元胞自动机
元胞自动机
元胞自动机元胞自动机是一种模拟和研究复杂系统的数学工具，它通过简单的局部规则来产生全局复杂的行为。
元胞自动机的概念最早由美国物理学家约翰·冯·诺依曼在20世纪40年代提出，随后被广泛应用于各个领域，如生物学、物理学、社会科学和计算机科学等。
元胞自动机的基本组成是一组个体元胞和一组规则。
每个个体元胞都有一个状态，并且根据事先设定的规则进行状态的更新。
元胞自动机的最常见形式是一维的，其中每个个体元胞只与其相邻的元胞进行交互。
但也可以拓展到二维或更高维的情况中。
元胞自动机的规则可以根据不同的应用领域和研究目的进行定制。
这些规则可以用布尔函数、数学公式或其他表达方式来表示。
无论规则的形式如何，元胞自动机的最终行为都是通过简单的局部交互生成的，这是元胞自动机的重要特点之一。
元胞自动机的行为模式具有很强的自组织性和演化性。
通过简单的局部规则，元胞自动机可以表现出出乎意料的全局行为。
这种全局行为可以是周期性的、随机的、混沌的或者有序的。
元胞自动机的行为模式不仅具有学术研究的价值，还有很多实际应用。
例如，在人工生命领域，元胞自动机可以用来模拟生物体的进化和自组织能力。
在交通流动领域，元胞自动机可以用来研究交通拥堵的产生和解决方法。
在市场分析领域，元胞自动机可以用来模拟市场的波动和价格的形成。
元胞自动机的研究方法和技术也在不断发展和创新。
近年来，随着计算机硬件和软件的发展，元胞自动机在研究和应用上取得了很多突破。
例如，基于图形处理器的并行计算可以加速元胞自动机模拟的速度。
人工智能领域的深度学习技术也可以与元胞自动机结合，从而对更复杂的系统进行建模和分析。
总之，元胞自动机是一种强大的数学工具，可以用来研究和模拟复杂系统的行为。
它的简单规则和局部交互能够产生出复杂的全局模式，具有很大的应用潜力。
通过不断的研究和创新，我们相信元胞自动机将在各个领域发挥出更大的作用，为人类的科学研究和社会发展做出更多贡献。
元胞自动机概念
元胞自动机概念一、简介元胞自动机（Cellular Automaton，简称CA）是一个离散的、并行的动力学系统，它的基本组成单元是规则排列的元胞。
每个元胞可以处于有限的状态集合中的一种状态，且它的下一状态由其当前状态和周围元胞的状态决定。
元胞自动机在复杂系统建模、计算机科学、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。
二、基本概念1. 元胞：元胞是元胞自动机的基本单位，它可以代表任何一种物理实体或抽象对象。
例如，一个元胞可以代表一个棋盘上的格子，或者一个机器人在网格中的位置。
2. 状态：每个元胞都有一个有限的状态集合。
在任意给定的时间步，元胞都处于这个状态集合中的某一状态。
3. 邻居：在元胞自动机中，每个元胞都有一个邻居集合，这个集合包含了与它直接相邻的所有元胞。
4. 更新规则：每个元胞在每一时刻t的状态St+1是由其在时刻t的状态St以及其邻居在时刻t的状态决定的。
这就是所谓的更新规则或演化规则。
三、分类根据元胞的邻居数量和更新规则的不同，元胞自动机可以分为四种类型：1. 一维元胞自动机：每个元胞只有一个邻居。
这是最简单的元胞自动机类型。
2. 二维元胞自动机：每个元胞有两个邻居，通常为上下或左右邻居。
这是最常见的元胞自动机类型。
3. 三维及更高维的元胞自动机：每个元胞有三个或更多的邻居。
这种类型的元胞自动机的复杂性随着维度的增加而增加。
四、特点1.离散性：元胞自动机是基于离散时间和空间的模型，每个元胞的状态和更新都是在离散的时间步上进行的。
