样本及抽样分布
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
样本统计数抽样分布规律
样本统计数抽样分布规律
（一）随机样本平均数抽样分布的规律
１、总体标准差已知
ⅰ. 从一个正态总体抽出的随机样本,无论样本容量大小，其样本平均数的抽样分布必呈正态分布
ⅱ. 若总体不是正态分布，但具有一定量的μ和σ2，只要样本容量n足够大（一般n>30），从总体抽出的样本平均数也近似地服从正态分布N(μ,σ2/n )，称为中心极限定理。
ⅲ. 总体不呈正态，且n较小时的平均数分布－t分布
２、总体标准差未知
总体σ2未知，n较小时，不服从正态分布，而是服从自由度为n-1的t分布
（二）样本总和数的抽样分布规律与样本平均数的抽样分布规律一致。
（三）两个随机样本的平均数差数的抽样分布
1、从两个正态总体抽出的随机样本的平均数差数的分布
总体1～N(μ１，σ12),以n1抽样: s1；
总体2～N(μ２，σ22),以n2抽样: s2；
ⅰ、标准差σ1、σ２已知：
两者抽样相互独立，则两个独立随机抽取的样本平均数间差数X1-X2的抽样分布必遵循正态分布：
ⅱ、标准差σ1、σ２未知：
（1）若σ1、σ２未知，但两个总体相互独立而且都是正态分布，同时σ1=σ２=σ，则差数分布服从自由度为df1+df2 的t分布, 其中df1=n1-1, df2=n2-1；
ⅲ、当两个总体标准差σ1和σ2未知，且σ1≠σ2，符合近似t检验
因为σ1≠σ2，差数标准误需用两个样本的S1、S2均方分别估σ1，σ2
2、两个样本抽自同一正态总体，其平均数差数的抽样分布无论样本容量大小，必呈正态分布。
3、两个样本抽自同一非正态总体，其平均数差数的抽样分布按中心极限定理在n1,n2＞30，接近正态分布。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
样本及其抽样分布基本概念
第六章
样本及抽样分布
第1，2节 基本概念
一、总体、个体 二、随机样本、直方图 三、样本函数与统计量 四、小结
一、总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
总体 …
研究某批灯泡的心每个 个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有 的数量指标的全体就是总体.
直方图
5
8
4.5
7
4 6
3.5 5
3
2.5
4
2
3
1.5 2
1
1 0.5
0
0
140
150
160
170
180
190
200
147
157
167
177
187
197
三、统计量
由样本推断总体特征,需要对样本进行 “加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的 函数,它把样本中所含的信息集中起来.
1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的 总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.
为了使大家对总体和样本有一个明确的 概念,我们给出如下定义:
定义 一个随机变量X或其相应的分布 函数F(x)称为一个总体.
4. 直方图 4.1 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最 常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例3 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
抽样分布样本统计量的分布及其应用
抽样分布样本统计量的分布及其应用在统计学中，抽样是一种数据分析的方法，它通过对总体中的一部分个体进行观察和测量来推断总体的特征。
而抽样分布是指抽取相同样本量的多个样本后得到的统计量的分布。
样本统计量是对样本数据进行计算得到的统计指标，它可以用来估计总体参数，并进行假设检验。
1. 抽样分布的基本概念抽样分布具有一些基本性质，首先是无偏性。
当样本容量趋向于总体容量时，样本统计量的期望值会无限接近总体参数的真实值。
其次是有效性，即样本统计量的方差趋近于零，它可以用来估计总体参数的精确度。
最后是一致性，样本统计量在样本容量逐渐增大时趋近于总体参数。
2. 抽样分布的常见形式常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布。
其中正态分布应用最为广泛，它在中心极限定理的作用下，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
而t分布则适用于当总体标准差未知、样本容量较小的情况下，它的形状比正态分布要略扁平一些。
卡方分布则主要用于样本方差的估计与检验。
3. 抽样分布的应用抽样分布的应用非常广泛，常用于以下几个方面：3.1 参数估计通过抽样分布，我们可以利用样本统计量对总体参数进行估计。
例如，可以利用样本均值估计总体均值，利用样本标准差估计总体标准差。
通过计算置信区间，我们可以得到对总体参数的范围估计。
3.2 假设检验假设检验是统计学中非常重要的一项工具，用于判断样本数据是否支持某个假设。
基于抽样分布，我们可以计算统计量的P值，进而判断样本数据与假设的一致性。
常用的假设检验有均值检验、方差检验、比例检验等。
3.3 质量控制在生产过程中，质量控制是非常关键的。
通过对样本数据进行分析，可以判断生产过程是否正常。
例如，可以通过控制图分析样本均值的变化情况，以判断过程是否处于控制状态。
3.4 统计决策在实际决策中，我们往往需要依据样本数据来进行判断。
抽样分布提供了一种基于统计的决策依据。
例如，在市场调研中，我们可以通过对样本数据进行分析，对市场潜力进行预测，从而指导营销策略的制定。
