系统抽样步骤
常用的抽样方案是什么
常用的抽样方案是什么常用的抽样方案是什么摘要：抽样是研究中常用的一种方法，通过从总体中选择一部分样本，以代表整体进行研究分析。
本文将介绍常用的抽样方案，包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样、多阶段抽样和方便抽样，并对各种抽样方案的特点和适用场景进行详细阐述。
一、简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法，也是最常用的抽样方案之一。
它的原理是通过随机抽取样本，使每个个体被选入样本的概率相等，从而保证样本的代表性。
简单随机抽样的步骤如下：1. 确定总体：明确研究对象的总体范围。
2. 设定样本容量：确定需要抽取的样本数量。
3. 编制总体名单：将总体中的个体按照一定的顺序编制成名单。
4. 使用随机数表或随机数生成器：根据设定的样本容量，从总体名单中随机抽取样本。
简单随机抽样的优点是抽样过程简单、不需要事先了解总体特征，样本之间独立性高，结果具有较高的代表性。
但它也存在一些缺点，比如抽样误差大、抽样效率低等。
二、分层抽样分层抽样是将总体按照某种特征划分为若干层次，然后在每个层次中进行简单随机抽样的方法。
分层抽样的步骤如下：1. 确定总体：明确研究对象的总体范围。
2. 划分层次：将总体按照某种特征进行分层，确保每个层次内具有较高的内部相似性。
3. 设定每层样本容量：确定每个层次需要抽取的样本数量。
4. 针对每个层次进行简单随机抽样：分别在每个层次内进行简单随机抽样。
分层抽样的优点是能够保证各个层次的代表性，提高样本的精确度和效率。
但它也存在一些限制，比如对总体层次结构的了解要求高、操作复杂等。
三、整群抽样整群抽样是将总体按照某种特征划分为若干群体，然后从每个群体中随机选择若干个完整的群体作为样本。
整群抽样的步骤如下：1. 确定总体：明确研究对象的总体范围。
2. 划分群体：将总体按照某种特征划分为若干个群体，确保每个群体内具有较高的内部相似性。
3. 设定每个群体的样本容量：确定每个群体需要抽取的样本数量。
系统抽样与分层抽样
三．分层抽样
问题6 假设某地区有高中生6500人，初中生11900人， 小学生17000人。当地教育部门为了了解本地区中小学生 的视力情况，计划从本地区的中小学生中抽取1%的学生 进行调查，应该怎样抽取样本？
不同年龄阶段的学生视力情况可能存在明显差异。 因此应将全体学生分成高中、初中和小学三部分分别 抽样。另外，三部分学生的人数相差较大，因此，为 了充分反映本地区中小学生的视力情况，还应考虑各 学段学生在样本中所占的比例大小。
二、系统抽样
l=6,k=10
第1段 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
6
第2段 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
16
第3段 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30
26
第4段 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40
各层抽取个数 样本容量各层个数 总体个数
（3）各层的抽取数之和应等于样本容量。
每层的抽取方法为简单随机抽样或系统抽样
例题 一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人， 35～49岁的有280人，50岁以上的有95人。为了了解该单位 职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为 样本，应该怎样抽取？
36
第n段 … … … … … … … … … … … … … …
第120段1191,1192, 1193, 1194, 1195, 1196, 1197, 1198, 1199,1200
l l+k l+2k l+3k
l+(n-1)k
6,16,26,36，…，1196，用系统抽样抽的编号为等差数列，公 差等于分段间隔k.
