4.2 同角三角函数及三角函数的诱导公式

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4-2高三复习周精讲精练-同角三角函数的关系及诱导公式

第四章
三角函数
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三角函数
●基础知识
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第四章
三角函数
点评：本例属同角三角关系式中的基本题，关键是掌握“先开方，后作商”的原则，先求与 sinα 的平方关系相联系的 cosα，再由公式求 tanα.在(2)中，α 为第四象 m 限角，但 tanα＝ 2，原因是 m 此时小于 0，所以形 1－m 式上 tanα 的表达式前面仍不带负号．
解析：∵tan300° ＝tan(360° －60° )＝－tan60° ＝－ 3， ∴M(2，－ 3)．故位于第四象限．答案：D
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第四章
三角函数
1 π 已知 cosα＝3，且－2＜α＜0， cot(－α－π)· sin(2π＋α) 求的值． cos(－α)· tanα 1 分析：从 cosα＝3中可推知 sinα、cotα 的值，再用诱
3π 1 cosα－ 2 ＝5，求
(
f(α)的值；
(3)若 α＝－1860° ，求 f(α)的值．
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同角三角函数的基本关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α =tan α， αααcot sin cos =，倒数关系：tan αcot α=1，ααcos 1sec = ααsin 1csc =（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。

二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)．解原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α=1 ．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 3 2．变式1 条件同例，求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －3 2 ，求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α 1－tan α例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα++-，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。