随机样本与抽样分布
应用
中心极限定理在统计学中广泛应 用于样本均值的分布和置信区间 的计算。
04
样本统计量与抽样误差
样本统计量的定义与计算
样本统计量
样本统计量是根据样本数据计算得出 的量，用于估计总体参数。常见的样 本统计量包括均值、中位数、众数、 方差等。
计算方法
样本统计量的计算方法根据不同的统 计量而异。例如，均值是所有数值相 加后除以数值的数量；方差则是每个 数值与均值差的平方的平均值。
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分层抽样分布
适用于总体被划分为若干层，每层内部随机 抽取样本，然后对各层样本进行汇总。
系统抽样分布
适用于总体具有一定周期性特征，按照一定 间隔抽取样本。
簇抽样分布
适用于总体中存在一些具有相似特征的簇， 从每个簇中随机抽取一定数量的样本。
03
大数定律与中心极限定 理
大数定律
定义
01
大数定律是指在大量重复实验中，某一事件发生的频率将趋近
抽样分布的重要性
估计误差
通过抽样分布，可以了解样本统计量的估计误差， 从而对总体参数进行准确的推断。
置信区间
利用抽样分布，可以构建总体参数的置信区间， 为决策提供依据。
假设检验
在假设检验中，抽样分布用于确定临界值和拒绝 域，从而判断假设是否成立。
抽样分布的类型
简单随机抽样分布
适用于从总体中随机抽取样本，且总体中每 个个体被选中的概率相等。
样本方差的分布
样本方差的期望值
样本方差的期望值等于总体方 差，即E(S^2) = σ^2。
样本方差的方差
样本方差的方差为2σ^4 / n， 其中σ^2为总体方差，n为样 本大小。
样本方差的大样本近似
样本及抽样分布
样本及抽样分布§6.1 基本概念一、总体:在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。
我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。
二、样本:设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,…,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,它们的观察值x1,x2, …, xn称为样本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。
三、统计量:设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…,X n )为统计量。
统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …, x n )是统计量g (X 1, X 2, …, X n )的一个观察值.四、 常用的统计量:, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n12i2n1i 称为样本方差均值仍称为样本它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .B ,,1,2,X A ,1k 2.22221S S nn B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.kkkk若总体X 的k 阶矩E(X )存在,则当n时, A .P注：ni i 111. X X ;n ==∑样本均值2n 2i i 112. S (X );n-1X ==-∑样本方差n kk i 113. k A X , k 1, 2,;n i ===∑样本阶原点矩nk i i 114. k B (X ) , k 2, 3,.n k X ==-=∑样本阶中心矩4.样本的联合分布：2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:11112(,,)(),,;(1,2,,)nn n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中12n *12i 13)(), ,X , (, ,)()n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的联合概率密度为12121211)(),,,,, ,,,:()()n n n*n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,x F x ==∏若为的一个样本则的联合分布函数为例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。
随机样本与抽样分布
随机样本与抽样分布一、引言随机样本和抽样分布是统计学中非常重要的概念，它们在统计推断和假设检验中起着核心作用。
本文将从理论和实践两个方面来探讨随机样本和抽样分布的相关知识，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
二、随机样本1. 随机样本的定义随机样本是指从总体中以随机的方式抽取出来的样本。
在实际调查和研究中，通常需要根据一定的规则和方法来获取样本，而随机样本则是保证了每个总体单位有相同被选入样本的机会，从而能够更好地代表总体特征。
2. 随机样本的特点随机样本具有以下特点： - 代表性：通过随机抽样得到的样本能够较好地代表总体特征。
- 可比性：不同的随机样本之间可以进行比较分析，结果具有一定的可靠性。
- 独立性：各个个体之间的选取是相互独立的，不会受到其他因素的影响。
三、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量由一个个样本算出来时所得到的概率分布。