系统抽样法
系统抽样法系统抽样法是一种常用的统计抽样方法，可以有效的代表总体，用于对总体进行推断和估计。
系统抽样法是在总体中按照一定规则选择一部分样本作为代表，从而得到可靠的总体估计。
系统抽样法的步骤如下：1. 确定总体：首先需要明确研究对象或感兴趣的总体，例如某产品的用户群体。
2. 确定样本量：根据所设定的误差容限和置信水平，计算得到所需的样本量。
3. 确定抽样间隔：抽样间隔是指从总体中选择样本的规则，比如每隔5个元素选择一个样本。
4. 确定起始点：从总体中任意选择一个起始点作为第一个样本。
5. 依次选择样本：按照设定的抽样间隔，从起始点开始，依次选择样本，直到达到所需的样本量为止。
6. 数据收集和分析：对所选择的样本进行数据收集和分析，可以获得关于总体的一些统计特征。
7. 总体估计：基于对样本数据的分析，对总体的特征进行估计，如总体均值、总体比例等。
系统抽样法的优点包括：1. 相对于随机抽样，系统抽样具有较高的效率，能够达到相同的估计效果，样本量较少时，所需的抽样量较少。
2. 系统抽样相对于方便抽样和判断抽样，具有较高的代表性，能够更好地反映总体的特征。
3. 系统抽样法适用范围广，可以应用于各种类型的总体，如人群、产品、地域等。
然而，系统抽样法也存在一些局限性：1. 当总体的分布不规律时，系统抽样可能导致样本选择出现一定的偏差，因此在使用系统抽样方法之前，需要确保总体具有较好的规律性。
总之，系统抽样法是一种常用的统计抽样方法，可以帮助研究者从总体中选择出具有代表性的样本，从而对总体进行推断和估计。
在实际应用中，研究者需要根据具体情况选择合适的抽样方法，并确保抽样过程的准确性和可靠性。
系统抽样的实施步骤
系统抽样的实施步骤1. 概述系统抽样是一种常用的统计抽样方法，可以在大规模数据集中选择一部分样本进行分析，以代表整个数据集。
本文将介绍系统抽样的实施步骤，包括样本选取、样本规模确定和数据采集。
2. 样本选取系统抽样的样本选取是按照一定的规则从整个数据集中选择样本，以保证样本的代表性和随机性。
以下是系统抽样的样本选取步骤：1.确定数据集的总体规模和样本容量，假设数据集中有N个元素，需要选择n个样本。
2.计算抽样间距（k）的大小，抽样间距是指从第一个样本开始，每隔k个元素选择一个样本。
通常情况下，抽样间距可以计算为k = N / n。
3.随机生成一个起始位置（r），起始位置可以是从1到k之间的任意整数。
4.从起始位置（r）开始，每隔k个元素选择一个样本，直到选取n个样本为止。
样本选取的关键是要保证抽样间距和起始位置的随机性，以避免样本的偏倚。
3. 样本规模确定样本规模的确定是根据所需的置信水平和抽样误差来确定的。
以下是样本规模确定的步骤：1.确定所需的置信水平，即希望样本估计值与总体真值相符的程度。
常用的置信水平为95%。
2.确定抽样误差的允许范围，即样本估计值与总体真值之间的最大差异。
抽样误差的大小与样本规模成反比，即样本规模越大，抽样误差越小。
3.使用样本规模计算公式，计算所需的最小样本规模。
样本规模计算公式可以根据不同的研究设计和统计分析方法而有所不同。
样本规模的确定需要考虑到代表性和可靠性的平衡，以保证样本的有效性。
4. 数据采集数据采集是系统抽样的最后一步，也是整个实施过程中最关键的一步。
以下是数据采集的步骤：1.根据样本选取步骤中确定的抽样间距和起始位置，从数据集中选择样本。
2.对于每个选取的样本，进行数据采集，可以是通过实地调查、问卷调查、观察等方式获得数据。
3.确保数据采集的过程中减少误差和偏倚，包括保持调查问卷的一致性、减少非响应误差、控制观察偏差等。
数据采集的质量和准确性对最终的分析结果有重要影响，必须严格控制和监督。
系统抽样
系统抽样一、系统抽样的定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽N].样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[n（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。
例：下列抽样中不是系统抽样的是（）A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈点拨:（2）c不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。
二、系统抽样的一般步骤：（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。
（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,L≤k).（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。
【说明】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
【例题精析】例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。
19-20版 第2章 2.1 2.1.2 系统抽样
2.1.2系统抽样1．系统抽样的概念先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：思考：当总体中的个数较多时，为什么不宜用简单随机抽样．[提示]因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强．1．系统抽样适用的总体应是()A．容量较小的总体B．容量较大的总体C．个体数较多但均衡的总体D．任何总体C[根据系统抽样的概念，只能是个体数较多且个体之间均衡的总体才能使用系统抽样．]2．在10 000个有机会中奖的号码(编号为0 000～9 999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的()A．抽签法B．系统抽样法C．随机数表法D．其他抽样方法B[由题意，中奖号码分别为0 068，0 168，0 268，…，9 968.显然这是将10 000个中奖号码平均分成100组，从第一组抽0 068号，其余号码是在此基础上加100的整数倍得到的，是系统抽样．]3．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A．5，10，15，20 B．2，6，10，14C．2，4，6，8 D．5，8，11，14A[将20分成4组．每组5个号，间隔等距离为5.]4．为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________．40[分段间隔k＝Nn＝1 20030＝40.]系统抽样的概念【例1】下列抽样中，最适宜用系统抽样的是()A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样C[根据系统抽样的定义和特点判断，A项中的总体有明显的层次区别，不适宜用系统抽样；B项中样本容量很小，适合随机数表法；D项中总体容量较小，适合抽签法．]