高中数学-同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公sin αcos α式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：＝tan α.sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z)2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α－απ2＋απ2正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.(　×　)(2)若α∈R ，则tan α＝恒成立．(　×　)sin αcos α(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)(4)若sin ＝，则cos α＝－.(　√　)(3π2－α)1313教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α的值为．55答案　－255解析　∵sin α＝，α是第二象限角，55∴cos α＝－＝－.1－sin2α2552．已知＝－5，那么tan α的值为．sin α－2cos α3sin α＋5cos α答案　－2316解析　由＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，sin α－2cos α3sin α＋5cos α可得＝－5，解得tan α＝－.tan α－23tan α＋523163．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．cos (α－π2)sin (5π2＋α)答案　－sin 2α解析　原式＝·(－sin α)·cos αsin αcos α＝－sin 2α.题型一　同角三角函数基本关系例1　(1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .513答案　0解析　∵cos α＝－<0且cos α≠－1，513∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sin α＝＝＝，1－cos2α1－(－513)21213∴tan α＝＝＝－.sin αcos α1213－513125此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.1213(－125)②若α是第三象限角，则sin α＝－＝－1－cos2α1－(－513)2＝－，1213∴tan α＝＝＝，sin αcos α－1213－513125此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.(－1213)125综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝，则＝；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.12sin α－3cos αsin α＋cos α答案　－　53135解析　已知tan α＝，12所以＝＝－.sin α－3cos αsin α＋cos αtan α－3tan α＋153sin 2α＋sin αcos α＋2＝＋2sin2α＋sin αcos αsin2α＋cos2α＝＋2tan2α＋tan αtan2α＋1＝＋2＝.(12)2＋12(12)2＋1135(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝.713答案　－125解析　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，71360169因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝＝，1－2sin θcos θ1713联立Error!解得Error!所以tan θ＝－.125教师备选1．(2022·锦州联考)已知＝5，则cos 2α＋sin 2α等于( )sin α＋3cos α3cos α－sin α12A. B ．－3535C ．－3D ．3答案　A解析　由＝5，得＝5，sin α＋3cos α3cos α－sin αtan α＋33－tan α可得tan α＝2，则cos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α12＝＝cos2α＋sin αcos αcos2α＋sin2α1＋tan α1＋tan2α＝.352．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为( )23A. B ．－2323C. D ．－4343答案　C解析　由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝，23所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，29则2sin αcos α＝－<0，79因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，169所以sin α－cos α＝.43思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于( )sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θA ．－ B ．－ C. D.65252565答案　C解析　方法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以Error!或Error!所以＝sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θsin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ＝－＝.452525方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝＝＝.tan2θ＋tan θ1＋tan2θ4－21＋425(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为．13答案　－105解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，1313将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1，109所以cos 2α＝，易知cos α<0，910所以cos α＝－，sin α＝，310101010故sin α＋cos α＝－.105题型二　诱导公式例2　(1)已知sin ＝，则cos 的值为( )(α－π4)13(π4＋α)A. B ．－223223C. D ．－1313答案　D解析　cos ＝cos (π4＋α)[π2＋(α－π4)]＝－sin＝－.(α－π4)13延伸探究　本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin＝，则tan ＝.(θ＋π4)45(θ－π4)答案　34解析　∵θ是第二象限角，且sin＝，(θ＋π4)45∴θ＋为第二象限角，π4∴cos＝－，(θ＋π4)35∴tan＝(θ－π4)sin (θ－π4)cos (θ－π4)＝sin [(θ＋π4)－π2]cos [(θ＋π4)－π2]＝－cos (θ＋π4)sin (θ＋π4)＝＝.－(－35)4534(2)的值为( )tan (π－α)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－α－π)sin (－π－α)A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案　B解析　原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos2α－cos α·sin α＝－·＝－1.sin αcos αcos αsin α教师备选1．已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则等于( )cos(11π2－α)sin(9π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin (－π－α)A. B ．－2323C. D ．