2017届高考数学(文)二轮复习课时巩固过关练(九)Word版含解析
2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(八) 含解析
课时巩固过关练(八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2016·福建三明月考)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6(－π≤x ≤π)的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，1 D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析：由－π≤x ≤π可知－π2≤x 2≤π2，－2π3≤x 2－π6≤π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，0内单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤0，π3内单调递减，有cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－12，cos π3＝12，cos0＝1，因此所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，1，故选C. 答案：C 2．(2016·山东聊城期中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，为了得到函数y＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：依题意，f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2πT ＝2，又2×π3＋φ＝π，∴φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡ π2－⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，只需将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位． 答案：C3．(2016·江西吉安期中)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎫π4，0 C.⎝⎛⎭⎫7π16，0 D.⎝⎛⎭⎫5π16，0 解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；再向右平移π8个单位得到图象的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝sin2x .当x ＝π2时，y ＝sinπ＝0，所以⎝⎛⎭⎫π2，0是函数y ＝sin2x 的一个对称中心．故选A. 答案：A 4．(2016·云南昆明测试)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB 等于( )A ．10B ．8 C.87 D.47解析：函数y ＝sin(πx ＋φ)的周期T ＝2ππ＝2，最大值为1，过点P 作PD ⊥x 轴于D ，则AD 是四分之一个周期，有AD ＝12，DB ＝32，DP ＝1，在Rt △APD 中，tan ∠APD ＝12；在Rt△BPD 中，tan ∠BPD ＝32，所以tan ∠APB ＝tan(∠APD ＋∠BPD )＝12＋321－12×32＝8.答案：B5．(2016·江东高安段考)如图是函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：根据题意可知A ＝2，函数f (x )的周期为π，2a ＋φ＋2b ＋φ＝π，从而有a ＋b ＝π2－φ，结合题中条件，可知x 1＋x 2＝a ＋b ＝π2－φ，f (x 1＋x 2)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π2－φ＋φ＝2sin(π－φ)＝2sin φ＝3，结合φ的范围，求得φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，结合函数的性质，可知C 是正确的，故选C.答案：C6．(2016·广东惠州二调)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，只需将f (x )的图象( )A ．向左平移π3个长度单位B ．向右平移π3个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移π6个长度单位解析：由图象知A ＝1，T 4＝7π12－π3⇒T ＝π，∴2πω＝π⇒ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－1⇒2×7π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，为了得到g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin2x 的图象，所以只需将f (x )的图象向右平移π6个长度单位即可，故选D.答案：D7．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，32 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，ω>0，∴ωx ＋π4∈⎝⎛⎭⎫12ωπ＋π4，ωπ＋π4.∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，∴周期T ＝2πω≥π，解得ω≤2.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的减区间满足：π2＋2k π<ωx ＋π4<3π2＋2k π，k ∈Z ，∴k ＝0，得⎩⎨⎧12ωπ＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：A 8．(2016·河南南阳期中)如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 的面积最大时PM →·PN →＝0，则ω＝( )A.π4B.π3 C.π2D ．8 解析：由图象可知，当P 位于M 、N 之间函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象的最高点时，△MPN 的面积最大．又此时PM →·PN →＝0，∴△MPN 为等腰直角三角形，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∴|PQ |＝2，则|MN |＝2|PQ |＝4，∴周期T ＝2|MN |＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.故选A.答案：A 二、填空题9．(2016·吉林辽源联考)若0≤x ≤π，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的单调递增区间为__________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x (－sin x )＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－14，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )，又0≤x ≤π，则函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π3，5π6 三、解答题 10．(2016·安徽安庆期中)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx －23cos 2ωx ＋3(ω>0)，若函数f (x )的图象与直线y ＝a (a 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．(1)求f (x )的表达式及a 的值；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )，求其单调递增区间．解：(1)由题意得f (x )＝2sin ωx cos ωx －23cos 2ωx ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3，∵函数f (x )的图象与直线y ＝a (a 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列，可知函数的最小正周期为π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴a ＝±2. (2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，再向上平移1个单位， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，即g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数y ＝g (x )的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 11．(2015·福建高考)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度． (1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解a ，b . (ⅰ)求实数m 的取值范围；(ⅱ)证明：cos(a －b )＝2m 25－1.解：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ，从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)(ⅰ)f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋j )⎝⎛⎭⎫其中sin j ＝15，cos j ＝25.依题意，sin(x ＋j )＝m5在区间[0,2π)内有两个不同的解a ，b ，当且仅当⎪⎪⎪⎪m5<1，故m 的取值范围是(－5，5)．(ⅱ)解法一：因为a ，b 是方程5sin(x ＋j )＝m 在区间[0,2π)内两个不同的解，所以sin(a ＋j )＝m 5，sin(b ＋j )＝m 5.当1<m <5时，a ＋b ＝2⎝⎛⎭⎫π2－j ，a －b ＝π－2(b ＋j )；当－5<m <1时，a ＋b ＝2⎝⎛⎭⎫3π2－j ，a －b ＝3π－2(b ＋j )，所以cos(a －b )＝－cos2(b ＋j )＝2sin 2(b ＋j )－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1＝2m 25－1.解法二：因为a ，b 是方程5sin(x ＋j )＝m 在区间[0,2π)内两个不同的解，所以sin(a ＋j )＝m 5，sin(b ＋j )＝m 5.当1<m <5时，a ＋b ＝2⎝⎛⎭⎫π2－j ，即a ＋j ＝π－(b ＋j )； 当－5<m <1时，a ＋b ＝2⎝⎛⎭⎫3π2－j ，即a ＋j ＝3π－(b ＋j )．所以cos(a ＋j )＝－cos(b ＋j )，sin(a ＋j )＝sin(b ＋j )．于是cos(a －b )＝cos[(a ＋j )－(b ＋j )]＝cos(a ＋j )cos(b ＋j )＋sin(a ＋j )sin(b ＋j )＝－cos 2(b ＋j )＋sin 2(b ＋j )＝－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫m 52＋⎝⎛⎭⎫m 52＝2m 25－1.。
2017届高考数学(文)二轮复习课时巩固过关练(四)Word版含解析
y＝ log2( x＋ 1)的图象，
答案： C 2． (2016 ·山东日照一中期中 )函数 f(x)＝ sinx＋ cos2x 的图象为 ( )
解析： 由于函数 f(x)＝ sinx＋ cos2x 不是奇函数，也不是偶函数，故它的图象不关于原点 对称，也不关于 y 轴对称，故排除 A 、 D.再根据当 x＝ ±π时，函数的值等于 1，故排除 C， 故选 B.