系统抽样的判断方法(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体．(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样．(3)最后看是否等距抽样．1．下列抽样方法不是系统抽样的是()A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入选B．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈C[A编号间隔相同，B时间间隔相同．D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C项无明显的系统抽样的特征．]们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为() A．7B．9C．10D．15思路点拨：求出第n组抽到的号码，然后解不等式即可．C[从960人中用系统抽样的方法抽取32人，则抽样间隔为k＝96032＝30.因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21.由451≤30n－21≤750，即151115≤n≤25710，所以n＝16，17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．]系统抽样计算问题的解法及技巧(1)若已知总体数，且样本容量已知，则采用系统抽样方法进行抽样时，如果要剔除一些个体，那么需要剔除的个体数为总体数除以样本容量所得的余数．(2)利用系统抽样的概念与等距特点，若在第一段抽取的编号为m，分段间隔为d，则在第k段中抽取的第k个编号为m＋(k－1)d.(3)若求落入区间[a，b]的样本个数，则可通过列出不等式a≤m＋(k－1)d≤b，解出满足条件的k的取值范围．再根据k∈N*，求出其范围内的正整数个数即可．2．某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作为样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．37[由系统抽样的知识可知，将总体分成均等的若干部分是将总体分段，且分段间隔为5.因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.]1．用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第一段的个体编号怎样抽取？[提示]使用简单随机抽样方法抽取．2．用系统抽样抽取样本时，当Nn不是整数时，随机剔除了多余的个体，这样还公平吗？[提示]因为剔除多余个体是用简单随机抽样的方法进行的，每一个个体被剔除的机会都一样，所以是公平的．3．用系统抽样抽取样本时，第1段是随机取出的号码，其余各段都是由计算式算出来的，并没有抽签，这样公平吗？[提示]虽然除第1段外，后面的样本都是通过计算抽取的，但由于第1段号码确定是随机的，故后面各段号码的确定均是随机的，是公平的．【例3】某工厂有工人1 007名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案．思路点拨：样本容量为100，总体容量为1 007，不能被100整除，因此首先需要剔除7个个体，然后确定分段间隔为1 000100＝10，利用系统抽样即可．[解]用系统抽样的方法抽取样本．第一步，编号．将1 007名工人编号，号码为0001，0002， (1007)第二步，利用随机数表法抽取7个号码，将对应编号的工人剔除．第三步，将剩余的1 000名工人重新编号，号码为0001，0002， (1000)第四步，确定分段间隔k＝1 000100＝10，将总体分成100段，每段10名工人．第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m.第六步，利用分段间隔，将m，m＋10，m＋20，…，m＋990共100个号码抽出．1．(变条件)某工厂有102名工人，现从中抽取10人进行体检，请写出抽样方案．[解]根据条件，可采用抽签法抽取样本．第一步：编号，把102名工人编号为1，2，3， (102)第二步：制签，做好大小、形状完全相同的号签，分别写上这102个数．第三步：搅拌，将这些号签放入暗箱，充分摇匀．第四步：入样，每次从中抽一个号签，不放回地连续抽10次，从而得到容量为10的入选样本．2．(变结论)某工厂有1007名工人，现从中抽取100人进行调查工资收入情况，能否用系统抽样方法抽取样本？为什么？[解]不能用系统抽样抽取，因为工人的工资状况与其年龄、工种等因素有关，总体中个体有明显的分层．系统抽样设计中的注意点(1)当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．(2)被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取．(3)剔除部分个体后应重新编号．(4)每个个体被抽到的机会均等，被剔除的机会也均等．1．系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．2．解决系统抽样问题的两个关键步骤为(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)用系统抽样法抽取样本，当Nn不为整数时，取k＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤Nn，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)总体个数较多时可以用系统抽样．()(2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．()(3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有Nn个号码．()[答案](1)√(2)×(3)×2．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为() A．2B．3 C．4 D．5A[1 252＝50×25＋2，故应从总体中随机剔除2个个体．]3．为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为()A．24 B．25C．26 D．28B[5 008＝200×25＋8，故每组容量为25.]4．从2 003名学生中抽取一个容量为40的样本，应如何抽取？[解]先将2 003名学生按0 001到2 003编号，利用随机数表法从中剔除3名学生，再对剩余的2 000名学生重新从0001到2 000编号，按编号顺序分成40组，每组50人，先在第一组中用抽签法抽出某一号，如0 006，依次在其他组抽取0 056，0 106，…，1 956，这样就得到了一个容量为40的样本．课时分层作业(十)系统抽样(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是()A．从某厂生产的30个零件中随机抽取6个入样B．