋅,}b c c a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t=______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测． （Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论． 18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒． （Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别 交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点） 的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)nn i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n n B b b b S =∈ ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---； 1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ= ，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使AB BC λ=？说明理由； （Ⅲ）记(1,1,,1)n IS =∈ ．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230x y y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1 14．1，1[1,2． 注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分 即ππsincos 04422a -=-=， ………………3分 解得 1a =． ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )x x x x x =--- ………………7分22(cossin )x x x =- ………………8分cos2x x = ………………9分 π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得 ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528．………5分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=，所以 BC AC ⊥． ………………2分 又因为AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分 所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分 在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =． 设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),(,,0),(,,1)2222C A BDE --． 所以)1,21,23(-=CE ，)0,0,3(=CA ，)0,1,0(=CB ． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 10,20.x y z -+== 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n 所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分 （Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t CQ -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以0,10.2b b tc =⎧-+= 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ， ………………13分 即002110⨯+⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且11()ax f x a x x-'=-=． ………………2分① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a ；单调增区间为(,)a +∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R ，且 ()e 3ax g x a '=+． ………………6分③ 当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增． 由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分④ 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． ()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞ ． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设 (,0)F c -，则tan60bc︒=．………………2分将 b 代入 222a b c =+，解得 2a c =．………………3分 所以椭圆的离心率为 12c e a ==． ………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c+=． ………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． ………………7分则 2122843ck x x k -+=+，121226(2)43cky y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck G k k -++． ………………8分因为 GD AB ⊥，所以 2223431443Dck k k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． ………………9分 因为 △GFD ∽△OED ，所以 2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ ………………11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分 所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7iii d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=． 由 *5a ∈N ，得 51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = ，12(,,,)n C c c c = ．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=--- λ,,， 即 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n = ．所以 ii b a -与(1,2,,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||n n iiiii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)niiiii b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． ………………6分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BC λ=． ………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A = ，(1,2,1,1,,1)B = ，(2,2,2,1,1,,1)C ，则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．因为(0,1,0,0,,0)AB = ，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||niii d A B b a ==-∑，设(1,2,,)ii b a i n -= 中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m = 时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++ 时，0i i b a -<．所以 1(,)||niii d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以11(1)(1)nniii i a b ==-=-∑∑， 整理得 11nn iii i a b ===∑∑．所以 12121(,)||2[()]niimm i d A B b a b b ba a a ==-=+++-+++∑ ．……………10分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++ ()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121ma a a m m +++≥⨯= ，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++ 2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤．…12分 对于 (1,1,,1,1)A p =+ ，(1,1,1,,1)B p =+ ，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分 解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+． 证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+． 所以 11(,)|||(1)(1)|n niiiii i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)niii b a =≤-+-∑11|1||1|2nni i i i a b p ===-+-=∑∑． ……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)2d A B p ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,1)A p =+ ，(1,1,1,,1)B p =+ ，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分。
北京市西城区2013—2014学年度高三年级第一学期期末数学理科