答案： B 3． (2016 ·福建三明一中月考 )函数 y＝ sixnx， x∈ (－ π，0)∪ (0， π的）图象可能是下列中的 ()
解析： 因为 f(－ x)＝ － x ＝ x ＝ f (x)，所以函数 y＝ x ，x∈ (－ π，0)∪ (0，π为）偶函
sin － x sinx
sin x
上的增函数， ∴ kx－ x2<1－ x 对一切 x∈ R 恒成立， 即 x2－ (k＋ 1)x＋ 1>0 对一切 x∈ R 恒成立，
故 Δ＝ (k＋ 1)2－4<0 ，解得－ 3< k<1，即 k 的取值范围为 (－ 3,1)．
Байду номын сангаас
3 (3)假设存在正数 m(m≠ 1)符合题意，由 f(x)过点 1， 2 可得 a＝ 2，由 a＝ 2 得 g(x)＝
2－m x 7． (2016 ·安徽浮山中学一模 )若函数 f( x)＝ x2＋ m 的图象如下图，则 m 的取值范围是
__________．
解析： ∵函数的定义域为 R，∴ x2＋ m 恒不等于零，由图象知，当 x>0 时， f(x)>0，∴
m>0,2－ m>0? m<2，又在 (0，＋ ∞ )上，函数 f(x)在 x＝ x0( x0>1) 处取得最大值，而
2017届高考数学(文)二轮复习课时巩固过关练(十二)Word版含解析
2，弧长为 π，所以圆心角为 π2，因为一个蚂蚁从点 A 出发
沿该几何体的侧面环绕一周回到 A 点，连接 AA′ ，则 AA′ 为蚂蚁所经过的最短路径．所
以蚂蚁所经过路程的最小值为
22＋ 22－ 2× 2× 2cos150°＝ 2＋ 6.故答案为 2＋ 6.
答案： 2＋ 6
故选 D.
答案： D
二、填空题
11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆．现有一
只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到
A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为
__________．
解析： 由题目所给三视图可得， 该几何体为圆锥的一半， 侧面展开图是一个扇形和一个
等边三角形如图，扇形的半径为
AB 是球的直径，所以△ ABC 在大圆所在平面内且有 AC⊥ BC.在 Rt△ ABC 中，由勾股定理，
得 BC2 ＝AB2－ AC2＝ R2 ，所以 Rt△ ABC 的面积
S＝
1 2 BC·AC ＝
3 2
R2.又
PO ⊥平面
ABC，且 PO
＝R，四面体
P－ ABC 的体积为 3，所以 2
VP
－ABC＝
3， 4
∵三棱锥 O－ABC 的体积为 5， 4
△ ABC 的外接圆的圆心为 G，
∴ OG⊥⊙ G，
外接圆的半径为： GA＝
3 ＝ 1，
2sin120 °
∴
1 3S△ABC
·OG
＝
5， 4
即 1× 3
3 4 OG ＝
5， OG ＝ 4
15，
球的半径为： AG2＋ OG 2＝ 4.
球的表面积： 4π４2＝64π．
高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(一) Word版含解析
课时巩固过关练(一) 集合、常用逻辑用语组一、选择题．(·安徽名校期中)已知集合＝{－＋<}，＝{}，则( )．⊆．⊆．∩∁＝．∩＝∅解析：不等式－＋<可化为(－)(－)<，解得<<，即＝{<<}，不等式>可化为>，解得>，即＝{>}，则∩＝∅.故选.答案：．(·山东泰安统考)已知集合＝{＝＋}，＝{＝＋}，＝{＝＋}，＝{(，)＝＋}，＝{≥}，则( )．＝．＝．＝．＝解析：集合只含有一个元素，即函数＝＋.集合，，中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合＝{＝＋}＝{≥}，集合＝{∈}，集合＝{≥}．集合的元素是函数＝＋图象上所有的点．故选.答案：．(·浙江杭州严州中学一模)已知集合＝{＝(－)}，＝{≤}，则∁∪(∩)等于( )．(－∞，)．(－∞，)∪解析：∵集合＝{＝(－)}＝{－>}＝，＝{≤}＝{≤≤}，∴∪＝{≤}，∩＝，∴∁∪(∩)＝(－∞，)∪，故选.答案：．(·河南实验中学期中)命题“若⊆，则＝”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有( )．个．个．个．个解析：易知，原命题为假命题，其否命题为真命题，逆否命题为假命题，逆命题为真命题，故选.答案：．(·山东淄博期中)“(－)<成立”是“－<成立”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：∵(－)<⇒<<，－<⇒－<<，∴“(－)<成立”⇒“－<成立”，反之，则不一定成立，∴“(－)<成立”是“－<成立”的充分而不必要条件．故选.答案：．(·广东阳东广雅中学期中)设：()＝－＋＋在(－∞，＋∞)上单调递增；：>，则是的( )．充要条件．充分不必要条件．必要不充分条件．以上都不对解析：∵()＝－＋＋在(－∞，＋∞)上单调递增，∴′()＝－＋，即－＋≥在上恒成立，∴Δ＝－≤，即≥，∵：()＝－＋＋在(－∞，＋∞)上单调递增，：>，∴根据充分必要条件的定义可判断：是的必要不充分条件，故选.答案：．(·黑龙江大庆期中)给出下列命题：()等比数列{}的公比为，则“>”是“＋>(∈*)”的既不充分也不必要条件；()“≠”是“≠”的必要不充分条件；()函数＝(＋＋)的值域为，则实数－<<；()“＝”是“函数＝－的最小正周期为π”的充要条件．其中真命题的个数是( )．．．．解析：若首项为负，则公比>时，数列为递减数列，＋<(∈*)，当＋>(∈*)时，包含首项为正，公比>和首项为负，公比<<两种情况，故()正确；“≠”时，“≠”在＝－时不成立，“≠”时，“≠”一定成立，故()正确；函数＝(＋＋)的值域为，则＋＋＝的Δ＝－≥，解得≥或≤－，故()错误；“＝”时，“函数＝－＝的最小正周期为π”，但“函数＝－的最小正周期为π”时，“＝±”，故“＝”是“函数＝－的最小正周期为π”的充分不必要条件，故()错误．故选.答案：．(·广东惠州模拟)下列命题中的假命题是( )．∃∈，＝．∃∈，＝．∀∈> ．∀∈，>解析：对于，＝时，＝，∴是真命题；对于，＝时，＝，∴是真命题；对于，∀∈>，∴是真命题；对于，当＝时，＝，∴是假命题．故选.答案：．(·山东济南期中)下列有关命题的叙述错误的是( )．若綈是的必要条件，则是綈的充分条件．若且为假命题，则，均为假命题．命题“∀∈，－≥”的否定是“∃∈，－<”．“>”是“<”的充分不必要条件解析：对于，若綈是的必要条件，则⇒綈，即⇒綈，则是綈的充分条件，正确；若且为假命题，则，中至少一个为假命题，错误；命题“∀∈，－≥”的否定是“∃∈，－<”，正确；由>⇒<，反之不成立，∴“>”是“<”的充分不必要条件，正确．故选.答案：．(·辽宁实验中学期中)已知△为钝角三角形，命题：“对△的任意两个内角α，β，都有α＋β>”，下列结论正确的是( )．綈：对△的任意两个内角α，β，α＋β≤；假命题．綈：△中存在两个内角α，β，α＋β≤；真命题．綈：对△的任意两个内角α，β，α＋β≤；真命题．綈：△中存在两个内角α，β，α＋β≤；假命题解析：∵：对△的任意两个内角α，β，都有α＋β>，∴綈：在△中存在两个内角α，β，有α＋β≤；假命题，理由是α＋β<°，α<°－β，∴α>(°－β)，∴α＋β>，故选.答案：．(·山西怀仁期中)已知命题：∀∈[－，]，函数()＝－的值大于.若∨是真命题，则命题可以是( )．∃∈(－)，使得<．“－<<”是“函数()＝＋＋在区间上有零点”的必要不充分条件．直线＝是曲线()＝＋的一条对称轴．若∈()，则在曲线()＝(－)上任意一点处的切线的斜率不小于－解析：对于命题：函数()＝－＝－，则函数()在上单调递减，在上单调递增，∴当＝时，取得最小值，＝－<，因此命题是假命题．若∨是真命题，则命题必须是真命题．.∀∈(－)，∈(]，而>＝，因此是假命题；.函数()＝＋＋在区间上单调递增，若函数()在此区间上有零点，则·()＝(＋＋)<，解得－<<，因此“－<<”是“函数()＝＋＋在区间上有零点”的充分不必要条件，因此是假命题；()＝＋＝，当＝时，＝＝，因此直线＝是曲线()的一条对称轴，是真命题；.曲线()＝(－)，′()＝＋(－)＝(－)，当∈()时，′()>′()＝－，因此是假命题．答案：二、填空题．()若集合＝{∈－＋＝}中只有一个元素，则＝；。
《师说》2017届高考数学(文)二轮复习课时巩固过关练(二)Word版含解析
课时巩固过关练(二) 向量运算与复数运算、算法、合情推理A 组一、选择题1．(2016·广东佛山期中)如图，在△ABC 中，已知BD →＝2DC →，则AD →等于()A ．－12AB →＋32AC → B.12AB →＋32AC →C.13AB →＋23AC →D.13AB →－23AC → 解析：根据平面向量的运算法则可知：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB→＋23AC →.故选C. 答案：C2．(2016·福建南安期中)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3 解析：解法一：过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，∴AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，∴AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1， ∵AM →＝mAB →，∴m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3.解法二：∵M ，D ，N 三点共线，∴AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，∴AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC →①.又BD →＝12DC →，∴AD →－AB →＝12AC →－12AD →，∴AD →＝13AC →＋23AB →②.由①②知λm＝23，(1－λ)n ＝13.∴2m ＋1n ＝3，故选D. 答案：D3．