第六章抽样分布

1 n2 Y = ∑Yi n2 i=1
1 n1 1 n2 2 ( Xi − X )2 S2 = (Yi − Y )2 S12 = ∑ ∑ n1 −1 i=1 n2 −1 i=1
第三节 抽样分布定理
定理7 定理 ：设两独立总体X~N(µ1，σ12)，
Y~N(µ2，σ22) ，则统计量
X − Y ~ N ( µ1 − µ 2 ,
(1) X ~ N ( µ ,
…
，Xn 为来自任意总体X的一个容量
为n的样本，若E(X)=µ，D(X)=σ2>0存在，当n较大时，
σ2
n
)
X −µ (2) ~ N (0 ,1) S/ n
第三节 抽样分布定理
2.两个总体的统计量的分布 2.两个总体的统计量的分布
1 n1 X = ∑ Xi n1 i=1
1、是样本的函数 、 2、不含未知的总体参数 、不含未知的总体参数. 抽样分布就是样本统计量的分布
样本 X1,X2,…Xn
判断下列是否为统计量
X1 + X 2 + L + X n 1 n X= = ∑ Xi n n i =1
1 n S = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1
2
X (1) ,K , X ( n )
σ
2
n
, ES 2 = σ 2 .
第三节 抽样分布定理
定理2 定理 ：设总体 X
N (µ ,
σ 2 ) ，X1，
…
，Xn 为
来自总体X的一个容量为n的样本，则
(1)
X ~ N (µ ,
σ2
n
)
(2)
X −µ ~ N (0,1) σ/ n
第三节 抽样分布定理
定理3： 定理 ：设总体X~N(µ，σ2)，X1…Xn 为来自总体
n →∞
第二节 统计量及其分布
F－ (3) F－分布
X / n1 X ~ χ (n1 ), Y ~ χ (n2 ), X , Y 独立，称r.v. F = Y / n2
2 2
所服从的分布为自由度是(n1 , n2 )的 F − 分布 记作F ~ F (n1 , n2 ). n1称为第一自由度,n2为第二自由度
第二节 统计量及其分布
α
2 χα
对于给定的α (0 < α < 1)，称满足条件：
2 P{χ 2 > χ α ( n )} = α
2 的点χα ( n)为χ 2 ( n)分布的上α 分位点((1-α )分位点) 1 2 当n充分大时，χ α ( n ) ≈ ( zα + 2n − 1 ) 2 2 zα 是标准正态分布的上α分位点。
T2 服从均值和方差都为2的正态分布，而统计量
T3
服从均值为1，方差为1/ n 的正态分布。
第二节 统计量及其分布
三种常见分布
(1) χ 2 −分 布
χ 2分布的定义
X 1 ,L , X n 为独立同分布于标准总体总体N(0,1)的随机变量 列，则称随机变量：
χ 2 = X 12 + L + X n2
第二节 统计量及其分布
t(2) t-分布
X X ~ N (0,1), Y ~ χ (n), X , Y 独立，则称r.v.T = Y /n 所服从的分布为自由度是n的 t − 分布，记作T ~ t (n).
2
第二节 统计量及其分布
t分布的三个要点：
分子是标准正态随机变量
分母是自由度为n的卡方随机变量 分母是自由度为 的卡方随机变量
新随机变量服从 自由度为n 自由度为n的t分 布
分子分母相互独立， 分子分母相互独立，且满足构造公式
t分布的图像
基本性质: 基本性质 f(t)关于t=0 t=0(纵轴)对称。 (1) f(t) t=0 f(t)的极限为N(0，1) N(0， (2) f(t) N(0 1)的密度函数
第二节 统计量及其分布
…
，Xn 为来自
X −µ ~ t (n − 1) S/ n
设 X 1 ,L X n来自于总体X的样本,E ( X ) = µ , D( X ) = σ 2 >0 则当n很大时 (1) X ~ N ( µ ,
σ2
n
)
X −µ (2) ~ N (0 ,1) S/ n
第三节 抽样分布定理
定理6： 定理 ：设X1， 近似地有
第二节 统计量及其分布
χ 分布的性质：
2
2、
E χ = n, D χ = 2 n
2 2
证： X i ~ N (0,1), EX i = 0, DX i = 1, EX i2 = 1
DX i2 = EX i4 − ( EX i2 ) 2 = 3 − 1 = 2, i = 1,2, L n
所以：
E χ = E (∑ X ) = ∑ EX = n.