一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C．从参加竞赛的1 500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况D．从参加期末考试的2 400名高中生中随机抽取10人了解某些情况C[A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．故选C.] 2．采用系统抽样的方法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为()A．40，5B．50，5C．5，40 D．5，50A[因为2 005÷50＝40余5，所以用系统抽样的方法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本，抽样间隔是40，且应随机剔除的个体数为5.] 3．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是()A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32B [根据题意从50枚中抽取5枚，故分段间隔k ＝505＝10，故只有B 符合．]4．总体容量为524，若采用系统抽样，下列的抽取间隔不需要剔除个体的是( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为只有5244＝131，没有余数，所以当间隔为4时，不需要剔除个体．]5．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是( )A ．7B ．5C ．4D ．3B [由公式125＝l ＋(16－1)×16020，解得l ＝5.]二、填空题6．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是________．20 [由系统抽样原理知，抽样间隔k ＝524＝13，故抽取样本的编号分别为7、7＋13、7＋13×2、7＋13×3.故还有一位同学的编号应是20.]7．某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是________．526 [采用系统抽样，需先剔除2名员工，确定间隔k ＝5，但每名员工被剔除的机会相等，即每名员工被抽到的机会也相等，故虽然剔除了2名员工，但这52名员工中每名员工被抽到的机会仍相等，且均为1052＝526.]8．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．(1)9.5(2)10.5[20个小球分4组，每组5个．(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7，12，17，4球编号的平均值为2＋7＋12＋174＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三球编号为8，13，18，平均值为3＋8＋13＋184＝10.5.]三、解答题9.在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？(1)从8台彩电中抽取2台进行质量检验；(2)一个礼堂有32排座位，每排有40个座位(座位号为1～40)．一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下32名听众进行座谈．[解](1)总体容量为8，样本容量为2，因此适合利用抽签法进行样本的抽取．(2)总体容量为32×40＝1 280，样本容量为32，由于座位数已经分为32排，因此选择系统抽样更合适．10．某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？[解](1)将1 001名普通工人用随机方式编号．(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1 000名职工重新编号(分别为0 001，0 002，…，1 000)，并平均分成40段，其中每一段包含1 000 40＝25个个体．(3)在第一段0 001，0 002，…，0 025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0 003)作为起始号码．(4)将编号为0 003，0 028，0 053，…，0 978的个体抽出．(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1，2， (20)(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签．(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀．(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出．以上得到的个体便是代表队成员．[能力提升练]1．从2 019名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2 019人中剔除19人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 019人中，每个人入选的机会()A．都相等，且为502 019B．不全相等C．均不相等D．都相等，且为1 40A[因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除19人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为50 2019.]2．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26，16，8 B．25，17，8C．25，16，9 D．24，17，9B[依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每组有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(k－1)≤495，得1034＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8.]3．某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n，则不需要剔除个体，若样本容量为n＋1，则需剔除2个个体，则n＝________．4或6或9[由题意知n为72的约数，n＋1为70的约数，其中72的约数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，其中70能被加1整除的有1，4，6，9，其中n＝1不符合题意，故n＝4或6或9.]4．