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ， 则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = ____． 10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．1侧(左)视图14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组 乙组 891 a822 F CEHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=， 即 cos 22α=， ……… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ……………10分 由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分 解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能. ……………… 5分 由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分 （Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. …………… 3分 因为 ED BD D = ，所以 AC ⊥平面BDEF . …………… 4分 （Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……… 5分 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =， 所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由33(,)222DH = ， 得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()222BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分 由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分 同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分 同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分 因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，第 11 页 共 11 页 所以 2012213q <<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î， 所以 11n n a a q N -*= ，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分 （必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分 所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r+整除. 又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1. 所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。
【Word版解析】北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题
北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学测试（理）试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】{(3)0}{03}P x xx x x =-<=<<,={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<= , 选B.2. 函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】要使函数有意义，则有23400x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，即2+3400x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得41x -≤≤且0x ≠，选D.3．下列命题中是假命题的是（ ） A ．都不是偶函数B ．有零点C ．D ．上递减【答案】A 【解析】当=2πϕ时，()=sin(2)=cos 22f x x x π+为偶函数，所以A 错误，选A. 4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】边7对角为θ，则由余弦定理可知2225871cos ==2582θ+-⨯⨯，所以=60θ ，所以最大角与最小角的和为120 ，选B. 5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构.判断框内为满足循环的条件 第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3；当执行第10项时，11n =， n 的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值。
故答案为：9n ≤或10n <,选B. 6．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（ ）【答案】A【解析】由函数的两个根为.x a x b ==，图象可知01,1a b <<<-。
北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题
北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则 ______A. B.C. D.2. 在复平面内，复数的对应点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是______A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入______A. B. C. D.5. 已知函数，其中为常数．那么“ ”是“ 为奇函数”的______A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知，是非负数，且满足．那么的取值范围是______A. B. C. D.7. 某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是______A. B. C. D.8. 将正整数，，，，，，随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知向量，，那么 ______．10. 如图，中，，，．以为直径的圆交于点，则______； ______．11. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则______．12. 已知椭圆的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则的面积是______．13. 已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．14. 已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：①；②；③．其中，具有性质的函数的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，已知．（1）求角的值；（2）若，，求的面积．16. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值．17. 生产，两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件元件（1）试分别估计元件，元件为正品的概率；（2）生产一件元件，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元；生产一件元件，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元．在（1）的前提下，（i）记为生产件元件和件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（ii）求生产件元件所获得的利润不少于元的概率．18. 已知函数，其中．（1）求的单调区间；（2）设．若，使，求的取值范围．19. 如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，．（1）求的值；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为．证明：为定值．20. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．（1）请写出一个，使得；（2）是否存在，使得 ?说明理由；（3）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．答案第一部分1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. C8. B第二部分9.10. ；11.12.13. ；14. ①③第三部分15. （1）解法一：因为，所以．因为，所以，从而，所以．解法二：依题意得，所以，即．因为，所以，所以，所以．（2）解法一：因为，，根据正弦定理得，所以．因为，所以，所以的面积．解法二：因为，，根据正弦定理得，所以．根据余弦定理得，化简为，解得．所以的面积为．16. （1）如图，连接，与相交于点，连接．为正方形，所以为中点．因为为棱中点．所以．因为平面，平面，所以直线 平面．（2）因为平面，所以．因为四边形为正方形，所以，而，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（3）解法一：如图，在平面内过作直线．因为平面平面，所以平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．，则，，，，．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．易知平面的法向量为．所以，，由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．解法二：如图，取中点，中点，连接，．为正方形，所以．由（2）可得平面．因为，所以．由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．易知平面的法向量为．所以，，由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．17. （1）元件为正品的概率约为．元件为正品的概率约为．（2）（i）随机变量的所有取值为，，，．；；；．所以，随机变量的分布列为：．（ii）设生产的件元件中正品有件，则次品有件．依题意，得，解得．所以，或．设“生产件元件所获得的利润不少于元”为事件，则．18. （1）（i）当时，．故的单调减区间为，；无单调增区间．（ii）当时，．令，得，．和的情况如下：极小值极大值故的单调减区间为，；单调增区间为．（iii）当时，的定义域为．因为在上恒成立，故的单调减区间为，，；无单调增区间．（2）因为，，所以等价于，其中．设，在区间上的最大值为．则“ ，使得”等价于．所以，的取值范围是．19. （1）依题意，设直线的方程为．将其代入，消去，整理得．从而．（2）设，．则．设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．所以．同理可得．故．由（1）得，为定值．20. （1）答案不唯一，如图所示数表符合要求．（2）不存在，使得．证明如下：假设存在，使得．因为，，所以，，，，，，，这个数中有个，个．令．一方面，由于这个数中有个，个，从而另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为），也表示，从而相矛盾，从而不存在，使得．（3）记这个实数之积为．一方面，从“行”的角度看，有；另一方面，从“列”的角度看，有．从而有注意到．下面考虑，，，，，，，中的个数：由知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以．对数表：，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．依此类推，将数表中的由变为，得到数表．即数表满足：，其余．所以，．所以．由的任意性知，的取值集合为．。
