非线性方程的最佳Krawczyk—Hansen算子
非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法随着科学技术的进步和发展，人们发现非线性方程组在科学研究中起着越来越重要的作用，成为解决复杂科学问题的有力工具。
解决非线性方程组的核心是采用有效的数值解法，它们可以帮助我们快速解决复杂的非线性问题。
一般来说，解决非线性方程组的数值解法可以分为三类：一类是积分方法，一类是有限元方法，另一类是迭代方法。
积分方法包括欧拉法和梯形法等；有限元方法则包括Galerkin方法、Ritz方法、Kirchhoff方法等；而迭代方法有Newton-Raphson方法、拟牛顿投影方法、拟牛顿变量步长方法、McKenna迭代法等。
积分方法按照方程组的方向将时间分解为若干步，并利用各步的积分求解出方程组的解。
它的优点是收敛性强，适用范围广，但缺点是计算量大，实际计算起来比较复杂。
有限元方法将非线性方程组转换成一组有限元方程，然后利用有限元解法求解出解析解。
它的优点是快速计算和分空间，可以解决含有空间变量的非线性问题，但缺点是收敛性一般，容易发散。
迭代方法首先采用初始值作为方程组的解，然后不断迭代求解，该方法的优点是可以用来求解非线性方程组的定点解，但也有缺点，如求解精度较低，耗时较长。
在实际应用中，解决非线性方程组数值解法需要考虑多方面因素，如准确性、可行性、处理效率和使用复杂度等，以选择合适的解法。
此外，还需要考虑非线性方程组的特殊性质，如线性方程组不可约或不可约变系数等，以决定是否可以采用一般的解法。
因此，解决非线性方程组的数值解法是一项复杂的工作，要求工程师必须运用知识和技术，有系统地考虑不同的解法，并在不同情况下进行取舍，才能获得最佳的结果。
总之，解决非线性方程组的数值解法具有复杂的理论和实际应用，为解决复杂科学问题提供了有力的工具，受到了越来越多的关注。
只有深入地研究各类数值解法，推动它们的发展，才能满足现实需求，建立科学有效的解决方案，最终实现理想的结果。
hansen(1991)门槛回归模型
hansen(1991)门槛回归模型1. 简介Hansen于1991年提出了门槛回归模型，该模型是一种非线性回归模型，用于捕捉因变量在自变量达到一定阈值时出现的转折点。
该模型在经济学、金融学等领域被广泛应用，能够更准确地描述变量间的非线性关系。
2. 模型公式门槛回归模型的公式可以表示为：$$y_i = \alpha + \beta_1x_i + \beta_2(x_i - \tau)_+ +\varepsilon_i$$其中，$y_i$为因变量，$\alpha$为截距项，$\beta_1$为$x_i$的系数，$\beta_2$为门槛变量$(x_i - \tau)_+$的系数，$\varepsilon_i$为误差项，$\tau$为门槛值，$(x_i - \tau)_+$表示$x_i - \tau$的正部。
3. 模型特点门槛回归模型的特点在于能够捕捉因变量在自变量达到一定阈值时的非线性关系。
这种非线性关系在实际问题中经常出现，传统的线性回归模型往往难以准确描述这种关系。
门槛回归模型通过引入门槛变量来刻画阈值效应，更加贴近实际情况。
4. 参数估计对于门槛回归模型的参数估计，通常采用最小二乘法来进行估计。
为了确定门槛值$\tau$的大小，可以通过网格搜索或优化算法来求解。
由于门槛回归模型的非线性特点，参数的估计和模型的拟合需要更加细致的计算和分析。
5. 应用领域门槛回归模型在经济学、金融学、环境科学等领域有着广泛的应用。
在经济学中，门槛回归模型可以用来研究生产率与劳动力数量之间的关系；在金融学中，可以用来分析股票收益率与市场指数之间的非线性关系；在环境科学中，可以用来探讨温室气体排放和气候变化之间的关系。
6. 模型评价对于门槛回归模型的评价，通常需要考虑模型的拟合优度、参数的显著性、门槛值的确定性等指标。
还需要进行残差分析和稳健性检验，以验证模型的适用性和鲁棒性。
7. 总结门槛回归模型是一种能够捕捉非线性关系的回归模型，具有较好的解释能力和预测能力。
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
第6章 - 非线性方程求根方法
当 x = x 时 ( f ( x ) = 0) f ′′(ηk ) * *
*
*
2!
− L( x ) =
*
2!
