高中数学 第三章 用数形结合法解一元二次不等式要点解读素材 北师大版必修5
高中数学北师大版必修五课件：第3章 §2-2.1 一元二次不等式的解法
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( × ) (2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解．( × ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( × ) (4)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( √ )
1．不等式组x32x－－1x＜2＞0， 0 的解集是(
)
A．(－1，1)
B．(0，3)
C．(0，1)
D．(－1，3)
解析：选 C.x32x－－1x＜2＞0， 0 ⇒xx22－ －13＜ x＜0， 0 ⇒－ 0＜1＜ x＜x＜ 3 1，⇒0＜x＜ 1.
2．函数 y＝ 7－61x－x2的定义域为(
与 m 是方程 ax2－6x＋a2＝0 的根．
则1＋m＝6a，即 m＝a，
1＋m＝m6 .
所以 m2＋m－6＝0，解得 m＝－3 或 m＝2，
当 m＝－3 时，a＝m<0(舍去)，故 m＝2.
(2)由 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}知 a>0，且－2，4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两实根， 所以－－22＋×44＝＝a－c，ba， 可得bc＝＝－－82aa，， 所以 f(x)＝ax2－2ax－8a＝a(x＋2)(x－4)．
3.(1)若关于 x 的不等式 ax2－6x＋a2<0 的非 空解集为{x|1<x<m}，则 m＝________． (2)如果 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}，那么对于函 数 f(x)＝ax2＋bx＋c，f(－1)，f(2)，f(5)的大小关系是________．
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》公开课课件_23
x2
x
x
b
2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集 x x1 x x 2
0
无实根
R
例题讲解（已知不等式解集，求参数）
例4. 已知不等式 x2 + ax + b < 0的解集为 {x | 1 x 1},
试求a,b的值.
32
解：由一元二次方程的解和一元二次不等式解集的
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启发引导 形成结论
△=b2- 4ac
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0）的 x1
x2
图象
对应二次方程 的根
x1, x2( x1 x2 )
b x1 = x2 = - 2a
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x
x
x1或x
一元二次不等式解的端点值是函数图像与x轴 交点的横坐标也是对于二次方程的解。
思考•交流•总结
1.“三个二次”有怎样的关系？
y = ax2 + bx + c与x轴交点横坐标x1, x2
ax2 + bx + c = 0 的解x1, x2
ax2 + bx + c < 0的解集 {x|x1< x < x2}端点值
y=h(x)
o
x
R
o
-3
x o
-1
4x
x 3 x 0
x x 4或x 1
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当堂训练 巩固深化
练习2：解下列不等式：
高中数学 第一部分 第三章 §2 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
提示：①f(x)＜0；②f(x)＞0；③f(x)＜0；④f(x)＞0.
高次不等式的解法
对于形如(x－a)(x－b)(x－c)＞0(＜0)的不等式，可
以把函数f(x)的图像与x轴的交点形象地看成“ 针眼 ”， 函数f(x)的图像看成“ 线 ”，穿线后观察图像得到不等式 解集的方法称为 穿针引线法 ．
于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车
的车速超过40 km/h，超过规定限速．综上所述，甲车无 超速现象，而乙车有超速现象．
8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成
本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品 档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增 加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比 例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
母的正负进行讨论．
2．应用一元二次不等式解决实际问题 的关键是把实际问题转化为数学模型，解
不等式时，要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意变量的实际意义．
答案：(－4,2)
x＋1 3．解不等式 ≤2. x－2
x＋1 解：法一：移项得 －2≤0， x－2 左边通分并化简得 －x＋5 x－5 ≤0，即 ≥0， x－2 x－2
x－2x－5≥0， 可转化为 x－2≠0
∴x＜2 或 x≥5， ∴原不等式的解集为{x|x＜2，或 x≥5}．
[一点通]
一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法
求解，其步骤是
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)
3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得： ，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ， 解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0） 函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口 向上 ； 当a<0时图象开口 向下 ； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ； 对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图 像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0， 不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜
高中数学 第一部分 第三章 §2 2.1 第二课时 一元二次不等式解法的应用课件 北师大版必修5
法二：如图令 f(x)＝x2－2x＋m，f(x)＜ 0 对任意 x∈[1,2]恒成立，
f1＜0 ， －1＋m＜0， 即 即 ⇔m＜0. f2＜0 m＜0
答案：(－∞，0)
4x＋m 3．若关于 x 的不等式 2 ＜2 对任意实数 x 恒成立， x －2x＋3 求实数 m 的取值范围．
成立) 的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；
a＞0， 时， Δ＜ 0
当 a≠0
2．不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是 R(或恒成立) 的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0； 当 a≠0
a＜0， 时， Δ＜ 0
3．恒成立的问题也可以用等价转化的思想解决： f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立 ⇔[f(x)]min≥a.