m0.5
X 1 ,K , X n
T = ∑ ( X i − µ )2
i =1 n
X1 + X 2
Z= X − µ0
σ
统计量的主要类型
样本矩统计量 分位数统计量 其他统计量 顺ห้องสมุดไป่ตู้统计量
例5.1.总体 X 服从两点分布，其分布律如下
P ( X = 1) = p
P ( X = 0) = 1 − p = q
说明：设
χ =
2 1
∑X
i =1
n1
2 i
,χ =
2 2
∑Y
j =1
n2
2 j
χ12，χ 22 独立，则：
独立，由卡方分布的定义
X i , Y j , i = 1, 2,L n1 , j = 1, 2,L n2
n1 n2
2 χ12 + χ 2 = ∑ X i2 + ∑ Y j2 i =1 j =1
χ 2 (n1 + n2 )
E (T1 ) = E ( X 1 ) = 1
D(T1 ) = D( X 1 ) = 1
E (T2 ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) = 2 D(T2 ) = D( X 1 ) + D( X 2 ) = 2 1 D (T3 ) = D( X ) = E (T3 ) = E ( X ) = 1 n 统计量 T1 服从均值和方差都为1的正态分布，这和总体的分布相同
总体和样本的关系
数理统计中， 数理统计中，样本和总体具有相同的分布
取值1 取值 概率0.2 概率 取值2： 取值 ： 概率0.4 概率 • 分布总体 总体各个值的概 率可以认为是有相应比重的个 体取该值。 • 随机样本 由于每一个体都 有均等被抽中的概率，因而样 本取总体各个值的概率即样本 分布与总体分布相同。
X的一个容量为n的样本，记
Y= 1
n
σ2
( X i − µ )2 ∑
i =1
则：
Y
χ 2 ( n)
第三节 抽样分布定理
定理4： 定理 ：设总体X~N(µ，σ2)，X1，
总体X的一个容量为n的样本，则
…
，Xn 为来自
第三节 抽样分布定理
定理5： 定理 ：设总体X~N(µ，σ2)，X1，
总体X的一个容量为n的样本，则
第三节 抽样分布定理
一个总体的统计量的分布
1 n X = ∑ Xi, n i =1
1 n S2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1
定理1： 定理 ：设总体X有E(X)=µ，D(X)=σ* σ ， X 1，
…
，Xn 为来自总体X的一个容量为n的样本，则
E( X ) = µ,
D( X ) =
若 F ~ F(n1, n2 ), 则 1/ F ~ F(n2, n1).
对于给定的α (0 < α < 1)，称满足条件： P{F > Fα ( n1 , n 2 )} = α
的点Fα (n1 , n2 )为F 分布的上α 分位点
α
Fα ( n1 , n2 )
结 ：F −α (n1, n2 ) = 1/ F (n2 , n1) 论 1 α
从总体中抽样容量为n的样本，构造统计量 n
n
T = ∑ Xi
i =1
求此统计量的抽样分布。
解：由于样本是独立的，
X i服从两点分布，统计量 T 为随机变量，其取值是0到
n 之间的所有整数，其分布恰好是二项分布，其分布律为：
P (T = k ) = C p q
k n k n−k
k = 0,1, 2,..., n
对于给定的α (0 < α < 1)，称满足条件： P{t > tα ( n )} = α
α
t1−α (n)
tα (n)
的点tα (n)为t分布的上α 分位点 。
当n > 45时，tα ( n ) ≈ zα .
由概率密度的对称性知 ：t1−α ( n ) = −tα ( n )
第二节 统计量及其分布
2 i =1 2 i i =1
n
n
n
2 i
Dχ 2 = D (
∑
i =1
n
X i2 ) =
∑
i =1
DX i2 = 2n.
χ2(n)分布实质上就是参数为n/2,1/2的Γ分布， 即χ2(n)的密度函数为
n x −1 − 1 n/2 x2 e 2 , x > 0 f ( x) = 2 Γ ( n / 2) 0, x≤0
第二节 统计量及其分布
F分布的三个要点：
分子是自由度为n 分子是自由度为 1的卡方随机变量
分母是自由度为n 分母是自由度为 2的卡方随机变量
新随机变量服从 第一自由度为n 第一自由度为n1 第二自由度为n 第二自由度为n2 的F分布