*
( x − xk )( x* − xk −1 ),
η k 位于包含 xk , xk −1 , x *
的最小区间内。 的最小区间内。
另外
f ( xk ) − f ( xk − 1 ) * L( x ) = L( x ) − L( xk + 1 ) = ( x − xk + 1 ) xk − xk −1 L( xk + 1 ) = 0
( 2 .5 )
xk+1, 即
xk − xk−1 xk+1 = xk − f (xk ) （迭代公式） ( 2 . 6 ) 迭代公式） f (xk ) − f (xk−1)
∞
的方法称为正割法。 从适当的 x0 , x1 由(2.6)生成迭代序列 { xk }k = 0 的方法称为正割法。 (2.6)生成迭代序列
xk
bk
ak +1 = xk bk+1 = bk x
bk
若f ( xk ) ⋅ f (ak ) > 0, 取ak +1 = xk , bk +1 = bk , 如图 若f ( xk ) ⋅ f (ak ) < 0, 取ak +1 = ak , bk +1 = xk , 如图 ak
满足（2.2） 生成含根区间[ak +1 , bk +1 ] ,满足（2.2）式，即 a = a k+1 k b +1 = xk k (1) [a k + 1 , bk + 1 ] ⊂ [a k , bk ] ( 2) bk +1 − ak +1 = h 2k + 1 (3) f (a ) ⋅ f (b ) ≤ 0 k +1 k +1
非线性扩散方程的精确解
非线性扩散方程的精确解
介绍
非线性扩散方程是一种在生物、物理过程中经常出现的基础方程，可以用来描述物质在空间中的迁移、随时间变化的聚集情况以及其它科学问题。
它描述的是物质在不同空间点之间的扩散过程，影响其扩散的因素包括：物质的初始分布、扩散系数、粘度系数等。
非线性扩散方程的求解有两种主要方法，一种是近似数值解法，另一种是精确解法。
数值解法可以在计算量较小的条件下计算出扩散方程的解，但是解的精度有限，有时会受到离散化造成的误差影响。
精确解法能够求出扩散方程的精确解，但往往结果要耗费更多的计算时间，而且可能有更多的参数要调整。
经典的精确求解方法有受限最小值算法（LMM）、拉普拉斯
增广算法（LALM）、带边界条件的最小二乘算法（LSBC）、多变量精确积分算法（MVIF）等。
至于精确解的应用，可以
用于评估情况（例如计算物质在空间中的分布情况），并且在建模中可以为政策和管理暗示新的方向。
总之，非线性扩散方程是一种非常重要的模型，它不仅描述物质在空间和时间中的扩散情况，而且可以用来研究各种科学问题。
它的精确解给了我们一种准确评估的方法，有助于后续的政策制定和管理工作。
hansch方程的表达式 -回复
hansch方程的表达式-回复关于Hansch方程的表达式Hansch方程是一种经验公式，用于预测和解释化合物的生物活性。
这个方程是在20世纪60年代由美国化学家Corwin Hansch提出的，经过几十年的发展，它已经成为当今药物设计和药物化学领域中的重要工具。
Hansch方程的核心思想是通过量化描述化合物的结构和属性之间的关系，从而预测和优化其生物活性。
Hansch方程的一般形式可以表示为如下的数学关系：log(1/IC50) = c + πMR + σσ+ ΠΠ+ + . . .其中，log(1/IC50) 是化合物的生物活性，c 是常数项，πMR 是油/水分配系数（封闭了某些物理性质），σ和Π分别表示各种取代基的常数描述符，语义项表示作为贡献因子，而括号内的省略号表示还会添加一些其他的语义修饰。
这个方程实际上是通过回归分析来建立的。
下面我们来详细解释每个术语的含义：- log(1/IC50)：这是化合物的生物活性的表达方式。
IC50代表半数致死浓度，也就是能够杀死50％的生物活性。
通过取对数并倒置该值，可以将IC50转化为可计算的数值。
- c：常数项，它是方程中的截距。
这是一个校正因子，用于将实验观测值与预测值相匹配。