在统计推断中，我们通常需要根据样本来对总体参数进行估计或进行假设检验，而抽样分布则是帮助我们推断出总体参数的分布情况。
2. 常见的抽样分布(1) 正态分布当总体服从正态分布时，根据中心极限定理可知，样本均值的抽样分布也会趋近于正态分布，而且当样本量大于30时，可以认为近似服从正态分布。
(2) t 分布在总体标准差未知且根据小样本得到的数据时，往往使用t分布来进行统计推断。
t分布相较于正态分布，在小样本情况下具有更大的尾部面积，更符合对总体参数进行估计时对抽样误差可能带来的影响。
(3) 卡方分布卡方分布是一种重要的统计分布，在统计学中有着广泛的应用。
在假设检验、方差分析等领域都有着重要作用。
四、随机样本与抽样分布在实际中的应用随机样本和抽样分布在现实生活和科学研究中都有着重要应用。
例如，在医学研究中，需要通过对患者进行随机抽样来获取数据，然后利用抽样分布的知识对药物疗效等进行评估；在市场调查中，通过对消费者群体进行随机抽样，并利用抽样分布进行数据处理和结果推断。
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第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。
它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。
所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。
其研究方法是归纳法（部分到整体）。
对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。
数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。
在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。
在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。
由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。
定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。
我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。
今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。
根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。
例1：考察一块试验田中小麦穗的重量：X=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x对应的分布：+∞<<σμσπ=≤=≤ξ=⎰∞-σμ--x N dt ex 重量x P x F xt 0),(~21}{)(22)(22总麦穗数的麦穗数例2：考察一位射手的射击情况：X =此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体； 每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）个体数量化⎩⎨⎧=未中射中01x1在总体中的比例p 为命中率 0在总体中的比例p -1为非命中率总体X 由无数个0，1构成，其分布为两点分布),1(p B p X P p X P -====1}0{,}1{ 2.样本与样本空间为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。
抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。
一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的性质。
按照一定规则从总体X 中抽取的一组个体),,,(21n X X X 称为总体的一个样本，显然，样本为一随机向量。
为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行n 次），若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了n X X X ,,,21 的分布相同，与总体一样。
②独立性：n X X X ,,,21 相互独立。
那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本),,,(21n X X X 称为简单随机样本。
易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本，无放回的抽样不能保证n X X X ,,,21 的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。
对每一次观察都得到一组数据（n x x x ,,,21 ），由于抽样是随机的，所以观察值（n x x x ,,,21 ）也是随机的。
为此，给出如下定义：定义2:设总体X 的分布函数为)(x F ，若n X X X ,,,21 是具有同一分布函数)(x F 的相互独立的随机变量，则称（n X X X ,,,21 ）为从总体X 中得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本。
把它们的观察值（n x x x ,,,21 ）称为样本值。
定义3:把样本(n X X X ,,,21 )的所有可能取值构成的集合称为样本空间,显然一个样本值(n x x x ,,,21 )是样本空间的一个点。
注：样本具有双重性，在理论上是随机变量，在具体问题中是数据。
