高考数学重要知识点：韦达定理
认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？
**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。
韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。
二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。
具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。
2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。
通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。
三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。
通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。
2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。
例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。
3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。
例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。
韦达定理——精选推荐
则两根与系数关系（韦达定理）1212b x x ac x x a ì+=-ïïíï·=ïî。
推导过程：由求根公式可得2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a ---=。
1、2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-；2）1211x x +； （3）2112x xx x +； （4）12x x -。
一元二次方程的根与系数关系一、一元二次方程的根与系数关系（一、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理韦达定理）如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的两个的两个实数实数根分别是12,x x 。
、22222122244()(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a aa-+-------·=·===。
二、一元二次方程的根与系数关系定理的主要应用：应用条件：240b ac D =-³。
1、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或字母字母系数。
系数。
例1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。
的值。
2、不、不解方程解方程，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。
，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。
例2、已知方程22310x x +-=的两根是12,x x ，利用根与系数的关系求下列各式的值：，利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）2212x x +； （2）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是122-+和122--；（23、已知、已知一元二次方程一元二次方程的两个根，求这个方程。
的两个根，求这个方程。
例3、解下列各题：、解下列各题：（1）求作一个以2的相反数和2的倒数为根的一元二次方程。
魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题
魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题湖北省竹溪县第一高级中学442300韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程的根与系数之间的一种关系。
中学阶段，我们学一元二次方程中根和系数关系的重要定理。
它第一次出现在人教版九年级数学上册二十一章——《2.4一元二次方程的根与系数的关系》一节中，为选学内容。
在实数范围内应用韦达定理，必须注意判别式0，a0这两个隐含条件是否成立。
但纵观高中阶段的考试考卷，不难发现，关于韦达定理的题目屡屡出现，包括代数和平面解析几何两个方面，而且我们认识到巧用韦达定理解题的强大作用，也体会到韦达定理的巧妙之处。
下面从两个方面介绍巧用韦达定理解决高中数学的实际问题。
一、在代数方面的应用韦达定理用得最多的就是已知一元二次方程，求根之间的关系；或者由根之间的关系，构建一元二次方程，据此解题。
在高中阶段，用的地方很多，下面从数列、三角函数、解三角形和有关证明几个方面进行说明。
1.已知一元二次方程，求根（或根之间的关系）。
例1：等比数列a n中，a1和a12是方程2x25x10的两个根，求a4.a9的值。
剖析：由于等差数列的性质和等差数列的性质在与形式上正好与韦达定理有相似之处，故有的题会与之结合，这也体现了该定理在解答数列相关题时的巧妙之处。
2.已知一元二次方程的两根，构建一元二次方程。
剖剖析：次题展示了韦达定理在解三角函数中的应用。
此处sin cos与sin.cos也与韦达定理在形式上一致，故可以把它们看做整体构建为一个一元二次方程，便于求解。
在两角和差的正切公式处，tan tan和tan tan也满足韦达定理的形式，所以此处也可以将两者巧妙地结合在一起考查。
剖析：因余弦定理含有两边平方和的关系，将余弦定理转换后与韦达定理有联系之处，这就启发我们构建关于未知数的一元二次方程，从而求得a、b、c的值。
此题展示了韦达定理在解三角形时，与余弦定理的巧妙结合。
剖析：该题证明过程中，也巧妙的运用了构建一元二次方程的方法，结合判别式来进行求解证明。
高中数学韦达定理公式
高中数学韦达定理公式高中数学韦达定理公式韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
下面是小编为大家带来的高中数学韦达定理公式，欢迎阅读。
韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的.根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，且不妨令x_1 ge x_2。
根据求根公式，有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}} 所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。
韦达定理的数学运用,这类学生很容易搞错
韦达定理的数学运用,这类学生很容易搞错韦达定理是一种基本的数学定理，它在解决三角形问题中有着广泛的应用。
在学习韦达定理时，学生往往会遇到一些困难，容易搞错。
本文将介绍韦达定理的数学运用，并提供一些解决问题的技巧和方法。
一、韦达定理的定义韦达定理是指在三角形ABC中，如果从顶点A向边BC引一条平分线AD，则有：\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}其中，AB、AC、BD、DC分别表示三角形ABC中的边长和平分线AD所分割的边长。
二、韦达定理的数学运用1. 求三角形的内心内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内接圆的圆心。
利用韦达定理可以求出三角形的内心坐标。