一个总体中的80个个体的编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，用错位系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即在第k组中抽取个位数字为i＋k(当i＋k<10时)或i＋k－10(当i＋k≥10时)的号码．当i＝6时，所抽到的8个号码是________．6，17，28，39，40，51，62，73[由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28；依此类推，应选39，40，51，62，73.]5．下面给出某村委会调查本村各户收入情况作的抽样，阅读并回答问题．本村人口：1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：1 200/30＝40；确定随机数字：取一张人民币，其编号后两位数为12；确定第一样本户：编号12的住户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户．……(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题，试修改；(3)何处用了简单随机抽样？[解](1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔应为300/30＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，其编号末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户……(3)确定随机数字：取一张人民币，取其末位数2.。
人教版高中数学必修三2.1.2系统抽样
2．1.2 系统抽样[读教材·填要点]1．系统抽样的概念先将总体从1开始编号，然后按号码顺序以一定的间隔进行抽取，然后从号码为1～k 的第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔等距抽取即得所求样本．2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：(1)先将总体的N 个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．[小问题·大思维]1．系统抽样有什么特点？提示：(1)适用于总体中个体数较大且个体差异不明显的情况．(2)剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；(3)是等可能抽样．每个个体被抽到的可能性相等．2．如何区分一种抽样方法是系统抽样还是简单随机抽样？提示：(1)系统抽样的显著特点是抽出个体的编号是等距的．(2)简单随机抽样的间隔不是恒定的．系统抽样的概念[例1] A ．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B ．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况[自主解答]A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D若总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法．[答案] C——————————————————1．应用系统抽样的前提条件(1)个体较多，但均衡的总体；(2)当总体容量较大，样本容量也较大时，适宜用系统抽样.2.系统抽样方法的判断(1)看能否保证每个个体被等可能抽到；(2)看是否将总体分成几个均衡的部分，是不是等间距抽样，且每一个部分都有个体入样.——————————————————————————————————————1．某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额并采取如下方法：从某月发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后取出65号，115号，165号，…，将发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是() A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．其他方式的抽样解析：上述方法符合系统抽样的形式．答案：C系统抽样的应用[例2]50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．[自主解答]适宜选用系统抽样，抽样过程如下：(1)随机地将这1 000名学生编号为000,001,002， (999)(2)将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．(3)在第一部分的个体编号000,001,002，…，019中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是017.(4)以017为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：017,037,057，…，977,997.若将“1 000名学生的成绩”改为“1 002名学生的成绩”，又该如何抽样？请写出抽样过程． 解：因为1 002＝50×20＋2，为了保证“等距”分段，应先剔除2人.(1)将1 002名学生用随机方式编号；(2)从总体中剔除2人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1 000名学生重新编号(编号分别为000,001,002，…，999)，并分成50段；(3)在第一段000,001,002，…，019这二十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如003)作为起始号码；(4)将编号为003,023,043，…，983的个体抽出，组成样本．——————————————————1．解决系统抽样问题中两个关键的步骤为(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．2．当总体中的个体不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体．——————————————————————————————————————2．某单位的在岗职工为620人，为了调查上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的职工调查这一情况，如何采用系统抽样抽取样本？解：用系统抽样抽取样本，样本容量是620×10%＝62.步骤是：(1)编号：把这620人随机编号为001,002,003， (620)(2)确定分段间隔k ＝62062＝10，把620人分成62组，每组10人，每1组是编号为001～010的10人，第2组是编号为011～020的10人，依次下去，第62组是编号为611～620的10人．(3)采用简单随机抽样的方法，从第1组10人中抽出一人，不妨设编号为l (1≤l ≤10)．