2.1
第 三 章 不 等 式 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法
第二 课时 一元 二次 不等 式解 法的 应用
考点一 把握热点考向 考点二
应用创新演练
§2 2．1
一元二次不等式 一元二次不等式的解法
第二课时
一元二次不等式解法的应用
[例1]
(2012· 聊城高二检测)关于x的不等式(a2－1)x2－
(2)若 a2－1≠0，即 a≠± 1 时，原不等式解集为 R 的
2 a －1＜0， 条件是 2 2 Δ ＝ a － 1 ＋ 4 a －1＜0，
3 解得－ ＜a＜1. 5 3 综上所述，当－ ＜a≤1 时，原不等式解集为 R. 5
[一点通]
1.不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是 R(或恒
[例2]Байду номын сангаас
(12分)已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两
高中数学 第一部分 第三章 §2 2.1 第一课时 一元二次不等式及其解法课件 北师大版必修5
没有实数根
ax2＋bx＋c
＞0 (a＞0) 的解集 {x|x＜x1或x＞x2}
R
Δ＝b2－ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
Δ＞0
Δ＝0 ∅
Δ＜0 ∅
{x|x1＜x＜x2}
1．从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋
c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图 像在x轴下方的点的横坐标x的集合． 2．解一元二次不等式，要先把二次项系数化为正 数，再根据判别式的符号确定相应的方程有无实根，最
(3)原不等式可化为x(x－7)＜0， 方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，
x2＝7，
函数y＝x(x－7)的图像是开口向 上的抛物线，与x轴有两个交点(0,0)， (7,0)(如图(3))． 观察图像可得，不等式的解集为
{x|0＜x＜7}．
(4)原不等式可化为 9x2－13＞0， 13 x － ＞0， 9
1 b 法二：由已知得 a＜0 且(－ )＋2＝－a， 3 1 c (－ )×2＝a，所以 c＞ 3 (3 分)
设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝c ， (4 分)
b －a a 1 b 其中 c＝ ，－c ＝－ c 1 － × 2 a 3 1 － ＋ 2 3 1 1 ＝ ＝ ＋ ， 1 1 2 － × 2 － 3 3 1 1 所以 x1＝ ＝－3，x2＝ . 1 2 － 3 1 所以不等式 cx2＋bx＋a＜0 的解集为{x|－3＜x＜ }． 2
1 1 1 1 解：由 ax ＋2x＋c＞0 的解集为(－ ， )知 a＜0，－ ， 3 2 3 2
高中数学 第三章 用数形结合法解一元二次不等式要点解读素材 北师大版必修5
一元二次不等式解法的启示——数形结合解不等式相信同学们都熟知，在教材中有一个图表，这个图表深刻地揭示了：一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及一元二次函数的图像三者的密切关系。
对这个图表，很多老师可能就是要求同学们熟记其中的结论而没有更多的指导，因此同学们也就机械地进行硬背这个图表的结论。
然而没有理解又怎么能记得牢固呢？也很少同学会从这种利用二次方程的根及二次函数的图像来解一元二次不等式的方法中得到什么启示。
我认为在这个图表中，我们的重点应该是看二次函数的图像：在图（1）中函数的图像被x 轴分成两部分：在x 轴上方即0>y 对应着1x x <或2x x >，在x 轴下方即0<y 对应着21x x x <<；因此由图像直观地有一元二次不等式（0>a ）02>++=c bx ax y 的解为1x x <或2x x >，而不等式（0>a ）02<++=c bx ax y 的解为21x x x <<。
在另两个图中情况类似。
如果我们把x 轴看成函数0=y ，R x ∈，那么就可以从上面这种一元二次不等式的解法得到启示，并把这种方法推广用到解其它的不等式中去。
即一般地有：在同一直角坐标系中，画出两个函数)(11x f y =和)(22x f y =的图像，则①两图像的交点的x 坐标就是方程)()(21x f x f =的解，其中有几个交点就有几个解，没有交点就没有解；②在某些区间内均有)(11x f y =的图像在)(22x f y =的上（下）方，那么这些区间就是不等式)()(21x f x f >（或)()(21x f x f <）的解。
下面我们来看几个例子：例1、解不等式652>+-x x 。
解：易知方程652=+-x x 的解为21=x ，32=x又函数x x y 521+-=和函数62=y 的图像草图如图（2）则直观地有原不等式的解为32<<x 。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》公开课课件_13
x1, x2 (x1<x2)
x1
x2
b 2a
ax2
bx c 0(a
的解集
0)
x
|
x
x1,或x
x2
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
x | x1 x x2
x
|
x
b 2a
没有实根
R
例1.解不等式
2x2
3x
2
0.
(1)x2－5x <14；
{x|－2<x<7}
(2)－x2＋4x >6.
2．函数 f (x) x2 x 2的定义域是( A )
A．{x|x≤－2，或x≥1};
B．{x|－2<x<1}; C．{x|－2≤x≤1} ;
D．∅.