2.局部性：元胞的状态更新是基于其自身状态和周围元胞的状态，而不需要全局信息。
这种局部性使得元胞自动机的演化过程可以并行地进行。
3.同步性：所有元胞按照相同的规则同时更新，即在每个时间步上，所有元胞的状态都会被同时更新。
4.简单性：元胞自动机的规则通常非常简单，由一组条件语句或转换规则定义。
然而，简单的规则可能会导致复杂的全局行为。
五、应用元胞自动机在许多领域都有应用，包括但不限于：1. 复杂系统建模：元胞自动机可以用来模拟自然界中的复杂现象，如森林火灾的传播、交通流的动态等。
元胞自动机
除了格子气元胞自动机在流体力学上的成功应用。元胞自动机还应用于磁场、电场等场的模拟，以及热扩散、 热传导和机械波的模拟。另外。元胞自动机还用来模拟雪花等枝晶的形成。
元胞自动机可用来通过模拟原子、分子等各种微观粒子在化学反应中的相互作用，而研究化学反应的过程。 例如李才伟 (1997）应用元胞自动机模型成功模拟了由耗散结构创始人I·Prgogine所领导的Brussel学派提出 的自催化模型---Brusselator模型，又称为三分子模型。Y·BarYam等人利用元胞自动机模型构造了高分子的聚 合过程模拟模型，在环境科学上，有人应用元胞自动机来模拟海上石油泄露后的油污扩散、工厂周围废水、废气 的扩散等过程的模拟。
元胞自动机
格动力学模型
01 基本介绍
03 具体解释 05 应用
目录
02 通俗解释 04 分别描述
元胞自动机(cellular automata，CA)是一种时间、空间、状态都离散，空间相互作用和时间因果关系为局 部的格动力学模型，具有模拟复杂系统时空演化过程的能力。
基本介绍
不同于一般的动力学模型，元胞自动机不是由严格定义的物理方程或函数确定，而是用一系列模型构造的规 则构成。凡是满足这些规则的模型都可以算作是元胞自动机模型。因此，元胞自动机是一类模型的总称，或者说 是一个方法框架。其特点是时间、空间、状态都离散，每个变量只取有限多个状态，且其状态改变的规则在时间 和空间上都是局部的。
元胞自动机用于兔子-草，鲨鱼-小鱼等生态动态变化过程的模拟，展示出令人满意的动态效果；元胞自动机 还成功地应用于蚂蚁、大雁、鱼类洄游等动物的群体行为的模拟；另外，基于元胞自动机模型的生物群落的扩散 模拟也是当前的一个应用热点。在信息学中。元胞自动机用于研究信息的保存、传递、扩散的过程。另外。 Deutsch(1972）、Sternberg(1980）和Rosenfeld(1979）等人还将二维元胞自动机应用到图像处理和模式识别 中 (WoIfram.S.，1983）。
元胞自动机(CellularAutomata),简称CA,也有人译为细胞
元胞自动机(Cellular Automata)，简称CA，也有人译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或单元自动机)。
是一时间和空间都离散的动力系统。
散布在规则格网 (Lattice Grid)中的每一元胞(Cell)取有限的离散状态，遵循同样的作用规则，依据确定的局部规则作同步更新。
大量元胞通过简单的相互作用而构成动态系统的演化。
不同于一般的动力学模型，元胞自动机不是由严格定义的物理方程或函数确定，而是用一系列模型构造的规则构成。
凡是满足这些规则的模型都可以算作是元胞自动机模型。
因此，元胞自动机是一类模型的总称，或者说是一个方法框架。
其特点是时间、空间、状态都离散，每个变量只取有限多个状态，且其状态改变的规则在时间和空间上都是局部的。
元胞自动机的构建没有固定的数学公式，构成方式繁杂，变种很多，行为复杂。