(4)那么抽取的职工编号为l＋10k(k＝0,1,2，…，61)，得到62个个体作为样本，如当l ＝3时的样本编号为003,013,023，…，603,613.从2 004名同学中，抽取一个容量为20的样本，写出用系统抽样法抽取的步骤．[错解](1)将2 004名同学随机方式编号；(2)从总体中剔除4名同学，将剩下的分成20段；(3)在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码，比如66；(4)将编号为66,166,266,366，…，1 866,1 966作为样本．[错因]在第二步剔除4名同学后没有对剩余进行从0 000，0 001，…，1 999重新编号．[正解](1)采用随机的方式给这2 004名同学编号为0 001,0 002，…，2 004.(2)利用简单随机抽样剔除4个个体，并对剩余的2 000个个体重新编号为0 001,0 002，…，2 000.(3)分段．由于20∶2 000＝1∶100，故将总体分为20个部分，其中每一部分100个个体．(4)在第1部分随机抽取1个号码，比如0 066号．(5)从第0 066号起，每隔100个抽取1个号码，这样得到容量为20的样本：0 066,0 166,0 266,0 366,0 466,0 566，0 666，0 766,0 866,0 966,1 066,1 166,1 266,1 366,1 466,1 566,1 666,1 766,1 866,1 966.1．在10 000个有机会中奖的号码(编号为0 000～9 999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的()A．抽签法B．系统抽样法C．随机数表法D．其他抽样方法解析：由题意，中奖号码分别为0 068,0 168,0 268，…，9 968.显然这是将10 000个中奖号码平均分成100组，从第一组号码中抽取出0 068号，其余号码是在此基础上加上100的整数倍得到的，可见，这是用的系统抽样法．答案：B2．用系统抽样的方法从个体为1 003的总体中，抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是( )A.11 000B.11 003C.501 003D.120解析：根据系统抽样的方法可知，每个个体入样的可能性相同，均为n N，所以每个个体入样的可能性是501 003. 答案：C3．(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n 组抽到的号码为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由451≤30n －21≤750，得23615≤n ≤25710，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人． 答案：C4．采用系统抽样从含有8 000个个体的总体(编号为0 000，0 001，…，7 999)中抽取一个容量为50的样本．已知最后一个入样的编号为7 894，则第一个入样的编号是________．解析：样本间隔k ＝8 00050＝160.最后一个编号为7 894，则7 894－49×160＝54，所以第一个入样编号为0 054.答案：0 0545．下列抽样中，是系统抽样的是________(填上所有是系统抽样的序号)．①电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座号为16的观众留下来座谈；②搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一人询问，直到调查到规定的人数为止；③工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间，质检人员从传送带上每隔5分钟抽取一件产品进行检验；④从标有1～15的15个球中，任选3个作样本，按从小到大的顺序排列，随机选起点i 0，以后i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入样．解析：由系统抽样步骤可知，①③④符合要求．答案：①③④6．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．解：(1)将参加考试的15 000名学生随机地编号：1,2,3，…，15 000.(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包括100个个体．(3)在第一部分，即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个容量为150的样本．一、选择题1．有40件产品，编号从1至40，现在从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A．5,10,15,20B．2,12,22,32C．2,14,28,38 D．5,8,31,36答案：B2．中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样的方法抽取，每组容量为() A．10 B．100C．1 000 D．10 000答案：C3．为了了解一次期终考试的1 253名学生的成绩，决定采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是()A．2 B．3C．4 D．5解析：1 253÷50＝25…3，故剔除3个．答案：B4．从2 004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会()A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等D ．无法确定解析：系统抽样是等可能的，每人入样的机率均为502 004. 答案：C二、填空题5．一个总体中共有100个个体，随机编号0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码的个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：本题的入手点在于题设中的“第k 组中抽取的号码的个位数字与m ＋k 的个位数字相同”．由题设可知：第7组的编号为60,61,62,63，…，69，而第7组中抽取的号码的个位数字与6＋7＝13的个位数字相同，故第7组抽取的号码是63.答案：636．(2011·罗源高一检测)为了了解1 203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，则抽样间隔k ＝________.解析：由于1 20340不是整数，所以从1 203名学生中随机剔除3名，则分段间隔k ＝1 20040＝30.答案：407．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6,30,42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是________．