- πMR：这是油/水分配系数。
π表示由共轭系统和环的形状引起的电子效应，MR则表示分子的相对分子质量。
这个项反映了化合物分子结构对生物活性的影响。
- σ和Π：这两个参数分别表示给定取代基的σ和Π常数描述符。
σ描述电子效应，而Π描述静电效应。
根据取代基的不同，它们会对化合物的生物活性产生影响。
在Hansch方程中，这些术语被称为描述符（descriptors）。
描述符是一种特征向量，用于描述化合物的结构和性质。
通过对大量化合物进行实验和测定，可以获得大量的实验数据，然后使用回归分析的方法对这些数据进行拟合，并得到描述化合物结构和性质之间关系的表达式。
Hansch方程的应用非常广泛。
关于解非线性方程组Krawczyk算法的进一步研究
关于解非线性方程组Krawczyk算法的进一步研究
李有明
【期刊名称】《应用数学与计算数学学报》
【年(卷),期】1991(005)002
【摘要】本文应用区间矩阵知识,讨论了具区间—Lipschitz矩阵的非线性方程组解的存在性以及求解的Krawczyk算法的收敛性条件;同时,改进了Krawczyk算法的构造,得到了二阶收敛速度。
【总页数】9页(P48-56)
【作者】李有明
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O241.7
【相关文献】
1.非线性方程组自反解的非精确Newton-MCG算法 [J], 梁志艳;张凯院;宁倩芝
2.解非线性方程组的一类Krawczyk-Moore算法 [J], 王海鹰;刘蕴华;张乃良
3.基于修正拟牛顿方程解非线性方程组问题的非单调自适应信赖域算法 [J], 王真真;刘延浩;高苗苗;孙清滢
4.关于线性方程组解结构的进一步研究 [J], 李桂荣;刘学鹏
5.解大规模非线性方程组的一种三项型投影算法 [J], 李丹丹;王松华
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非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
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２１ Ｏ ０年 ２月
大 学 数 学
ＣＯＬＩＥＧＥ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ ．２ Ｎ＿ １ １ ６． ｏ．
Ｆｅ ．２ ０ ｂ ０１
非 线 性 方程 的最 Ｋｒｗｃｙ — ａ ｓ ｎ算 子 佳 ａ ｚ ｋ Ｈ ｅ ｎ
韩 超 ， 曹 德 欣
１ 引
言
Ｋｒｗｃｙ ａ ｚｋ算 子 和 Ｋｒｗｃｙ — ｎ ｅ ａ ｚｋ Ｈａ ｓｎ算 子是 迭代求 解非 线性 方程 组 的两 种 重要 区 间算 子 ， ｈ ｎ在 ｓｅ
文［ ］ １ 中建 立 了 一类 最佳 Ｋｒｗｃｙ ａ ｚｋ算 子 ． 本文 的工 作是 提 出非 线性 方程组 的最 佳 Ｋｒｗｃｙ ｎ ｅ ａ ｚ ｋＨａ ｓｎ算
子 ， 最优性 得 到 了验证 ， 给 出了检 验解 存在 唯一 性和迭 代 收敛性 的定理 ． 其 并
考 虑 求 解 非 线 性 方 程 组
＿ ） 厂 （ 一０， （） １
其 中 ／： ＤＣ 一 ”连 续 可 微 ， －， 包 含 单 调 区 间 扩 张 Ｆ 及 Ｆ ． 中 Ｘ 一（ Ｘ。 … ， ） 且 厂 ｌ有 厂 文 Ｘ ， ， Ｘ
（兰 ， １ Ｌ ， Ｌ － ， １ ７
， ・兰 … ［ 一 ］ ∈ Ｊ 、 表 示 区 间 向量 ， ［ ） （ ） ｉ Ｘ一
， 为 第 个 区 间 分 量 ， ｘ） ］ ｍ（
＿ （ Ｘ ） （ ） … ， （ ） 表 示 区 间 向量 Ｘ 中 点 ． 。Ⅲ（ ， Ｘ ， Ｘ ） ｎ