北京市西城区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
北京市西城区2013届高三下学期(4月)一模数学(理)试卷2013.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð （A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤（C ）{|12}x x <<（D ）{|12}x x ≤<【答案】B【解析】2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11U B x x =-≤≤ð，所以{01}U A B x x =<≤ ð，选B.2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1（C ）2-（D ）2【答案】A 【解析】i ()112i 2222a a i i ai a i ++-===---，因为i 2i a +的实部与虚部相等，所以122a=-，即1a =-，选A.3．执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入角=θ （A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-【答案】D【解析】由题意知sin ,4tan ,42y πθθππθθ⎧<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩。
因为31y =-<-，所以只有tan 3θ=-，因为42ππθ≤≤，所以3πθ=-，选D.4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有 （A ）60种 （B ）72种 （C ）84种 （D ）96种【答案】B【解析】若选甲不选乙，则有133318C A =种。
若选乙不选甲，则有133318C A =种。
若选甲，乙都选，则有21332336C C A =种，所以共有72种，选B.5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A ）63+ （B ）123+ （C ）1223+ （D ）2423+ 【答案】C【解析】由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为213222322⨯⨯⨯=，侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是1223+，选C.6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由13a a <得211a a q <，且30a >，解得21q >，即1q >或1q <-。
无锡新领航教育 一对一 北京市西城区2013届高三上学期期末考试 数学理科试题
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北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ）
（A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1
(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 【答案】D
【解析】1
{|(21)(1)0}{
2B x x x x x x =-+>=><-或，所以{0
1}A B x x x =><- 或，即(,1)(0,)-∞-+∞ ，选D. 2．在复平面内，复数5i
2i -的对应点位于（ ）
（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限
【答案】B 【解析】55(2)5(2)122(2)(2)5i
i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B.
3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π
，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）
（A ）sin 1=ρθ（B
）sin =
ρθ（C ）cos 1=ρθ（D
）cos =ρθ
【答案】A 【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，(2,)6P π
转化为
点cos 2cos sin 2sin 166x y π
π
ρθρθ======，
即)，
过点且平行于。
北京2013届西城高三二模数学理科试题及答案
北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科） 2013.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()U A B = ð （A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4} （D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1 （B ）2 （C ）i - （D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是（A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ （C ）2cos =ρθ （D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）c a b << 6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α （B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形A B C D E F 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A 4（B 2（C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243-- （C ）111[,)(,1]342-- （D ）111(,][,1)342-- 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据 的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△A B C 中，2B C =，A C =，3B π=，则A B =______；△A B C 的面积是______．12．如图，A B 是半圆O 的直径，P 在A B 的延长线上，P D 与半圆O 相切于点C ，A D P D ⊥．若4P C =，2P B =，则C D =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n项和n S =______．14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xO y 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△A O C 的面积为1S ，△B O D 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：A M ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求C N 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)yC x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得O P O M ⊥，求m 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）2013.5参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9． >； 10．80； 11．3，2； 12．125； 13． 21n +，4(1)n n +； 14． 4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1co s x =α，2co s()3x π=+α．因为 ,)62ππ∈(α，1co s 3=α，所以 sin 3==α． ………………3分所以 21co s()co s 3226x π=+==αα-α．（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin ()3y π=+α．所以 111111co s sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[co s()]sin ()sin (2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin (2)3π=-+αα，整理得 cos 20=α． ………………11分 因为62ππ<<α， 所以23π<<πα，所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===，222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分） 【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222B D BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4P Q P C =，连结M Q ，B Q ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 M Q ∥C D ，14M Q C D =． ………………6分在△B C D 中，易得60C D B ︒∠=，所以 30A D B ︒∠=．又 2=BD ， 所以1A B =， A D =又因为 A B ∥C D ，CD AB 41=，所以 A B ∥M Q ，A B M Q =．所以四边形A B Q M 为平行四边形，所以 A M ∥B Q ． ………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，B Q ⊂平面PBC ，所以 直线A M ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段C D 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||4||||A MB N A M B N ⋅= ， ………………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分故点N 位于D 点处，此时4C N =；或CD 中点处，此时2C N =， 有AM 与BN 所成角的余弦值为43．………………14分【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz D -．在△B C D 中，易得60C D B ︒∠=，所以 30A D B ︒∠=，因为 2=BD ， 所以1A B =， A D =由俯视图和左视图可得：,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D所以 )0,3,3(-=BC ，)0,1,3(=DB ．