解析：由题意，分段间隔k ＝484＝12，所以6应该在第一组，所以第二组为6＋484＝18. 答案：188．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．解析：分段间隔是3 000150＝20，由于第一组抽出号码为11，则第61组抽出号码为11＋(61－1)×20＝1 211.答案：1 211三、解答题9．要装订厂平均每小时大约装订图书362册，需要检验员每小时抽取40册图书，检验其质量状况，请你设计一个抽样方案．解：第一步，把这些图书分成40个组，由于36240的商是9，余数是2，所以每个小组有9册书，还剩2册书．这时抽样距就是9.第二步，先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取2册，不进行检验．第三步，将剩下的书进行编号，编号分别为0,1， (359)第四步，从第一组(编号为0,1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，比如说，其编号为k .第五步，顺次抽取编号分别为下面数字的书：k ，k ＋9，k ＋18，k ＋27，…，k ＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．10．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：本村人口：1 200人，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔：1 20030＝40； 确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码的后两位数为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；……(1)该村委采用了何种抽样方法？(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改．(3)何处是用简单随机抽样．解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为：30030＝10，其他步骤相应改为：取一张人民币，编码的后两位数为02(或其他00～09中的一个)，确定第一样本户：编号为02的户为第一样本户；确定第二样本户：02＋10＝12,12号为第二样本户，….(3)确定随机数字用的是简单随机抽样即为取一张人民币，编码的后两位数为02.。
系统抽样
系统抽样
1、简单随机抽样
一般地，设一个总体的个体数为N， 一般地 ，设一个总体的个体数为 ，如果通过逐个 不放回地抽取的方法从中抽取一个样本 抽取的方法从中抽取一个样本， 不放回地抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时 各个个体被抽到的概率相等， 各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随 机抽样。 机抽样。
步骤： 步骤：
第一步：先将总体的N个个体编号； 第一步：先将总体的 个个体编号； 个个体编号 N 是样本容量）是整数时， 第二步：将编号按一定的间隔k分段 分段， 第二步：将编号按一定的间隔 分段，当 n（n是样本容量）是整数时， 是样本容量
取 k = N，若 N 不是整数，则可从总体中剔除部分个体，使 n 不是整数，则可从总体中剔除部分个体， n ' 能被n整除 整除，这时 得剩下的总体个数 N ' 能被 整除 这时 k = N ，并将剩下的 n 总体重新编号； 总体重新编号；
N
随机抽样的方法： 随机抽样的方法： 抽签法 总体中的所有个体（共N个）编号（号码可以从 先将总体中的所有个体（ 先将总体中的所有个体 个 编号（号码可以从0 ），② 到N-1），②并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签 ）， 并把号码写在形状、大小相同的号签上（ 可以用小球、卡片、纸条等制作）， ），然后将这些号签放在同 可以用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同 一个箱子里，进行均匀搅拌。 抽签时，每次从中抽出1个号 一个箱子里，进行均匀搅拌。③抽签时，每次从中抽出 个号 连续抽取n次 就得到一个容量为n的样本 的样本。 签，连续抽取 次，就得到一个容量为 的样本。对个体编号 也可以利用已有的编号。例如学生的学号，座位号等。 时，也可以利用已有的编号。例如学生的学号，座位号等。
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例题二：我校有804名学生参加英语单词竞赛， 为了解考试成绩，现打算从中抽取一个容量 为40的样本，如何抽取？
当总体中的个体数正好能被样本容量整除，可以用 它们的比值作为进行系统抽样的间隔．如果不能整 除，那应该怎么办，使在整个抽样过程中，每个个 体被抽取的概率相等？ 可用简单随机抽样，先从总体中剔除余数部分的个 体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按 照系统抽样方法往下进行．
N 量)是整数时， k n;当N n不是整数时,从
N' k n
总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体
的个数
N ' 能被n整除,这时,
，并将剩
下的总体重新编号；
第三步：
在最前面的K个元素中，采用简单随机 抽样的方法抽取一个元素，记下这个元
素的编号（假设所抽取的这个元素的编
号为A），它称为随机的起点。
与系统抽样有关的公式：
K（抽样间隔）= N（总体规模） n（样本规模）
系统抽样的步骤：
第一步：
给总体中的每一个元素按顺序编上号码 （即制定出抽样框）,按照随机抽样的方 法编号,有时也可直接利用个体自身所带 的号码,如学号、准考证号、门牌号等
第二步：
将整个的编号按一定的间隔(设为K)分段,
当
N （N为总体中的个体数,n为样本容 n
第四步：
按照一定的规则抽取样本,通常是将A加 上间隔k得到第2个个体编号（A+k）,
再加k得到第3个个体标号（A+2k）,依
次进行下去,直到获取整个样本。
〖说明〗
分段间隔的确定:
剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样
本容量整除.通常取k=
N ,然后进行二次编号. n
N N 当 是整数时,取k= ; n n N 当 不是整数时,可以先从总体中随机地 n
具体步骤可简记为：
一编号；
二分段； 三确定起始号；
四加间隔 五获取样本。
例题一：要从某校的 10000 名学生中抽取 100 个进行健
康检查，采用哪种抽样方法比较好，并写出过程。
分析：因为总体中的个体数比较多，所以采用系统抽样。过程如下：
（1）给学生编号，号码为1到10000； （ 2 ）由于 100∶10000=1∶100 ，所以将总体平均分 为100个部分，每一部分包括100个个体； （3）从1到100号进行简单随机抽样，抽取一个号码，