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2解析：因为|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |，所以A 选项正确；当a 与b 方向相反时，B 选项不成立，所以B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C 选项正确；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2所以D 选项正确，故选B. 答案：B4．(2016·山东淄博期中)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6 D ．2 2解析：解法一：如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.解法二：记AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A. 答案：A5．(2016·山东德州一中一模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23 解析：当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23. 答案：D 6．(2016·四川巴蜀中学月考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A ，小前提与结论应互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C ，大前提和小前提颠倒，错误；对于D ，大、小前提和结论颠倒，错误．故选B.答案：B 7．(2016·四川雅安中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的x ，t 均为2，则输出的S 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：若x ＝t ＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2，第二次循环，2≤2成立，则M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3，此时3≤2不成立，输出S＝7，故选D.答案：D 8．(2016·江西赣州于都实验中学月考)阅读程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ，i 分别是( )A ．a ＝12，i ＝3B ．a ＝12，i ＝4C ．a ＝8，i ＝3D ．a ＝8，i ＝4解析：由程序框图得：第一次运行i ＝1，a ＝4；第二次运行i ＝2，a ＝8；第三次运行i ＝3，a ＝12，满足a 被6整除，结束运行，输出a ＝12，i ＝3.故选A.答案：A9．(2016·安徽江南十校联考)复数i2－i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵i2－i ＝i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋2i5，∴对应的点在第二象限，故选B.答案：B10．(2016·新疆克拉玛依十三中月考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：∵(z －3)(2－i)＝5，∴z －3＝52－i ＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.故选D. 答案：D 二、填空题11．(2016·吉林辽源联考)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于__________．解析：∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，∴cos θ＝±22.又θ为锐角，∴θ＝45°.答案：45° 12．(2016·江西高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为__________．解析：根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝4＋1625＝2 5.答案：2 5 13．(2016·河北南宫一中周测)某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是B 就行； 小张说：B ，C ，D ，E 都行；小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行； 小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为__________．解析：根据小赵，小李和小刘的说法可排除B ，C ，E ，剩余A 和D ，再根据小张的说法可知选D 影片．答案：D14．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则框图内m 的取值范围是__________．解析：第一次运行：S ＝2×1，k ＝2；第二次运行：S ＝2×1＋2×2，k ＝3；……；当输出结果是8时，此时S ＝2×1＋2×2＋…＋2×7＝56，故m ≤56，并且m >2×1＋2×2＋…＋2×6＝42.综上可知m 的取值范围是(42,56]．答案：(42,56]15．(2016·黑龙江大庆实验中学期末)化简2＋4i(1＋i )2的结果是__________．解析：原式＝2＋4i2i＝2－i.答案：2－iB 组一、选择题1．(2016·广东深圳调研)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充要条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥b 且方向相同C ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：非零向量a 、b 使a |a |＝b|b |成立⇔a ＝|a ||b |b ⇔a 与b 共线且方向相同，故选B.答案：B 2．(2016·江西南昌一联)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案：B3．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：如图，由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误．因为|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a ·b ＝2×2cos60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误，设B ，C 中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，且AD →⊥BC →，而2AD →＝2a ＋(2a ＋b )＝4a ＋b ，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.答案：D4．(2016·河南南阳期中)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC→＝0，则OC →·AB →的值为( )A ．－15 B.15C ．－65 D.65解析：∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0， ∴3OA →＋4OB →＝－5OC →，∴9OA →2＋24OA →·OB →＋16OB →2＝25OC →2，∵A ，B ，C 在圆上，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1.代入原式得OA →·OB →＝0，∴OC →·AB →＝－15(3OA →＋4OB →)·(OB →－OA →)＝－15(3OA →·OB →＋4OB →2－3OA →2－4OA →·OB →)＝－15.答案：A 5．(2016·甘肃会宁四中期末)将正整数排列如下： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则在表中数字2 016出现在( )A ．第44行第81列B ．第45行第81列C ．第44行第80列D ．第45行第80列解析：依题意可知第n 行有(2n －1)个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(个)，∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 016,2 025>2 016，∴2 016在第45行，又2 025－2 016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 016在第89－9＝80列．故选D.答案：D 6．(2016·广西钦州调研)如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，θ≠π4，θ≠π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ值所在范围是()A.⎝⎛⎭⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎫0，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 解析：程序框图的功能是求a ，b ，c 的最大值．∵输出的结果是sin θ，∴sin θ最大，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ≥cos θ，sin θ≥tan θ，－π4<θ<3π4，θ≠0，θ≠π4，θ≠π2，解得π2<θ<34π，故选D.答案：D 7．(2016·广东佛山期中)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据a i40 41 43 43 44 46 47 488个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：∵a ＝18(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，S ＝18(42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋42)＝7，故选C.