－3232答案　B解析　易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)，故tan α＝，则32cos(11π2－α)sin (9π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin (－π－α)＝cos (3π2－α)sin (π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin α＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－＝－.1tan α232．若sin x ＝3sin ，则cos x ·cos 等于( )(x －π2)(x ＋π2)A. B ．－310310C. D ．－3434答案　A解析　易知sin x ＝3sin ＝－3cos x ，(x －π2)所以tan x ＝－3，所以cos x cos(x ＋π2)＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin2x ＋cos2x ＝＝.－tan x tan2x ＋1310思维升华　(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的――――――→利用诱导公式三或一――――――→利用诱导公式一三角函数锐角三角函数．――――――→利用诱导公式二或四或五或六跟踪训练2　(1)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .13答案　0解析　因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，13sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝.13所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.1313(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝.sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos (α－112π)＋sin(9π2＋α)答案　3解析　由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos (α－112π)＋sin(9π2＋α)＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos (α＋π2)＋sin (π2＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝＝3.tan α＋1tan α－1题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3　已知f (α)＝.sin (α－3π)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－π－α)sin (－π－α)(1)化简f (α)；(2)若α＝－，求f (α)的值；31π3(3)若cos＝，α∈，求f (α)的值．(－α－π2)15[π，3π2]解　(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－，31π3则f (α)＝－cos＝－cos ＝－.(－31π3)π312(3)由cos＝，(－α－π2)15可得sin α＝－，15因为α∈，[π，3π2]所以cos α＝－，265所以f (α)＝－cos α＝.265教师备选设f (α)＝(1＋2sin α≠0)．2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin2α＋cos(3π2＋α)－sin2(π2＋α)(1)化简f (α)；(2)若α＝－，求f (α)的值．23π6解　(1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin2α＋sin α－cos2α＝2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝＝.cos αsin α1tan α(2)当α＝－时，23π6f (α)＝f ＝(－23π6)1tan (－23π6)＝1tan (－4π＋π6)＝1tan π6＝＝.1333思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3　(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)(π2＋β)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A. B. C. D.3553773101013答案　C解析　由已知得Error!消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝，则sin α＝(α为锐角)．91031010(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－，则＝.15sin 2x ＋2sin2x 1－tan x答案　－24175解析　由已知，得sin x ＋cos x ＝，15两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝，125整理得2sin x cos x ＝－.2425∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝，4925由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－<0，1225∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－.75∴＝sin 2x ＋2sin2x 1－tan x2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x ＝＝－.－2425×157524175课时精练1．cos等于( )(－19π3)A ．－B ．－3212C.D.1232答案　C解析　cos＝cos (－19π3)19π3＝cos＝cos ＝.(6π＋π3)π3122．若cos 165°＝a ，则tan 195°等于( )A.B.1－a 21－a 2aC ．－D ．－1－a 2aa1－a 2答案　C解析　若cos 165°＝a ，则cos 15°＝cos(180°－165°)＝－cos 165°＝－a ，sin 15°＝，1－a 2所以tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝sin 15°cos 15°＝－.1－a 2a3．若cos ＝，则sin 等于( )(α－π5)513(7π10－α)A ．－ B ．－5131213C. D.1213513答案　D解析　因为－α＋＝，7π10(α－π5)π2所以－α＝－，7π10π2(α－π5)所以sin ＝cos ＝.(7π10－α)(α－π5)5134．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于( )21tan αA ．2 B. C ．－2 D ．－1212答案　A解析　由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝，12∴tan α＋＝＋1tan αsin αcos αcos αsin α＝＝＝2.sin2α＋cos2αsin αcos α1125．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin ＝cos B ＋C2A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C (C ≠π2)D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案　ABC解析　在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin ＝sin ＝cos ，B 正确．B ＋C 2(π2－A 2)A2tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C，(C ≠π2)C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则( )15A.<α<ππ2B ．sin αcos α＝－1225C ．cos α－sin α＝75D ．