概率统计(理工类A)期末样卷

一、填空：（15分，每小题3分）
1. 甲,乙两人独立对同一目标射击1次，其命中率分别为0.6和0.5，现目标被击中,则它是甲射中的概率为 0.75
2. 已知随机变量),(Y X 服从区域()}{,02,0D x y x y x =
<<<<上的均匀分布,则联合概率密度
()1/2, (,)0, ,f x y x y D
=∈⎧⎨
⎩其它
3. 设随机变量X 和Y 独立,~(3,1),~(2,1)X N Y N -,则23, Z ~Z X Y =-+(4,5)N -
4. 已知正常男性成人血液每毫升中白细胞数为X 。

设2
7300,700EX DX ==，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200至9400之间的概率为8/9 5. 设由来自正态总体2
~(,0.9)X N μ,容量为9的简单随机样本，得样本均值5x =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是（4.412，5.558）. (0.025 1.96,Z =0.05 1.645Z =)
二、单项选择：（15分，每小题3分）
1. 设两个相互独立的事件A,B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,
则()P A =（C ）
(A ) 1/9. (B ) 1/3. (C ) 2/3. (D ) 8/9.
2. 设两个随机变量X,Y 独立同分布:{1}{1}1/3,{1}{1}2/3,P X P Y P X P Y =-==-=====则下列成立的是( B )
（A ）{}P X Y ==2/9. （B ）{}P X Y ==5/9. （C ）{}P X Y ==1/3. （D ）{}P X Y ==2/3. 3. 若随机变量X 与Y 的协方差0XY ρ=，则下列结论必正确的是( B ).
(A ) ()()()D XY D X D Y =. (B ) ()D X Y DX DY +=+. (C ) ()D X Y DX DY -=-. (D ) X 与Y 独立.
4. 设X ～2
(,)N μσ其中μ已知，2
σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中是统计量的是( A )
(A )
3
1
2i
i X
μ=+∑. (B )3
1
2i i X σ=+∑. (C )
2
3
2
1
i i X σ
=∑. (D )
3
1
i
i X
μ
σ
=-∑
.
课程《 概率统计(理工类)A 》【■A 卷 □B 卷】 任课教师 王海玲等 2012-2013 学年 第 1 学期 考试时长：120分钟 【■闭卷 □开卷】
5. 样本1X ,2X 来自总体),(2
σμN , 则μ的无偏估计量是( D ).
(A ) 11231ˆ()4X X X μ
=++. (B ) 21231
ˆ(22)4X X X μ
=++. (C ) 31231ˆ(23)4X X X μ
=++. (D ) 41231ˆ(2)4X X X μ=++. 三、(15分)已知随机变量),(Y X 的联合密度函数为,
0101
(,)0,
.
cxy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩，其他
试求：(1)常数c （5分） . (2)(1)P X Y +<（5分）. (3)(|)f x y （5分）.
解（1）
()11
11
220000
11
,()()1,422f x y dxdy c xdx ydy c x y c +∞
+∞
-∞
-∞
===⇒=⎰⎰
⎰⎰
（2） 11
111
1
2
2
3
2
34000
421
(1)442(2)()2346x
x
y P X Y xydx x
dx x x x dx x x x --+≤=
==-+=-+=⎰⎰
⎰⎰
（3） 在01y ≤≤条件下, ()()1
1
2
00
,422Y f y f x y dx xydx x y y +∞
-∞
=
===⎰
⎰,2, 01
()0, Y y y f y ≤≤⎧∴=⎨
⎩其他 当01x ≤≤时,(,)4()2()2Y f x y xy
f x y x f y y =
== 2, 01()0, x x f x y ≤≤⎧∴=⎨⎩其他
四、（15分）设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y x
f x y <<<<⎧=⎨⎩
其他
求(1) (),()E X E Y （5分）.(2) (),()D X D Y （5分）.(3) XY ρ,并判断X,Y 的相关性（5分）
解:（1） 1
21
1
2200
2
()(,)23
x
x
E X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞
-∞-∞=
====
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰ 121122200
0012
()(,)223
x
x E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞
-∞-∞=
====⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
（2） 1
21
1
122
2234000
21
()(,)242
x
x
E X xf x y dxdy x dxdy x y dx x dx x +∞+∞
-∞-∞
=
====
=⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰ 2
2
2
121
2318
DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
同理：1
21122
223300
00182
()(,)333
x
x E Y y f x y dxdy y dxdy y dx x dx +∞+∞
-∞-∞
=
==
==⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
2
22222
339
DY EY E Y ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
（3）121122300
0011
()(,)222
x
x E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞
-∞-∞
=
====⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
122
10 2XY
ρ-⨯
===≠∴Y X ,相关.
五、(10分) 箱内装有10件产品，其中有2件次品，每次从箱内无放回地任取一件，共取两次。

设随机变量X Y ，定义为：
0 1 X ⎧=⎨
⎩若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品，， 0 1 Y ⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品，
，
判断随机变量X 与Y 是否独立.
14555≠⨯, 即ij i j p p p ⋅⋅≠⋅, 所以X 与Y 不独立 六、（10分）设随机变量,X Y 独立同分布，设2U X Y =+,2V X Y =-, 求随机变量U 与V 的相关系数UV ρ.
解：随机变量,X Y 独立同分布()()()()E X E
Y D X D Y ==，
(,)(2,2)4(,)2(,)2(,)(,)3Cov U V Cov X Y X Y Cov X X
Cov X Y Cov Y X Cov Y Y DX =+-=-+-=
()245DU D X Y DX DY DX =+=+=， ()245DV D X Y DX DY DX =-=+=
33
55UV DX DX ρ=
== 七、（10分）学校有1000名住校生，每人都以%80的概率去图书馆上自习，问图书馆至少设多少个座
位才能以%99的概率保证上自习的同学都有座位？(2.33)12.6)Φ=≈(
解：设汽车应设X 个座位，则(,)X
B n p ,1000,0.8n p ==,则
10000.8800,8000.2160EX np DY npq ==⨯===⨯=，依题意：()00.99P X l ≤≤=
由中心极限定理，0.99Φ-Φ=，已知()2.330.99Φ=
0160
Φ= ⎝ 2.33829.358830l =⇒==. 图书馆至少设830个座才能以%99的概率保证上自习的同学都有座位.
八、（10分）设总体X 的概率函数为1,1(,)0, 1
x f x x x ββ
β+⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩，其中未知参数1β>，12,,
,n x x x 是来自总
体X 的一组样本值，求1)β的矩估计，2)β的最大似然估计.
解：X 的概率密度为1,1(,)0, 1
x f x x x ββ
β+⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩
1）1
1
()(), 1
1
X
E X xf x dx x
dx X x
X ββ
βββ+∞
+∞
∧
+-∞
=
=
==⇒=
--⎰
⎰
2) ()
1
12, 1() 1,2...,0, 1
n
i n i x L i n x x x x βββ+⎧>⎪==⎨⎪
≤⎩， 1i x >，11ln ln ()ln (1)ln ,ln 0n
n
i i i i d L n L n x x d βββββ===-+=-=∑∑1
/ln n i i n x β∧=⇒=∑。