答案：C8．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )解析：由题图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故A 正确．答案：A9．(2016·安徽三校联考)已知复数3＋ix －i(x ∈R )在复平面内对应的点位于以原点O 为圆心，以2为半径的圆周上，则x 的值为( )A ．2B ．1＋3iC ．±2D ．±12解析：3＋ix －i ＝(3＋i )(x ＋i )x 2＋1＝3x －1x 2＋1＋3＋xx 2＋1i ，所以该复数对应的点为⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 2＋1，3＋x x 2＋1，该点在x 2＋y 2＝2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x x 2＋12＝2，解得x ＝±2，故选C. 答案：C二、填空题10．(2016·福建厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是__________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.设AD →＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，则AD→＝xλAB →＋yμAC →，则⎩⎨⎧xλ＝23，yμ＝13，故⎩⎨⎧λ＝23x ，μ＝13y，故λ＋2μ＝23⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝23⎝⎛⎭⎫1＋y x ＋x y ＋1 ≥23⎝⎛⎭⎫2＋2y x ×x y ＝83.当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．故答案为83. 答案：8311．(2016·河北衡水期中)已知点P 是边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，则AP →·(AB →＋AC →)＝__________.解析：由P 为边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，可得AP →＝12(AB →＋AC →)，AB →·AC→＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×4×12＝8，则AP →·(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AC →)2＝12(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝12×(16＋16＋16)＝24.答案：2412．(2016·辽宁抚顺月考)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结出第n 个不等式为__________．解析：由已知条件1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，可归纳猜想得出其第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.答案：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n13．(2013·福建高考)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式：1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋…＝11－x. 两边同时积分得：120⎰1d x ＋120⎰x d x ＋120⎰x 2d x ＋…＋120⎰x nd x ＋…＝120⎰11－xd x ， 从而得到如下等式： 1×12＋12×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝__________.解析：由C 0n ＋C 1n x ＋…＋C 2n x 2＋C n n x n ＝(1＋x)n，两边同时积分得，C 0n120⎰1d x ＋C 1n120⎰x d x＋C 2n120⎰x2d x ＋…＋C n n120⎰x nd x ＝120⎰(1＋x)n d x ，12C 0n ＋12C 1n ⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1(1＋x )n ＋1⎪⎪⎪⎪120＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1 －1n ＋1＝1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－1. 答案：1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－114．(2016·广西柳州二中月考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是S<__________(填一个数字)．解析：由题意知判断框中的条件需在i ＝4，即S ＝9时执行此判断框后的“否”，而在i ＝3，即S ＝8时执行后面的“是”．答案：915．(2016·湖北枣阳一中月考)定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i 的共轭复数是__________．解析：复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i ＝3i (1＋i )－(－1)×2＝－1＋3i ，其共轭复数为－1－3i .答案：－1－3i。
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(七) Word版含解析
课时巩固过关练(七) 导数的综合应用一、选择题1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝2.当x <2时，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2<0； 当x >2时，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2>0. 即当x <2时，f (x )是单调递减的；当x >2时，f (x )是单调递增的．所以x ＝2是f (x )的极小值点，故选D.答案：D2．(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，函数的定义域为(－1,1)，函数f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，所以函数是奇函数．f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2，在(0,1)上f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，故选A.答案：A3．(2015·福建卷)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：∵f ′(x )＝li m x →0f (x )－f (0)x －0，f ′(x )>k >1，∴f (x )－f (0)x >k >1，即f (x )＋1x >k >1， 当x ＝1k －1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋1>1k －1×k ＝k k －1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1一定错误．故选C. 答案：C4．(2016·吉林四模)设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，且x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>x .若f (2－a )－f (a )≥2－2a ，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：∵f (－x )＋f (x )＝x 2，∴f (x )－12x 2＋f (－x )－12x 2＝0， 令g (x )＝f (x )－12x 2，∵g (－x )＋g (x )＝f (－x )－12x 2＋f (x )－12x 2＝0， ∴函数g (x )为奇函数．∵x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>x .∴x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－x >0，故函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数，故函数g (x )在(－∞，0)上也是增函数，由f (0)＝0，可得g (x )在R 上是增函数．f (2－a )－f (a )≥2－2a ，等价于f (2－a )－(2－a )22≥f (a )－a 22， 即g (2－a )≥g (a )，∴2－a ≥a ，解得a ≤1，故选B.答案：B5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34 D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 解析：设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方．因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时， g ′(x )<0，当x >－12时， g ′(x )>0，所以当x ＝－12时， (g (x ))min ＝－2e －12， 当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e>0，直线y ＝ax －a 恒过(1,0)，斜率为a ，故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≤－a －a ，解得32e≤a <1，故选D.