抽样方法例题讲解
纽曼分层抽样例题解答
纽曼分层抽样例题解答
纽曼分层抽样（Neyman allocation）是指在保证各层样本量足够,且满足代表性的前提下,将各层（层面）的样本数按照某定量因素进行分配的一种抽样方法,其具体步骤如下：
步骤一：将总体划分为若干层
步骤二：确定抽样单元
步骤三：确定每层应抽样的比例
步骤四：计算每层可抽样单位数
步骤五：抽取样本
例如,现在要对一所学校的学生进行抽样调查,学生总数为1000人,学校将学生划分为男生和女生两个层次。
如果我们想要从两个层次中各抽取100人,根据纽曼分层抽样的步骤,我们可以按照以下步骤进行：
步骤一：将学生划分为男生和女生两个层次
步骤二：确定抽样单元为学生
步骤三：确定每层应抽样的比例,需满足各层样本量足够、且满足代表性的原则。
在这里我们可以按照性别比例（假设学校男女生比例为1:1）进行分配,即男女生各占一半,也就是每个层次抽取的比例均为50%。
步骤四：计算每层可抽样单位数。
如男生层次共有500人,抽样比例为50%,则可抽样单位数为500*50%=250人；女生层次共有500人,抽样比例也为50%,则可抽样单位数也为500*50%=250人。
步骤五：抽取样本。
在经过以上步骤后,我们可以从男生层次和女生层次中分别抽取250人,合计500人作为样本进行调查。
需要注意的是,纽曼分层抽样适用于各层的特征差异较大、且各层比例分布不均匀的总体。
在实际应用中可以根据需要制定抽样计划,并计算每个层次应抽样的比例和样本量。
系统抽样步骤
例题二：我校有804名学生参加英语单词竞赛， 为了解考试成绩，现打算从中抽取一个容量 为40的样本，如何抽取？
当总体中的个体数正好能被样本容量整除，可以用 它们的比值作为进行系统抽样的间隔．如果不能整 除，那应该怎么办，使在整个抽样过程中，每个个 体被抽取的概率相等？ 可用简单随机抽样，先从总体中剔除余数部分的个 体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按 照系统抽样方法往下进行．
N 量)是整数时， k n;当N n不是整数时,从
N' k n
总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体
的个数
N ' 能被n整除,这时,
，并将剩
下的总体重新编号；
第三步：
在最前面的K个元素中，采用简单随机 抽样的方法抽取一个元素，记下这个元
素的编号（假设所抽取的这个元素的编
号为A），它称为随机的起点。
与系统抽样有关的公式：
K（抽样间隔）= N（总体规模） n（样本规模）
系统抽样的步骤：
第一步：
给总体中的每一个元素按顺序编上号码 （即制定出抽样框）,按照随机抽样的方 法编号,有时也可直接利用个体自身所带 的号码,如学号、准考证号、门牌号等
第二步：
将整个的编号按一定的间隔(设为K)分段,
当
N （N为总体中的个体数,n为样本容 n
第四步：
按照一定的规则抽取样本,通常是将A加 上间隔k得到第2个个体编号（A+k）,
再加k得到第3个个体标号（A+2k）,依
次进行下去,直到获取整个样本。
精品教案：抽样方法
抽样方法【知识网络】1．通过实际问题情境，了解随机抽样的必要性和重要性。
2．了解简单随机抽样的方法，会用抽签法与随机数表法从总体中抽取样本。
3．了解系统抽样方法，会用系统抽样方法从总体中抽取样本。
4．了解分层抽样方法，会用分层抽样方法从总体中抽取样本。
5．了解各种抽样方法的适用范围，能区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，会选择适当的方法进行抽样。
6．了解可以通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
【典型例题】[例1]（1）某校有40个班，每班有50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（）A．40 B．50 C．120 D．150（2）要从已编号（1-50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B。
3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D。
2，4，8，16，32（3）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为36的样本，适合抽取样本的方法是（）A．抽签法B。
系统抽样C。
随机数表法D。
分层抽样（4）某工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间之前，质检员每隔5分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，则这种抽样方法是____________。