故其分类难度也较大，自元胞自动机产生以来，对于元胞自动机分类的研究就是元胞自动机的一个重要的研究课题和核心理论，在基于不同的出发点，元胞自动机可有多种分类，其中，最具影响力的当属S. Wolfram在80年代初做的基于动力学行为的元胞自动机分类，而基于维数的元胞自动机分类也是最简单和最常用的划分。
除此之外，在1990年， Howard A.Gutowitz提出了基于元胞自动机行为的马尔科夫概率量测的层次化、参量化的分类体系(Gutowitz, H.A. ,1990)。
下面就上述的前两种分类作进一步的介绍。
同时就几种特殊类型的元胞自动机进行介绍和探讨S. Wolfrarm在详细分忻研究了一维元胞自动机的演化行为，并在大量的计算机实验的基础上，将所有元胞自动机的动力学行为归纳为四大类 (Wolfram. S.，1986):(1)平稳型:自任何初始状态开始,经过一定时间运行后，元胞空间趋于一个空间平稳的构形，这里空间平稳即指每一个元胞处于固定状态。
不随时间变化而变化。
(2)周期型:经过一定时间运行后，元胞空间趋于一系列简单的固定结构(Stable Paterns)或周期结构(Perlodical Patterns)。
元胞自动机 核函数
元胞自动机核函数一、什么是元胞自动机？元胞自动机（Cellular Automaton）是一种离散化的空间和时间模型，由一系列规则和状态组成。
它最早由冯·诺依曼和斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆在20世纪40年代提出，被广泛应用于物理、生物、计算机科学等领域。
元胞自动机中，空间被划分为若干个小的单元格，每个单元格称为一个“元胞”。
每个元胞可以处于不同的状态，例如0或1。
时间是离散化的，每个时间步长都会根据一定的规则改变每个元胞的状态。
二、核函数是什么？核函数（Kernel Function）是用来衡量两个向量之间相似度的函数。
在机器学习中，核函数常用于支持向量机（SVM）算法中。
SVM通过找到一个最优超平面来将数据分类。
而核函数可以将数据从低维空间映射到高维空间，在高维空间中寻找最优超平面。
三、如何实现一个基本的元胞自动机？1. 定义网格大小和初始状态首先需要定义网格大小和初始状态。
这里以一个简单的二维网格为例，网格大小为10x10，初始状态随机生成。
2. 定义规则接下来需要定义规则。
在这个例子中，我们使用一个简单的规则：如果一个元胞周围有3个或更多元胞处于“活跃”状态，则该元胞也会变为“活跃”状态；否则该元胞将保持不变或者变为“死亡”状态。
3. 更新状态根据定义的规则，更新每个元胞的状态。
这里使用一个嵌套循环来遍历每个元胞，并计算它周围的活跃元胞数量。
然后根据规则更新每个元胞的状态。
4. 可视化结果最后，将更新后的网格可视化出来。
这里使用Python中的matplotlib库来实现可视化。
四、如何实现核函数？1. 线性核函数线性核函数是最简单的核函数之一，它可以直接计算两个向量之间的内积作为相似度。
2. 多项式核函数多项式核函数可以将数据从低维空间映射到高维空间，并计算两个向量在高维空间中的内积作为相似度。
3. 高斯核函数高斯核函数是常用的一种核函数，在SVM中被广泛应用。
它可以将数据映射到无穷维空间，并计算两个向量在该空间中的相似度。
元胞自动机
THE END Thank you
作业
• 10 任意方法1车道的模拟交通流；
• 09 模拟森林火灾 推荐：模拟森林火灾有风的情况，风向为8 个，东、东南……西北、北.