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ，所以BD BC ⊥． ………………2分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分 所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.P C B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n因为 )0,3,3(-=BC ，)4,4,0(-=PC ，所以440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=AM ，所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ， 所以 直线A M ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段C D 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有43=， ………………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分故点N 位于D 点处，此时4C N =；或CD 中点处，此时2C N =， 有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段A P 的中点，因为(1,0)A -，9(55P ， 所以 点M的坐标为2(55．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 22001y x m+=，且011x -<<．① ………………6分因为 M 是线段A P 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分 因为 O P O M ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分当且仅当02x =-+时，上式等号成立．所以 m的取值范围是1(0,24-． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即 6350x y +-=． ………………4分 （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得112x =-，或212x =+．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,12-∞-，(1)2++∞；单调减区间为(122-+．………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--． ………………11分因为 14(3)(2)3f f a -=-，所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --，最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --723a -；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=， ，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=， ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k k b b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ． 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………13分。
北京市西城区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
北京市西城区2013届高三下学期(4月)一模数学(理)试卷2013.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð （A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤（C ）{|12}x x <<（D ）{|12}x x ≤<【答案】B【解析】2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11U B x x =-≤≤ð，所以{01}U A B x x =<≤ ð，选B.2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1（C ）2-（D ）2【答案】A 【解析】i ()112i 2222a a i i ai ai ++-===---，因为i 2i a +的实部与虚部相等，所以122a =-，即1a =-，选A.3．执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入角=θ （A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-【答案】D【解析】由题意知sin ,4tan ,42y πθθππθθ⎧<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩。
因为31y =-<-，所以只有tan 3θ=-，因为42ππθ≤≤，所以3πθ=-，选D.4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有 （A ）60种 （B ）72种 （C ）84种 （D ）96种【答案】B【解析】若选甲不选乙，则有133318C A =种。
若选乙不选甲，则有133318C A =种。
若选甲，乙都选，则有21332336C C A =种，所以共有72种，选B.5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A ）63+ （B ）123+ （C ）1223+ （D ）2423+ 【答案】C【解析】由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为213222322⨯⨯⨯=，侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是1223+，选C.6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a<”是“36a a <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由13a a <得211a a q <，且30a >，解得21q>，即1q >或1q <-。
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2012-2013学年度理科数学高三（上）期中试题2012.11
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，则集合()U C A ∩B ＝
( )
A ．{3}x x >
B ．{13}x x -<<
C ．{1}x x <-
D ．{13}x x -≤< 2.“2()6k k π
απ=
+∈Z ”是“1
cos 22
α=
”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数y = ）
4．设323log ,log log a b c π===，则 ( ) A. b c a >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. a b c >>
5．将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )
A.cos 2y x =
B.22cos y x =
C.)4
2sin(1π
+
+=x y D.22sin y x =
6．已知、a b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么||-a b 等于（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
7．若偶函数()x f ()x ∈R 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程
()x x f 3lo g =的根的个数是( )
A. 2个
B. 4个
C. 3个
D. 多于4个 8.对于函数
()f x ,若存在区间[,],(M a b a b =<，使得
{|(),y y
f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”.给出下
列4个函数：①()e x f x =；②3()f x x =；③()cos 2
f x x π
=；④()ln 1f x x =+.
其中存在稳定区间的函数有( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．5
0(24)x dx -⎰=__________.
10．若向量(12)=，a 与向量(1)λ=-，b 共线，则实数=λ___________ . 11．若角α的终边经过点(12)P -，，
则tan 2α=___________ .
12．函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,A ω>>
0)ϕπ<<的图象如图所示，则()f x 的
解析式为 .
13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列. 若1a =1，则
4S = .
14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有
1135,2n n n n
n n k
k a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,
当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时， n a 恒为常数p ，则p 的值为______.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题满分13分）
已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ．
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．
16．（本小题满分13分）
在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满
足
2s i n 0b A -=．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =，求AB AC →
→
⋅的值．
17．（本小题满分14分）
已知a 为实数，()()()24f x x x a =--. （I ）求导数()f x '；
（II ）若()10f '-=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值； （III ）若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上都是递增的，求a 的取值范围.
18．（本小题满分13分）
已知函数222π()2sin cos )4f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，．
（I ）求5π12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（III ）若不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．
19. （本小题满分13分）
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*2(1)()n n S na n n n =--∈N . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：
1223111114
n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+<.
20.（本小题满分14分）
已知函数2221
()1
ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,) 上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．。