答案：D二、填空题6．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________.解析：(1)当a ＝1时，代入题中不等式显然不恒成立．(2)当a ≠1时，构造函数f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，由它们都过定点P (0，－1)，如图所示．设函数f (x )＝(a －1)x －1与x 轴的交点M 坐标为(x 0,0)，即0＝(a －1)·x 0－1，x 0＝1a －1， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0.易知a <1时不符合题意，∴a >1. ∵x >0时，f (x )·g (x )≥0，∴g (x )过点M ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0， 解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案：327．(2015·安徽卷)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________．(写出所有正确条件的序号)①a ＝－3，b ＝－3 ②a ＝－3，b ＝2③a ＝－3，b >2 ④a ＝0，b ＝2⑤a ＝1，b ＝2.解析：令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故④⑤正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2<0或者f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故①③正确，所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.答案：①③④⑤8．(2016·河南南阳期中)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为__________．解析：∵f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，∴f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，∴⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )>0， 从而可得f (x )g (x )＝a x 单调递增，从而可得a >1， ∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝a ＋a －1＝52， ∴a ＝2.故f (1)g (1)＋f (2)g (2)＋…＋f (n )g (n )＝a ＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2>62. ∴2n ＋1>64，即n ＋1>6，n >5，n ∈N *.∴n min ＝6.答案：6三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋k e k (k 为常数，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.解：(1)由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x >0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(3)因为g (x )＝xf ′(x )，所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 由(2)中h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，所以当x ∈(0，e －2)时， h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e －2)＝1＋e －2.又当x ∈(0，＋∞)时，0<1e x <1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h (x )<1＋e －2，即g (x )<1＋e －2. 综上所述，结论成立．10．已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 解：解法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f (x )无极大值．(2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .由(1)，得g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)＝2－ln4>0，即g ′(x )>0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c， 由(2)知，当x >0时，x 2<e x .所以当x >x 0时，e x >x 2>1cx ，即x <c e x . 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法二：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)令k ＝1c(k >0)，要使不等式x <c e x 成立，只要e x >kx 成立． 而要使e x >kx 成立，则只需x >ln(kx )，即x >ln x ＋ln k 成立．①若0<k ≤1，则ln k ≤0，易知当x >0时，x >ln x ≥ln x ＋ln k 成立．即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .②若k >1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x， 所以当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln2)，易知k >ln k ，k >ln2，所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x 0＝4c， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法三：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知e x >2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x >2x >x ，即x <c e x .②若0<c <1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1，令h ′(x )＝0，得x ＝ln 1c， 当x >ln 1c时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c ，h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c>0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )>h (x 0)>0，即x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .11．(2016·山东淄博期中)设函数f (x )＝12x 2－2ax ＋(2a －1)ln x ，其中a ∈R . (1)a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数y ＝f (x )的单调性；(3)当a >12时，证明：对∀x ∈(0,2)，都有f (x )<0. 解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝x －2＋1x， ∴f ′(1)＝0.又f (1)＝－32， ∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋32＝0. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －2a ＋2a －1x＝x 2－2ax ＋2a －1x＝(x －1)[x －(2a －1)]x， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2a －1，①当2a －1≤0，即a ≤12时，若x ∈(0,1)，f ′(x )<0； 若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0.②当0<2a －1<1，即12<a <1时，若x ∈(0,2a －1)，f ′(x )>0； 若x ∈(2a －1,1)，f ′(x )<0；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0.③当2a －1＝1，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x≥0. ④当2a －1>1，即a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0；若x ∈(1,2a －1)，f ′(x )<0；若x ∈(2a －1，＋∞)，f ′(x )>0.综上所述：当a ≤12时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当12<a <1时，f (x )的单调递增区间为(0,2a －1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(2a －1,1)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a >1时，f (x )的单调递增区间为(0,1)和(2a －1，＋∞)，单调递减区间为(1,2a －1)．