cos α－sin α＝－75答案　ABD解析　∵sin α＋cos α＝，15等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，125解得sin αcos α＝－，故B 正确；1225∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－<0，1225∴α∈，故A 正确；(π2，π)cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，(－1225)4925解得cos α－sin α＝－，故D 正确．757．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .答案　0解析　因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°＝cos 90°＝0.8．设f (θ)＝，则f ＝.2cos2θ＋sin2(2π－θ)＋sin (π2＋θ)－32＋2cos2(π＋θ)＋cos (－θ)(17π3)答案　－512解析　∵f (θ)＝2cos2θ＋sin2θ＋cos θ－32＋2cos2θ＋cos θ＝，cos2θ＋cos θ－22cos2θ＋cos θ＋2又cos ＝cos17π3(6π－π3)＝cos ＝，π312∴f ＝＝－.(17π3)14＋12－212＋12＋25129．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求的值；sin (－α＋3π2)cos(3π2＋α)tan2(π－α)cos (π2＋α)sin (π2－α)(2)已知sin x ＋cos x ＝－(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．713解　(1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－，23又α是第三象限角，所以cos α＝－，23所以sin α＝－，tan α＝.5352所以原式＝＝tan 2α＝.－cos αsin αtan2α－sin αcos α54(2)∵sin x ＋cos x ＝－(0<x <π)，713∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－，713两边平方得1＋2sin x cos x ＝，49169即2sin x cos x ＝－，120169∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝，289169即sin x －cos x ＝，1713联立Error!解得sin x ＝，cos x ＝－，5131213∴cos x －2sin x ＝－.221310．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求的值；sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)(2)若α是第二象限角，求sin 2＋sin(π－α)cos α－cos 的值．(α＋3π2)(π2＋α)解　(1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝.－tan α－11＋2tan α又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝＝－2，－6m3m 故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)＝－tan α－11＋2tan α＝＝－.2－11＋2×(－2)13(2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m(3m )2＋(－6m )2＝－6m 35|m |＝，255cos α＝3m(3m )2＋(－6m )2＝3m 35|m |＝－，55∴sin 2＋sin(π－α)cos α－cos (α＋3π2)(π2＋α)＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝2＋×＋(－55)255(－55)255＝.－1＋25511．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k ∈Z )的取值可能sin (α＋k π)sin αcos (α＋k π)cos α为( )A ．－2 B ．－1或1C ．2 D ．－2或2或0答案　AC解析　当k 为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；－sin αsin α－cos αcos α当k 为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.sin αsin αcos αcos α∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则等于( )sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)A. B. C. D.35534554答案　B解析　方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－，x 2＝2，则sin α＝－.3535原式＝＝－＝.cos α(－cos α)tan2αsin α(－sin α)(－sin α)1sin α5313．曲线y ＝e x ＋x 2－x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin＝.23(2α＋π2)答案　45解析　由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －，23所以f ′(0)＝e 0－＝，2313所以tan α＝，13所以α∈，(0，π2)所以cos α＝，310所以sin(2α＋π2)＝cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝.9104514．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝.答案　75解析　由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝，12所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋2tan α1＋tan2α＝3×14＋2×121＋14＝.7515．(多选)已知f (α)＝，则下列说法正确的是( )2sin αcos α－2sin α＋cos α＋1(0≤α≤π2)A ．f (α)的最小值为－2B ．f (α)的最小值为－1C ．f (α)的最大值为－12D ．f (α)的最大值为1－2答案　BD解析　设t ＝sin α＋cos α＝sin，2(α＋π4)由0≤α≤，π2得≤α＋≤，π4π43π4则1≤t ≤，2又由(sin α＋cos α)2＝t 2，得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝＝t －1－，t 2－1－2t ＋12t ＋1又因为函数y ＝t －1和y ＝－在[1，]上单调递增，2t ＋12所以g (t )＝t －1－在[1，]上单调递增，2t ＋12g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g ()＝1－.2216．已知关于x 的方程2x 2－(＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：3(1)＋的值；sin2θsin θ－cos θcos θ1－tan θ(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解　(1)原式＝＋sin2θsin θ－cos θcos θ1－sin θcos θ＝＋sin2θsin θ－cos θcos2θcos θ－sin θ＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝，3＋12所以＋＝.sin2θsin θ－cos θcos θ1－tan θ3＋12(2)由已知得sin θcos θ＝，m2因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝2，(3＋12)解得m ＝.32(3)联立Error!解得Error!或Error!因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或.π3π6。