程序实现
典型元胞程序精讲
森林火灾
sum = (veg(1:n,[n 1:n-1])==1) + (veg(1:n,[2:n 1])==1) + ... (veg([n 1:n-1], 1:n)==1) + (veg([2:n 1],1:n)==1) ;
veg = ... 2*(veg==2) - ((veg==2) & (sum> 0 | (rand(n,n)< Plightning))) + ... 2*((veg==0) & rand(n,n)< Pgrowth) ;
应用举例
数学建模中的应用 The Booth Tolls for Thee
应用举例
数学建模中的应用 The Booth Tolls for Thee
应用举例
数学建模中的应用 The Booth Tolls for Thee
应用举例
数学建模中的应用 The Booth Tolls for Thee
Moore neighborhood
Extended Moore neighborhood
元胞行为 (Behavior)
其它元胞邻居(Neighborhood)
元胞行为 (Behavior)
其它元胞邻居(Neighborhood)
元胞行为 (Behavior)
其它元胞邻居(Neighborhood)
元胞简介 （Introduction）
元胞自动机的历史（History）
元胞自动机交通流模型
二、NS 模型
在第184号规则的基础上，1992年，德国学者 Nagel和Schreckenberg提出了一维交通流CA模型， 即，NS 模型（或NaSch模型） Nagel and Schreckenberg. A Cellular automaton model for freeway traffie．Journal of Physics(France)，1992 CA模型最基本的组成包括四个部分:元胞(cell )、 元胞空间(lattice)、邻域(neighbor)及更新规则 (rule)。
d) 延迟加速 4）位置更新:车辆前进
例：设
vmax 2
a）加速过程
b）安全刹车过程
c）随机慢化过程
（以随机慢化概率p）
d）位置更新
在NS 模型的基础上，又陆续地提出了一系列一维 CA交通模型，如TT、BJH、VDR、FI等模型； 双车道CA交通模型：STNS模型 机非混合CA模型： CCA模型 城市路网CA二维模型： BML、CTM模型
场科学变革。
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90号规则：分形结构 ——CA_rule_90.m
110号规则：复杂结构 ——CA_rule_110.m
§2 元胞自动机交通流模型
一、第184号规则 特别注意：第184号规则
100 90 80
初始 随机
×7.5m
随机慢化概率p=0.2；密度ρ=27veh/km/lan（0.2）；
初始 均匀 分布
×7.5m
随机慢化概率p=0.2；密度ρ=33veh/km/lan（0.25）；
×7.5m
交通流CA模型的主要优点：
数学建摸之元胞自动机
元胞自动机被广泛的应用到社会、经济、 军事和科学研究的各个领域 ➢生物学领域:元胞自动机用于肿瘤细胞的增
长机理和过程模拟、人类 大脑的机理探索。
➢物理学领域：在元胞自动机基础之上发展 出来的格子自动机（LGA）和格子玻尔曼方 法在计算领域取得了巨大成功。
➢化学领域:通过模拟原子、分子等微观粒子 在化学反应中的相互作用，研究反应过程。
元胞简介
• 什么是元胞（CA）自动机？ 元胞自动机实质上是定义在一个由具
有离散、有限状态的元胞组成的元胞空 间上，并按照一定的局部规则，在离散 的时间维度上演化的动力学系统。
不同于一般的动力学模型，元胞自动机不是 由严格定义的物理方程或函数确定，而是用一 系列模型构造的规则构成。凡是满足这些规则 的模型都可以算作是元胞自动机模型。因此， 元胞自动机是一类模型的总称，或者说是一个 方法框架。
元胞自动机在数学建模的应用
元胞自动机的发展历史
1、元胞自动机由冯诺1948年首先提出。 2、1964年埃德加·弗兰克·科德（关系数据库之父） 对冯诺依曼的元胞自动机进行简化。 3、1970年生命游戏诞生。 20世纪80年代斯蒂芬·沃尔夫勒姆对元胞自动机进 行简化 4、20世纪90年代，元胞自动机发展百花齐放，以 美国圣达菲为代表，提出了人工生命。 5、进入21世纪蒂芬·沃尔夫勒姆的A MEW KIND OF Science将元胞提升到更高一层。
• 周期型边界 • 固定边界 • 绝热边界 • 映射边界
元胞自动机的特征：
离散的空间 同质的元胞 离散的状态 离散的时间 局部的作用 同步的计算
单车道元胞自动机模型（N-S模型）