(3)①当12<a <1时，由(2)知f (x )在(0,2a －1)上单调递增，在(2a －1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴f (x )≤max{f (2a －1)，f (2)}．而f (2)＝2－4a ＋(2a －1)ln2＝(2a －1)(ln2－2)<0，f (2a －1)＝12(2a －1)2－2a (2a －1)＋(2a －1)ln(2a －1)＝ (2a －1)·⎣⎡⎦⎤－a －12＋ln (2a －1)，记g (a )＝－a －12＋ln(2a －1)， a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，g ′(a )＝－1＋22a －1＝－2⎝⎛⎭⎫a －322⎝⎛⎭⎫a －12， 又12<a <1，∴g ′(a )>0. ∴g (a )在a ∈⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增．∴当a ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，g (a )<g (1)＝－32<0， 即－a －12＋ln(2a －1)<0成立．又a >12， ∴2a －1>0.∴f (2a －1)<0.∴当12<a <1，x ∈(0,2)时，f (x )<0. ②当a ＝1时，f (x )在(0,2)上单调递增，∴f (x )<f (2)＝ln2－2<0.③当a >1时，由(2)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,2a －1)上单调递减，在(2a －1,2)上单调递增．故f (x )在(0,2)上只有一个极大值f (1)，∴当x ∈(0,2)时，f (x )≤max{f (1)，f (2)}．而f (1)＝12－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －14<0，f (2)＝2－4a ＋(2a －1)ln2＝(2a －1)(ln2－2)<0，∴当a>1，x∈(0,2)时，f(x)<0.时，对∀x∈(0,2)，都有f(x)<0. 综合①②③知：当a>12。
2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十五) 含解析
课时巩固过关练(十五) 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题一、选择题1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中F 1(－25，0)，P为C 上一点，满足|OP |＝|OF 1|且|PF 1|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 230＋y 210＝1C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1 解析：设椭圆的焦距为2c ，连接PF 2，如图所示．由F 1(－25，0)，得c ＝25，又由|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，知PF 1⊥PF 2，在△PF 1F 2中，由勾股定理，得|PF 2|＝|F 1F 2|2－|PF 1|2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，∴椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.故选C.答案：C2．“0≤k <3”是“方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵0≤k <3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，k －5<0，∴方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线；反之，∵方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线，∴(k ＋1)(k －5)<0，解得－1<k <5.∴“0≤k <3”是“方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A.答案：A 3．(2016·浙江瑞安高三上学期四校联考)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 解析：抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，∵|F A |＝2|FB |，∴x 1＋2＝2(x 2＋2)，∴x 1＝2x 2＋2.将y ＝k (x ＋2)(k >0)代入y 2＝8x ，消去y 并整理可得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.由韦达定理可得x 1＋x 2＝8k2－4，x 1x 2＝4.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2x 2＋2，x 1x 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4，x 2＝1.∴x 1＋x 2＝8k 2－4＝1＋4，∵k >0，解得k ＝223.故选D.答案：D4．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：∵|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，∴设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k (k >0)，若圆锥曲线为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6k,2c ＝|F 1F 2|＝3k ，则离心率e ＝2c 2a ＝3k 6k ＝12；若圆锥曲线为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2k,2c ＝|F 1F 2|＝3k ，则离心率e ＝2c 2a ＝3k 2k ＝32，故选A.答案：A5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析：由题意可知直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线的方程得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94，S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 1＝94.故选D.答案：D6．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于( )A.23B.22C.53D.12解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.故选B.答案：B 7．(2016·上海嘉定一模)已知圆M 过定点E (2,0)，圆心M 在抛物线y 2＝4x 上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则|AB |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：如图，圆心M 在抛物线y 2＝4x 上，∴设M ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，r ＝⎝⎛⎭⎫y 204－22＋y 20，∴圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝⎝⎛⎭⎫y 204－22＋y 20.令x ＝0，得y 4016＋(y －y 0)2＝y 4016－y 20＋4＋y 20，∴(y－y 0)2＝4，∴y ＝y 0±2.∴|AB |＝y 0＋2－(y 0－2)＝4.故选A.答案：A8．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1,0)．不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，则直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0，即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13.同理，可得直线l 过左焦点时，OA →·OB →＝－13.故选B.答案：B 二、填空题9．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为__________．解析：设OA 所在的直线方程为y ＝b a x ，则OB 所在的直线方程为y ＝－bax ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得⎩⎨⎧x ＝2pba ，y ＝2pb 2a2，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2，抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2.因为F 是△ABC 的垂心，所以k OB ·k AF ＝－1.所以－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb 2a 2－p22pb a＝－1⇒b 2a 2＝54.所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝94⇒e ＝32.答案：32三、解答题10．(2015·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝|2AB |，求直线AB 的方程．