4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

所以1 ��-sin2��
=
1 (cos��+sin��)(cos��-sin��)
=
275.
-20-
考点1
考点2
考点3
(方法二)联立
sin��
+
cos��
=
1 5
,
①
sin2�� + cos2�� = 1,②
(2)求m的值; (3)求方程的两根及此时θ的值. 思考sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子之间有怎样的关系?
-14-
考点1
考点2
考点3
解 (1)由根与系数的关系可知
3+1 sin�� + cos�� = 2 ,
①
sin��·cos��
=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)
=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°
=
3 2
×
3 2
+
1 2
×
12=1.
(2)∵f(α)=(1-+2ssiinn��2��)��(+-csoisn��)-+cocso2s��=2s2insi��n��c2o��s��+��+sicno��s��
=
cos��(1+2sin��) sin��(1+2sin��)

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系（2）商数关系（3）倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值（2）已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1）化简()f α（2）若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值（3）若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。

数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理

4。

2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。

同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。

(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。

2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。

特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。

( ）（2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。

( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（）2。

(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（）A 。

2B 。

32C.1D.123。

(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。

-12C 。

√32D.-√324。

函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。

2022高考数学(文)一轮通用版讲义：4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1理解同角三角函数的基本关系式：sin2＋cos2＝1，＝tan．±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．突破点一同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系1平方关系：sin2α＋cos2α＝1α∈R．2商数关系：tanα＝2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“11＝sin2θ＋cos2θ＝表达式中需要利用一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝12若α∈R，则tanα＝恒成立．答案：1×2×二、填空题1．已知α∈，sinα＝，则tanα＝________解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，于是tanα＝－答案：－2．已知tanα＝2，则的值为________．解析：原式＝＝＝3答案：3考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] 12022·成都龙泉中学月考设cos－80°＝，那么tan100°等于B．－D．－22022·甘肃诊断已知tan＝，且角的终边落在第三象限，则cos＝B．－D．－[解析] 1∵cos－80°＝cos80°＝，∴sin80°＝＝，∴tan100°＝－tan80°＝－故选B2因为角的终边落在第三象限，所以cos<0，因为tan＝，所以解得cos＝－，故选D[答案] 1B 2D[易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法二知切求f sinα、cosα的值[例2] 2022·保定三校联考已知tan3π＋α＝3，则＝D．2[解析] ∵tan3π＋α＝3，∴tanα＝3，∴＝＝＝故选B [答案] B[方法技巧]利用“切弦互化”的技巧1弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sinα，cosα的二次齐次式如a sin2α＋b sinαcosα＋c cos2α的问题常采用“切”代换法求解；②sinα，cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．2切化弦：利用公式tanα＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．考法三sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[例3] 1已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为B．±C．－D．－2已知－<α<0，sinα＋cosα＝，则＝[解析] 1因为sinαcosα＝，所以cosα－sinα2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，因为<α<，所以cosα<sinα，即cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－2∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，cosα－sinα2＝1＋＝又∵－<α<0，∴cosα>0>sinα，∴cosα－sinα＝，∴＝＝＝[答案] 1D 2B[方法技巧]正弦、余弦“sinα±cosα，sinα·cosα”的应用sinα±cosα与sinα·cosα通过平方关系联系到一起，即sinα±cosα2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝因此在解题中已知1个可求另外2个．已知α∈0，π，cosα＝－，则tanα＝B．－D．－解析：选D ∵cosα＝－且α∈0，π，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝－故选D已知sinα＋cosα＝，则sinαcosα的值为________．解析：∵sinα＋cosα＝，∴sinα＋cosα2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα＝，解得sinαcosα＝－答案：－已知tanα＝－，求：1的值；2的值；3sin2α＋2sinαcosα的值．解：1＝＝＝2＝＝＝＝＝－3sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝－突破点二三角函数的诱导公式组一二三四五六一、判断题对的打“√”，错的打“×”1sinπ＋α＝－sinα成立的条件是α为锐角．2诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．