Ｋｒｗ ｚｋ于 １ ６ 年 从修 正 的 Ｎｅ ｏ ａ ｃｙ ９９ ｗｔｎ算子 出发 ， 到 了可 用 于实际计 算 的 Ｋｒｗｃｙ 得 ａ ｚ ｋ算 子 Ｋ（ ， ） ， ｙ 一ｊ 一 （ ）ｂ ｙ － ［ 一 （ ］ — ） ｘ） （ （） ２ 其中 Ｙ ∈Ｘ， 为 阶单位 矩 阵 ， 为 阶非 奇异矩 阵 ． Ｊ ｌ ， 特别地 ， 在 （ ） 若 ２ 中取 —ｍ（ ， ｌ Ｅ Ｆ （ ） ， ｘ） ， ｍ（ ｘ）］ 一 称 之 为 Ｋｒｗｅｙ — ｏｅ算子 ． ａ ｚ ｋＭｏ ｒ 文 Ｌ］ ， ｎｅ ２ 中 Ｈａ ｓｎ在 迭 代 中采 用 Ｇａ ｓ～ｅｄ ｌ 巧 ， Ｋｒｗｃｙ — ｏｅ算 子 进 行 了改进 得 到 了 ｕ ｓＳ ｉｅ 技 对 ａ ｚ ｋＭｏ ｒ
则对任意 Ｙ ∈Ｘ 和 每 一 个 ｉ ， ， ， 下 面 不 等 式 成 立 —ｌ ２ … ，
Ｋ（ Ｘ）≤ Ｋ （ Ｋ咧 （ Ｋ（ Ｘ）． ， ， Ｘ）≤ Ｘ）≤ Ｙ， （） ６
引理 １ 明 ， 于任 意 的 Ｙ 表 对 ∈Ｘ， 算子 Ｋ （ 包含于 Ｋ（ ， 之 中， 外 ， ［ ］ ） ｙ ｘ） 此 文 １ 也指 出 Ｋ印 （ 具有 ｘ）
（ 中国 矿 业 大 学 理 学 院 ， 州 ２ １ １ ） 徐 ２ １ ６
摘 要 提 出 了求 解 非 线 性 方 程 组 的 最 佳 Ｋｒｗ ｚ ｋ Ｈａ ｓ ｎ 子 ， 过 具 体 算 例 验 证 了其 最 优 性 ｅｙ — ｎｅ 算 ａ 通
关 键 词ｊ 非 线 性 方程 ； ａ ｚｋ Ｈａｓｎ算 子 ； ｏｅ检 验 Ｋｒｗｃｙ — ｎｅ Ｍｏ ｒ ［ 图 分 类 号： Ｏ２ １ ３ 中 ， ． １ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７ ４ ４ ２ １ ） １０ ５ ｌ 文 ２１ ５ ｛０ ０—０ ３０ ６ ０
３ －Ｒ （ ，／ Ｒ （ －Ｒ。 ） ， 其 他 ； ２ ｘ） ） （ 。 ｘ） （ ）
Ｒ （ ） ０， Ｘ 一
１，
Ｉ ｘ （ （ Ｒ
－
Ｊ ） ’ ５ Ｃ
Ｒ （ ） ０， ，Ｘ ≤ Ｒ （ ） ０， Ｘ ≥
Ｒ ｘ） ） （ ｘ） Ｒ。 ） ． 其 他 ， （ ／Ｒ （ － （ ）
ｃＫ（ ） 即 Ｈａ ｓｎ算 子包 含在 Ｍｏ ｒ ， ， ｎｅ ｏｅ算子 中， 以实 际计算 中利用 Ｈ（ ， 代替 Ｋ（ ， 可得到 更 所 ｙ ｘ） ｙ ｘ）
好 的结果．
２ 最佳 Ｋｒｗｃｙ — ｎ ｅ ａ ｚ ｋ Ｈａ ｓｎ算 子
记 ｐ ｙ 一 一 （ ， ｘ） Ｊ ｙ Ｘ） 则 （ ） 可 表 示 为 （） ） Ｒ（ 一 ～ Ｆ （ ， ２ 式
பைடு நூலகம்
第 ２ 卷 ６ （） ５
其 中 ∽ ＝ （ｉ ， ’ … ， ） ａ ；” ， ， ‘
＝
（ ｆ （ ， ）
， ， …
） ∈
以 及 对 每 一 个 （ 一 １ ２ … ， ， ， ， ） 有
Ｒ （ ） ０， Ｘ 一
１
ｆ（ ） Ｘ
～ 、 一
１ （ ） ０， Ｒ Ｘ ≤ Ｒ （ ） ０， Ｘ ≥
Ｋｒｗｃｙ — ｎ ｅ ａ ｚ ｋ Ｈａ ｓｎ算 子
Ｈ （ Ｘ）一 Ｙ一 ｙ， （ ）＋ Ｌ（ Ｘ）（ 一 ．） Ｕ （ （ Ｈ ） ＋ ， Ｘ） Ｘ～ ｙ）， （） ３
其 中 Ｈ ＿ －Ｈ（ ， ｎｘ， ｘ） Ｕ（ 分 别 为 区 间矩 阵 Ｊ Ｆ （ 的严 格下 三 角 和上 三 角矩 阵． 子 ｙ ｘ） Ｌ（ 和 ｘ） ～ｙ ｘ） 算 Ｈ（ ， 与 Ｋ（ ， 具有 一些 类似 的重 要性 质 ， 且 当 Ｈ，一 Ｈ ｎＸ ≠ ｊ ｊ 。 ， ，） ， Ｈ（ ， ｙ ） ｙ ｘ） 并 ２ 一１ ２ … ｎ 时 有 『（ ｙ ｘ）
Ｋ（ ） ｙ， 一 （ ， ＋ Ｒ （ ） Ｘ — ） Ｊ） （ ．
（ ４）
引理 １
对 ： １ ２ … ， ， ， ， ｎ 令
收 稿 日期 ］ ２ ０—６１ ０ ７０—８
５ ４
大 学 数 学 ｘ）Ｘ－ ）， ａ ＋Ｒ（ （ －｛ ，， ｘ）Ｘ－ ｔ ］ …） Ｋ （ （ ） ｘ）一［ ＋Ｒ（ （ －ｃ Ｐ （ ㈤）