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不符合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，且x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2，又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·4k 21＋2k 2－2k ＝－2k 1＋2k 2，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，∴|AB |＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴、与左准线平行，不符合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而|PC |＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)，因为|PC |＝2|AB |，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.11．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝3，所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率e ＝c a ＝32.(2)由题意知|m |≥1，当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32.此时|AB |＝3，当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2，又由切线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±3时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.。
2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十七) 含解析
课时巩固过关练(十七) 统计 统计案例一、选择题 1．(2016·湖南十校高三联考)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12，∴每个个体被抽到的概率为1296＝18，样本容量为12＋21＋25＋43＝101，∴这四个社区驾驶员的总人数N 为10118＝808，故选B . 答案：B 2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：抽取号码的间隔为96032＝30，从而区间[451,750]包含的段数为75030－45030＝10，则编号落入区间[451,750]的人数为10，即做问卷B 的人数为10.答案：C 3．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：根据茎叶图中的数据，得成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×2035＝4(人)，故选B .答案：B 4．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④解析：甲地数据为：26,28,29,31,31，乙地数据为：28,29,30,31,32，所以x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，s 2甲＝15[(26－29)2－(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6，s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2.即正确的有①④，故选B .答案：B 5．(2016·广东惠州调研二)惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机．已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁解析：由面积为1，知[25,30)的频率为0.2，为保证中位数的左右两边面积都是0.5，必须把[30,35)的面积0.35划分为0.25＋0.1，此时划分边界为30＋5×0.250.35≈33.6，故选C .答案：C 6．(2016·广西梧州、崇左联考)某教育机构随机选取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是( )解析：由频率分布直方图可知：[0,5)的频数为20×0.01×5＝1，[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，[10,15)的频数为20×0.04×5＝4，[15,20)的频数为20×0.02×5＝2，[20,25)的频数为20×0.04×5＝4，[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，[30,35)的频数为20×0.03×5＝3，[35,40)的频数为20×0.02×5＝2，则对应的茎叶图为A ，故选A .答案：A 7．(2016·湖南衡阳一模)如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A .x 甲<x 乙，m 甲<m 乙B .x 甲>x 乙，m 甲>m 乙C .x 甲<x 乙，m 甲>m 乙D .x 甲>x 乙，m 甲<m 乙 解析：由茎叶图可知x 甲＝13＋15＋28＋26＋23＋39＋37＋34＋419＝2569；x 乙＝24＋25＋32＋36＋33＋37＋38＋45＋479＝3179；所以x 甲<x 乙；m 甲＝28，m 乙＝36，所以m 甲<m 乙；故选A .答案：A 8．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648，此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493，此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578，此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④一定不正确，故选D .答案：D9．为考察喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：则( )A ．有99%把握 B ．有95%把握 C ．有90%把握 D ．不能解析：∵a ＝15，b ＝32，c ＝14，d ＝30，∴k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝91(15×30－32×14)229×62×44×47＝91×43718264＝0.000097895<0.455观测值为0.455时，有50%的把握说明两个变量有关系， 而0.000097895远远的小于0.455，∴不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系． 故选D . 答案：D10．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(x，y)二、填空题11．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知体重的平均值为__________kg；若要从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为__________．解析：设平均值为X ，X ＝45×0.05＋55×0.35＋65×0.3＋75×0.2＋85×0.1＝64.5，身高在[60,70)的男生有100×0.3＝30(人)，身高在[70,80)的男生有100×0.2＝20(人)，身高在[80,90]的男生有100×0.1＝10(人)，抽样比为1260＝15，这12人中，身高在[60,70)的有6人，身高在[70,80)的有4人，身高在[80,90]的有2人，从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为1－C 24＋C 26＋C 22C 212＝1－6＋15＋166＝23.答案：64.5 23。
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＋
sin2C
＝
1 2
?
sin2B
＋
sin2C －
sin(2B ＋
2C)
＝
1 2
?
sin2B(1 － cos2C) ＋
sin2C(1
－
cos2B)＝
1? 2
4sinBsinC(sinBcosC＋ cosBsinC)＝ 1? 2
sin
AsinBsinC
＝
1 8.由三角形面积公
式
S＝
1 2absinC
及正弦定理得
－
2(sinα＋ cosα)＝－
14 .
2
答案： B
2．在△ ABC 中， A， B，C 为三个内角，
f( B)＝ 4cosB·sin2
π4＋
B 2
＋
3cos2B－ 2cosB，若
f(B)＝ 2，则角 B 为( )
ππ A. 12 B.6
ππ C.4 D.3
解析： 由已知
1－ cos f(B)＝ 4cosB·
BOC ，即 (60t)2＝(60 3) 2＋ [20(2 ＋ t)] 2－ 2× 60 3× 20(2＋ t)× 23，即 8t2＋5t －13＝ 0，解得 t
＝1 或
t＝－
13 8
(舍去
)
．故
t＋ 2＝ 3.即给养快艇驶离港口
A 后，最少经过 3 小时能和科考船相
遇．
从而
cosA＝35，故
sin
B＝
sin(
A＋
C )＝
sinAcosC＋
cosA
sinC＝
4＋ 3 10
3 ，∴△ ABC 的面积为
S＝
1 2
8 3＋ 18 acsin B＝ 25 .
答案： A 7．已知△ ABC 的内角 A， B， C 满足 sin2A＋ sin( A－ B＋C)＝ sin( C－ A－ B)＋ 12，面积 S 满足 1≤ S≤ 2，记 a， b， c 分别为 A，B， C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 ( )
小？并求出面积的最小值．
解： (1)在△ OPQ 中，∠ OPQ＝ 45°， OM ＝ 5， OP＝ 2 2，由余弦定理得， ＋PM 2－ 2OP·PM ·cos45°，得 PM 2－4PM ＋ 3＝0，解得 PM ＝ 1 或 PM＝ 3.