（5）一个年级210人，某此考试中成绩优秀的有40人，成绩中等的有150人，成绩较差的有20人，为了解考试情况，从中抽取一个容量为21的样本，则宜采用抽样方法，且各类成绩中抽取的人数分别是。
[例2] 某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：⑵若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？⑶若要抽20人调查对北京奥运会筹备情况的了解，则应怎样抽样？[例3] 下面给出某村委调查本村各户收入情况作的抽样，阅读并回答问题：■本村人口：1200人，户数300，每户平均人口数4人■应抽户数：30■抽样间隔：120030=40■确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12■确定第一样本户：编号12的户为第一样本户■确定第二样本户：12+40=52，52号为第二样本户■……①该村委采用了何种抽样方法?②抽样过程存在哪些问题，试修改；③何处是用的简单随机抽样?[例4]某位同学利用暑假期间准备搞一个社会实践调查，他打算从所居住的小区内的120户居民中选出7户，他使用系统抽样的过程如下：①编号：先将120户居民从“1”到“120”随机地编号；②决定间隔数：因120被7除余1，故可先从总体中随机地剔除1个个体，再将余下的119个重新随机地编号为1到119号，最后设定间隔数为17；③随意使用一个起点38，然后推算出如下的编号为样本：38，55，72，89，106，123，140 ．由于123和140并不在实际编号内，他准备重新选取第一个号码．但他爸爸却说没有问题，他感到有些纳闷，是不是方法选用错了？需要重新选取号码吗？你能帮他解释一下吗？抽样吗？【课内练习】1．抽查汽车排放尾气的合格率，某环保单位在一路口随机抽查，这种抽样是( )A ．简单随机抽样B 。
抽样调查习题课及详解
i =1
i =1
i =1
∑ ( 2) E ( r
−
R)2
≈
1− f nX 2 ( N − 1)
N i =1
(Yi
−
RX
i
)2
∑ ∑ (3)E[( 1 n−1
n
( yi
i =1
− rxi )2 )] ≈
1 N −1
N
(Yi
i =1
−
RX i )2
忽略抽样比
∑ 1
nx 2
1 n−1
n
( yi
i =1
− rxi )2
1
−
α
≈
P
⎪⎧ ⎨
⎪⎩
r−R E(r − R)2
≤
u1−
α 2
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
{=
P
r
−
u1−
α 2
E(r
−
R)2
≤
R
≤
r
+
u1−
α 2
} E(r − R)2
定理 2. 5. 1
在简单随机抽样下 , 若存在与 N无关的数
ε (> 0), M , 使ε < X i < M , Yi < M（i = 1,..., N）,则有
(2)
V( yS )
=
(1 −
f
)[S 2
/n−
2c N − 1 (YN
− Y1
− nc)]
4. 证明: (2)
yS = y + cD1(1 − DN ) − cDN (1 − D1)
∑ =
1 n
N i =1
Yi Di
+
c( D1
简单随机抽样(三种抽样方法)
（3）11,38,60,90,119,146,173,200,227,254
（4）30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
其中可能是分层抽样得到，而不可能是系统抽样的一组号码是
A（1）（2）B（2）（3）C（1）（3）D（1）（4）
抽签法（总体个数较少）
随机数表法（总体个数较多）
用抽签法抽取样本的步骤：
简记为：编号；制签；搅匀；抽签；取个体。
用随机数表法抽取样本的步骤：
简记为：编号；选数；读数；取个体。
问题：某校高一年级共有20个班，每班有50
名学生。为了了解高一学生的视力状况，从这 1000人中抽取一个容量为100的样本进行检查， 应该怎样抽样？
1、系统抽样：
当总体的个体数较多时，采用简单随机抽样 太麻烦，这时将总体平均分成几个部分，然 后按照预先定出的规则，从每个部分中抽取 一个个体，得到所需的样本，这样的抽样方 法称为系统抽样（等距抽样）。
2、系统抽样的步骤：
（1）采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）将整个的编号按一定的间隔(设为K)分段,当
抽样特征 相互联系
从总体中
逐个不放
回抽取
将总体分成 用简单随
均衡几部分, 机抽样抽
按规则关联 取起始号
抽取
码
将总体分 成几层, 按比例分 层抽取
用简单随 机抽样或 系统抽样 对各层抽 样
适应范围
总体中 的个体 数较少
总体中 的个体 数较多
总体由差 异明显的 几部分组 成
1.某公司在甲乙练丙丁死习各地区分别有150个、
练习
2.1.抽样方法之分层抽样
2.分层抽样的具体步骤是什么?