假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形内心的坐标为：x=\frac{ax1+bx2+cx3}{a+b+c}y=\frac{ay1+by2+cy3}{a+b+c}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长。
2. 求三角形的外心外心是三角形三条垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
利用韦达定理可以求出三角形的外心坐标。
假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形外心的坐标为：x=\frac{a(x1^2+y1^2)+b(x2^2+y2^2)+c(x3^2+y3^2)}{2S}y=\frac{a(x1^2+y1^2)+b(x2^2+y2^2)+c(x3^2+y3^2)}{2S}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长，S表示三角形的面积。
3. 求三角形的垂心垂心是三角形三条高线的交点。
利用韦达定理可以求出三角形的垂心坐标。
假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形垂心的坐标为：x=\frac{(x1+x2+x3)(a^2+b^2-c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)-(x1^2+x2^2+x3 ^2)}y=\frac{(y1+y2+y3)(a^2+b^2-c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)-(y1^2+y2^2+y3 ^2)}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长。
韦达定理——精选推荐
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理介绍韦达定理英文名称：Viete theorem韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达简介韦达他1540年生于法国的普瓦图。
1603年12月13日卒于巴黎。
年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。
韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。
他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。
给出三次方程不可约情形的三角解法。
著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。
他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。
他被称为现代代数符号之父。
韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。
他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
一元二次方程韦达定理的内容
一元二次方程韦达定理的内容
韦达定理，又称二次方程求根公式，是解一元二次方程的重要工具。
它能帮助我们快速找到方程的根，并且在实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍一元二次方程韦达定理的基本概念和应用。
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
我们的目标是求出方程的根，即满足方程的x 值。
根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
公式中的±表示两个根的取值情况，√表示平方根。
当b²-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
通过韦达定理，我们可以解决许多与一元二次方程相关的问题。
例如，可以利用韦达定理求解物理学中的抛物线运动问题，或者计算图形的顶点、焦点等重要参数。
然而，在使用韦达定理时，我们需要注意以下几点。
首先，要确保方程是一元二次方程，即次数为2，且系数a不等于0。
其次，要仔细计算方程中的系数，确保不出现计算错误。
最后，要注意方程是否有实数根或复数根，在实际问题中需要对结果进行合理的解释和应用。
总之，一元二次方程韦达定理是解决二次方程的重要方法，具有广泛的应用价值。
通过理解和掌握韦达定理，我们能够更加轻松地解决与一元二次方程相关的问题，并在实际应用中发挥其作用。
高次韦达定理
高次韦达定理高次韦达定理的内容是，不可以用“公比”来代替“ 1”，韦达定理说明的是关于两个集合间的关系。
这和我们平时说的“在公式中，只要符合条件的就是等价条件，没有的不是等价条件”这个概念有所不同，大家对这些概念不要搞混了。
一、韦达定理，英文为“ a rate theorem”，其表示任何一个不超过两个集合，且他们之间的元素关系，都可以由下面这组等价条件表示出来：二、韦达定理与基本韦达定理的关系。
1。
因为，两个集合具有等价关系，如果存在一个集合A，使得如果对集合B的每一个元素X，若存在集合C，使得X，但是，对集合A的每一个元素Y，不一定存在集合C，使得Y，这样，只要对集合B的元素X，存在集合C，使得X，那么，对集合A的每一个元素Y，必定也存在集合C，使得Y。
3。
因为，任何一个集合与另外一个集合都是等价的，所以，存在一个集合A，使得对集合B的元素X，存在集合C，使得X，如果存在另一个集合C，使得Y，则必须存在一个集合D，使得X，如果对集合B的元素X，存在集合C，使得X，但是，对集合C的每一个元素Y，并不一定存在集合D，使得Y，这样，只要对集合B的元素X，存在集合C，使得X，则一定存在集合D，使得Y。
4。
韦达定理说明的是两个集合之间的关系，而基本韦达定理说明的是两个集合的相互包含关系，如果A、 B互相包含，则A必定包含B，反之亦然。
5。
因为集合A包含集合B，所以，只要集合B包含集合C，则必然存在集合D，使得X，而这个集合的最小者，就是集合B。
6。
对于一个非空的集合B，假设一个元素X存在于集合B中，那么，我们把元素X称为X集合的基数。
7。
在集合B中，每一个元素都可以写成基数值加上非零元素的个数。
8。
如果集合B不能由集合A或集合C的一个元素构成，则必须存在一个非基数，使得集合B可以构成集合A或集合C 的一个元素。
9。
不是集合A或集合C的元素的集合是基数。
3。
因为，任何一个集合与另外一个集合都是等价的，所以，存在一个集合A，使得对集合B的元素X，存在集合C，使得X，如果存在另一个集合C，使得Y，则必须存在一个集合D，使得X，如果对集合B的元素X，存在集合C，使得X，但是，对集合C的每一个元素Y，并不一定存在集合D，使得Y，这样，只要对集合B的元素X，存在集合C，使得X，则一定存在集合D，使得Y。
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高考数学重要知识点：韦达定理
高考数学重要知识点：韦达定理
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
是高考数学的重要知识点，一起来复习下吧：
韦达定理公式：
一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1，X2 (X)
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的.16世纪
就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明
设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式，有
x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}} 所以
x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，
x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。