N-S模型于1992年提出。在这一模型中，时间、 空间以及速度都被整数离散化。道路被划分 为离散的格子（即元胞），每个元胞或者是 空的，或者被一辆车占据，每辆车的速度可 以取0,1,2，......,Vmax,Vmax为最大速度， 在t t+1的过程中，模型按如下规则并行 演化。
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元胞自动机
金晓辰 21007104
从20 世纪中叶开始,交通问题就成为了社会中关注的热点话题,也吸引了大量的科学家对其进行研究。
在几十年的发展历程中,很多交通流模型应运而生,其中最为著名的有跟车模型(Car2followingModel) 、流体力学模型(Hydrodynamic Model)和元胞自动机模型(Cellular Automaton Model) 。
诞生于20 世纪80 年代的交通流元胞自动机模型(CA 模型)可以弥补跟车模型(Car2followingModel) 、流体力学模型(Hydrodynamic Model)这2 种模型的缺陷。
因为交通系统本质上是一个离散的系统,且具有很多非线性特性,采用本质上离散的CA 模型可以通过简单的微观规则来反映宏观交通现象,描述实际交通现象就具有独特的优越性。
Nagel 等于1992 年提出了应用于交通流中的NS 模型。
该模型利用4 条简单的规则进行的仿真结果反映了现实中的一些交通现象(如时停时走现象) 。
针对NS 模型的单车道、不可超车等局限性,很多学者相继对其进行改进、扩展, 其中 Chowdhury 等提出的 STCA(Symmetric Two2lane Cellular Automata) 模型就是一个NS扩展模型,其最大特点是引入了更加符合现实交通流状态的双车道换道规则。
在实际交通中,由于驾驶员的性格差异,其采取的换道行为也有很大的不同。
出现换道需求时,保守的驾驶员往往把较大的安全距离作为换道的惟一判断标准,这将会延迟换道时间,浪费换道的机会,而且不利于交通阻塞的消除,从而造成道路资源的很大浪费。
鲁莽的驾驶员则利用经验来判断换道的可行性,并有可能强行并道,产生极大的安全隐患,同样是不可取的。
在STCA 模型中,对车辆设置的换道规则是单一不变的,其反映的是性格保守驾驶员的换道行为。
这就无法再现实际交通的多样性。
下面是2 套新的灵活的换道规则,称为弹性换道规则,即针对不同性格的驾驶员,设置不同的换道规则,并在计算机上进行了模拟仿真研究。
1 换道模型
首先定义用2 条分别由1 000 个元胞组成的一维离散元胞链来表示双车道,每个元胞表征实际长度为7. 5 m,则模拟的实际道路长度为7. 5 km,车辆分布在1 000 个一维元胞上, D 为道路上的车辆密度(车辆所占元胞数与元胞总数之比) ,参照《中华人民共和国道路交通安全法》的规定,定义慢车最大速度为每秒可通过 3 个格子,快车最大速度为每秒可通过5 个格子, R 表征慢车占车辆总数的比例, P表示随机慢化概率,边界条件采用周期性边界条件。
1 NS模型与STCA模型
NS模型中对空间和时间均进行了离散,车辆分布于一维离散的元胞链上,每个元胞具有2 种状态: ①空置; ②被1 辆车占据。
换道时,驾驶员无法迅速区分相邻车辆为快车还是慢车。
因此,无论从安全角度考虑,还是从现实状况(高速公路上慢车比例较小)考虑,都应该假设相邻车辆为快车。
由以上分析可知,在STCA 换道规则之外的非法换道并没有风险,这反映了STCA 换道规则过于苛刻,尤其是换道安全间距设置为safe = vamp是不合理的,无法满足高速车辆的换道需求,造成道路资源的浪费。
换道规则的改进首先分析换道风险度的概念,车辆在换道时具有一定的风险,风险主要来自于换道车辆与相邻车道后方车辆的冲突风险,其大小主要取决于换道并行驶 1 个单位时间后,该车辆与后方车辆的间距do。
为保证安全,令 dδ≥1作为两车之间的缓冲距离,并以此推导换道规则。
2 数值模拟
对STCA、STCA2Ⅰ和STCA2Ⅱ这3 个模型进行仿真模拟,在进行数值模拟时,初始时刻所有车辆均随机分布,并连续运行105个时间步,为消除暂态的影响,抛弃前5 ×104个时间步的数据不做统计,对后5 ×104个时间步的平均速度、换道频率等参数进行统计。
为更加符合现实中的交通流特性,进行数值模拟时,在车流中掺入R = 0. 05 的慢车(vmax =3) ,组成混合车流。
伴随着密度的增加,进入较高密度区时,受阻车辆变道的需求也进一步增加, 2 个模型就可以使受阻车辆顺利实现换道。
较STCA 模型而言,STCA2Ⅰ和STCA2Ⅱ模型在中低密度区表现出了很大的优势,可以使受阻车辆更灵活地变道,提高道路资源的利用效率。
采用改进换道规则的STCA2Ⅰ和STCA2Ⅱ模型极大地增加了车辆换道的频率,但是更现实的表现是交通流速度的提高、流量的增加。