OM 2 ＝OP2
(2)设∠ POM ＝ α， 0°≤ α≤ 60°，在△ OMP 中，由正弦定理，得
(2)由 (1) 知，给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后，从小岛 B 出发与科考船汇合．为使航行 的时间最少，快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行，设 t 小时后恰与科考船在 C 处相
遇．在△ OAB 中， OA＝ 120，∠ AOB＝30°，∠ OAB＝60°，所以 OB＝ 60 3，而在△ OCB 中， BC＝ 60t，OC ＝ 20(2＋ t)，∠ BOC ＝30°，由余弦定理，得 BC 2＝ OB2＋ OC 2－ 2OB·OC ·cos∠
cosC＝ a＋ d 2＋ b＋ d 2－ c＋ d 2 2 a＋d b＋d
＝ a2＋ b2－ c2＋ 2 2 a＋d
a＋b－ c b＋d
d＋ d2 >0.又边长
c＋ d 为最长边，故角
C 最大且为锐角，∴新
三角形为锐角三角形．
答案： A
4．在锐角△ ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b.若 2asinB＝ 3b，则角 A 等于 ( ) ππ
A. 12 B.6 ππ
C.4 D.3
解析：由 2asinB＝ 3b 及正弦定理可得
知
A＝
π 3.
答案： D
2sinAsinB＝ 3sinB，即 sinA＝ 3，结合 0< A<π可
2
2
5．设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC＋ ccosB＝asin A，则 △ABC 的形状为 ( )
2a c
b2＋ c2－ · 2bc
a
2
＝
2× 4× 25＋ 36－ 16＝ 1.
6
2× 5×6
答案： 1
10．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，已知 bcosC＋ ccosB＝ 2b， 则a＝ __________.
b 解析： ∵ bcosC＋ ccosB＝ 2b，由边角互化得 sinBcosC＋ sinCcosB＝ 2sinB，即 sin( B＋ C)
3
1
2 sin2A－2cos2A＝
3 2
1 sin2B－2cos2B， sin
2A－
π 6
＝
sin
2B－π6 ，由
a≠b 得 A≠B，又
A＋ B∈ (0， π，）∴ 2A－ π＋ 6
2B－ π6＝ π，即
A＋
B＝
23π，∴
C
＝
π 3.由
c＝
3，sinA＝45，sinaA＝ sicnC得 a＝ 85，由 a<c，得 A<C，
＝2sinB，即 sinA＝ 2sinB，∴ a＝ 2b? ab＝ 2. 答案： 2 三、解答题
11． (2016 ·江西高安段考 )如图，在等腰直角三角形 OPQ 中，∠ POQ ＝ 90°，OP ＝2 2， 点 M 在线段 PQ 上．
(1)若 OM ＝ 5，求 PM 的长；
(2)若点 N 在线段 MQ 上，且∠ MON ＝ 30°，问：当∠ POM 取何值时，△ OMN 的面积最
A ． bc(b＋ c)>8 B． ac(a＋ b)>16 2
C．6≤ abc≤ 12 D． 12≤ abc≤ 24
解析： 由题设得 sin2A＋ sin( π－ 2B)＝ sin(2C－ π）＋ 1? sin2A＋ sin2B＋ sin2C＝ 1? sin[2 π
2
2
－
(2B
＋
2C)]
＋
sin2 B
A ．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析： 由正弦定理得
sinBcosC＋ sinCcosB＝ sinAsinA，即
sin(B
＋
C)＝
sin
2
A，即
sin A＝ 1，
∴A＝2π，故选 A.
答案： A
6．在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为
a， b，c.已知 a≠b， c＝
3，sin
A＝
4， 5
cos2A－cos2B＝ 3sinAcosA－ 3sinBcosB，则△ ABC 的面积为 ( )
8 3＋ 18 4 3＋ 9
A. 25
B. 25
4 3＋ 9
8 3＋ 9
C. 50
D. 25
解析： 由题意得，
1＋
cos2A 2－
1＋
cos2B 2＝
3 2 sin2A－
3 2 sin2B，即
OM ＝ OP ， sin∠ OPM sin∠ OMP
所以
OM ＝ OPsin45 °＝
2
，同理
sin 45°＋ α sin 45°＋ α
ON＝ sin
2 75°＋ α.
1 S△OMN＝ 2OM ·ON sin∠ MON
＝
1
sin 45°＋αsin 75°＋α
＝
1
3
1
sin 45°＋α 2 sin 45°＋ α＋ 2cos 45°＋ α
∴△ ADC 的面积
S＝
1 2AD
·DC
·sin
∠
ADC
＝
3 4 AD·DC≤ 4
3，故答案为
4
3.
答案： 4 3
9． (2015 ·北京高考 )在△ ABC 中， a＝4， b＝ 5，c＝ 6，则 ssinin2CA＝ __________.
解析：
sin2 A＝ sinC
2sinAcosA＝ sinC
＝
1
.
3＋ 4
1 2sin
2α＋ 30°
∵ 0°≤ α≤ 60°，30°≤ 2α＋30°≤ 150°，∴当 α＝ 30°时， sin(2α＋ 30°)的最大值为
1，此时
△OMN 的面积取到最小值．即∠ POM ＝30°时，△ OMN 的面积的最小值为 8－ 4 3. 12.
如图，港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处，小岛 B 在港口 O 的北偏东 60°的方向，且 在港口 A 北偏西 30°的方向上．一艘科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 30°的 OD 方向以
1 2.两边平方可得：
1－ 2sinαcosα＝ 14，∴ 2sinαcosα
＝34，∴
1＋
2sinαcosα＝
74，∴
(sinα＋
cosα) 2＝
7 4.∵
α∈
0， π2 ，∴ sinα＋ cosα＝
7 2.
∴ cos2α ＝ cos2α－ sin2α ＝
sin α－π4
2 2 sinα－cosα
S＝
1× 2
4
R2sinA
sinB
sinC
，∴
R2＝
4S，又
1≤ S≤ 2，∴
4≤ R2≤ 8，
∴
bc
(
b＋
c)＝
abc×
b＋ a
c ＝
8R3sinA
sinB
sinC
×
b＋ a
c >
R3
恒成立，∴
bc(b＋ c)>8. 故选
A.
答案： A
二、填空题
8． (2016 ·江西吉安期中 )在△ ABC 中， D 为 BC 边上一点，若△ ABD 是等边三角形，且