解一元二次不等式的一般步骤：
（1）将不等式化为标准形式
ax2 bx c 0或ax2 bx c 0a 0 ；
思考3 我们是怎样找到一元二次不等式的解的呢？
一元二次方程的根 二次函数的图象
一元二次不等式的解
身手小试 找一找不等式 x2 x 6 0 的解集.
探究 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0a 0的解法.
一元二次不等式的解
y
0
二次函数的图象与x轴的交点
因为= -22 413 8 0,
所以方程x2 2x 3=0无实根.
所以，原不等式的解集为.
什么情况下准备的树苗会有剩余？
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一元二次不等式解法的启示
——数形结合解不等式
相信同学们都熟知，在教材中有一个图表，这个图表深刻地揭示了：一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及一元二次函数的图像三者的密切关系。
对这个图表，很多老师可能就是要求同学们熟记其中的结论而没有更多的指导，因此同学们也就机械地进行硬背这个图表的结论。
然而没有理解又怎么能记得牢固呢？也很少同学会从这种利用二次方程的根及二次函数的图像来解一元二次不等式的方法中得到什么启示。
我认为在这个图表中，我们的重点应该是看二次函数的图像：在图（1）中函数
的图像被x 轴分成两部分：在x 轴上方即0>y 对应着1x x <或2x x >，在x 轴下方即0<y 对应着21x x x <<；因此由图像直观地有一元二次不等式（0>a ）
02>++=c bx ax y 的解为1x x <或2x x >，而不等式（0>a ）02<++=c bx ax y 的解为21x x x <<。
在另两个图中情况类似。
如果我们把x 轴看成函数0=y ，R x ∈，那么就可以从上面这种一元二次不等式的解法得到启示，并把这种方法推广用到解其它的不等式中去。
即一般地有：在同一直角坐标系中，画出两个函数)(11x f y =和)(22x f y =的图像，则①两图像的交点的x 坐标就是方程
)()(21x f x f =的解，其中有几个交点就有几个解，没有交点就没有解；②在某些区间内均
有)(11x f y =的图像在)(22x f y =的上（下）方，那么这些区间就是不等式)()(21x f x f >（或)()(21x f x f <）的解。
下面我们来看几个例子：
例1、解不等式652
>+-x x 。
解：易知方程652=+-x x 的解为21=x ，32=x
又函数x x y 52
1+-=和函数62=y 的图像草图如图（2）则直观地有原不等式的解为32<<x 。
评注：这里我们只需解方程并画函数的图像草图即可直观地得出不等式的解。
按常规的
解法需要把原不等式化为标准式02
<++c bx ax 其中0>a ，这是常规方法解一元二次不
等式的关键步骤。
而很多同学容易在这关键步骤中出两方面的错误：
一是没有注意到要化二
）
次项系数大于零；二是在化二次项系数大于零的过程中没有注意到不等式要改变不等号，或是在最后写出不等式的解时仍套用原不等号时的不等式的情况。
例2、解不等式0343>---x x 。
解：易知方程0343=--
-x x 无解。
又函数431-=x y 和函数
32-=x y 的图像草图如图（3）则直观地有原不等式的解为3≥x 。
评注：同样这里我们只需解方程并画函数的图像草图即可直观地得出不等式
的解。
而不用像常规方法一样先去解被开方数大于零的不等式组，（这一步骤往往是同学们容易忘记的）再两边平方（很多同学往往也不注意不等式两边能够平方的条件）把无理式化成整式，最后还要取不等式的交集。
例3、解不等式652
>-x x
解：易知方程652
=-x x 的解为11-=x ，22=x ，33=x ，64=x 。
又函数x x y 52
1-=和函数62=y 的图像草图如图（4）则直观地有不等式的解为1-<x 或32<<x 或6>x 。
例4、解不等式
212<--x x 。
解：容易知不等式等价于
2122+<-<-x x x ，方程122-=-x x 的解为5=x ，而方程
212+=-x x 无解；
又函数21-=x y ，122-=x y ，23+=x y 的图像草图如图（5）则直观地有原不等式的解为
52
1
<≤x 。
评注：例3、例4中与常规方法比较均避免了解繁琐的不等式组。
例5、解不等式112
≤-+ax x 。
解：容易知方程112=-+ax x 的解为01=x ，2
212a
a
x -=（当1=a 时仅有一解），又函数121+=
x y ，12+=ax y 的图像草图如图（6）则
直观地有原不等式的解为当1≥a 时是0≥x ，当10<<a 时是
2
120a a
x -≤
≤。
评注：虽然避免不了对参数a 讨论，但利用函数的图像使讨论非常直观，且避免了解
图（3）
繁琐的不等式组。
数形结合是数学的重要思想、方法之一，这里利用函数的图像解不等式就是数形结合的一种具体运用。
最后指出利用这种方法解不等式要对基本函数的图像比较熟练，包括基本函数图像的平移、伸缩、对称、翻转等变换。