答案：1×2√二、填空题1．已知cosπ＋α＝－，则sin等于________．解析：cosπ＋α＝－cosα＝－，则cosα＝，sin＝－sin ＝－cosα＝－答案：－2．已知sin＝，则sin等于________．解析：sin＝sin＝－sin＝－答案：－3．已知tan＝，则tan＝________解析：tan＝tan＝tanπ－－α＝－tan＝－答案：－1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求1化简过程是恒等变形；2结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．2022·武威六中第一次阶段性检测已知fα＝1化简fα；2若－<α<，且fα<，求α的取值范围．解：1fα＝＝＝＝－sinα2由已知得－sinα<，∴sinα>－，∴2π－<α<2π＋，∈Z∵－<α<，∴－<α<故α的取值范围为应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项1已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．2对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．1．2022·玉林陆川中学期中sin570°的值是A．－D．－解析：选A sin570°＝sin720°－150°＝－sin150°＝－故选A2．2022·湖北八校联考已知sinπ＋α＝－，则tan＝A．2 B．－2D．±2解析：选D ∵sinπ＋α＝－，∴sinα＝，∴tan＝＝±2，故选D3．2022·南充模拟设f＝a sinπ＋α＋b cosπ＋β，其中a，b，α，β都是非零实数．若f2022＝－1，则f2022＝A．1 B．2C．0 D．－1解析：选A ∵f2022＝a sin2022π＋α＋b cos2022π＋β＝－a sinα－b cosβ＝－1，∴a sinα＋b cosβ＝1，∴f2022＝a sin2022π＋α＋b cos2022π＋β＝a sinα＋b cosβ＝4．化简：＝________解析：原式＝＝＝1答案：1[课时跟踪检测][A级基础题——基稳才能楼高]1．2022·新疆普通高中学业水平考试已知∈，cos＝，则tan的值为B．－D．－解析：选B 因为∈，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－故选B2．2022·淮南十校联考已知sin＝，则cos的值是A．－D．－解析：选A ∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－，故选A3．2022·重庆一模log2的值为A．－1 B．－解析：选B log2＝log2＝log2＝－故选B4．2022·遵义模拟若sin＝－，且α∈，π，则sinπ－2α＝A．－B．－解析：选A ∵sin＝cosα＝－，α∈，∴sinα＝，∴sinπ－2α＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－故选A5．2022·沈阳模拟若＝2，则cosα－3sinα＝A．－3 B．3C．－解析：选C ∵＝2，∴cosα＝2sinα－1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋2sinα－12＝1,5sin2α－4sinα＝0，解得sinα＝或sinα＝0舍去，∴cosα－3sinα＝－sinα－1＝－故选C 6．2022·庄河高中期中已知sin＝，则cos等于C．－D．－解析：选A cos＝cos＝sin＝故选A[B级保分题——准做快做达标]1．2022·宝鸡金台区质检已知sin2α＝，则tanα＋＝C．3 D．2解析：选C tanα＋＝＋＝＝＝＝2．2022·常德一中月考已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝C．－D．－解析：选C 因为sinα＋2cosα＝，sin2α＋cos2α＝1，解得或所以tanα＝3或－所以tan2α＝＝＝－或tan2α＝＝＝－故选C3．2022·株洲醴陵二中、四中期中联考已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为A．－B．－解析：选A 由已知2sinα－cosα＝0得tanα＝，所以sin2α－2sinαcosα＝＝＝－故选A4．2022·大庆四地六校调研若α是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tanα的值是A．－B．－C．－或－D．不存在解析：选A 由sin＋cos＝，得cosα＋sinα＝，∴2sinαcosα＝－<0∵α∈0，π，∴α∈，∴sinα－cosα＝＝，∴sinα＝，cosα＝－，∴tanα＝－，故选A5．2022·平顶山、许昌联考已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是B．－C．－3 D．3解析：选A 由＝5，得＝5，解得tanα＝2，∴cos2α＋sin2α＝＝＝＝6．2022·河南中原名校联考已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于的方程22＋－1＋m＝0m∈R的两根，则sinθ－cosθ＝D．－解析：选B ∵sinθ，cosθ是方程22＋－1＋m＝0m∈R的两根，∴sinθ＋cosθ＝，sinθ·cosθ＝，可得sinθ＋cosθ2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝，解得m＝－∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，∵sinθ－cosθ2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋，∴sinθ－cosθ＝＝，故选B 7．2022·全国卷Ⅰ已知角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点A1，a，B2，b，且cos2α＝，则|a－b|＝D．1解析：选B 由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝，∴＝，即＝，∴tanα＝±，即＝±，∴|a－b|＝故选B8．2022·武邑中学调研已知sinα＝，0<α<π，则sin＋cos＝________解析：2＝1＋sinα＝，又0<α<π，∴sin＋cos>0，∴sin ＋cos＝答案：9．2022·广西桂林等五市联考已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则tanθ＝________解析：∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＋cosθ2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝－，又<θ<π，∴sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ－cosθ＝，由，解得∴tanθ＝＝－答案：－10．2022·浙江名校协作体检测已知sin·cos＝，且0<α<，则sinα＝________，cosα＝________解析：sincos＝－cosα－sinα＝sinαcosα＝又∵0<α<，∴0<sinα<得sinα＝，cosα＝答案：11．2022·惠安惠南中学月考已知cosα－sinα＝，α∈1求sinαcosα的值；2求的值．解：1∵cosα－sinα＝，α∈，平方可得1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝2sinα＋cosα＝＝＝，∴原式＝＝＝cosα＋sinα＝12．在△ABC中，1求证：cos2＋cos2＝1；2若cossintan C－π＜0，求证：△ABC为钝角三角形．证明：1在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，所以cos＝cos＝sin，所以cos2＋cos2＝12因为cossintan C－π＜0，所以－sin A－cos B tan C＜0，即sin A cos B tan C＜0因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A ＞0，所以或所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形。

