2014年高考数学真题分类汇编理科-数列(理科)

1.（2014 北京理 5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）.
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2014 大纲理 10）等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ）.
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
3.（2014 福建理 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).
A.8
B.10
C.12
D.14
4.（2014 辽宁理 8）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12
n
a a 为递减数列，则（ ）.
A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d >
5.（2014 重庆理 2）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）. A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列
二、 填空题
1.（2014 安徽理 12）数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = .
2.（2014 北京理 12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大.
3.（2014 广东理 13）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5
10119122e a a a a +=，
则1220ln ln ln a a a +++= .
4.（2014 江苏理 7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ．
5.（2014 天津理 11）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若
124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.
1.(2014 安徽理 21)（本小题满分13分） 设实数0c >，整数1p >，*
n ∈N .
（1）证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+；
（2）数列{}n a 满足1
1p
a c >，111p
n n n p c a a a p p
-+-=+，证明：1
1p n n a a c +>>. 2.（2014 大纲理 18）（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S …. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3.（2014 大纲理 22）（本小题满分12分）
函数()()()ln 11ax
f x x a x a
=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()111,ln 1n n a a a +==+，证明：
23+22
n a n n <+…. 4.（2014 广东理 19）（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n +=--∈N ，且315S =.
（1）求123,,a a a 的值; （2）求数列{}n a 的通项公式.
5.（2014 湖北理 18）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
6.（2014 湖南理 20）已知数列{}n a 满足11a =，1n
n n a a p +-=，*
N n ∈.
（1）若{}n a 为递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；
（2）若1
2
p =
，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 7.（2014 江苏理 20）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．
（1）若数列{}n a 的前n 项和2n n S = ()
*
n ∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；
（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，
使得n n n a b c =+()*
n ∈N 成立．
8.（2014 江西理 17）（本小题满分12分） 已知首项都是1的两个数列
{}
n a ，
{}n b ()
*0,n b n ≠∈N ，满足
11120n n n n n n a b a b b b +++-+=.
（1）令n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的通项公式； （2）若1
3
n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S .
9.（2014 山东理 19）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n b =()
1
1
41n n n n
a a -+-，求数列{}n
b 的前n 项和n T . 10.（2014 陕西理 21）（本小题满分14分）
设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=…，其中()f x '是()f x 的导函数. （1）()()()()()
11,n n g x g x g x g g x +==，n +∈N ，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x …恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n +∈N ，比较()()()12g g g n ++
+与()n f n -的大小，并加以证明.
11.（2014 四川理 19）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(),n n a b 在函数()2x
f x =的图像上
()*
n ∈N .
（1）若12a =-，点()87,4a b 在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图像在点()22,a b 处的切线在x 轴上的截距为1
2ln 2
-，求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 12.（2014 天津理 19）（本小题满分14分）
已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,
,1M q =-，集合
{
}
112,,1,2,
,n n i A x x x x q x q x M i n -+∈===++
.
（1）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （2）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=++
+，112n n t b b q b q -=+++，其中
,i i a b M ∈，1,2,i n =.证明：若n n a b <，则s t <.
13.（2014 新课标1理17）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. （1）证明：2n n a a λ+-=；
（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 14.（2014 新课标2理17）（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. （1）证明12n a ⎧
⎫
+
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）证明：
1211132
n a a a ++<…+. 15.（2014 浙江理 19）（本题满分14分） 已知数列{}n a 和{}n b 满足(()*
12
2n
b n a a a n =
∈N .若{}n
a 为等比数列，且
1322,6a b b ==+.
（1）求n a 与n b ； （2）设()*11
n n n
c n a b =
-∈N .记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求n S ；
（ii ）求正整数k ，使得对任意*n ∈N ，均有k n S S ….
16.（2014 重庆理 22）（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）
设()*111,n a a b n +==
∈N .
（1）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；
（2）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*
n ∈N 成立？证明你的结论.。