步骤1:根据已经掌握的信息，将总体分 成互不相交的层 分层 步骤2:根据总体的个体数N和样本容量n 求比 计算抽样比k=n:N 步骤3:确定每一层应抽取的个体数目, ni Ni k,使得各 ni 之和为 n 定数 步骤4:按步骤3确定的数目在各层中随机 抽取个体，合在一起得到容量为n样本 抽样
数学必修3
分层抽样
探究
例1:假设某地区有高中生 2400人,初中生10900人,小学 生11000人.此地区
80 60 40 20 0
近视率/%
小学
初中
高中 年级
教育部门为了了解本地区中小学生的近 视情况及其形成原因,要从本地区的中 小学生中抽取1%的学生进行调查,你认 为应当怎样抽取样本?
分析
系统 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等
用简单随 机抽样抽 取起始号 码 用简单随 机抽样或 系统抽样 对各层抽 样
总体中 的个体 数较多 总体由 差异明 显的几 部分
优点
缺点
最简单的抽样方法 不适合个数过大的总体 其他抽样方法中，大都 会以某种形式利用它 （系统抽样是各层中使 用；分层抽样是各层使 用）
例题
• 一支田径队有男运动员56人，女运动员 42人，用分层抽样的方法从全体运动员 中抽取一个容量是28的样本
方法 类别
共同 特点
抽样特征 从总体中 逐个不放 回抽取 将总体分成 均衡几部分， 按规则关联 抽取 将总体分 成几层， 按比例分 层抽取
相互联系
抽样调查例题
例题1：某进出口公司出口一种名茶，为检查每包的重量，随机抽取样本100包，检查结果如下：某出口公司茶叶抽查结果解：①根据样本资料计算样本平均数和方差②计算抽样平均误差087.010087.0===-n x σμ ③根据给定的置信度1-а=%，得到Z=3④计算抽样极限误差和置信区间（克）261.0087.03=⨯=⋅=∆--x x z μ 可以%的置信度保证，这批茶叶平均每包重量的范围为：261.03.150±=∆±--x x ，即在——克范围内。
例题2：某乡水稻总面积20000亩，以不重复抽样方法从中抽取400亩实割实测求得样本平均亩产645千克，标准差千克。
要求抽样极限误差不超过千克，试对该乡亩产量和总产量作估计。
解：已知N=20000，n=400，645=-x ，s=，2.7=∆-x )(3.150********克===∑∑f xf X 87.0)(2=-=∑∑f f X X σ①抽样平均误差为（千克）6.3)200004001(4006.72)1(22=-=-=-Nn n x σμ ②根据给定的2.7=∆-x 千克，确定亩产量和总产量的上下限亩产下限（千克）8.6372.7645=-=∆-=--x x 亩产上限（千克）2.6522.7645=+=∆+=--x x 总产量下限=20000×=（万千克）总产量上限=20000×=（万千克） ③根据26.32.7==∆=--x xz μ，查表得：1-а=% 因此，可以%的置信度保证，该乡水稻平均亩产在至千克之间，总产量在至万千克之间。
例题3：某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。
在对其访问时，有140人说他们离开该企业是因为同管理人员不能融洽相处。
试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95%的置信区间。
解：已知n=200，1401=n ，1-а=95% ①根据已知条件计算：%702001401===n n p 032.0)1(=-=nP P p μ ②根据给定的置信度95%，查表得概率度Z=③计算抽样极限误差%4.6032.096.1=⨯=⋅=∆p p z μ则比例的上下限为%4.6%70±=∆±p p结论：可以95%的置信度保证，该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在%至%之间。
高中抽样方法练习题及讲解
高中抽样方法练习题及讲解一、简单随机抽样题目：某高中共有1000名学生，需要从中随机抽取100名学生进行问卷调查。
请设计一个简单随机抽样方案。
解答：1. 为每位学生分配一个唯一的编号，从1到1000。
2. 使用随机数生成器生成100个不重复的随机数，这些数字应在1到1000的范围内。
3. 根据生成的随机数，从学生名单中选择对应的100名学生。
二、分层抽样题目：一所高中有1000名学生，分为三个年级，每个年级的学生人数相等。
现在需要从全校学生中抽取100名学生进行研究，要求每个年级的学生被抽中的概率相等。
解答：1. 将学生分为三个年级层，每个年级层有333名学生。
2. 在每个年级层中进行简单随机抽样，每个年级层抽取33名学生。
