【备战2014】高中数学 分类突破赢高考6

备战2014数学分类突破赢高考6
1．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2
A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；
(2)当AB ＝pm ，AC
＝qn (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2
A －sin 2
A ＝0. ∴3cos 2
A －1＋cos 2
A ＝0， ∴cos 2
A ＝14
.
又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝1
2，
∴A ＝π3
.
(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫1，－32.
∴|AB |＝214p ，|AC |＝7
2q .
∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝21
32
pq .
又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤
p ＋q
2
，
即p ·q ≤3. ∴p ·q ≤9.
故△ABC 的面积的最大值为2132×9＝189
32
.
2．某工厂有120名工人，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]分组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每名工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．
(1)人数；
(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)内各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
解：(1)由频率分布直方图知，在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内的人数的频率分别为0.35,0.4,0.15,0.1.
∵0.35×40＝14,0.4×40＝16,0.15×40＝6,0.1×40＝4，
∴在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内应抽取的人数分别为14,16,6,4. (2)∵在年龄段[20,30)内的人数为120×0.35＝42(人)，从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为3042＝57；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为1842＝3
7，
∴此人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为57×37＝15
49
.
∵在年龄段[30,40)内的人数为120×0.4＝48(人)，从该年龄段任取1人，由表知，此人
A 项培训结业考试成绩优秀的概率为3648＝34；
B 项培训结业考试成绩优秀的概率为2448＝12
，∴此
人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为34×12＝3
8
.
由题设知，X 的可能取值为0,1,2，
∴P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1549⎝ ⎛⎭⎪⎫1－38＝85
196
，
P (X ＝1)＝1549×⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－38＋⎝
⎛⎭⎪⎫1－1549
×38＝
177
392
，
P (X ＝2)＝1549×38＝
45
392
，
∴X 的分布列为
X 的数学期望为 E (X )＝0×
85196＋1×177392＋2×45392＝267392
. 3．设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等． (1)求{a n }的通项公式；
(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记c n ＝
1
log 34b n ＋1·log 34b n ＋2
，数列{c n }的前
n 项和为T n ，求T n .
解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －1d
2
，
即S n ＝
d
2n 2
＋⎝
⎛
⎭⎪⎫
a 1－d 2n ，
由
S n
是等差数列，得到⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1
－d
2
＝0，S n
＝ d
2
·n ，
则d ＝
d
2
且d ＝2a 1＞0，
所以d ＝1
2
，
a 1＝d 2＝14
，
a n ＝14
＋(n －1)·12＝
2n －1
4
.
(2)由b 1＝a 1＝14，b 2＝a 2＝34，b 3＝a 5＝9
4，得等比数列{b n }的公比q ＝3，
所以b n ＝14×3n －1
，
所以c n ＝1
log 33n ·log 33n ＋1＝
1n n ＋1＝1n －1
n ＋1
， T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
.
4.如图，正三棱柱ABC ­A
1B 1C 1的所有棱长都为2，CD
＝λ1CC
(λ∈R)．
(1)当λ＝1
2
时，求证：AB 1⊥平面A 1BD;
(2)当二面角A ­A 1D ­B 的大小为π
3时，求实数λ的值．
解：(1)证明：取BC 的中点O ，连接AO .
因为在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面CBB 1C 1，且△ABC 为正三角形，所以AO ⊥
BC ，AO ⊥平面CBB 1C 1.
以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz ，
则A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，
B (1,0,0)．所以1AB ＝(1,2，－3)， 1DA ＝(1,1，3)，DB
＝(2，－1,0)．
因为1AB ·1DA ＝1＋2－3＝0，1AB ·DB
＝2－2＝0，
所以AB 1⊥DA 1，AB 1⊥DB ，又DA 1∩DB ＝D ， 所以AB 1⊥平面A 1BD .
(2)由(1)得D (－1,2λ，0)，所以1DA ＝(1,2－2λ，3)，DB ＝(2，－2λ，0)，DA
＝
(1，－2λ，3)．
设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，平面AA 1D 的一个法向量为n 2＝(s ，t ，u )，
由⎩⎨⎧
n 1·1DA
＝0，n 1·DB ＝0，
得平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ，1，λ－23. 同理可求得平面AA 1D 的一个法向量为n 2＝(3，0，－1)， 由|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝12，解得λ＝14，
故λ的值为1
4
.。