4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件高三数学一轮复习(1)

A.sin(－x)＝sin x
B.sin32π－x＝cos x
C.cosπ2＋x＝－sin x
D.cos(x－π)＝－cos x
解析 sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sin32π－x＝－cos x，故 B 不成立； cosπ2＋x＝－sin x，故 C 成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
A.56
B.－56
C.34
D.43
解析由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝3a.
所以 sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝94－23a＝1，
解得 a＝－56.
1.sin 570°的值是( A)A.－12来自1 B.23 C. 2
解析 sin 570°＝sin(720°－150°)
第四章三角函数、解三角形
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_s_in_2_α_＋__c_o_s_2_α_＝__1_. (2)商数关系：csoins αα＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式一
(2)已知 sin α＋cos α＝－51，且π2＜α＜π，则sin（π1－α）＋cos（π1－α）的值为 35
___1_2____.
解析由 sin α＋cos α＝－15，平方得 sin αcos α＝－1225， ∵π2＜α＜π，∴sin α－cos α
＝（sin α＋cos α）2－4sin αcos α＝75， ∴sin（π1－α）＋cos（π1－α）＝sin1 α－co1s α＝cosisnαα－cossinαα＝－－217552＝3152.

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§4.2 同角三角函数及三角函数的诱导公式
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．(2010·全国Ⅰ)cos 300°＝( )
A ．－32
B ．－12 C.12 D.32
2．(2009·陕西)若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α
的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.54
3．已知α∈(0，π)，cos(π＋α)＝35
，则sin α等于( ) A ．－45 B.45 C ．－35 D.35
4．已知tan α＝－12，π2
<α<π，则sin α等于( ) A.255 B ．－55 C ．－255 D.55
5．已知2tan α·sin α＝3，－π2
<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32 C ．1 D.12
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．已知cos(π－α)＝817
，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. 7．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2
，则cos α－sin α的值是________． 8．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin α＋cos α＝75
，则tan α＝________. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2
，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________. 三、解答题(共41分)
10．(13分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ [cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ 的值．
11．(14分)已知tan α＝2，求下列各式的值．
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α
； (2)2sin 2α＋3sin αcos α－5cos 2α.
12．(14分)已知sin β＋cos β＝15
，且0<β<π. (1)求sin βcos β、sin β－cos β的值；
(2)求sin β、cos β、tan β的值．
答案 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A
6．158 7. －32 8. 34 9. －223
10. 解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13
， ∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)
＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ
＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ ＝
2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 11. 解 (1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.
所以4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4·sin αcos α－25＋3·sin αcos α
＝4tan α－25＋3tan α＝4×2－25＋3×2＝611
. (2)2sin 2α＋3sin αcos α－5cos 2α
＝2sin 2α＋3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α
＝2·sin 2αcos 2α＋3·sin αcos αcos 2α－5sin 2αcos 2α
＋1 ＝2tan 2α＋3tan α－5tan 2α＋1＝2×22＋3×2－522＋1
＝95. 点评两小题的特点都是关于sin α、cos α的齐次式，通常把分子、分母同除以cos α
或cos 2α转化为关于tan α的三角式，从而利用已知条件求出它们的值．
12. 解 (1)由sin β＋cos β＝15
可得： sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＝1＋2sin βcos β＝125
；于是：sin βcos β＝－1225
， (sin β－cos β)2＝1－2sin βcos β＝4925
； ∵sin βcos β<0且0<β<π，∴sin β>0，cos β<0.
于是：sin β－cos β＝75
. (2)由sin β＋cos β＝15，sin β－cos β＝75
. 可得：sin β＝45；cos β＝－35；tan β＝－43
. 错因分析 (1)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2
－4sin αcos α这个转化关系不熟
练．(2)在求sin α－cos α时忽略了sin α－cos α的符号判断．。