3. 将三个年级层中抽取的学生合并，得到100名学生的样本。
三、系统抽样题目：一个班级有50名学生，需要从这个班级中抽取5名学生进行研究。
请设计一个系统抽样方案。
解答：1. 将学生名单编号，从1到50。
2. 确定抽样间隔。
由于需要抽取5名学生，抽样间隔为50/5=10。
3. 从编号1到10中随机选择一个起始点，假设选择5。
4. 从编号5开始，每隔10编号选择一名学生，即5、15、25、35、45。
四、整群抽样题目：某高中有10个班级，需要从全校学生中抽取10名学生进行研究，每个班级抽取1名学生。
解答：1. 将10个班级视为10个群体。
2. 从10个班级中随机选择一个班级作为样本班级。
3. 从选中的班级中选择一名学生作为样本。
五、多阶段抽样题目：某高中有10个班级，每个班级有50名学生。
需要从全校学生中抽取50名学生进行研究。
请设计一个多阶段抽样方案。
解答：1. 第一阶段：从10个班级中随机抽取5个班级。
2. 第二阶段：在每个选中的班级中进行简单随机抽样，抽取10名学生。
3. 将5个班级中抽取的学生合并，得到50名学生的样本。
注意：以上练习题仅为示例，实际应用中应根据具体情况设计抽样方案。
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抽样方法 同步练习1
思路导引
1.在抽样方法中，如果总体中个体数较少，一般采用___________；总体中个体数较多时，宜采用____________；总体由差异明显的几部分组成，应采用_____________. 解析：要熟悉三种抽样方法的适用范围. 答案：简单随机抽样 系统抽样 分层抽样
2.计划从三个街道20000人中抽取一个200人的样本.现已知三个街道人数比为2∶3∶5，现采用分层抽样的方法抽取，三个街道应分别抽取_____________人.
解析：200×102=40（人），200×103=60（人），200×105
=100
（人）.
答案：40，60，100
3.从N 个编号中抽取n 个号码入样，考虑用系统抽样的方法抽样，则抽样距为（ ） A.n N B.n C.［n N ］ D.［n N
］+1
解析：采用系统抽样时，抽样距应由总体个体数N 与样本容量n
来确定.当N 能被n 整除时，抽样距为n N
；当N 不能被n 整除时，抽样距应为n N
的整数部分，所以综合上述两点，抽样距应为［n N
］.（［］表示取整）
答案：C
4.要从100道选择题中随机抽取20道题组成一份考卷，请你用抽签法写出一个抽样方案.
解：第一步，对100道选择题编号，编号为1，2，…，100； 第二步，准备抽签工具.先把号码写在形状、大小相同的号签上，然后把签放在同一个箱子里；
第三步，实施抽签.在抽签之前先把号签搅拌均匀，然后抽签，每次从中抽出一个签，连续抽20次，这样就得到了20道选择题.
5.某商场新进70件商品，要从中选出10件商品作质量检测，请用随机数表法给出一个抽样方案.
解：第一步，将70件商品进行编号，编号为00，01，…，69； 第二步，由于总体的编号是一个两位数，每次要从随机数表中选取两列组成两位数.
从随机数表中的任意一个位置，比如从表3－1中第3列和第4列的第6行开始选数，由上至下分别是35，11，48，77，79，64，58，89，31，55，00，93，80，46，66，…
其中77，79，89，93，80超过69，不能选取，这样选取的10个样本的编号为35，11，48，64，58，31，55，00，46，66.
←利用几种常用抽样方法的特点.
←每层人数=样本总数×每层所占比例.
←注意N 不能被n 整除的情况.［x ］表示不超过x 的最大整数.
←注意抽签法的步骤及方案设计的合理性.
←严格按随机数表产生随机数的步骤.
←先确定样本中男、女队员的人数.
6.一个田径队中有男队员56人，女队员42人，用分层抽样的方法从全队中抽取28名运动员.
解：第一步，分为男队和女队两层，从男队中抽取的人数为425628+×56=16人；女队中抽取的人数为425628
+×42=12人.
第二步，在男队中用简单随机抽样的方法抽出16人；用同样的方法在女队中抽出12人，这样就选出了28名运动员.
7.北京故宫博物院某天接待游客10000人，如果要从这些游客中随机选出10名幸运游客，请用系统抽样的方法给出幸运游客的编号.
解：第一步，把10000人分成10组，抽样距为1010000
=1000； 第二步，将10000人进行编号，号码为0，1，2，…，9999； 第三步，从第一组（编号为0，1，2，…，999）中按照简单随机抽样的方法，抽出第一个人，其编号假设为k ； 第四步，顺序地抽取编号为k+1000×1，k+1000×2，…，k+1000×9，这样就产生了10名幸运游客的编号.
←注意系统抽样的步骤.。