二、样本的分布：设总体X 的分布函数为)(x F ，（n X X X ,,,21 ）是X 的一个样本，则其联合分布函数为：)x ,,x ,x (F n *21=∏=ni 1)(i x F 。
例3：设总体),,(,),1(~21n X X X p B X 为其一个简单随机样本，则样本空间}n ,,,i ;,x )x ,,x ,x {(i n 211021===Ω，因为1{}(1)x x P X x p p -==⋅-，0,1x = 所以样本的联合分布列为：11221122{,,,}{}{}{}n n n n P X x X x X x P X x P X x P X x =======n i x p p p p p p i x x x x x x nn ,,2,11,0)1()1(.)1(1112211 ==---=---§6.2 抽 样 分 布0、引言有了总体和样本的概念，能否直接利用样本来对总体进行推断呢？一般来说是不能的，需要根据研究对象的不同，构造出样本的各种不同函数，然后利用这些函数对总体的性质进行统计推断，为此，我们首先介绍数理统计的另一重要概念——统计量。
一、统计量（随机变量） 定义1：设12(,,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，12(,,,)n g X X X 是样本的函数，若g 中不含任何未知参数，则称g (n X X X ,,,21 )是一个统计量。
设12(,,,)n x x x 是对应于样本12(,,,)n X X X 的样本值，则称12(,,,)n g x x x 是12(,,,)n g X X X 的观察值。
下面列出几个常用的统计量。
1、样本均值与样本方差（随机变量）定义2 设（n X X X ,,,21 ）是来自总体X 的一个样本，称∑==n1i i X n 1X 为样本均值。
)X n X n X (n )X X X X (n [)X X (n S n i ni i n i i i i 211221222221121111∑∑∑===+--=+--=--= )]X n X (n ni i 21211--=∑=为样本方差。
∑=--==ni i X X n S S 122)(11为样本标准差。
样本均值与样本方差分别刻划了样本的位置特征及样本的分散性特征。
2.样本矩（r.v ）设总体X 的分布函数为)(x F ，则称)X (E m k k =（假设它存在）为总体X 的k 阶原点矩；称]))X (E X [(E k k -=μ为总体X 的k 阶中心矩。
把总体的各阶中心矩和原点矩统称为总体矩。
特别地：1m =)(X E ；)(2x D =μ是总体X 的期望和方差。
定义3：设)X ,,X ,X (n 21是来自总体X 的一个样本，则称∑==ni k i k X n A 11，k =1，2，3……；为样本的k 阶原点矩（随机变量）∑=-=ni k i k X X nB 1)(1，k =1，2，3……；为样本值的k 阶中心矩（随机变量）。
特别地，X A =1，但2B 与2S 却不同，由2S 与2B 的计算式可知：221S nn B -=， 当∞→n 时，2B =2S ，所以常利用2B 来计算S （标准差）。
设)x ,,x ,x (n 21为样本)X ,,X ,X (n 21的观测值，则样本矩对应观测值分别为：∑==ni i x n x 11；2s =∑=--ni i )x x (n 1211；∑=--==ni i )x x (n s s 12211； ∑==n i k i k x n a 11； ∑=-=ni k i k x x n b 1)(1；k =1，2，3……；在不至于混淆的情况下，这些值也分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k 阶原点矩、样本k 阶中心矩。
【注】： ()1,2,pk k A m n k −−→→∞=，这就是下一章要介绍的矩估计的理论根据。
统计量是我们对总体的分布函数或数字特征进行统计推断的最重要的基本概念，所以寻求统计量的分布成为数理统计的基本问题之一。
我们把统计量的分布称为抽样分布。
然而要求出一个统计量的精确分布是十分困难的。
而在实际问题中，大多总体都服从正态分布：而对于正态分布，我们可以求出一些重要统计量的精确分布，这就是：二、几种常用的抽样分布：（正态分布中的几种统计量的分布）把2χ分布，t 分布，F 分布，统称为“统计三大分布”。
1、正态分布由正态分布的性质，可得如下结论：1）定理：设n X X X ,,,21 相互独立,),(~2i i i N X σμ，n i ,,2,1 =，η是关于i X 的任一确定的线性函数(∑==ni i i X a 1η)，则η也服从正态分布，且~η∑∑==σμni ni i i i i a a N 1122),(。
2）结论：若（n X X X ,,,21 ）是来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，X 为样本均值，则 ①~X ),(2nN σμ，由上述结论可知：X 的期望与X 的期望相同，而X 的方差却比X 的方差小的多，即X 的取值将更向μ集中。
②X 与2S 相互独立。
2、2χ分布1)定义:设（n X X X ,,,21 ）是来自总体),(N ~X 10 的一个样本，则称统计量：∑==ni i X 122χ所服从的分布是自由度为n 的2χ分布，记作：)n (~22χχ。
)(2n χ的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧Γ=χ--0)(21),(212222xn n e x n x n 00≤>x x ，其中:⎰∞--=Γ012)2(dx e x n x n，()π=Γ21显然， 0),(2≥χn x ,且⎰+∞∞-=χ1),(2dx n x ，即符合密度函数性质。